I.
L Ý do chän ®Ò tµi.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ t×m hiÓu, t«i nhËn thÊy trong ch¬ng tr×nh to¸n
THPT cã nhiÒu bµi to¸n c¬ b¶n, mµ nÕu ta biÕt khai th¸c, gi¶ng d¹y vµ ®Þnh híng kü n¨ng vËn dông cã hÖ thèng cho häc sinh th× sÏ rÊt hiÖu qu¶.
Häc sinh sÏ dÔ dµng gi¶i ®îc nhiÒu bµi to¸n th«ng qua viÖc vËn dông
nh÷ng kÕt qu¶ ®îc t¹o ra tõ bµi to¸n c¬ b¶n. NÕu ta khai th¸c øng dông bµi to¸n
c¬ b¶n tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p sÏ t¹o nªn sù høng thó say mª
cña häc sinh ®èi víi m«n to¸n, bëi ®iÒu ®ã ®¶m b¶o sù tiÕp nhËn th«ng tin cã
hÖ thèng, phï hîp víi sù ph¸t triÓn t duy cña häc sinh
NhiÒu bµi to¸n nÕu vËn dông kiÕn thøc tõ bµi to¸n c¬ b¶n sÏ cho ph¬ng
¸n gi¶i ®éc ®¸o ®Çy tÝnh t duy s¸ng t¹o vµ hiÖu qu¶.
Trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i ®Ò cËp vÒ mét ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n
nh chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc, gi¶i
ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh . . .Tuy vÊn ®Ò kh«ng míi nhng t«i cè g¾ng hÖ
thèng l¹i vÊn ®Ò trªn c¬ së ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n trong SGK h×nh
häc 10 vµ ph¬ng ph¸p sö dông to¹ ®é vÐct¬ trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT.
Th«ng qua ®Ò tµi nµy t«i thÊy thùc sù cã Ých cho häc sinh khi thªm mét
c«ng cô, mét c¸ch nh×n nhËn ®Çy ®ñ h¬n vÒ ph¬ng ph¸p h×nh häc vÐct¬ trong
ch¬ng tr×nh to¸n THPT.
Häc sinh dÔ hiÓu vµ dÔ ¸p dông, cã ®Þnh híng râ rµng khi vËn dông vµo
gi¶i to¸n .
§Ò tµi cã tªn lµ:
“ Khai th¸c s©u tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n cña s¸ch gi¸o khoa ”
II.
Néi dung ®Ò tµi.
XuÊt ph¸t tõ bµi to¸n c¬ b¶n sau:
Cho hai vÐct¬ a , b tuú ý ta lu«n cã: a b a b
(1)
(Bµi tËp sè 4 SGK h×nh häc c¬ b¶n líp 10 trang 27)
CM:
" Víi 3 ®iÓm A,B,C bÊt k× ta lu«n cã: AB+BC AC"
(*)
DÊu "=" xÈy ra A,B,C th¼ng hµng vµ B n»m gi÷a AC.
B
Tõ ®iÓm A bÊt k× ta dùng: AB a , BC b
Dùa vµo (*) ta lu«n cã:
a
b
AC AB + BC AC AB BC
A
a b
C 1
.
DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi a cïng chiÒu b ( a =k b , k>0 ) .
Lu ý: - VÐc t¬ 0 cïng chiÒu víi mäi vÐct¬ .
- Tõ bµi to¸n trªn ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:
1.1) a b a b
1.2) a b a b a b
(B¹n ®äc tù chøng minh).
NhËn xÐt: C¸c kÕt qu¶ trªn chÝnh lµ mèi liªn hÖ gi÷a 3 c¹nh cña mét tam gi¸c.
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn:
Víi n vÐct¬: a , a , . .. , a ta lu«n cã: a a ... a a a ... a . (2)
CM: Tõ ®iÓm A bÊt k× ta dùng: AA a , A A a , …, A A a .
Do víi n+1 ®iÓm A,A1,A2,…,An ta lu«n cã :AA1+A1A2+…+An-1An AAn
Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi a , a , . .. , a cïng chiÒu.
