Skkn hướng dẫn học sinh lớp 10 cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

  • Số trang: 16 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 77 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

MỤC LỤC Mục Trang I. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 2 II. Cơ sở lí luận........................................................................................... 2 1. Đặt vấn đề ....................................................................................... 2 2. Các biện pháp thực hiện .................................................................. 2 III. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài ...................... 3 1. Thuận lợi ......................................................................................... 3 2. Khó khăn ......................................................................................... 3 IV. Nội dung đề tài ..................................................................................... 3 1. Một số kiến thức liên quan............................................................... 3 2. Nội dung........................................................................................... 4 3. Bài tập rèn luyện............................................................................ 13 V. Kết quả ................................................................................................ 14 VI. Bài học kinh nghiệm .......................................................................... 14 VII. Kết luận ............................................................................................ 15 VIII. Tài liệu tham khảo ........................................................................... 15 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 1 Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thức mới đối với các em học sinh. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai lực thành phần… Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bài toán tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp 10, tạo nhiều hứng thú đối với các em yêu thích môn Hình học. Từ thực tế những năm học đã qua, có nhiều em còn lúng túng khi gặp các bài về dạng này. Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quát. Do đó tôi đã trình bày đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG II. CƠ SỞ LÍ LUẬN 1. Đặt vấn đề: Trong các đợt thi đại học, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ đạt trung bình, thậm chí không thể học tiếp. Lí do vì sao? Phải chăng các em không chú ý học? Đó không phải là lý do chính, quan trọng là các em chưa có phương pháp học tập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là: + Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tư duy của các em. + Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập để nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng. 2. Các biện pháp thực hiện: Để giải quyết những vấn đề trên tôi đề xuất giải pháp sau: + Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 2 khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề. Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy: * Có nhiều cách trình bày giải khác nhau. * Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao. * Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác. III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. 1.Thuận lợi: - Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tính chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học. - Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế. - SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ. - Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập. 2. Khó khăn: - “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bày bài giải. - Các bài tập trong SGK còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS. IV. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Một số kiến thức liên quan:  Quy tắc ba điểm: với 3 điểm A, B, C tùy ý ta có: uuu r uuu r uuu r AC  AB  BC uuur uuu r uuu r AC  BC  BA  Quy tắc hình bình hành: uuu r uuur uuur Tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC  Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng: uuur uuur r + M là trung điểm của đoạn thẳng AB � MA  MB  0 trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có: uuuu r+M uuu rlà uu u r 2OM  OA  OB  Tính chất trọng tâm của tam giác: Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 3 uuu r uuu r uuur r + G là trọng tâm tam giác ABC � GA  GB  GC  0 Nếu uuur + u uu r G uuu rlà trọng uuur tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: 3OG  OA  OB  OC .  