Tài liệu Skkn kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7

Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ “KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU CỦA CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 7 ” 1/. Lí do chọn đề tài: Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi. Luật Giáo dục 2005(điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐBGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”. Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và Sáng kiến kinh nghiệm 1 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải. Tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót đó nữa nên tôi đã nghiên cứu đề tài: “KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU CỦA CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 7 ”. 2/.Đối tượng nghiên cứu: - Nhằm nắm lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I . - Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp - Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. - Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến kết quả học kì một. - Học sinh có học lực khá, giỏi. - Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới 3/.Phạm vi nghiên cứu: - Học sinh có học lực khá, giỏi của lớp 7 trường THCS để so sánh kết quả. 4/.Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan. - Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp. - Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. - Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. - Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I. Giả thiết khoa học đặt ra Học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ Sáng kiến kinh nghiệm 2 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…). Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt. PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1/.Cơ sở lý luận: Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII(1-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (121996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh. Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu . tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo Sáng kiến kinh nghiệm 3 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết. Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình. Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản. rên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ. 2/.Cơ sở thực tiễn: Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất. Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh : - Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể - Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán. Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7. Sáng kiến kinh nghiệm 4 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 3/.Nội dung vấn đề: 3.1. Lý thuyết: a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số Ta còn viết: a c = . b d a : b = c : d. Trong đó: a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài) b và c là các trung tỉ (số hạng trong). b. Tính chất của tỉ lệ thức: Tính chất 1: Nếu a c = b d a c = thì a.d = b.c b d Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức: a c a b d c d b = ; = ; = ; = . b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức a c a b d c d b = suy ra các tỉ lệ thức: = , = , = b d c d b a c a c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c a c a+c a−c = suy ra = = = , (b ≠ ± d) b d b d b+d b−d a c i Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = j ta suy ra: a c i a+c+i a−c+i = = = = , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b d j b+d + j b−d + j Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n ≥ 2): a a1 a2 a3 = = = ... = n thì b1 b2 b3 bn a a + a + a + ... + an a1 − a2 + a3 + ... − an a1 a2 a3 = = = ... = n = 1 2 3 = b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + ... + bn b1 − b2 + b3 + ... − bn (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Sáng kiến kinh nghiệm 5 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán. chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: x y z = = . a b c Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c 3.2. Các giải pháp thực hiện: Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong quá trình giải toán . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải , sự nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>” Ví dụ: x y x y = (⇒) = thì các em lại dùng dấu “=” là sai. 9 5 d 9.3 5.3 Hãy tìm x, y, z biết Giải: x y z = = và x +y + z = 12 5 3 4 x y z x + y + z 12 x = = (⇒) = = 1 vậy = 1 ⇒ x = 5.1 = 5 S 5 3 4 5 + 3 + 4 12 5 Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai. Vì vậy tôi đưa ra một số dạng toán nhỏ giúp các em không còn sai sót trong lời giải của mình: 1. Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước 2. Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước. 3. Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng. 3.3. Các dạng toán: 3.3.1/Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước. Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó. Sáng kiến kinh nghiệm 6 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Bài 1.1: cho a c a c = chứng minh rằng = . b d a −b c −d GV: đối với bài toán này ta có thể đặt a c = = k hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho trứơc b d để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh. Giải: Cách 1: a c b d b d a −b c −d a c ⇒ = ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒ = = (đpcm) b d a c a c a c a−b c−d Cách 2: a c a b a −b a c = ⇒ = = ⇒ = (đpcm) b d c d c−d a −b c −d Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này) đặt a c = = k suy ra a = bk ; c = dk b d Ta có: a bk bk k = = = (1) a − b bk − b b(k − 1) k − 1 c dk dk k = = = (2) c − d dk − d d (k − 1) k − 1 Từ (1) và (2) suy ra a c = a −b c −d Bài 1.2. Chứng minh rằng : Nếu a c a+b c+d = ≠ 1 thì = với a, b, c, d ≠ 0. b d a −b c −d Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1 Giải: Cách 1 : Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: ⇒ a c a c a +b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = b d b d b d a+b b = (1) c+d d a c a−b c−d a −b b = ⇒ = ⇒ = (2) b d b d c−d d Từ (1) và (2) => a +b a −b a+b c+d = ⇒ = (đpcm) c+d c−d a −b c −d Sáng kiến kinh nghiệm 7 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Cách 2: Đặt a+b a c = = k suy ra a = bk ; c = dk b d bk + b b.(k + 1) k +1 Ta có a − b = bk − b = b.(k − 1) = k − 1 (1) c + d dk + d d .(k + 1) k + 1 = = = (2) c − d dk − d d .(k − 1) k − 1 Và Từ (1) và (2) suy ra Bài 1.3: Nếu a+b c+d = . a −b c −d a c = thì: b d a, 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d b, a 2 + b 2 ab = c 2 + d 2 cd GV: - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d? Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải theo cách 3 Giải: a. Từ a c a b 5a 3b 5a 5c 5a + 3b 5c + 3d = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (áp dụng kết quả b d c d 5c 3d 3b 3d 5a − 3b 5c − 3d của bài 2 ) b. Từ Từ a c a b a 2 b2 a 2 + b2 = ⇒ = ⇒ 2 = 2 = 2 (1) b d c d c d c +d2 a c a b a a b a a 2 ab = ⇒ = ⇒ . = . ⇒ 2 = (2) b d c d c c d c c cd a 2 + b 2 ab Từ (1) và (2) suy ra 2 2 = (đpcm) c +d cd Sáng kiến kinh nghiệm 8 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu a 2 = bc thì a+b c+a = điều đảo lại có đúng hay a −b c −a không? Giải: a c b a a c b a + Ta có: a 2 = bc ⇒ = ⇒ = = a +b a −b a +b c+a = ⇒ = c+a c−a a −b c −a + Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy: Ta có: a+b c+a = a −b c −a ⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a) hay ac − a 2 + bc − ab = ac + a 2 − bc − ab ⇒ 2bc = 2a 2 ⇒ a 2 = bc Bài 1.5:Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d ) (2) đk: b;d≠0 thì a c = b d Giải: Ta có: a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3) Từ (3) và (2) ⇒ c ( b + d ) = ( a + c) d ⇒ cb + cd = ad + cd ⇒ cb = ad ⇒ a c = (đpcm) b d 3.3.2/ Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước. Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c. Ta làm như sau: x y z x+ y+z s s s s = = = = .a ; y = .b ; z = .c do đó x = a b c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c Sáng kiến kinh nghiệm 9 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Bài 2.1: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: x y y z = ; = và x + y – z = 10. 2 3 4 5 Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số y y và có hai số hạng trên 3 4 giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12 từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12 Giải: BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau: • x y x y 1 = ⇒ = ( nhân cả hai vế với 2 3 8 12 4 • y z y z 1 = ⇒ = ( nhân cả hai vế với ) 4 5 12 15 3 Từ (1) và (2) ) (1) (2) x y z = = . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 8 12 15 x y z x + y − x 10 = = = = =2 8 12 15 8 + 12 − 15 5 Vậy: x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; Bài 2.2. Tìm x, y, z biết: z = 15.2 = 30 x y z = = và 15 20 28 2 x + 3 y − z = 186 GV : Bài cho 2 x + 3 y − z = 186 Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức 2 x + 3 y − z = 186 ? Giải: Từ x y z 2x 3y z = = = = hay . 15 20 28 30 60 28 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: Sáng kiến kinh nghiệm 10 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 2x 3y z 2 x + 3 y − z 186 = = = = = 3. 30 60 28 30 + 60 − 28 62 2x = 3.30 = 90 ⇒ x = 90:2 = 45 Suy ra : 3y= 3.60 = 180 ⇒ y = 180:3 = 60 z = 3.28 = 84 Bài 2.3. Tìm x, y, z cho: x y y z = và = và 2 x + 3 y − z = 372 3 4 5 7 GV : Nhận xét bài này và bài 2.2 có gì giống nhau? Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Giải: BCNN(4;5)=20 nên ta biến đổi như sau: Ta có: x y x y 1 = ⇒ = (nhân cả hai vế cho ) (1) 3 4 15 20 5 y z y z 1 = ⇒ = (nhân cả hai vế cho ) (2) 5 7 20 28 4 Từ (1) và (2) suy ra x y z = = 15 20 28 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 2.4. Tìm x, y, z biết x y y z = và = và x + y + z = 98 2 3 5 7 GV : tương tự bài tập 2.1. Tìm BCNN(3 ;5)=15. ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 2.5. Tìm x, y, z biết: a. x −1 y − 2 z − 3 = = ( 1) và 2x + 3y –z = 50 2 3 4 b. 2x 3y 4z = = ( 2 ) và x + y +z = 49 3 4 5 Giải: Sáng kiến kinh nghiệm 11 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 a. Ta biến đổi (1) như sau : 2.( x − 1) 3.( y − 2) z − 3 2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 = = = = hay 2.2 3.3 4 4 9 4 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2 x − 2 + 3 y − 6 − z + 3 ( 2 x + 3 y − z ) + −2 − 6 + 3 50 − 5 = = = = = =5 4 9 4 4+9−4 9 9 x −1 = 5 ⇒ x = 11 2 y−2 = 5 ⇒ y = 17 3 z −3 = 5 ⇒ z = 23 4 b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z Giải: Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12 2x 3 y 4z 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = = = hay 3 4 5 3.12 4.12 5.12 18 16 15 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x+ y+z 49 = = = = =1 18 16 15 18 + 16 + 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 2.6. tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30. Giải : Từ 2a = 3b suy ra a b = 3 2 Từ 5b = 7c suy ra b c = 7 5 Ta tìm BCNN(2,7) = 14. Sáng kiến kinh nghiệm 12 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Từ a b a b a b = ⇒ = ⇒ = (1) 3 2 3.7 2.7 21 14 Từ b c b c b c = ⇒ = ⇒ = (2) 7 5 7.2 5.2 14 10 Từ (1) và (2) ta có: Từ a b c = = 21 14 10 a b c 3a 7b 5c 3a 7b 5c = = ⇒ = = ⇒ = = 21 14 10 3.21 7.14 5.10 63 98 50 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3a 7b 5c = = 63 98 50 3a 7b 5c 3a + 5c − 7b 30 = = = = =2 63 98 50 63 + 50 − 98 15 Từ đó ta tính được a = 42; b = 28; c = 20 Bài 2.7. Tìm các số a1, a2, …a9 biết: a −9 a1 − 1 a 2 − 2 = = ... = 9 và a1 + a 2 + ... + a 9 = 90 9 8 1 Giải : Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a − 9 ( a1 + a 2 + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) 90 − 45 a1 − 1 a 2 − 2 = = ... = 9 = = =1 9 8 1 9 + 8 + ... + 1 45 Từ đó dễ dàng suy ra : a1 = a2 = a3 = ... = a9 = 10 Bài 2.8. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng 8 số học 9 17 số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi 16 lớp. Giải: Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta có: 8 9 x + y + z = 153, y = x , z = Sáng kiến kinh nghiệm 17 y. 16 13 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Do z = z 17 17 z y y nên = = hay (1) y 16 16 17 16 8 9 Do y = x nên y 8 y x y x = hay = hay = (2) x 9 8 9 16 18 Từ (1) và (2) ta có x y z = = . 18 16 17 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z x+y+z 153 = = = = =3 18 16 17 18+16+17 51 Từ đây tìm được x = 54; y = 48; z = 51. Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51. Bài 2.9: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m 3 . biết rằng thời gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể? Giải: Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m3), y (m3), z(m3) Theo bài ra ta có: x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z. Từ 3x = 4y = 5z suy ra 3x 4 y 5z x y z = = = = hay (2). 60 60 60 20 15 12 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có: x y z x+y+z 235 = = = = =5 20 15 12 20+15+12 47 Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60 Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m3 , 75m3 và 60m3 Bài 2.10: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số thứ nhất với số thứ 2 là Sáng kiến kinh nghiệm 5 10 , của số thứ nhất với số thứ ba là . 9 7 14 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) = 3150 x 5 x y x y = hay = hay = y 9 5 9 10 18 (1) x 10 x z = hay = z 7 10 7 (2) Từ (1) và (2) ta có : x y z = = 10 18 7 Đặt x y z = = =k 10 18 7 ⇒ x = 10k = 2.5.k  2  ⇒ y = 18.k = 3 .2.k  ⇒ BCNN (x, y, z)=2.5.k.3 .7  ⇒ z = 7.k  2 Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7 = 2.32.52.7 Từ đó suy ra : k = 5 Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35 Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35. 3.3.3/ Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng x a Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = p và y = b . x a p Đặt y = b = k , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p ⇒ k 2 = . ab Từ đó tìm được k rồi tính được x và y. Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau: x y xy = = (sai) a b ab Bài 3.1: tìm hai số x và y, biết rằng x y = và xy = 10. 2 5 Giải: Sáng kiến kinh nghiệm 15 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Đặt x y = = k , ta có x=2k, y=5k. 2 5 Vì xy=10 nên 2k.5k=10 ⇒ 10k 2 = 10 ⇒ k 2 = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = −1 + với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5. + với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5. Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5 x 2 Bài 3.2: Tìm x, y biết rằng: = y và xy = 54 . 3 GV : bài này làm tương tự bài 3.1. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau : Giải: Từ x y x x y x x 2 xy 54 = ⇒ . = . ⇒ = = =9 2 3 2 2 3 2 4 6 6 suy ra x 2 = 4.9 = ( 2.3) = ( 6 ) = ( −6 ) ⇒ x = 6 hoặc x = −6 2 với x = 6 ⇒ y = 2 2 54 =9 6 với x = −6 ⇒ y = 54 = −9 −6 Bài 3.3: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m 2 có chiều rộng bằng 5 chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó. 19 Hướng dẫn: loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm. Giải: Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là x (m) ,y(m). Theo bài cho ta có x . y = 76,95 và x = Đặt 5 x y . y hay = 19 5 19 x y = = k , ta có: x = 5k ; y = 9k 5 19 x .y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76,95 ⇒ 95k 2 = 76,95 ⇒ k 2 = 76,95 : 95 = 0,81 ⇒ k = 0,9 hoặc k = −0,9 . + với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1. Sáng kiến kinh nghiệm 16 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 + với k = - 0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1. Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5 và y= 17,1 Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m). x 2 Bài 3.4: Tìm x và y, biết y = 5 và x.y = 40. x 2 x y Hướng dẫn: Biến đổi y = 5 thành = và làm tương tự bài 3.1 2 5 Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10 Bài 3.5: Tìm x, y và z biết a) b) x y z = = và xyz = 20 . 