Skkn một số phương trình quy về phương trình bậc 2

  • Số trang: 30 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Lêi nãi ®Çu ViÖc d¹y ®óng chuÈn mùc kiÕn thøc cña ch¬ng tr×nh lµ mét nhiÖm vô quan träng cña mçi ngêi gi¸o viªn ®øng líp. Tuy nhiªn, viÖc båi dìng cho häc sinh kh¸, giái còng lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt ph¶i ®îc tiÕn hµnh thêng xuyªn ë trong c¸c nhµ trêng phæ th«ng trung häc c¬ së. ViÖc båi dìng gióp cho häc sinh kh¸ kh«ng chØ n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc, kü n¨ng c¬ b¶n mµ cßn cã thãi quen suy nghÜ, t×m hiÓu kü vÊn ®Ò ®Ó råi suy luËn mét c¸ch hîp logÝc t×m ra ®îc lèi gi¶i nh÷ng bµi tËp khã, gióp c¸c em rÌn trÝ th«ng minh s¸ng t¹o, cã høng thó trong khi häc m«n to¸n. §èi víi m«n to¸n líp 9, phÇn '' Ph¬ng tr×nh bËc hai'', ''Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' lµ phÇn kiÕn thøc träng t©m, lµ phÇn kiÕn thøc thêng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi tèt nghiÖp, thi häc sinh giái vµ thi vµo trung häc phæ th«ng. Do ®ã, theo t«i häc sinh cÇn n¾m thËt ch¾c ch¾n m¶ng kiÕn thøc nµy, ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸ giái cÇn cã c¸i nh×n thËt ®Çy ®ñ vÒ " Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai". Sau khi nghiªn cøu kh¸ nhiÒu tµi liÖu tham kh¶o viÕt vÒ vÊn ®Ò nµy t«i thÊy, c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra c¸c bµi to¸n rÊt ®a d¹ng vµ phong phó, tuy nhiªn c¸c d¹ng bµi cßn t¶n m¹n, n»m trong nhiÒu tµi liÖu kh¸c nhau, do ®ã g©y kh«ng Ýt khã kh¨n cho viÖc d¹y cña gi¸o viªn vµ cña häc sinh. Tríc t×nh h×nh ®ã, sau khi nghiªn cøu kü c¸c tµi liÖu, t«i m¹nh d¹n ®a ra mét hÖ thèng kiÕn thøc nãi vÒ ''Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' víi mét mong íc lµ lµm tµi liÖu «n tËp, nhµm t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi h¬n cho ngêi d¹y vµ ngêi häc trong viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái. ''Mét sè ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' lµ mét hÖ thèng kiÕn thøc cã ®Æc thï riªng, ®îc tÝch hîp tõ nhiÒu tµi liÖu kh¸c nhau. Nãi vÒ c¸ch gi¶i cña mét sè lo¹i ph¬ng tr×nh ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai nh: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu; ph¬ng tr×nh bËc ba; ph¬ng tr×nh bËc bèn; ph¬ng tr×nh v« tû… Víi mçi lo¹i ph¬ng tr×nh sau khi tr×nh bµy c¸ch gi¶i ®Òu cã kÌm theo c¸c vÝ dô minh ho¹, cuèi mçi d¹ng cßn cã c¸c nhËn xÐt vµ nh÷ng lu ý nh»m gióp ngêi ®äc dÔ dµng tiÕp cËn víi vÊn ®Ò cÇn nghiªn cøu. T«i mong r»ng th«ng qua c¸c vÊn ®Ò mµ t«i ®· tr×nh bµy ë ®Ò tµi nµy phÇn nµo gióp c¸c em häc sinh trang bÞ c¸c kiÕn thøc còng nh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ë bËc THCS, chuÈn bÞ tèt cho k× thi vµo trung häc phæ th«ng. PhÇn I: Nh÷ng vÊn ®Ò chung 1 A. Môc tiªu nhiÖm vô cña ®Ò tµi §Ò tµi cã nhiÖm vô nghiªn cøu vµ chän ra mét hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt, chung nhÊt vÒ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai nh»m: + Gióp cho gi¸o viªn cã tµi liÖu ®Ó båi dìng häc sinh giái + Gióp cho häc sinh cã mét c¸i nh×n thËt ®Çy ®ñ vÒ ph¬ng tr×nh ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai, tõ ®ã cã nh÷ng thao t¸c t duy nhanh nh¹y, s¸ng t¹o, cã kü n¨ng nhuÇn nhuyÔn trong viÖc gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh nµy. + Gióp häc sinh tù tin trong khi gi¶i to¸n hoÆc trong thi cö. B. c¬ së thùc tiÔn cña viÖc nghiªn cøu ®Ò tµi To¸n häc lµ mét m«n khoa häc tr×u tîng, ®ãng vai trß quan träng trong ®êi sèng con ngêi, trong viÖc nghiªn cøu khoa häc. Khi häc to¸n c¸c em sÏ n¾m b¾t ®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p suy luËn, chøng minh, nhiÒu kü n¨ng tÝnh to¸n, ph©n tÝch tæng hîp, gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n thùc trong cuéc sèng. ViÖc båi dìng häc sinh giái lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong c¸c nhµ trêng THCS. §Ó lµ häc sinh giái, c¸c em cÇn ®îc rÌn luyÖn, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, më réng, ®µo s©u kiÕn thøc. Sù ph©n ho¸ ®èi tîng trong häc sinh hiÖn nay vÒ n¨ng lùc næi lªn rÊt râ. sè häc sinh c¸c líp chuyªn, chän