Th«ng qua c¸c vÊn ®Ò trªn, ta khÐo lÐo lùa chän to¹ ®é cña ®iÓm , to¹ ®é cña c¸c
vect¬, mét c¸ch hîp lý. Sau ®ã tÝnh to¹ ®é cña tæng (hiÖu) vÐct¬, cïng víi ®é dµi cña
chóng ®Ó chuyÓn vÒ bµi to¸n vÐct¬ cã c¸ch gi¶i nhanh gän, ®éc ®¸o vµ mang tÝnh t
duy s¸ng t¹o .
Mét sè bµi tËp øng dông.
A. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè.
Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã:
a b a b
1
1
n
2
1
2
1
1
1
2
n
2
1
2
m 1
2
n
n
n
n
a 2 2a 2 a 2 2a 2 2 2
Gi¶i:
Ta cã : a 2a 2 a 2a 2 a 1 1 a 1 1
Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän : a a 1;1 a a 2a 2 ;
b a 2a 2 ;
b 1 a; 1
Khi ®ã ta cã: a + b = ( 2 ; 2 ) a b 2 2 2 2
Tõ (1) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi a =k b (k >0). (V× a 0 ; b 0 )
a 1 1
0 a 0
1 a 1
Bµi 2. Cho a, b, c lµ 3 sè thùc kh¸c kh«ng. Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 ( a b c)
Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän:
a 1 = a; b ; a = b; c ; a
Khi ®ã ta cã: a a b ; a b
2
2
1
2
2
2
2
Gi¶i:
3
(c; a )
c
a1 a 2 a 3 (a b c) (a b c)
Tõ (2) ta cã:
;
2
2
a1 + a2
2
a3 c a
+ a =(a+b+c;a+b+c).
3
2
2 a b c 2 ( a b c)
a1 a 2 a 3 a1 a 2 a 3
a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 ( a b c)
(§pcm)
a 0; b 0; c 0
a b c
a=b=c>0.
b c a
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi:
Khi trong bµi to¸n B§T ®¹i sè cã ®iÒu kiÖn ta cÇn ph¶i vËn dông linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n kh¸c.
vÝ dô.
2
Bµi 3. Cho c¸c sè d¬ng x,y,z tho· m·n : x+y+z 1. Chøng minh r»ng
x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
x
y
z
(§H-C§ khèi A -2003)
Gi¶i:
Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän:
Do:
a
+ b + c =(x+y+z ;
a
1 1 1
x y z
= x;
1
x
;
b
= y; 1y ;
c
= z;
1
z
1 1 1
a b c ( x y z ) 2
x y z
)
2
a b c a b c
VT
1 1 1
( x y z ) 2
x y z
2
=
2
1 1 1
81( x y z ) 2 80( x y z ) 2
x y z
1 1 1
18( x y z ) 80( x y z ) 2
x y z
(§pcm)
18.9 80 82
DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z = 1 .
3
Bµi 4. Cho x,y,z lµ 3 sè bÊt k× tho· m·n : x+2y+3z = 1. CMR
1 x 2 2 1 y 2 3 1 z 2 37
Ta cã 1 x 2 1 y 3 1 z 1 x
Khi ®ã trong mÆt ph¼ng Oxy ta chän:
2
2
2
2
2 2 ( 2 y ) 2 3 2 (3 z ) 2
OA 1 x
AB 2 (2 y )
BC 3 (3 z )
OC 6 ( x 2 y 3z )
1 x 2 1 y 3 1 z
2
OA (1 ; x )
2
AB ( 2 ; 2 y )
2
2
BC (3;3 z )
2
2
OC (6 ; x 2 y 3 z )
Do :
Gi¶i:
OA AB BC OA AB BC
2
2
2
2
37
37
(§pcm)
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi: OA , AB , BC cïng chiÒu x=y=z = 1 .
6
Bµi to¸n 4 ®îc tæng qu¸t nh sau:
Cho a,b,c,h lµ 4 sè d¬ng. 3 sè x,y,z thay ®æi tho· m·n: ax+by+cz=k (kh«ng ®æi).