12 9 5 x y z = = và xyz = 810 2 3 5 4 2 3 c) x + 1 = y − 2 = z + 2 và xyz = 12 Giải : ( Bài này tương tự với bài tìm x,y) a) Đặt x y z = = = k , ta có x = 12k ; y=9k; z=5k . 12 9 5 Vì xyz = 20 nên ( 12k ) . ( 9k ) . ( 5k ) = 20 ⇒ 540k 3 = 20 ⇒ k 3 = 1 3 1 3 1 3 Suy ra x = 12. = 4 ; y = 9. = 3 ; z = 5. = 20 1 1 = ⇒k= . 540 27 3 5 3 5 3 Vậy x = 4; y=3; z= . b) Tương tự câu a: đặt x y z = = = k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k. 2 3 5 vì xyz = 810 nên (2k).(3k).(5k)=810 ⇒ 30k 3 = 810 ⇒ k 3 = 810 : 30 = 27 ⇒ k = 3 . Vậy x = 6; y = 9; z = 15 4 2 3 c) cách 1: x + 1 = y − 2 = z + 2 = k Sáng kiến kinh nghiệm 17 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Suy ra k( x + 1) = 4 ⇒ kx = 4 – k (1) k( y – 2) = 2 ⇒ ky = 2 + 2k (2) k( z + 2) = 3 ⇒ kz = 3 – 2k (3) Nhân (1),(2) và (3) vế ta được : k 3 xyz = 4k 3 − 18k 2 + 2k + 24 12 3 = 4k 3 − 18k 2 + 2k + 24 8k 3 + 18k 2 − 2k − 24 = 0 8k 3 − 8k 2 − 26k 2 − 26k + 24k − 24 = 0 8k 2 (k − 1) + 26k (k − 1) + 24(k − 1) = 0 (k − 1)(8k 2 + 26k + 24) = 0 ⇒ k = 1 1.( x + 1) = 4 ⇒ x = 3  ⇒ 1.( y − 2) = 2 ⇒ y = 4 1.( z + 2) = 3 ⇒ z = 1  4 2 3 x +1 y−2 z+2 = = =h Cách 2: x + 1 = y − 2 = z + 2 ⇒ 4 2 3 Suy ra: x = 4h – 1 (1) y = 2h + 2 (2) z = 3h – 2 (3) x = 3  Tiếp tục giải như cách 1, ta được:  y = 4 x = 1  Bài 3.6: Diện tích một tam giác bằng 27 cm 2. biết rằng tỉ số giữa một cạnh và đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. tính độ dài cạnh và đường cao nói trên. Giải: (Phải nhớ lại công thức tính diện tích tam giác: 1 .a.h trong đó a là độ dài 2 cạnh ứng với đường cao h). Gọi độ dài cạnh và đường cao nói trên lần lượt là a (cm) và h (cm). Theo bài ra ta có: 1 a .a.h = 27 và = 1,5 2 h Sáng kiến kinh nghiệm 18 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 Từ 1 a .a.h = 27 ⇒ a.h = 54 (1) và từ = 1,5 ⇒ a = 1,5h (2) . 2 h Thay a = 1,5h vào (1) ta có (1,5h).h = 54 ⇒ 1,5h 2 = 54 ⇒ h 2 = 36 ⇒ h = 6 hoặc h = −6 . Do h là độ dài của đường cao tam giác nên h = 6 . h = 6 nên a = 9. Vậy độ dài cạnh là 9(cm); độ dài đường cao là 6(cm). 4/.Kết quả nghiên cứu vấn đề: TSHS Gioûi Khaù Trung bình Yeáu Keùm Ñaàu naêm 27 SL 2 % 7,4 SL 5 % 18,5 SL 13 % 48,2 SL 5 % 18,5 SL 2 % 7,4 Giöõa HKI 27 3 11,1 7 25,9 11 40,7 4 15,2 2 7,4 HKI 27 4 14,8 9 33,3 9 33,3 4 15,2 1 3,4 PHẦN III: KẾT THÚC VẤN ĐỀ 1/.Bài học kinh nghiệm: Ưu điểm: Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: - Không còn sợ dạng toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, dạng toán có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải các bài toán tương tự. - Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài toán đó ở dạng nào. Sáng kiến kinh nghiệm 19 Năm học: 2013 - 2014 Kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7 - Các em có kỹ năng tính toán nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi từ những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải. - Các em không còn sợ dạng toán này nữa. - Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình. Nhược điểm: -Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập cho học sinh. -Toán về chứng minh các đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các đẳng thức phức tạp còn rất nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến. 2/.Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức , tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng cao về tỉ lệ thức và các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Vì vậy, để thực hiện có hiệu quả, chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất: - Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót.. - Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho điều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh. - Sau mỗi bài tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu và ghi nhớ. - Giáo viên phải luôn tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn. Sáng kiến kinh nghiệm 20 Năm học: 2013 - 2014