Điều kiện hai vectơ cùng phương: r r r r r r a, b b �0 cùng phương � k : a  k b , ( k �R).    Điều kiện ba điểm thẳng hàng: uuu r uuur Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng � k sao cho AB  k AC , ( k �R).  Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: r r r Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân r r tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số r r r h, k sao cho x  ha  kb . r r r r  Nếu a, b không cùng phương mà ma  kb thì m = 0 và k = 0.  Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.  Có hai hướng giải: + Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm. + Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n. 2. Nội dung : Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10. Đề bài: Cho uuu r AK uuur và uuu r BM là hai trungr tuyến uuur của r utam uuu r giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC , CA theo hai vectơ u  AK , v  BM . r uuur r uuuu r uuu r * Với ý thứ nhất: phân tích vectơ AB theo hai vectơ u  AK , v  BM . GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Nêu các hướng giải? uuu r GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ AB có thể phân tích thành tổnguucủa hai u r u uur vectơ uuu r không cùng phương nào? TL: u AB AK uu ru uuu r KB uuur AB AM u uu ru uur uMB uu r AB  AC  CB ………. GV: Gọi một em lên bảng làm bài . Khi HS hoàn thành bài giải trên bảng, ta bắt đầu sửa lời giải: C M Bài giải: A Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 G K B 4 Cách 1: Theo quy tắc ba điểm ta có: uuuu r r uuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur 1 uuu KM   AB , mà (vì MK là đường trung AB  AK  KB  AK  KM  MB 2 bình của tam giác ABC). Do đó: uuu r uuur 1 uuu r uuuu r AB  AK  AB  BM 2 uuu r 1 uuu r uuur uuuu r � AB  AB  AK  BM 2 u u u r uuur uuuu r 3 � AB  AK  BM 2 uuu r 2 uuur 2 uuuu r 2 r r Hay AB  AK  BM  (u  v) . 3 3 3 uuur uuuu r uuu r GV: Còn cách nào phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK , BM nữa không? Áp dụng hiệu của hai vectơ ta có cách giải như thế nào? Cách 2: uuur uuu r uuu r uuur uuuu r Ta có: AB  CB  CA  2 BK  2 AM uuu r uuur uuu r uuuu r uuu r � AB  2( AK  AB)  2( BM  BA) uuu r uuur uuuu r � 3 AB  2 AK  2 BM uuu r 2 uuur 2 uuuu r 2 r r � AB  AK  BM  (u  v ) 3 3 3 Để rèn luyện tư duy của HS, GV cho nhận xét về vị trí của điểm M và K? Từ đó suy ra cách giải 3. Cách 3: Vì M, uuurK lần uuu r lượt uuurlà các uuu r trung uuuu rđiểm uuu rcủa các uuu r cạnh uuuu rAC và BC, ta có: 2 AK  AB  AC  AB  2 AM  AB  2( AB  BM ) uuu r uuur uuuu r � 3 AB  2 AK  2 BM uuu r 2 uuur 2 uuuu r 2 r r Hay AB  AK  BM  (u  v) . 3 3 3 GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào? Cách 4: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC. uuu r uuur uuu r Theo qui tắc ba điểm, ta có: AB  AG  GB  r 2 r r 2 uuur 2 uuuu AK  BM  (u  v) . 3 3 3 Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thì uuu rta làm uuurnhư uthế uuu r nào ? Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: AB  m AK  nBM (1). Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC. uuur Ta có: AG  r 2 uuur uuur 2 uuuu AK ; BG  BM 3 3 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 5 uuu r uuur uuu r Theo qui tắc ba điểm: AB  AG  GB uuur uuu r 3 uuur 2 3 uuur 2 �3 �2 uuur � � 3 2 uuur Do đó (1) � AG  GB  m AG  nBG � � m  1�AG  ( n  1) BG (2) 2 � �3 m m 1  0 � � uuur uuur �2 � 3 �� Vì AG, BG không cùng phương nên từ (2) � � 3 2 � �  n 1  0 n 3 �2 � uuu r 2 uuur 2 uuuu r 2 r ur Vậy AB  AK  BM  (u  v) . 3 3 3 Sau khi hướng dẫn HS các cách giải và trình bày ý thứ nhất, GV cho các em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn uuur nhất. uuu r * Làm tương tự với ý thứ 2 và 3: phân tích vectơ BC , CA theo hai vectơ r uuur r uuuu r u  AK , v  BM GV :Gọi HS trình bầy cách giải và ghi kết quả. uuur 2r 4r  u v * BC  3 3 r uuu r 4 2r * CA   u  v . 3 3 Để học sinh luyện khả năng khái quát. GV có thể hỏi: có một công thức nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước không? Cho HS làm bài toán sau: Bài toán 1: nằm trên đường thẳng BC sao cho uuur Cho uuuu r tam giác ABC. Điểm uuM uu r uuu r uuur MB  k MC  k �1 . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC . HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán Bài giải: uuur uuuu r uuu r uuuu r  uuur uuur uuuu r Ta có: MB  k MC � AB  AM  k AC  AM uuuu r uuu r � (1  k ) AM  AB  k AC uuu r uuur uuuu r AB  k AC � AM  1 k  GV: Có nhận xét gì khi k = – 1? uuuu r Nếu k = – 1 thì ta có AM  r uuur 1 uuu AB  AC . Đúng với tính chất trung điểm 2   của đoạn thẳng. Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới: Bài toán 2: giác ABC. Điểm M nằm trênuuđường thẳng BC sao cho uuuu r Chouutam uu r uuuu r u r uuur nBM  mMC . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC . GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài toán 1; để áp dụng được công thức của bài toán 1 ta làm thế nào? Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 6 Bài giải: uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r � n AM  AB  m AC  AM uuuu r uuu r uuur � (m  n) AM  n AB  m AC uuuu r r n uuu m uuur � AM  AB  AC mn mn Ta có: nBM  mMC     uuuu r uuuu r uuur Nếu áp dụng theo bài toán 1 thì phải đưa nBM  mMC về MB   uuu r m uuur AB  AC uuuu r m n AM  tức là k =  . Khi đó m n 1 n uuuu r r n uuu m uuur � AM  AB  AC . mn mn r m uuuu MC n GV: Như vậy từ hai bài toán trên ta có những nhận xét gì? uuu r uuur uuur uuuu r uuuu r AB  k AC - Nếu MB  k MC  k �1 thì với điểm A bất kì ta có: AM  (*) 1 k uuuu r r uuuu r uuuu r n uuu m uuur AB  AC (**) - Nếu nBM  mMC thì với điểm A bất kì ta có AM  mn mn GV: Gọi HS lên bảng HS làm bài tập áp dụng. Ví dụ u1: đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấyuumột điểm uurTrên uuu u r ur uuuu r uuur M sao cho MB  3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC . Bài giải: Áp dụng công thức (*), uuur uuur uuur uuuu r uuuu r ta có: MB  3MC � AM  r AB  3 AC 3 uuur 1 uuu  AC  AB 1 3 2 2 ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho uur Víuurdụ 2: Cho tam giác uuur uur uuur 2 IC  3BI . Phân tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC . Bài giải: uur uur - Áp dụng công thức (**), ta có: 3BI  2 IC uur Do đó: AI  r r 2 uuur 3 uuu 2 uuur 3 uuu AB  AC  AB  AC . 3 2 3 2 5 5 Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian. Từ hai bài toán trên, ta có thể lật ngược vấn đề là: Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 7 tam uuuu r Nếu uuu rcho uu ur giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ AM   AB   AC thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ? Để giải quyết vấn đề đó ta xét bài toán sau: Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi    1 � uuu r uuur và chỉ khi tồn tại các số  ,  sao cho �uuuur �AM   AB   AC Bài giải: M thuộcuuu đường BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng u r uuthẳng ur � k : BM  k BC (điều kiện 3 điểm thẳng hàng) uuuu r uuu r uuur uuu r � k : AM  AB  k AC  AB uuuu r uuu r uuur � k : AM   1  k  AB  k AC uuuu r uuu r uuur �AM   AB   AC �  ,  : � (đặt   1  k ,   k )    1 � các số  ,  xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần   phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học) Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho HS làm thêm các bài tập. Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB 1 3 1 2 và CD sao cho AM  AB, CN  CD . uuur uuu r r uuur r a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB  a , AC  b uuur b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích AG theo hai r r vectơ a, b . GV: Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt. Bài giải: M A B G D N C a) vìuuNur là u trung uur uđiểm uur của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có: 2AN  AC  AD ; uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r ABCD là hình bình hành nên: AB  AD  AC � AD  AC  AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r Vậy 2 AN  AC  AC  AB  2 AC  AB Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 8 uuur uuur r 1 uuu 2 1r 2 r Do đó: AN  AC  AB   a  b b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có: uuur uuuu r uuur uuu r 1 uuu r 1 uuu r uuur uuu