Skkn khai thác sâu từ một bài toán cơ bản của sách giáo khoa thpt

  • Số trang: 11 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

I. L Ý do chän ®Ò tµi. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ t×m hiÓu, t«i nhËn thÊy trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT cã nhiÒu bµi to¸n c¬ b¶n, mµ nÕu ta biÕt khai th¸c, gi¶ng d¹y vµ ®Þnh híng kü n¨ng vËn dông cã hÖ thèng cho häc sinh th× sÏ rÊt hiÖu qu¶. Häc sinh sÏ dÔ dµng gi¶i ®îc nhiÒu bµi to¸n th«ng qua viÖc vËn dông nh÷ng kÕt qu¶ ®îc t¹o ra tõ bµi to¸n c¬ b¶n. NÕu ta khai th¸c øng dông bµi to¸n c¬ b¶n tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p sÏ t¹o nªn sù høng thó say mª cña häc sinh ®èi víi m«n to¸n, bëi ®iÒu ®ã ®¶m b¶o sù tiÕp nhËn th«ng tin cã hÖ thèng, phï hîp víi sù ph¸t triÓn t duy cña häc sinh NhiÒu bµi to¸n nÕu vËn dông kiÕn thøc tõ bµi to¸n c¬ b¶n sÏ cho ph¬ng ¸n gi¶i ®éc ®¸o ®Çy tÝnh t duy s¸ng t¹o vµ hiÖu qu¶. Trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i ®Ò cËp vÒ mét ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n nh chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc, gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh . . .Tuy vÊn ®Ò kh«ng míi nhng t«i cè g¾ng hÖ thèng l¹i vÊn ®Ò trªn c¬ së ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n trong SGK h×nh häc 10 vµ ph¬ng ph¸p sö dông to¹ ®é vÐct¬ trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT. Th«ng qua ®Ò tµi nµy t«i thÊy thùc sù cã Ých cho häc sinh khi thªm mét c«ng cô, mét c¸ch nh×n nhËn ®Çy ®ñ h¬n vÒ ph¬ng ph¸p h×nh häc vÐct¬ trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT. Häc sinh dÔ hiÓu vµ dÔ ¸p dông, cã ®Þnh híng râ rµng khi vËn dông vµo gi¶i to¸n . §Ò tµi cã tªn lµ: “ Khai th¸c s©u tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n cña s¸ch gi¸o khoa ” II. Néi dung ®Ò tµi. XuÊt ph¸t tõ bµi to¸n c¬ b¶n sau: Cho hai vÐct¬ a , b tuú ý ta lu«n cã: a  b  a  b (1) (Bµi tËp sè 4 SGK h×nh häc c¬ b¶n líp 10 trang 27) CM: " Víi 3 ®iÓm A,B,C bÊt k× ta lu«n cã: AB+BC AC" (*) DÊu "=" xÈy ra  A,B,C th¼ng hµng vµ B n»m gi÷a AC. B Tõ ®iÓm A bÊt k× ta dùng: AB a , BC b Dùa vµo (*) ta lu«n cã: a b AC  AB + BC  AC  AB  BC A a b C 1 . DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi a cïng chiÒu b ( a =k b , k>0 ) . Lu ý: - VÐc t¬ 0 cïng chiÒu víi mäi vÐct¬ . - Tõ bµi to¸n trªn ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: 1.1) a  b  a  b 1.2)   a b   a  b  a b (B¹n ®äc tù chøng minh). NhËn xÐt: C¸c kÕt qu¶ trªn chÝnh lµ mèi liªn hÖ gi÷a 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n trªn: Víi n vÐct¬: a , a , . .. , a ta lu«n cã: a  a  ...  a  a  a  ...  