CMR : a h x b h y c h z k (a b c) h
Bµi 5. Cho 4 sè a,b,c,d tho· m·n ®iÒu kiÖn: a 2 b 2 c 2 d 2 5 . CMR
2
2
2
2
5 a 2b
Ta biÕn ®æi:
2
2
2
5 c 2d
Gi¶i:
2
2
5 ac bd 3 10
5 a 2b
a 2 b 2 2a 4b 5
1
2
2
a 1 2 b 2 2
5 c 2d
c 2 d 2 2c 4d 5
1
2
2
c 1 2 d 2 2
5 ac 2bd
a 2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd
1
2
2
a c 2 b d 2
Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ta lùa chän:
u1 ( a; b) ; v1 ( 1; 2) u 1 v1 ( a 1; b 2)
u
v
u v
Do
(a 1) (b 2) a b ( 1)
1
1
1
1
2
2
2
2
2
( 2) 2
=2
5
3
5 a 2b
T¬ng tù ta cã:
XÐt: u 2 (a; b)
Do u v u v
2
2
2
5 ac 2bd
a 1 2 b 2 2
2
; v 2 ( c; d )
Céng theo vÕ ta cã
2
2 5 10
u 2 v 2 ( a c; b d )
2
(a c) (b d ) 2 a 2 b 2 ( c) 2 ( d ) 2
1
a c 2 b d 2
2
1
5 c 2d 10
2
1
1
5 a 2b
(§pcm)
5 ac bd 3 10
b 2a
d 2c
2
2
a b 5
c 2 d 2 5
NhËn xÐt:
NÕu u (a; b) ; v(c; d ) th× ta lu«n cã: (a c) (b d ) a b
Bµi 6: Cho 2n sè thùc: a1 , a 2 ,...a n ; b1 , b2 ,...bn
tho· m·n : a1 a 2 ... a n b1 b2 ... bn 1 .
2
CMR:
2
2
2
Gi¶i:
2
c2 d 2
.
.
OA1 a12 b12
OA2 a 22 b22
…
OAn (a n ; bn )
Do :
2
a12 b12 a 22 b22 ... a n2 bn2
Trong mp to¹ ®é Oxy ta xÐt c¸c vÐct¬:
OA1 ( a1 ; b1 )
OA2 ( a 2 ; b2 )
...
5
2 5 = 10
2
5 c 2d
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi
=2
OAn a n2 bn2
OA1 OA2 . . . OAn ( a1 a 2 ... a n ; b1 b2 ... bn )
OA OA . . . OA
a n2 bn2 ( a1 a 2 . . . a n ) 2 (b1 b2
OA1 OA2 . . . OAn
2
1
2
1
2
2
2
2
a b a b ...
1
2
n
2
1
1
2x
2
2
Ta l¹i cã : x2+y2 = x2+(1-x)2=2x2-2x+1=
VËy:
a12 b12 a 22 b22 ... a n2 bn2
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi:
1
2
2
2
. . . bn ) 2
= x y
(Víi x+y=1)
2
2
1
2
(§pcm).
OA1 ; OA2 ; . . .OAn
cïng chiÒu vµ
1
1
a1 a 2 ... a n b1 b2 ... bn a1 a 2 ... a n b1 b2 ... bn
2n
2
a, b, c 0
3 Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
Bµi 7. Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n
abc
2
a2
Trong hÖ trôc Oxyz .
1
1
2
2
b
c
+
b2
1
1
2
2
c
a
+
Gi¶i:
c2
1
1
2
2
a
b
3
33
2
4
Ta lùa chän:
u
1 1
a; ;
b c
1 1
v =b; ;
c a
=
w
Do :
u
u
= c ;
1 1
;
a b
+ v + w = a b c ;
+
v
w
u
1
1
2
2
b
c
b2
v
a2
1
1
2
2
c
a
1
1
2
2
a
b
c2
w
1 1 1 1 1 1
;
a b c a b c
c
c
a
a
2
( a b c) 2
2
u v w
a 2 12 12 + b 2 12 12 + c 2 12 12
b
1 1 1
u v w (a b c) 2 2
a b c
1 1 1 1
31 1 1 1
16 a b c
16 a b c
b
2
1
2
1 1 1
( a b c) 2 2
a b c
2
2
31 1 1 1
1 1 1
a b c
a
b
c
16
a b c
2
9
9
1 1 1
1 1 1
6
Ta cã: a b c 9
a b c a b c (3 )
a b c
2
VËy: VT
1
2
2
31 1 1 1
1 1 1
a b c
16 a b c
a b c
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi:
Bµi 8. Chøng minh r»ng:
2
a b c
2 cos x sin x cos x
1
1
31 2 3 33
9
6
2
16
2
§pcm.