r 5 uuu r uuur 3 AG  AM  AN  AB  AB  AB  AC  AB  AB  AC 3 2 6 uuur 5 uuu r 1 uuur 5 r 1 r Vậy, AG  AB  AC  a  b 18 3 18 3 * Ta có thể tổng quát, mở rộng Bài tập 1 bằng các uur câuuhỏi uur sau: uuu r uur c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI  mBC , AJ  n AI . Hãy uur uuu r r r phân tích các vectơ AI , AJ theo hai vectơ a, b và m, n. d) Xác định m để AI đi qua G. Với câu c) HS có thể dễ dàng tìm ra lời giải Giải c) :Theo qui tắc 3 uđiểm, ur uuta u r có: uur uuu r uuur uuu r uuur uuu r AI  AB  BI  AB  mBC  AB  m( AC  AB ) uuu r uuur r r  (1  m) AB  m AC  (1  m)a  mb . uuu r uur Từ giả thiết : AJ  n AI . uur r r Mà AI  (1  m)a  mb uuu r r r Vậy AJ  n(1  m) a  nmb GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm phân biệt thẳng hàng ? Giải d: uuur r 1 uuur 5 uuu AB  AC ; uur 18 uuu r3 uuur Theo kết quả câu c, ta có: AI  (1  m) AB  m AC uur uuur Để AI đi qua G thì AI , AG cùng phương uuu r uuur r uur uuur 5 uuu 1 uuur � (1  m ) AB  m AC  k AB  k AC Suy ra: AI  k AG 18 3 5k � � 6 1 m  m � � � � 11 18 �� �� k 18 � � m k � 11 � 3 u u r 6 18 uuur m  AI  AG thì AI đi qua G. Vậy với và 11 11 Theo kết quả câu b, ta có: AG  Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả uuuu r uuu r uuur 2 uuur AM  2 AB, AN  AC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 5 uuuu r uuuu r uuu r uuur a. Hãy phân tích các vectơ MN , MG theo hai vectơ AB, AC . b. Chứng minh MN đi qua trọng tâm G. GV: gọi HS vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 9 Chú ý tìm cách gọn nhất. A N G B Bài giải: uuuu r uuur uuuu r a) Ta có: MN  AN  AM  r 2 uuur uuu AC  2 AB 5 C M uuuu r uuur uuuu r 1 uuu r uuur uuu r 1 uuur 5 uuu r MG  AG  AM  ( AB  AC )  2 AB  AC  AB . 3 3 3 GV: Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G? TL: MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng. GV: Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là gì? Ta đã có những gì? Từ đó suy ra cách giải câu b. b) Theo kết quả câu a. uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r � 5MN  2 AC  10 AB � 5MN  2 AC  10 AB � � uuu r ta có: �uuuur uuur uuur � �uuuur uuur 3MG  AC  5 AB 6 MG  2 AC  10 AB � � uuuu r 6 uuuu r Suy ra: MN  MG hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G. 5 Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần uuu r uuur uuur 1 uuur 3 lượt là các điểm thoả BE  2 BD, CF  CD . uuur uuu r uuur a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ AB, AF ; uuu r uuur uuur b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ AB, AE ; uuu r 1 uuu r 2 c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AJ  JC . Hãy biểu diễn uur uur uuu r vectơ IF theo hai vectơ JB, JC . d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng. GV: yêu cầu HS vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**) Gọi HS lên bảng trình bày bài giải. Chú ý cách giải ngắn gọn. A J Bài giải: I B D E F C a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có: uuur uuu r uuur uuu r 1 uuur uuu r 1 uuur uuu r r 1 uuur 2 uuu AD  AB  BD  AB  BF  AB  AF  AB  AB  AF 3 3 3 3  Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10  10 -Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết uuu r uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur BE  2 BD, CF  CD suy ra DB   DF 3 2 uuu r 1 uuur AB  AF uuur r 1 uuur 2 uuu 2  AB  AF . Vậy theo công thức (**), ta có: AD  1 3 3 1 2 b) Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo qui tắc 3 điểm: uuur r 3 uuur 1 uuu 2 2 Ta được kết quả: AF   AB  AE . GV: Với câu uurc) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của đề bài thì vectơ IF có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí nhất ? TL : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa có dạng giả thiết của bài toán 1 hoặc 2. c) Ta có: uur uu r uuur uuur r 3 uuu r 1 uuu r r uur 3 uuu r 1 uur uuu r 1 uuu 1 uuu IF  IA  AC  CF   AB  JC  CB   AJ  JB  JC  JB  JC 2 2 4 2 2 4 u u u r u u r u u u r u u r u u u r 1 1 3 1   JC  JB  JC   JB  JC . 2 4 2 4    GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?  