a . (2) CM: Tõ ®iÓm A bÊt k× ta dùng: AA a , A A a , …, A A a . Do víi n+1 ®iÓm A,A1,A2,…,An ta lu«n cã :AA1+A1A2+…+An-1An AAn Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi a , a , . .. , a cïng chiÒu. Th«ng qua c¸c vÊn ®Ò trªn, ta khÐo lÐo lùa chän to¹ ®é cña ®iÓm , to¹ ®é cña c¸c vect¬, mét c¸ch hîp lý. Sau ®ã tÝnh to¹ ®é cña tæng (hiÖu) vÐct¬, cïng víi ®é dµi cña chóng ®Ó chuyÓn vÒ bµi to¸n vÐct¬ cã c¸ch gi¶i nhanh gän, ®éc ®¸o vµ mang tÝnh t duy s¸ng t¹o . Mét sè bµi tËp øng dông. A. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã:  a  b a  b 1 1 n 2 1 2 1 1 1 2 n 2 1 2 m 1 2 n n n n a 2  2a  2  a 2  2a  2 2 2 Gi¶i: Ta cã : a  2a  2  a  2a  2   a  1  1   a  1  1 Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän : a  a  1;1  a  a  2a  2 ;  b  a  2a  2 ; b 1  a; 1 Khi ®ã ta cã: a + b = ( 2 ; 2 )  a  b  2  2 2 2 Tõ (1) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi a =k b (k >0). (V× a  0 ; b  0 ) a 1 1   0  a 0  1 a 1 Bµi 2. Cho a, b, c lµ 3 sè thùc kh¸c kh«ng. Chøng minh r»ng ta lu«n cã: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  2 ( a  b  c) Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän: a 1 =  a; b  ; a =  b; c  ; a Khi ®ã ta cã: a  a  b ; a  b 2 2 1 2 2 2 2 Gi¶i: 3 (c; a ) c a1  a 2  a 3  (a  b  c)  (a  b  c) Tõ (2) ta cã:  ; 2 2  a1 + a2 2 a3  c  a + a =(a+b+c;a+b+c). 3 2  2 a  b  c  2 ( a  b  c) a1  a 2  a 3  a1  a 2  a 3 a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  2 ( a  b  c) (§pcm)  a  0; b  0; c  0 a b c  a=b=c>0.    b c a DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi:  Khi trong bµi to¸n B§T ®¹i sè cã ®iÒu kiÖn ta cÇn ph¶i vËn dông linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n kh¸c. vÝ dô. 2 Bµi 3. Cho c¸c sè d¬ng x,y,z tho· m·n : x+y+z 1. Chøng minh r»ng x2  1 1 1  y 2  2  z 2  2  82 2 x y z (§H-C§ khèi A -2003) Gi¶i: Trong mÆt ph¼ng Oxy lùa chän:  Do: a + b + c =(x+y+z ; a 1 1 1   x y z =  x;  1  x ; b =  y; 1y  ;     c =  z;  1  z  1 1 1 a  b  c  ( x  y  z ) 2       x y z ) 2 a  b  c a  b  c  VT   1 1 1 ( x  y  z ) 2      x y z 2 = 2 1 1 1 81( x  y  z ) 2       80( x  y  z ) 2 x y z 1 1 1 18( x  y  z )     80( x  y  z ) 2 x y z  (§pcm) 18.9  80  82 DÊu "=" xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z = 1 . 3 Bµi 4. Cho x,y,z lµ 3 sè bÊt k× tho· m·n : x+2y+3z = 1. CMR 1  x 2  2 1  y 2  3 1  z 2  37 Ta cã 1  x  2 1  y  3 1  z  1  x Khi ®ã trong mÆt ph¼ng Oxy ta chän: 2 2 2 2  2 2  ( 2 y ) 2  3 2  (3 z ) 2  OA  1  x  AB  2  (2 y )  BC  3  (3 z )  OC  6  ( x  2 y  3z )  1 x  2 1 y  3 1 z 2 OA (1 ; x ) 2 AB ( 2 ; 2 y ) 2 2 BC (3;3 z ) 2 2 OC (6 ; x  2 y  3 z ) Do : Gi¶i: OA  AB  BC  OA  AB  BC 2 2 2 2  37  37 (§pcm) DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi: OA , AB , BC cïng chiÒu  x=y=z = 1 . 