Skkn một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất cho lớp 10, 11

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO LỚP 10, 11" 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong những bài toán khó. Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013. 6. Giả thuyết khoa học 2 Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN của tác giả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao hơn. 7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học 8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung chính Kết luận Tài liệu tham khảo. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách…. 1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c;  a �0  . Có 3   b 2  4ac . Nếu 0 thì a. f  x   0 x �R Nếu 0 thì a. f  x   0 x � Nếu 0 thì b 2a � a. f  x   0 x � �; x1  � x2 ; � � � ( x1  x2 a. f  x   0 x � x1; x2  � là hai nghiệm của tam thức bậc hai). 2. Các tính chất của Bất đẳng thức. Điều kiện Nội dung a b � acbc c0 a  b � ac  bc c0 a  b � ac  bc �a  b �ac bd � cd � 0ab � � ac  bd � 0cd � a  b � a 2 n 1  b 2 n 1 ; n �N * 0  a  b � a 2 n  b 2 n ; n �N * 0ab� a  b ab� 3 a  3 b 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) ab � ab ; a, b �0. 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. 4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số f  x xác định trên tập D. Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số �f  x  �M x �D � � x �D : f x  M � 0 � 0   f  x trên D nếu f  x trên D nếu   ; M  Max f x D Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số �f  x  �m x �D � ; m  min f x � D  x � D : f x  m � 0 � 0     Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự. II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phương pháp phương trình bậc hai. Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A  f  x  ; trên tập D. Lời giải Gọi A0 là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải tồn tại x0 �D sao cho f  x0   A0 ; điều đó chứng tỏ phương trình f  x   A0  0 có nghiệm trên D. Ta đi tìm điều kiện để phương trình f  x   A0  0 có nghiệm trên D; từ đó tìm được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất. Trong nhiều bài toán phương trình f  x   A0  0 có dạng là phương trình bậc 2. Ở 5 phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương trình f  x   A0  0 có dạng phương trình bậc 2. Ta xét một số ví dụ sau: Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức y  x x2  1 Lời giải Tập xác định D  R Gọi y0 là một giá trị của biểu thức 2 Chứng tỏ phương trình y0 x  x  y0  0,  1 có nghiệm. Nhận xét: Đối với phương trình ax 2  bx  c  0 có điều kiện a 2  b 2 �0 thì phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi b 2  4ac �0 1 2 1 2 Phương trình  1 có nghiệm � 1  4 y02 �0 �  �y0 � 1 2 Nhận thấy khi x  1 � y  ; x  1 � y   1 2 Vậy min y   ; Maxy  1 2 1 2 Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra đề cho chính mình và các bạn trong lớp. x2  2x  2 Bài 2. Tìm min; max y  2 x  2x  2  min y  3  2 x2  8x  7 Bài 3. Tìm min; max y  x2  1  min y  1; maxy  9  2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai. 6 2; maxy  3  2 2  Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề toán: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2  y 2  x  y  xy . Lời giải 1 Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. � x 2  y 2  x  y  xy �m ( x; y ) δ R R ( x; y ) δ R R � x 2  ( y  1) x  y 2  y  m �0 Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì: x 2  ( y  1) x  y 2  y  m �0 x �R Suy ra:  x  3 y 2  6 y  1  4m �0 Suy ra:  'y  12  12m �0 với y �R  m 1 ۣ Nếu m < -1 thì: Do đó  'y  0 x  0 Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Nếu m = -1 thì A �1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1. Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B �0 và B = 0 khi x = y = 1 Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau: 3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số. 7 Lời giải 2 A= x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  x  y  xy  1  1 . A = (x-1)2 + (y-1)2 +(x-1) –y(x-1) -1 A = (x-1)2 + (y-1)2 – (x-1)(y-1) – 1 2 A= y  1 � 3( y  1) 2 � x  1   1 �1 � � 2 � 4 � Đẳng thức xảy ra � x  y  1 Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1. Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = x 2  y 2  xy  x  y Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai. 2 3y 1� 3 2 � Cách 2: Xét biểu thức 9 B  � 3x  1    3 y  1  3 �3 � 2 � 4 � 1 1 Khi đó: min B   khi x  y  3 3 Bình luận: Bất đẳng thức a 2 �0 a �R được vận dụng khá nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 2 2 Bài 6. Tìm max P  2  5 x  y  4 xy  2 x;  maxP  3 � � 9� 2 2 Bài 7. Tìm min P  x  2 xy  6 y  12 x  45; �min P  � 5 8 � 4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng : f  ax + by; trong đó x; y thoả mãn điều kiện cho trước a; b là các hằng số. Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F  2 x  y với điều kiện x 2  y 2  5 . Lời giải Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là 5 . Ký hiệu hình tròn là  C  Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường thẳng. Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn: x 2  y 2  5 Khi đó giữa đường thẳng  có phương trình 2 x  y  F0  0 và đường tròn  C  phải có điểm chung. Điều kiện đó tương đương với: d  O;   � 5 ۣ  F0 5 ۣ F0 5 5 � 5 �F0 �5 Nhận thấy khi F0  5; F0  5 ứng với hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại các tiếp điểm  2;1 ;  2; 1 . Vậy min F  5; MaxF = 5 . 9 Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng F=a.x+b.y và điều kiện là x 2  y 2  R 2 ; ta có thể khái quát cách giải. Điều kiện của bài toán có thể điều chỉnh là: x 2  y 2 �R 2 khi đó cách giải vẫn tương tự. Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  3x  4 y với điều kiện 2 2 � 2� �x  �  y  2  �25 . � 3� Lời giải 2 2 � 2� Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với x; y thoả mãn �x  �  y  2  �25 � 3� Khi đó giữa đường thẳng có phương trình 3 x  4 y  F0  0 và hình tròn 2 2 � 2� �x  �  y  2  �25 phải có điểm chung. � 3� Điều đó tương đương với: 10  F0 �5 5 � 10  F0 �25 � 25 �10  F0 �25 � 35 � F0 �15 � 15 �F0 �35 Vậy min F  15; MaxF=35 Với tư duy tương tự học sinh cũng có thể tự nghĩ ra các đề toán để luyện tập; tập dượt khả năng sáng tạo ở một khía cạnh nào đó. Khi đó bản thân giáo viên và học sinh sẽ 10 có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo được phương pháp tự học cho các em. Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip. Như vậy ta lại có một loạt bài toán tương tự. Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  2 x  3 y trong đó x; y thoả mãn: 4 x 2  9 y 2  1 . Lời giải Nhận xét: Điều kiện của bài toán thoả mãn phương trình của một Elip. Tuy nhiên trong trường hợp này và các trường hợp điều kiện tương tự thì ta có thể đưa điều kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phương trình đường tròn bằng các phép đổi biến. x2 y 2  1 Ta có phương trình của Elip : 1 1 4 9 Đặt x  1 9 3 2 2 .z  z . Khi đó Elip biến thành đường tròn có phương trình: z  y  9 4 2 và F  3z  3 y . 1 2 2 Gọi Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với z; y thoả mãn: z  y  9 Chứng tỏ đường thẳng có phương trình 3 z  3 y  F0  0 và đường tròn có phương trình z2  y2  1 phải có điểm chung. 9 11 Điều đó tương đương :  F0 1 � 18 3 �  F0 � 2 �  2 �F0 � 2 Vậy min F   2; MaxF= 2 2 2 Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho là : mx  ny  r ;  m, n, r  0  thì ta có cách đổi biến : x  y2  z2  n z và khi đó sẽ biến Elip về đường tròn có phương trình m r n ;F a z  by n m Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với những số liệu khác nhau. Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y biết rằng x2 y 2   1. 4 9 Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  3 x  y biết rằng 2 3x 2  2 y 2  1 . Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y biết rằng  x  2 2  8  y  3  8 . 2 3x  4 y  m � Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ �2 2 �x  y  9 12 có nghiệm? Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng F  x 2  y 2 và 2 2 điều kiện x; y thoả mãn:  x  a    y  b   R 2 . Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho đường tròn (O; R ) và điểm P không trùng với tâm của đường tròn đó. Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai điểm A; B. Với mọi điểm M trên đường tròn ta có: min  PA; PB  �PM �max  PA; PB  Chứng minh : Giả sử P nằm trên bán kính OA, ta có : PM �OM  OP  OA  OP  PA PM �OM  OP  OB  OP  PB Vì min  PA; PB  �PA; PB �max  PA; PB  Vậy min  PA; PB  �PM �max  PA; PB  . Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự. Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x 2  y 2 biết x; y thoả mãn  x  2 2   y  1  4 . 2 Lời giải Đặt  C  là đường tròn có tâm I  2;1 ; R  2 . Đường thẳng OI có phương trình là: x  2 y  0 Gọi A; B là giao điểm của đường tròn  C  với đường thẳng OI    � A 10  4 5;5  2 5 ; B 10  4 5;5  2 5 13  Xét M  x; y  � C  khi đó F  x 2  y 2  OM 2 . Sử dụng mệnh đề đã chứng minh ta có min  OA2 ; OB 2  �F �max  OA2 ; OB 2  OA2  225  100 5 OB 2  225  100 5 Vậy  5;  x  10  4 min F  225  100 5; x  10  4 5; y  5  2 5 max F  225  100  5; y  5  2 5  Tới đây ta chỉ việc thay điều kiện là một đường tròn khác thì sẽ có những bài toán khác nhau. Việc giải các bài toán đó là tương tự. 5. Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Trong chương trình phổ thông học sinh chỉ được giới thiệu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). Do đó trong phương pháp này tôi xin được giới thiệu việc áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân vào tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất. Kỹ thuật 1 Thêm, bớt, tách. Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết sức linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người làm toán. Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau: a m nm a at t  b a a  a r .a1r  ... b n n Bài 16. Cho x  0; y  0 và x  y �1 . 14 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 1   4 xy 2 x y xy 2 Lời giải Ta viết lại biểu thức � 1 � 1 � 1 �1 P  �2     4 xy � � 2 2 xy � �x  y � 4 xy �4 xy � �2 � 1  x 2  y 2  2 xy 4  x  y 2   1  x  y Ví dụ với x  y  2 1  x  y 2 2 22 1 4 xy 4 xy 5  x  y 2 ;  AM  GM  �2  5  7 1 thì P  7 2 Vậy min P  7 3x 4  16 Bài 17. Cho x  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x3 Lời giải Ta có A  3x  16 x3 � A x x x 16 16 �4 4 x.x.x. 3  8 3 x x Dấu bằng xảy ra � x  2 Vậy min A  8 3 2 Bài 18. Cho x; y; z  0; x  y  z � . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 15 P 1 1 1   x yz x y z Lời giải Ta viết lại biểu thức: � �1 �1 � �1 � P  �  4 x � �  4 y � �  4 z � 3  x  y  z  �x � �y � � �z �2 1 1 1 3 9 15 4x  2 4 y  2 4 z  3.  4  4  4   x y z 2 2 2 1 2 Ví dụ với x  y  z  ; P  15 15 . Vậy min P  2 2 Bình luận: Tại sao ta không sử dụng luôn việc ghép cặp: � 1� � 1� � 1� P  �x  � �y  � �z  ��6 ? � x�� y� � z� Khi đó dấu bằng xảy ra � x  y  z  1 không thỏa mãn điều kiện của đầu bài ! Do vậy phép biến đổi như vậy không thoả mãn yêu cầu ! Khi làm toán cực trị cần hết sức chú ý trường hợp dấu bằng xảy ra. Bài 19. Cho a; b; c  0; a  b  c  2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 b2 c2 P   bc ca ab Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau: 16 a2 bc  �a bc 4 b2 ca  �b ca 4 c2 ab  �c ab 4 Cộng vế với vế ta được: P  1 �a  b  c  2  P 1 2 3 Giả sử với a  b  c  � P  1 Vậy min P  1 Bài 20. Cho x, y, z  0; x  y  z �1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x5 y 5 z 5 P 4  4  4 y z x Lời giải. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau: x5  y  y  y  y �5 5 x 5  5 x 4 y y5  z  z  z  z �5 5 y 5  5 y 4 z z5  x  x  x  x �5 5 z 5  5 z 4 x Cộng vế với vế ta được: P �x  y  z �1 17 1 3 Ví dụ khi x  y  z  � P  1 . Vậy min P  1 Một số bài tập vận dụng: Bài 21. Cho x, y  0; x  y �1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Bài 22. Cho P x, y  0; x  y  1 . 1 1  x 2  y 2 xy Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2   4 xy 2 x y xy 2 Bài 23. Cho a, b, c  0; a 2  b 2  c 2  1 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c   b2  c 2 c 2  a 2 a 2  b2 Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1 1   cosA cosB cosC Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội) Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất. Bài 25. Cho a, b, c � 0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a b c     1  a  1  b  1  c b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải. Giả sử a  max  a;b;c . Khi đó ta có các đánh giá sau: 18 b b � ;  1 a+c+1 b  c  1 c c � ; 2 a  b 1 b  c 1 Lại có theo bất đẳng thức AM-GM thì: 3 1 b 1 c  b  c 1�  1  b   1  c   b  c  1 �� � � 1 3 � � 1 �  1  b  1  c � b  c 1 Do 1  a �0 1 a �  1  a  1  b  1  c � ;  3 b  c 1 a  b  c 1 a 1 b  c 1 Từ (1); (2) và (3) ta có: P � Dấu bằng xảy ra ví dụ với a  b  c  1 Một số bài tập vận dụng: Bài 26. Cho a; b; c � 0;2 ; a  b  c  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b2  c 2 Q  a 3  b3  c 3 Bài 27. Cho a; b; c � 1;3 ; a  b  c  6. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a 2  b2  c 2 6. Phương pháp hình học, vector, toạ độ. Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau: r r r r u  v �u  v ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng hướng. 19 rr r r u.v �u . v ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector cùng phương. r r r2 u �0 ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u  0 Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB  BC �AC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB  AC �BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B. Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của f  x   x 2  4 x  5  x 2  10 x  50 Lời giải. Tập xác định D  R Ta có: f  x    x  2 2 1   x  5 2  25 Đặt M  x;0  ; A  2;1 ; B  5;5  Suy ra f  x   MA  MB �AB  5 4 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  . Vậy Max f  x   5 . Bài 29. Cho x, y, z  0 : x 2  xz  z 2  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2 ;  min P  2  Bài 30. Cho a, b, c, d  0 : a 2  b 2  c 2  d 2  5 Tìm giá trị lớn nhất của P  5  a  2b  5  c  2d  5  ac  bd 20
- Xem thêm -