uuur uuur uur uur AD  n AK  n AI  IK Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì? uur uur nhận xét hệ số của AI , IK trong trường hợp này bằng nhau; uuur uur uur Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ AD theo AI , IK , rồi từ đó suy ra  hai hệ số của chúng bằng nhau. d) Ta có : uur uu r K nằm trên IJ � IK  mIJ uuur uuur  uur uur   Ba điểm A, K, D thẳng hàng � AD  n AK  n AI  IK (1) uuu r uuur Từ giả thiết BE  2 BD � D là trung điểm của BE, ta có: uuur uuu r uuur uuu r 1 uuu r uuur 3 uuu r 1 uuur 2 AD  AB  AE  AB  ( AB  AC )  AB  AC 2 2 2 uur 3 uuu r uur 3 uur uu r r 9 uur 3 uu  3 AI  AJ  3 AI  AI  IJ  AI  IJ 2 2 2 2 uuur 9 uur 3 uur 2 AD  AI  IK 2 2m uuur 9 uur 3 uur � AD  AI  IK  2  4 4m  Từ (1) và (2) suy ra:  9 3 1  �m . 4 4m 3 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 11 uur r 1 uu 3 Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho IK  IJ thì ba điểm A, K, D thẳng hàng. Ngoài việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương giúp các em làm các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta còn thấy nó được ứng dung trong một số bài toán có nội dung vật lý như bài tập sau: Bài tập 4: Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân ở đỉnh C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 5N. Hỏi có những lực nào tác động vào bức tường tại hai điểm B và C? GV: Gọi HS nhận xét lực sinh ra bởi vật treo tại điểm A có thể phân tích thành những lực thành phần nào? Theo qui tắc nào? B A C 5N Bài giải: B u u r F1 Theo hình vẽ ur Tại điểm A có lực kéo F hướng C A uu r F2 thẳng đứng uxuống dưới với cường độuur5N. u r uu r uu r u r ur Ta có F = F1 + F2 với 2 vectơ F1 và F2 lần F lượt nằm trên hai đường thẳng AC và AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C uu r ur uur ur nên F1  F và F2  F . 2 . Vậy có một lực ép vuônguuugóc với bức tường tại điểm C và một lực kéo bức r tường tại điểm B theo hướng BA với cường độ 5 2N . Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, GV mở rộng thêm: phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương không chỉ giúp các em làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng mà nó còn được áp dụng trong không gian ở lớp 11; điều đó được thể hiện qua bài tập sau: Bài tập 5: Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 12 Chouuu tứ u r diện uuu rABCD, uuur trên uuur các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM  k AB, DN  k DC  k �1 . uuur uuur uuuu r a. Hãy biểu diễn vectơ MN theo hai vectơ AD, BC ; lần uuu r b.uuGọi ur uuu rP, Q, uuuu rI uu ur lượt uuur là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho AP   AD, MI   MN , BQ   BC . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng. A uuu r OM  OA uu AM  OA  k AB u r uuu r   1  k  OA  kOB . Tươnguutự: ur P M Bài giải: a. Lấyuu điểm Ouu uu r u rbấtuukì, uu r taucó: uu r  I D B uuur uuur ON   1  k  OD  kOC . Q uuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r  1  k  OA  kOB � Suy ra: MN  ON  OM   1  k  OD  kOC  � � � uuuu r uuur uuur MN   1  k  AD  BC N C b. tự a. uurLàm tương uuuu r câu uuu r Ta có: PI   1    AM   DN uuur uuu r uuur PQ   1    AB   DC uur uuu r uuur uuur Vậy PI   1    k AB   k DC  k PQ Suy ra 3 điểm P, Q, I thẳng hàng. Sau khi học và hoàn thành các bài tập, giáo viên cho một số bài tập để các em rèn luyện, có thể giới thiệu cho các em một số tài liệu tham khảo hoặc những bài toán hay và tổng quát để các em tham khảo và thử sức của mình. 3. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi Guu làur trọng tâm tam giác D là điểm đối xứng uuur uuur uuur của B qua G. Hãy phân tích các vectơ AB, AC theo hai vectơ AG và AD . uuur Bài 2: Cho hình vuông ABCD. E là trung điểm của CD. Hãy phân tích AE uuur uuur theo hai vectơ AD và AB . ABC, M, N, P sao cho: uuuu r Bàiu3: uuurChouutam ur giác uuu r uuu r lấyuucác r điểm r MB  3 MC , NA  3NC, PA  PB  0 . uuur uuu r uuur uuur a. Hãy tính PM , PN theo hai vectơ AB và AC . b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bởi uuuur 1 uuur uuur 1 uuur AM  AB ,AN  AC . Tìm điểm H thuộc AD sao cho ba điểm M, H, N 2 4 thẳng hàng. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 13 Bài u5: uurChouhình uur chữ nhật ABCD. F là trung điểm cạch CD. E là điểm xác định bởi AB  2 EA . uuur uuur uuur a. Hãy phân tích vectơ EF theo hai vectơ AB và AC . uuur b.uuGọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ DG theo hai vectơ uuur ur AB và AD . BJ c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số . BI Bài 6: Cho uuur tam ugiác uur ABC. r uur GọiuurD vàuIurlà các r điểm xác định bởi các đẳng thức vectơ: 3DB  2 DC  0, IA  3IB  2IC  0 . uuur uuur uuur a. Phân tích vectơ AD theo hai vectơ AB và AC . b. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng. c. Gọi M là trung điểm của AB. Hãy xác định điểm N trên AC sao cho ba đường thẳng AD, BC, MN đồng quy. Bài 7: Cho M đường thẳng AB, N nằm trên đường thẳng uuuu r điểmuuu r nằm uuur trênuuu r CD sao cho n AM  mMB, nCN  mND . Chứng minh rằng: uuuu r MN  n uuur m uuur AC  BD mn mn uuuu r uuuu r uuur Gợi ý: Từ n AM  mMB biến đổi về OM  r r n uuu m uuu OA  OB mn mn uuur uuur uuur n uuur m uuur OC  OD nCN  mND biến đổi về ON  mn mn Suy ra điều cần chứng minh. V. KẾT QUẢ Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh đẳng thức vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em không còn lúng túng và kết quả bài kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt. Cụ thể: Kết quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút và 15 phút của ba lớp 10 như sau: Lớp 10A8 10A10 10D1 Trước khi thực hiện giải pháp Bài 15 phút Bài 45 phút 75 % 68 % 70 % 63 % 63 % 53 % Sau khi thực hiện giải pháp Bài 15 phút Bài 45 phút 85 % 82 % 83 % 87 % 78 % 80 % VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để nâng cao chất lượng môn toán nói chung và phần Hình học nói riêng, cần có sự phối hợp giữa thầy và trò. Thầy hướng dẫn, gợi ý, trò phân tích tìm hiểu, để tìm hướng đi. Sau mỗi bài học và giờ luyện tập giáo viên cho các em rút ra những vấn đề cơ bản của bài học hoặc những dạng bài đã làm, dạng tổng quát (nếu có), có thể mở rộng bài toán theo những hướng khác nhau và cho thêm bài theo từng dạng để các em hình thành kỹ năng giải của từng dạng toán. Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 14 Điều quan trọng nhất vẫn là sự cố gắng học tập của các em. Không ai có thể thay thế cho các em được. Bản thân các em phải xác định đúng động cơ học tập, có ý thức tự giác, ham học hỏi, có tinh thần vượt khó, xây dựng cho mình phương pháp học tập khoa học, học kỹ lý thuyết trước khi làm bài tập. Bên cạnh đó là sự gần gũi với học sinh, để các em không ngại khi cần trao đổi những vấn đề mình chưa hiểu. Hãy cố gắng khơi dậy sự tự tin trong mỗi em học sinh, ta sẽ tạo điều kiện cho các em đạt tới nhiều đỉnh cao trong học tập. VII. KẾT LUẬN Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là dạng bài phong phú và đa dạng. Từ một bài toán đơn giản trong SGK ta đã thấy có nhiều cách trình bày lời giải, ở mỗi cách đều có thể nêu ra hướng tư duy để dẫn đến cách giải đó. Từ bài toán với các giá trị cụ thể, ta có thể rút ra bài toán tổng quát, mở rộng bằng cách sử dụng kết quả của nó để làm bài dạng chứng minh ba điểm thẳng hàng. Với nội dung đề tài trên, tôi đã thực hiện trong thời gian khoảng 3 tiết đối với ba lớp 10A8, 10A10 và 10D1 vào các giờ tự chọn và bước đầu tạo được hứng thú cho học sinh. các em đã thể hiện được khả năng tư duy, phát triển khả năng sáng tạo. Tuy nhiên thời gian dành cho phần học này còn ít, các em luyện tập không được nhiều, do đó việc hướng dẫn các em cách học, phương pháp giải bài tập là rất quan trọng. Tri thức là vô hạn, trên đây chỉ là một ví dụ nhỏ về cách hướng dẫn học sinh lớp 10 phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Do thời gian làm có hạn nên tôi chưa khai thác hết được các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý chân tình của quý thầy cô và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn! VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO -Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất bản giáo dục, năm 2006. -Toán nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2003. -Tìm tòi các lời giải khác nhau của bài toán Hình Học 10 như thế nào? – PGS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội - 2008. -Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu, Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản Đà Nẵng - 2002. -Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích NgọcLê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005 Biên Hoà, ngày 25 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 15 Nguyễn Thị Quyên Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10 16
- Xem thêm -