6 Bµi to¸n 4 ®îc tæng qu¸t nh sau: Cho a,b,c,h lµ 4 sè d¬ng. 3 sè x,y,z thay ®æi tho· m·n: ax+by+cz=k (kh«ng ®æi). CMR : a h  x  b h  y  c h  z  k  (a  b  c) h Bµi 5. Cho 4 sè a,b,c,d tho· m·n ®iÒu kiÖn: a 2  b 2 c 2  d 2 5 . CMR 2 2 2 2 5  a  2b  Ta biÕn ®æi: 2 2 2 5  c  2d  Gi¶i: 2 2 5  ac  bd 3 10 5  a  2b  a 2  b 2  2a  4b  5 1  2 2  a  1 2   b  2 2 5  c  2d  c 2  d 2  2c  4d  5 1  2 2  c  1 2   d  2 2 5  ac  2bd  a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd 1  2 2  a  c 2  b  d  2 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy ta lùa chän: u1 ( a; b) ; v1 (  1; 2)  u 1  v1 ( a  1; b  2) u  v u  v Do  (a  1)  (b  2)  a  b  ( 1) 1 1 1 1 2 2 2 2 2  ( 2) 2 =2 5 3 5  a  2b   T¬ng tù ta cã: XÐt: u 2 (a; b) Do u  v  u  v 2  2 2 5  ac  2bd   a  1 2   b  2 2  2 ; v 2 (  c; d ) Céng theo vÕ ta cã 2 2 5  10   u 2  v 2 ( a  c; b  d ) 2 (a  c)  (b  d ) 2  a 2  b 2  ( c) 2  (  d ) 2 1  a  c 2  b  d  2  2 1 5  c  2d  10 2 1 1 5  a  2b  (§pcm) 5  ac  bd 3 10  b 2a  d 2c   2 2  a  b 5  c 2  d 2 5 NhËn xÐt: NÕu u (a; b) ; v(c; d ) th× ta lu«n cã: (a c)  (b d )  a  b Bµi 6: Cho 2n sè thùc: a1 , a 2 ,...a n ; b1 , b2 ,...bn tho· m·n : a1  a 2  ...  a n  b1  b2  ...  bn 1 . 2 CMR: 2 2 2 Gi¶i: 2  c2  d 2 . . OA1  a12  b12 OA2  a 22  b22 …  OAn (a n ; bn ) Do :  2 a12  b12  a 22  b22  ...  a n2  bn2  Trong mp to¹ ®é Oxy ta xÐt c¸c vÐct¬:  OA1 ( a1 ; b1 )  OA2 ( a 2 ; b2 ) ...  5 2 5 = 10 2 5  c  2d  DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi =2 OAn  a n2  bn2 OA1  OA2  . . . OAn ( a1  a 2  ...  a n ; b1  b2  ...  bn )  OA  OA  . . .  OA  a n2  bn2  ( a1  a 2  . . .  a n ) 2  (b1  b2 OA1  OA2  . . .  OAn 2 1 2 1 2 2 2 2 a  b  a  b  ...  1 2 n 2 1  1 2x    2 2  Ta l¹i cã : x2+y2 = x2+(1-x)2=2x2-2x+1=  VËy: a12  b12  a 22  b22  ...  a n2  bn2 DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi:  1 2  2 2   . . .  bn ) 2 = x y (Víi x+y=1) 2 2 1 2 (§pcm). OA1 ; OA2 ; . . .OAn cïng chiÒu vµ 1 1 a1  a 2  ...  a n b1  b2  ...  bn   a1 a 2 ... a n b1 b2 ... bn  2n 2  a, b, c  0 3 Chøng minh r»ng ta lu«n cã: Bµi 7. Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n  abc  2  a2  Trong hÖ trôc Oxyz . 1 1  2 2 b c + b2  1 1  2 2 c a + Gi¶i: c2  1 1  2 2 a b 3 33 2 4 Ta lùa chän: u 1 1  a; ;   b c   1 1  v =b; ;  c a  = w  Do : u u  =  c ;  1 1 ;  a b + v + w =  a  b  c ; + v  w u  1 1  2 2 b c  b2  v  a2  1 1  2 2 c a 1 1  2 2 a b  c2  w 1 1 1 1 1 1   ;    a b c a b c c c a a 2 ( a  b  c) 2  2 u  v  w  a 2  12  12 + b 2  12  12 + c 2  12  12  b  1 1 1 u  v  w  (a  b  c) 2  2    a b c  1  1 1 1 31  1 1 1           16  a b c  16  a b c  b 2 1 2   1 1 1 ( a  b  c) 2  2    a b c 2   2  31  1 1 1   1 1 1    a  b  c           