chiÕm mét tû lÖ t¬ng ®èi lín, do ®ã nhu cÇu ®îc n©ng cao, më réng kiÕn thøc cña c¸c em häc sinh lµ rÊt lín. C¨n cø vµo thùc tÕ d¹y häc ta thÊy, phÇn kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ë ch¬ng tr×nh THCS cha ®îc ®Ò cËp ®Õn nhiÒu. §éi ngò gi¸o viªn cha ®îc chuÈn bÞ chu ®¸o ®Ó b¾t tay vµo d¹ båi dìng cho häc sinh kh¸ giái, do ®ã ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i tù biªn so¹n, su tÇm, lùa chän tµi liÖu cho riªng m×nh. chÝnh v× thÕ néi dung båi dìng phÇn kiÕn thøc nµy cha cã sù thèng nhÊt, g©y kh«ng Ýt khã kh¨n cho ngêi häc vµ ngêi d¹y . Nghiªn cøu s¸ch gi¸o khoa vµ ch¬ng tr×nh hiÖn hµnh ta thÊy: SGK ®¹i sè 9 ®· ®a ra cho häc sinh mét sè lo¹i ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai nh: ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, ph¬ng tr×nh v« tû, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ®a vµo Èn míi song nh×n chung møc ®é yªu cÇu vÒ lo¹i nµy chØ dõng l¹i ë møc ®é nhËn d¹ng, chØ phï hîp víi häc sinh ®¹i trµ, cßn víi c¸c em häc sinh ë c¸c líp chuyªn, líp chän nÕu dõng l¹i ë yªu cÇu trªn th× cha ®ñ, v× vËy còng cÇn 2 hÖ thèng, ph©n lo¹i vµ giíi thiÖu víi c¸c em vÒ m¶ng kiÕn thøc ''Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai''. C. §èi tîng nghiªn cøu Nghiªn cøu vÒ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh nãi chung vµ ph¬ng tr×nh bËc hai nãi riªng. Nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n ë trêng THCS. Nghiªn cøu néi dung s¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 9, c¸c tµi liÖu tham kh¶o vµ c¸c chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n. Nghiªn cøu qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, qua häc hái ®ång nghiÖp. 3 PhÇn II: Néi dung A. Mét sè kiÕn thøc vµ kü n¨ng cÇn thiÕt khi häc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh: Khi häc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh häc sinh cÇn n¾m ®îc mét sè kiÕn thøc vµ kü n¨ng sau: + C¸c quy t¾c tÝnh to¸n víi c¸c biÓu thøc ®¹i sè (c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia…) + C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí + Kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö + KiÕn thøc vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè, mét biÓu thøc ®¹i sè + §iÒu kiÖn ®Ó cho mét biÓu thøc cã nghÜa (biÕt t×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh, tËp x¸c ®Þnh cña mét biÓu thøc + Kü n¨ng biÕn ®æi c¸c biÓu thøc. + Kü n¨ng gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu (d¹ng c¬ b¶n) B- Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai I. Nh¾c l¹i vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè 1. §Þnh nghÜa: + Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t: ax2+bx+c=0 (trong ®ã x lµ Èn; a,b,c lµ c¸c hÖ sè thuéc tËp R; a 0) + NghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh bËc hai lµ nh÷ng gi¸ trÞ cña Èn sè mµ khi thay vµo vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh ta ®îc gi¸ trÞ cña hai vÕ b»ng 0. 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh bËc hai * Khi nghiªn cøu vÒ nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c=0 (a 0) ta cÇn quan t©m tíi biÖt sè cña ph¬ng tr×nh:  =b2 - 4ac + NÕu  < 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai v« nghiÖm. + NÕu  = 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm kÐp: x1= x2=  b 2a + NÕu  > 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2=  b   2a Khi b ch½n, hay b=2b'(b'   ) khi ®ã ta cã:  ' =b'2- ac 4 + NÕu  '< 0: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu  ' = 0: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp + NÕu  ' >0: ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Chó ý: NÕu a vµ c tr¸i dÊu (tøc a.c < 0) th× ph¬ng tr×nh bËc hai cã d¹ng ph©n biÖt vµ tr¸i dÊu nhau (v×  >0). * §èi víi mét sè ph¬ng tr×nh bËc hai ®¬n gi¶n (víi hÖ sè nguyªn) trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (   0) ta cã thÓ dïng ®Þnh lý Viet ®Ó nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. §Þnh lý Vi-et NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx+c = 0 (a 0) cã nghiÖm sè x1;x2 (  0) th×: x1+ x2=  b a x1.x2= c