1
2
Gi¶i:
Trªn mÆt ph¼ng Oxy ta lùa chän c¸c ®iÓm A(cosx ; 0); B (-sinx ; 0) ; C(0 ; cosx).
Khi ®ã ta cã: AB ( sin x cos x ; 0) AB = AB sin x cos x
AC= AC 2 cos x
AC ( cos x ; cos x )
BC= BC 1
BC (sin x ; cos x)
Do AB+AC BC 2 cos x sin x cos x 1
§pcm.
DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi: cosx=0 x k (k Z )
2
§Õn ®©y h¼n b¹n ®äc ®· cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p sö dông vÐct¬ ®Ó gi¶i
quyÕt c¸c bµi to¸n sau:
1 . Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã:
a)
a 2 a 1 a 2 a 1 2
b)
2a 2 8 2a 2 12a 20 6
2. Cho a, b, lµ 2 sè thùc tuú ý. Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
a) a 2 4a 8 10b 2 18b 9 10b 2 2ab a 2 29
b)
3.
5b 2 8b 4 5b 2 8ab 5a 2 2 5a 2 4a 1
6 5
5
Cho a, b, c lµ 3 sè thùc tuú ý. Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
a) a 2 ab b 2 a 2 bc c 2 b 2 bc c 2
b)
(a c) b (a c) b 2 a b
2
c) 10a 24a 16 13b 2 18ab 10a 2 13b 2 6bc c 2 c 2 12c 40 6
2
2
2
2
2
2
2
5
4.
Cho a,b,c,d lµ 4 sè kh¸c nhau. Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:
( x c ) 2 d 2 (a c ) 2 b d
( x a) 2 b 2
5.
2
CMR víi mäi x, y lµ sè thùc ta lu«n cã:
4 cos 2 x cos 2 y sin 2 ( x y )
6.
4 sin 2 x sin 2 y sin 2 ( x y ) 2
Cho c¸c sè d¬ng x,y,z tho· m·n : xyz=1. Chøng minh r»ng
1 x3 y3
xy
1 y3 z3
yz
1 z3 y3
zx
3 3
(§H-C§ khèi D 2005)
a, b, c 0
3 Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n
abc
2
7.
1
+ b 2 12 + c 2 12
2
b
c
a
a1 , a 2 ,...a n ; b1 , b2 ,...bn .
a2
8.
Cho 2n sè thùc:
CMR:
3 17
2
a12 b12 a 22 b23 ... a n2 bn2
( a1 a 2 ... a n ) 2 (b1 b2 ... bn ) 2
9.
Cho 3 sè d¬ng a,b,c. Chøng minh r»ng:
a2
10. .
2 ab b 2
b2
3bc c 2 a 2
Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n
Chøng minh r»ng ta lu«n cã:
8 9b 2 c 2 a 2
2
4
a2
3 ac c 2
2
a,b,c 0
a b c 2abc 0
.
2
2 2
2
2 2
+ 82 9c a b + 82 9a b c 6
2
b
4
2
c
4
6
NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p h×nh häc vÐct¬ thêng dïng ®Ó chøng minh c¸c BÊt
®¼ng thøc d¹ng : " "
B. Mét sè bµi to¸n kh¸c.
Mét sè bµi gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng v« tû, bµi to¸n
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt... ë c¸c ®Ò thi häc sinh giái, §¹i häc, Cao
®¼ng. . . nÕu biÕt vËn dông c¸c tÝnh chÊt trªn ta sÏ gi¶i quyÕt mét c¸ch dÔ
dµng, mang tÝnh t duy s¸ng t¹o.