a b c 16   a b c  2 9 9  1 1 1 1 1 1  6 Ta cã:  a  b  c     9        a b c  a  b  c (3 ) a b c 2 VËy: VT  1 2 2  31  1 1 1   1 1 1    a  b  c           16  a b c   a b c   DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi: Bµi 8. Chøng minh r»ng: 2  a b c  2 cos x  sin x  cos x 1 1 31 2 3 33 9 6  2 16 2 §pcm. 1 2 Gi¶i: Trªn mÆt ph¼ng Oxy ta lùa chän c¸c ®iÓm A(cosx ; 0); B (-sinx ; 0) ; C(0 ; cosx). Khi ®ã ta cã: AB ( sin x  cos x ; 0)  AB = AB  sin x  cos x  AC= AC 2 cos x AC (  cos x ; cos x )  BC= BC 1 BC (sin x ; cos x) Do AB+AC  BC  2 cos x  sin x  cos x 1 §pcm. DÊu ®¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi: cosx=0  x   k (k  Z ) 2 §Õn ®©y h¼n b¹n ®äc ®· cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p sö dông vÐct¬ ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n sau: 1 . Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã: a) a 2  a  1  a 2  a  1 2 b) 2a 2  8  2a 2  12a  20 6 2. Cho a, b, lµ 2 sè thùc tuú ý. Chøng minh r»ng ta lu«n cã: a) a 2  4a  8  10b 2  18b  9  10b 2  2ab  a 2  29 b) 3. 5b 2  8b  4  5b 2  8ab  5a 2  2 5a 2  4a  1  6 5 5 Cho a, b, c lµ 3 sè thùc tuú ý. Chøng minh r»ng ta lu«n cã: a) a 2  ab  b 2  a 2  bc  c 2  b 2  bc  c 2 b) (a  c)  b  (a  c)  b 2 a  b 2 c) 10a  24a  16  13b 2  18ab  10a 2  13b 2  6bc  c 2  c 2  12c  40 6 2 2 2 2 2 2 2 5 4. Cho a,b,c,d lµ 4 sè kh¸c nhau. Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: ( x  c ) 2  d 2  (a  c ) 2   b  d ( x  a) 2  b 2  5.  2 CMR víi mäi x, y lµ sè thùc ta lu«n cã: 4 cos 2 x cos 2 y  sin 2 ( x  y )  6. 4 sin 2 x sin 2 y  sin 2 ( x  y ) 2 Cho c¸c sè d¬ng x,y,z tho· m·n : xyz=1. Chøng minh r»ng 1  x3  y3 xy 1 y3  z3   yz 1 z3  y3 zx 3 3 (§H-C§ khèi D 2005)  a, b, c  0 3 Chøng minh r»ng ta lu«n cã: Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n  abc  2 7. 1 + b 2  12 + c 2  12 2 b c a a1 , a 2 ,...a n ; b1 , b2 ,...bn . a2  8. Cho 2n sè thùc: CMR:  3 17 2 a12  b12  a 22  b23  ...  a n2  bn2   ( a1  a 2  ...  a n ) 2  (b1  b2  ...  bn ) 2 9. Cho 3 sè d¬ng a,b,c. Chøng minh r»ng: a2  10. . 2 ab  b 2  b2  3bc  c 2  a 2  Cho a, b, c lµ 3 sè tho· m·n Chøng minh r»ng ta lu«n cã: 8 9b 2 c 2 a 2   2 4 a2 3 ac  c 2 2 a,b,c  0    a  b  c  2abc 0 . 2 2 2 2 2 2 + 82  9c  a b + 82  9a  b c 6 2 b 4 2 c 4 6 NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p h×nh häc vÐct¬ thêng dïng ®Ó chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc d¹ng : "   " B. Mét sè bµi to¸n kh¸c. Mét sè bµi gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh d¹ng v« tû, bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt... ë c¸c ®Ò thi häc sinh giái, §¹i häc, Cao ®¼ng. . . nÕu biÕt vËn dông c¸c tÝnh chÊt trªn ta sÏ gi¶i quyÕt mét c¸ch dÔ dµng, mang tÝnh t duy s¸ng t¹o. C¸c vÝ dô: Bµi 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  x  19  7 x 2  8 x  13  13x 2  17 x  7 3 3 ( x  2 ) (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 2003). §iÒu kiÖn: x -2 Ta cã: VT= x 2  x  19  2 2 5 3 1      x      2    2  Ta lùa chän: a  Do : VT= a  b  Gi¶i: 7 x 2  8 x  13  13x 2  17 x  7   =  5 23 ; x   3x  2 3 1  2  ; b  2 2 = 2  3 3 1    x    (2 x  1)   2 3 x  2  2   2   3 x  2 3 ; 2 x  1 ; c + b + c =( 6 3  3 3x ; 0)  a  b  c  c  a  b  c = 3 3 x  2 = 3 3 ( x  2) =VP a =  3 3 1  2 3x  ; x    2 2   (6 3  3 3 x ) 2 3 3 x  2 (V× x -2) 6 DÊu "=" xÈy ra khi  ,b , a c cïng chiÒu  1 2 x cïng dÊu -2x+1  x= 1 2 Thö l¹i ta thÊy x =  1 2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. Bµi 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  4 x  13  x 2  2 x  2  13 Gi¶i ( x  1)  1 Ta viÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng: Trªn mÆt ph¼ng Oxy ta lùa chän c¸c vÐct¬. Khi ®ã ta cã: u ( x  2 ; 3)  u   x  2  3 v   x  1  1  v ( x  1 ;1) ( x  2) 2  3 2  2 2 2 2 2 u  v (3 ; 2) Do (2.2): DÊu b»ng xÈy ra khi u  u v vµ u  v u   u  v  ( x  2) 2  13 2 13  32  ( x  1) 2  12  13 : x2 3 5  0 x   x 1 1 2 cïng chiÒu VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x  5 . 2 Lu ý: ViÖc lùa chän to¹ ®é ph¶i hîp lý ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶ vµ ph¶i "cÈn thËn" khi xÐt dÊu ®¼ng thøc xÈy ra. VÝ dô: NÕu ta söa l¹i bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 x  13  x  2 x  2 5 Khi ®ã ta lùa chän c¸c vÐct¬. 2    v  u ( x  2 ; 3) v ( x  1 ; 1) u  v (3 ; 4) Do (2.2): u  v u  2 u   x  2 2  32  x  1 2 v   12 u  v 5 ( x  2) 2  3 2  ( x  1) 2  12 5 : vµ u cïng chiÒu  x  2  3  0 (V« lý). x 1  1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Bµi 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: DÊu b»ng xÈy ra khi u  x 2  4  x 2  2 xy  y 2  1  y 2  6 y  10 5  x 2  y 2  z 2 x  y  z   1  2 Gi¶i: Ta cã ph¬ng tr×nh (1)  x  2  ( x  y )  1  ( y  3) 1 5 Chän: a =(x ; 2) ; b =(y-x ; 1) ; c =( 3-y ; 1)  a + b + c =(3 ; 4) a  b  c a  b  c  Do x  2  ( x  y )  1  ( y  3)  1 5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  a , b , c cïng chiÒu (v× a , b , c  0 ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 y 4    x y  x 3 y      2 1 1  2 x 2 2 2 2 Thay vµo (2) ta cã: 7 15  z   117 2 15  4 9 z   z  2  z = 117 15   10 16 4   z 2   z   16 4   VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm : 9  3 9  ; ;  10  2 4 Bµi 4.