a Trêng hîp ®Æc biÖt: + NÕu a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x1=1; x2= c a + NÕu a- b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x1=-1; x2=- c a *Nhê ®Þnh lý Viet ta cã thÓ kh¶o s¸t vÒ tÝnh chÊt c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai + Ph¬ng tr×nh bËc hai cã cïng dÊu khi: hay b2- 4ac 0  0 c x1.x2>0 0 a + Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm d¬ng khi hay b2- 4ac 0  0 c 0 a  b 0 a x1.x2>0 x1+x2>0 + Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m khi: hay b2- 4ac 0  0 c 0 a  b 0 a x1.x2>0 x1+x2<0 + Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi: 5 c 0 a + Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau khi: c x1.x2<0 0 x1+x2=0 a  b 0 a hay + Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu nhng nghiÖm sè d¬ng cã trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n khi: c 0 a  b 0 a + Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu nhng nghiÖm sè ©m cã trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n khi: c 0 a  b 0 a * Nhê ®Þnh lý Viet, ta cã thÓ tÝnh ®îc tæng (hoÆc hiÖu) c¸c luü thõa bËc n hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x 1n x 2n (Víi n  Z ) VÝ dô: Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c = 0 cã hai nghiÖm x1;x2 th×: 2 x 12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 (  b ) 2  2. c  b  22ac a a a x 14  x24  ( x12  x22 )2  2( x1 x2 )2  ( b  22ac )2  2( c )2 a a 2 II. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai: Trong ch¬ng tr×nh To¸n ë trêng phæ th«ng ta thêng gÆp mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai sau: A. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh cã Èn sè n»m ë mÉu thøc cña ph¬ng tr×nh. a) C¸ch gi¶i: + T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh + Quy ®ång, khö mÉu + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh, ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ax2+bx+c=0 + Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng ax2+bx+c=0 + NhËn ®Þnh kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi (lo¹i bá nh÷ng gi¸ trÞ cña Èn võa t×m ®îc kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh). b) VÝ dô : 6 VÝ dô 1: Gi¶i vµ biÖn luËn theo a vµ b ph¬ng tr×nh: a b  2 x b x a §iÒu kiÖn ®Ó (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x �a, x �b : Gi¶i §iÒu kiÖn: Ta cã: (1)  2( x  a)( x  b) a( x  a)  b( x  (1) b)  2 x 2  3(a  b) x  a 2  b 2  2ab 0  2 x 2  3(a  b) x  (a  b) 2 0  ( a  b ) 2 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: x1 a  b a b x2  2 * x1  a  b 0 x1 b  a 0 * x2 �a; x 2 b  a b VËy víi a �b; a �0, b �0 th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4 3 2 2 x  3x  8 x  12  1 4 1   0 (2) 2 x  4 2x  7 x  6 2x  3 2 Ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö ta cã: (2)  TX§: 4 1 4 1    0 ( x  2)( x  2)(2 x  3) ( x  2)( x  2) ( x  2)(2 x  3) 2 x  3 x-2 0 x+2 0  x  2  3 x 2 2x+3 0 MÉu thøc chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khö mÉu ta cã: 4 - (2x+3)- 4(x-2) +(x-2)(x+2)  4  2 x  3  4 x  8  x 2  4 0  x 2  6 x  5 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2-6x+5=0 ta ®îc 2 nghiÖm: x1=1, x2=5 §èi chiÕu víi TX§ ta thÊy x1 = 1 vµ x2 = 5 lµ hai nghiÖm cña pt (2) c. NhËn xÐt: + Lo¹i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu lµ lo¹i thêng gÆp ë trêng phæ th«ng. 7 + Khi gi¶i lo¹i nµy cÇn lu ý: CÇn so s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn víi TX§ tríc khi kÕt luËn vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. B. Ph¬ng tr×nh bËc ba Ph¬ng tr×nh bËc ba (mét Èn sè) lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t: ax3+ bx2 + cx+d = 0 Trong ®ã x lµ Èn sè; a, b, c, d lµ c¸c hÖ sè: a 0 a) C¸ch gi¶i §Ó gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc ba ( ®èi víi häc sinh THCS) ta thêng ph¶i biÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch, ë ®ã vÕ tr¸i lµ tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt víi mét nh©n tö bËc hai, cßn vÕ ph¶i b»ng 0. Muèn vËy HS cÇn cã kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. b) VÝ dô: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+7x2+7x+2 = 0 (*) Gi¶i (*) (2x3+2) +(7x2+7x)=0  2(x3+1)+7x(x+1) =0  2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=0  (x+1)(2x2+5x+2) =0  x+1=0 (1)  2x2+5x+2 = 0 (2) Ph¬ng tr×nh (1) cho nghiÖm x=-1 Ph¬ng tr×nh (2) cho nghiÖm x=-2 vµ x=- 1 2 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã tËp hîp nghiÖm lµ: S = - 1; 2; 1 2 VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x3- (2a+1)x2+(a2+2a-b) x-(a2- b)=0 (1) Gi¶i vµ biÖn luËn theo a, b sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) Cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 nªn cã nghiÖm x 1=1. Do ®ã (1) cã thÓ viÕt: (x-1)(x2- 2ax + a2- b) =0. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: x2-2ax+a2- b=0 (2)  '= b * NÕu b < 0  (2) v« nghiÖm (1) cã nghiÖm duy nhÊt x =1 8 * NÕu b = 0  * NÕu b > 0 (2) cã nghiÖm kÐp: x = a (1) cã hai nghiÖm: x =1; x = a  (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: (1) Cã ba nghiÖm ph©n biÖt: x=1; x= a+ b ; x= a- b ; c) NhËn xÐt: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba ë THCS ta chñ yÕu dïng phÐp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch. Khi ®ã, ta cã mét hÖ thèng hai ph¬ng tr×nh bao gåm mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai. + Ta cÇn chó ý tíi hai tÝnh chÊt cña ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3+ bx2+ cx + d = 0 * NÕu a + b +c + d = 0 th× trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu sÏ cã nghiÖm lµ x =1. * NÕu a-b+c- d = 0 th× trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu sÏ cã mét nghiÖm lµ:x = - 1. Khi biÕt tríc mét nghiÖm, ta chia vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh cho ®a thøc (x-1) hoÆc (x+1) ®Ó ph©n tÝch vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh thµnh nh©n tö. + Víi ph¬ng tr×nh bËc ba cã c¸c hÖ sè nguyªn, nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ã ph¶i lµ íc sè cña h¹ng tö tù do d (Theo ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh víi hÖ sè nguyªn). C. Nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc cao quy ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai 1- Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4+ bx2+ c = 0. Trong ®ã: x lµ Èn sè, a;b;c lµ c¸c hÖ sè; a 0 a) C¸ch gi¶i: Víi lo¹i ph¬ng tr×nh nµy khi gi¶i ta thêng dïng phÐp ®Æt Èn phô x2=t  0. Tõ ®ã ta cã mét ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian: at 2 + bt +c = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian nµy råi sau ®ã tr¶ biÕn x 2= t (NÕu nh÷ng gi¸ trÞ cña t t×m ®îc tho¶ m·n t 0), ta sÏ t×m ®îc nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu. b) VÝ dô: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – x2 – 6 = 0 (1) Gi¶i: 9 §Æt x2 =t  0 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t2 – t – 6 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh t2-t-6=0 ta ®îc t1=-2;t2=3 + Víi t = - 2 (lo¹i v× t < 0 ) + Víi t =3  x  3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ : S = - 3; 3 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4-2(m-1)x2- (m-3 ) = 0 (2) Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× ph¬ng tr×nh trªn a) Cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. b) Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c) Cã hai nghiÖm d) v« nghiÖm. Gi¶i: §Æt x2=t 0 khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) ®îc quy vÒ mét ph¬ng tr×nh bËc hai: t2- 2(m-1)t- (m-3) = 0 (2')  '=(m-1)2+(m-3) = m2- m- 2 a) §Ó (2) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2') ph¶i cã 2 nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t¬ng ®¬ng víi: m2- m- 2 > 0  '>0 x1+x2 > 0 hay m-1> 0 x1x2 > 0 m-3 <0 (m+1)(m-2)>0  m>1 m<3  m-2>0 m>1 m<3 (do m>1) m>2 do ®ã 2< m <3  m>1 m<3 Khi 2 0 2(m-1) < 0 Nhê b¶ng xÐt dÊu ta thÊy bÊt ph¬ng tr×nh m2- m- 2 0 cho nghiÖm m �1 hoÆc m �2 B¶ng xÐt dÊu: m m+1 m-2 (m+1)(m-2) -  -1 + 0 1 0 + 11 2 1 0 0 + + + VËy hÖ trªn t¬ng ®¬ng víi: m  1 hoÆc m 2 m<3 m<1 KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn nµy ta ®îc: m  -1 VËy ph¬ng tr×nh (2') cã hai nghiÖm cïng ©m khi m  -1 Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm khi -1 - Xem thêm -