C¸c vÝ dô:
Bµi 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 x 19 7 x 2 8 x 13 13x 2 17 x 7 3 3 ( x 2 )
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 2003).
§iÒu kiÖn: x -2
Ta cã: VT= x 2 x 19
2
2
5 3
1
x
2
2
Ta lùa chän:
a
Do : VT= a
b
Gi¶i:
7 x 2 8 x 13 13x 2 17 x 7
= 5 23 ; x
3x 2 3
1
2
;
b
2
2
=
2
3 3
1
x
(2 x 1) 2 3 x
2
2
2
3 x 2 3 ; 2 x 1
;
c
+ b + c =( 6 3 3 3x ; 0) a b c
c a b c = 3 3 x 2 = 3 3 ( x 2) =VP
a
=
3 3
1
2 3x
; x
2
2
(6
3 3 3 x ) 2 3 3 x 2
(V× x -2)
6
DÊu "=" xÈy ra khi
,b ,
a
c
cïng chiÒu
1
2
x
cïng dÊu -2x+1 x=
1
2
Thö l¹i ta thÊy x =
1
2
lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh.
Bµi 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 4 x 13
x 2 2 x 2 13
Gi¶i
( x 1) 1
Ta viÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng:
Trªn mÆt ph¼ng Oxy ta lùa chän c¸c vÐct¬.
Khi ®ã ta cã: u ( x 2 ; 3)
u x 2 3
v x 1 1
v ( x 1 ;1)
( x 2) 2 3 2
2
2
2
2
2
u v (3 ; 2)
Do (2.2):
DÊu b»ng xÈy ra khi
u
u
v
vµ
u v
u
u v
( x 2)
2
13
2
13
32
( x 1) 2 12 13
:
x2 3
5
0 x
x 1 1
2
cïng chiÒu
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x 5 .
2
Lu ý: ViÖc lùa chän to¹ ®é ph¶i hîp lý ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶ vµ ph¶i "cÈn thËn" khi xÐt
dÊu ®¼ng thøc xÈy ra.
VÝ dô: NÕu ta söa l¹i bµi 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 x 13 x 2 x 2 5
Khi ®ã ta lùa chän c¸c vÐct¬.
2
v
u ( x 2 ; 3)
v ( x 1 ; 1)
u v (3 ; 4)
Do (2.2):
u
v
u
2
u
x 2 2
32
x 1 2
v
12
u v 5
( x 2) 2 3 2
( x 1) 2 12 5
:
vµ u cïng chiÒu x 2 3 0 (V« lý).
x 1 1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
Bµi 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
DÊu b»ng xÈy ra khi
u
x 2 4 x 2 2 xy y 2 1 y 2 6 y 10 5
x 2 y 2 z 2 x y z
1
2
Gi¶i:
Ta cã ph¬ng tr×nh (1) x 2 ( x y ) 1 ( y 3) 1 5
Chän: a =(x ; 2) ; b =(y-x ; 1) ; c =( 3-y ; 1)
a + b + c =(3 ; 4)
a
b
c
a b c
Do
x 2 ( x y ) 1 ( y 3) 1 5
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm a , b , c cïng chiÒu (v× a , b , c 0 )
2
2
2
2
2
2
2
3
2
9
y
4
x y x 3 y
2
1
1
2
x
2
2
2
2
Thay vµo (2) ta cã:
7
15
z
117 2 15
4
9
z z
2 z =
117
15
10
16
4
z 2 z
16
4
VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm :
9
3 9
; ;
10
2 4
Bµi 4.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x y 1
Trong ®ã x, y lµ hai sè thùc tho¶ m·n: 2x- y= 2.
x 2 y 3
2
2
2
(§Ò thi häc sinh giái Quèc gia líp 12 n¨m 1998)
Gi¶i:
Do 2x-y=2 nªn ta cã: y=2x-2 thay vµo P ta cã:
(*)
P = x 2 x 1 x 2 x 5
2
2
=
Ta lùa chän:
a
2
2
2
2
2
1
5 x 2 4 x 1 5 x 2 20 x 25 5 ( x ( x 2) 2 1 )
5
5
=
2 1
x ; ; b
5 5
= 2
x ;1
a
8 6
;
5 5
+ b =
a b 2
Do a b a b nªn ta cã: P = 5 ( a b ) 5 ( a b ) = 2 5 .