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x   y  1  Trong ®ã x, y lµ hai sè thùc tho¶ m·n: 2x- y= 2. x 2   y  3 2 2 2 (§Ò thi häc sinh giái Quèc gia líp 12 n¨m 1998) Gi¶i: Do 2x-y=2 nªn ta cã: y=2x-2 thay vµo P ta cã: (*) P = x   2 x  1  x   2 x  5 2 2 = Ta lùa chän: a 2 2 2 2 2  1 5 x 2  4 x  1  5 x 2  20 x  25  5 (  x       ( x  2) 2  1 ) 5   5 = 2 1  x  ; ; b 5 5  = 2  x ;1  a 8 6 ;  5 5 + b =   a  b 2 Do a  b  a  b nªn ta cã: P = 5 ( a  b )  5 ( a  b ) = 2 5 . DÔ thÊy a , b  0 . DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: a =k b (k>0).  2 1 5 5  2 x 1 x= 2  y=  x VËy: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 2 5 2 3 3 . 2   x 3 khi  2  y  3  Lu ý: NÕu tõ (*) ta lùa chän a =(x;2x-1) ; b =(-x; 5-2x). Ta sÏ cã : P 4  minP = 4 Tuy nhiªn kh«ng tån t¹i (x;y) tho· m·n ®iÒu kiÖn P = 4. ( a kh«ng cïng chiÒu Bµi 5. Cho x,y lµ c¸c sè thùc thay ®æi. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = ( x  1)  y  ( x  1)  y  y  2 2 Ta lùa chän: 2 2 = 1  a  b a  b  ( x  1)  y  ( x  1) VËy ta cã: A = ( x  1)  y  ( x  1)  y  XÐt hµm sè: f(y) = y  2  2 1  y 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 (§H-C§ khèi B 2006) Gi¶i: x; y  ; b = ( x  1 ; y )  a b + b = 2 ; 2 y a 2  y 2 1  y 2 y 2  y  2  2 1 y2 2 Ta cã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2   x 0  khi  y  1 3  3 Bµi 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : y = x  2 px  2 p  x  2qx  2q Gi¶i: Ta cã: y = ( x  p)  p  ( x  q)  q . Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy xÐt 3 ®iÓm : A(p ; p) ; B(q ; q) ; M(x ; 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Khi ®ã ta cã: MA = MA  ( x  p)  p MB= MB  ( x  q)  q  y = MA+MB. Ta nhËn thÊy A ; B ; O th¼ng hµng , A,B lµ 2 ®iÓm cè ®Þnh . CÇn t×m ®iÓm M  Ox (V× M(x;0)) sao cho MA+MB nhá nhÊt. §©y lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n vÒ kho¶ng c¸ch. Ta xÐt c¸c trêng hîp: TH1: p.q 0  A vµ B cã Ýt nhÊt 1 ®iÓm trïng O , hoÆc O n»m gi÷a AB. 2 2 2 2 y B O M x VËy ®Ó y = MA+MB nhá nhÊt khi vµ chØ khi M  A O  M(0;0)  x=0 Tøc lµ: ymin= 2 p  2q = 2 ( p  q ) khi x= 0. TH2: p.q>0  A vµ B n»m cïng mét phÝa víi Ox. 2 2 LÊy A' ®èi xøng víi A qua ®ã ta cã MA=MA'. Ta cã : y = MA+MB = MA'+MB VËy ®Ó y nhá nhÊt  A', M, B th¼ng hµng  Do A' B (q  p; q  p) ; A' B ( x  p; p) Nªn ta cã: q p q p  x p p  2 pq pq x VËy ymin=A'B = ( p  q)  ( p  q) KÕt luËn: NÕu p.q 0 ta cã ymin= 2 ( p 2 NÕu p.q >0 ta cã ymin= 2  2( p 2  q 2 )  q) 2( p 2  q 2 ) Mét sè bµi tËp ¸p dông: 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: a)  M( Ox ,  A'(p ; -p). Khi A' B k A' M ( k  0) 2 pq ; 0) pq khi x 2 pq pq khi x = 0. khi x 2 pq pq x 2  8 x  816  x 2  10 x  267  2003 (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 2003). 9 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: b) x 2  2x  5  x 2  6 x  10  5  4 cos 2 x cos 2 y  sin 2 ( x  y )  4 sin 2 x sin 2 y  sin 2 ( x  y ) 2   x 2  4 y 2 0 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x  y  z 6    x 2  y  z  y 2  z  x  z 2  x  y 3 6  x y z  Víi x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng. 