DÔ thÊy a , b 0 . DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: a =k b (k>0).
2 1
5 5
2 x 1
x= 2 y=
x
VËy: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 2
5
2
3
3
.
2
x 3
khi
2
y
3
Lu ý: NÕu tõ (*) ta lùa chän a =(x;2x-1) ; b =(-x; 5-2x).
Ta sÏ cã : P 4 minP = 4
Tuy nhiªn kh«ng tån t¹i (x;y) tho· m·n ®iÒu kiÖn P = 4. ( a kh«ng cïng chiÒu
Bµi 5. Cho x,y lµ c¸c sè thùc thay ®æi. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
A = ( x 1) y ( x 1) y y 2
2
Ta lùa chän:
2
2
= 1
a b a b
( x 1) y ( x 1)
VËy ta cã: A = ( x 1) y ( x 1) y
XÐt hµm sè: f(y) = y 2 2 1 y
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(§H-C§ khèi B 2006)
Gi¶i:
x; y ; b = ( x 1 ; y )
a
b
+ b = 2 ; 2 y
a
2
y 2 1 y 2
y 2
y 2 2 1 y2
2
Ta cã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2
x 0
khi y 1
3
3
Bµi 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
y = x 2 px 2 p x 2qx 2q
Gi¶i:
Ta cã: y = ( x p) p ( x q) q .
Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy xÐt 3 ®iÓm : A(p ; p) ; B(q ; q) ; M(x ; 0)
2
2
2
2
2
2
2
2
8
Khi ®ã ta cã: MA = MA ( x p) p
MB= MB ( x q) q
y = MA+MB.
Ta nhËn thÊy A ; B ; O th¼ng hµng , A,B lµ 2 ®iÓm cè ®Þnh .
CÇn t×m ®iÓm M Ox (V× M(x;0)) sao cho MA+MB nhá nhÊt.
§©y lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n vÒ kho¶ng c¸ch.
Ta xÐt c¸c trêng hîp:
TH1: p.q 0 A vµ B cã Ýt nhÊt 1 ®iÓm trïng O , hoÆc O n»m gi÷a AB.
2
2
2
2
y
B
O
M
x
VËy ®Ó y = MA+MB
nhá nhÊt khi vµ chØ khi M
A
O M(0;0) x=0
Tøc lµ: ymin= 2 p 2q = 2 ( p q ) khi x= 0.
TH2: p.q>0 A vµ B n»m cïng mét phÝa víi Ox.
2
2
LÊy A' ®èi xøng víi A qua
®ã ta cã MA=MA'.
Ta cã : y = MA+MB = MA'+MB
VËy ®Ó y nhá nhÊt A', M, B th¼ng hµng
Do A' B (q p; q p) ; A' B ( x p; p)
Nªn ta cã:
q p q p
x p
p
2 pq
pq
x
VËy ymin=A'B = ( p q) ( p q)
KÕt luËn:
NÕu p.q 0 ta cã ymin= 2 ( p
2
NÕu p.q >0 ta cã ymin=
2
2( p 2 q 2 )
q)
2( p 2 q 2 )
Mét sè bµi tËp ¸p dông:
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: a)
M(
Ox , A'(p ; -p). Khi
A' B k A' M
( k 0)
2 pq
; 0)
pq
khi
x
2 pq
pq
khi x = 0.
khi
x
2 pq
pq
x 2 8 x 816
x 2 10 x 267 2003
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 2003).
9
2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
b)
x 2 2x 5
x 2 6 x 10 5
4 cos 2 x cos 2 y sin 2 ( x y ) 4 sin 2 x sin 2 y sin 2 ( x y ) 2
x 2 4 y 2 0
3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
x y z 6
x 2 y z y 2 z x z 2 x y 3 6
x
y
z
Víi x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng.
4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
a)
y = cos 2 x 2 cos x 5 cos 2 x 4 cos x 8
b) y =
c)
5. Cho
y=
1 2
1 2 16
32
1 2
1 2 4
8
x 2
x
x
x 4 x 10
x x
2
2
5
5
2
2
5
5
2 sin x sin x cos x
a, b, c 0
a b c 6
S=
a2
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:
1
1
1
b2
c2
bc
ca
a b
6. T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
x2 x 1
x 2 x 1 m
7. Cho hai sè a, b tho· m·n ®iÒu kiÖn a - 2b +2=0. CMR
8. CMR:
a 2 b 2 6a 10b 34 a 2 b 2 10a 14b 74 6
x2 x 1
x2 x 1 1
III. Thùc nghiÖm s ph¹m.
1. Môc ®Ých thùc nghiÖm.
KiÓm tra tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi.
2. Néi dung thùc nghiÖm.
TiÕn hµnh triÓn khai gi¶ng d¹y theo ®Ò tµi " Khai th¸c s©u tõ mét bµi to¸n
c¬ b¶n cña s¸ch gi¸o khoa ".
3. KÕt qu¶ thùc nghiÖm.
T«i ®îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y c¸c líp khèi, båi dìng häc sinh giái, «n thi
§¹i häc, Cao ®¼ng nhiÒu n¨m. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· vËn dông ®Ò
tµi híng dÉn c¸c em vËn dông vµo gi¶i to¸n. KÕt qu¶ lµ hÇu hÕt c¸c em ®Òu
hiÓu, vËn dông vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n nhanh gän, tr×nh bµy s¸ng sña vµ
chÝnh x¸c, häc sinh rÊt thÝch thó khi gÆp c¸c bµi to¸n thuéc d¹ng nµy.
KÕt qu¶ cô thÓ nh sau.
10
a. Thùc nghiÖm trªn 2 líp t«i gi¶ng d¹y (97 häc sinh) th«ng qua c¸c bµi
kiÓm tra.
KÕt qu¶:
TÇm kiÕn thøc
Sè lîng HS
Tû lÖ
NhËn biÕt
91
94%
Th«ng hiÓu
85
88%
VËn dông
70
72%
b. Trong c¸c kú thi §¹i häc cao ®¼ng:
Khèi B n¨m 2006. Tû lÖ häc sinh lµm ®îc c©u IV kho¶ng 80%
Khèi D n¨m 2005. Tû lÖ häc sinh lµm ®îc c©u V kho¶ng 75%
(C¸c c©u cã d¹ng to¸n thuéc ®Ò tµi ®· nªu)
IV. KÕt luËn
Qua c¸c bµi to¸n minh ho¹ trªn ta thÊy. NÕu biÕt khai th¸c, vËn dông
bµi to¸n c¬ b¶n ph¸t triÓn thµnh hÖ thèng c¸c líp bµi to¸n ta sÏ cã c¸ch nh×n
tæng thÓ h¬n vµ nÕu quy ®îc bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc, th× cã ®Þnh híng
gi¶i cô thÓ nhng hoµn toµn kh«ng mÊt tÝnh t duy, s¸ng t¹o cña häc sinh. Khi
®ã lêi gi¶i bµi to¸n trë nªn gän gµng, Ýt sai sãt. Bëi nã ®¶m b¶o qu¸ tr×nh
nhËn thøc tri thøc: "Tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t duy trõu tîng".
§Ò tµi nµy ®· ®îc kiÓm nghiÖm vµ cho kÕt qu¶ kh¶ quan, nhng cha
réng. T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n c¸c ®ång nghiÖp ®· gãp ý ®Ó hoµn thiÖn ®Ò
tµi. Tuy nhiªn ®Ò tµi ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu khiÕm khuyÕt. T«i rÊt mong
tiÕp tôc nhËn ®îc sù gãp ý cña ®ång nghiÖp.
Mét lÇn n÷a xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
11
- Xem thêm -
.DOC 
11 
94 
104 