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: a) y = cos 2 x  2 cos x  5  cos 2 x  4 cos x  8 b) y = c) 5. Cho y= 1 2 1 2 16 32 1 2 1 2 4 8 x 2  x  x  x  4 x  10  x  x 2 2 5 5 2 2 5 5 2 sin x  sin x  cos x  a, b, c  0   a  b  c 6 S= a2  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: 1 1 1  b2   c2  bc ca a b 6. T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : x2  x 1  x 2  x  1 m 7. Cho hai sè a, b tho· m·n ®iÒu kiÖn a - 2b +2=0. CMR 8. CMR: a 2  b 2  6a  10b  34  a 2  b 2  10a  14b  74 6 x2  x 1  x2  x 1 1 III. Thùc nghiÖm s ph¹m. 1. Môc ®Ých thùc nghiÖm. KiÓm tra tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi. 2. Néi dung thùc nghiÖm. TiÕn hµnh triÓn khai gi¶ng d¹y theo ®Ò tµi " Khai th¸c s©u tõ mét bµi to¸n c¬ b¶n cña s¸ch gi¸o khoa ". 3. KÕt qu¶ thùc nghiÖm. T«i ®îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y c¸c líp khèi, båi dìng häc sinh giái, «n thi §¹i häc, Cao ®¼ng nhiÒu n¨m. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· vËn dông ®Ò tµi híng dÉn c¸c em vËn dông vµo gi¶i to¸n. KÕt qu¶ lµ hÇu hÕt c¸c em ®Òu hiÓu, vËn dông vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n nhanh gän, tr×nh bµy s¸ng sña vµ chÝnh x¸c, häc sinh rÊt thÝch thó khi gÆp c¸c bµi to¸n thuéc d¹ng nµy. KÕt qu¶ cô thÓ nh sau. 10 a. Thùc nghiÖm trªn 2 líp t«i gi¶ng d¹y (97 häc sinh) th«ng qua c¸c bµi kiÓm tra. KÕt qu¶: TÇm kiÕn thøc Sè lîng HS Tû lÖ NhËn biÕt 91 94% Th«ng hiÓu 85 88% VËn dông 70 72% b. Trong c¸c kú thi §¹i häc cao ®¼ng: Khèi B n¨m 2006. Tû lÖ häc sinh lµm ®îc c©u IV kho¶ng 80% Khèi D n¨m 2005. Tû lÖ häc sinh lµm ®îc c©u V kho¶ng 75% (C¸c c©u cã d¹ng to¸n thuéc ®Ò tµi ®· nªu) IV. KÕt luËn Qua c¸c bµi to¸n minh ho¹ trªn ta thÊy. NÕu biÕt khai th¸c, vËn dông bµi to¸n c¬ b¶n ph¸t triÓn thµnh hÖ thèng c¸c líp bµi to¸n ta sÏ cã c¸ch nh×n tæng thÓ h¬n vµ nÕu quy ®îc bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc, th× cã ®Þnh híng gi¶i cô thÓ nhng hoµn toµn kh«ng mÊt tÝnh t duy, s¸ng t¹o cña häc sinh. Khi ®ã lêi gi¶i bµi to¸n trë nªn gän gµng, Ýt sai sãt. Bëi nã ®¶m b¶o qu¸ tr×nh nhËn thøc tri thøc: "Tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t duy trõu tîng". §Ò tµi nµy ®· ®îc kiÓm nghiÖm vµ cho kÕt qu¶ kh¶ quan, nhng cha réng. T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n c¸c ®ång nghiÖp ®· gãp ý ®Ó hoµn thiÖn ®Ò tµi. Tuy nhiªn ®Ò tµi ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu khiÕm khuyÕt. T«i rÊt mong tiÕp tôc nhËn ®îc sù gãp ý cña ®ång nghiÖp. Mét lÇn n÷a xin ch©n thµnh c¶m ¬n! 11
- Xem thêm -