Skkn giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “phép chia hết” trong tập hợp n

  • Số trang: 15 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 14 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N MỤC LỤC 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 2 1.1.Lí do khách quan 2 1.2. Lí do chủ quan 2 1.3.Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công 2 tác giảng dạy và giáo dục 2 1.3.1. Mục đích nghiên cứu 2 1.3.2. Đối tượng nghiên cứu 3 1.3.3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 1.3.4 Phương pháp nghiên cứu 3 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 2.1. Cơ sở lí luận: 4 2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 11 2.3. Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề 12 2.4. Hiệu quả của đề tài 14 3. KẾT LUẬN 15 3.1. Ý nghĩa của đề tài trong công tác giảng dạy 15 3.2. Nhận định chung 15 3.3. Những bài học kinh nghiệm 15 3.4. Ý kiến đề xuất 15 Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 1 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N 1. ĐẶT VẤN ĐỀ: (Lí do chọn đề tài) Lí do khách quan: Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, phát triển và hội nhập quốc tế nhằm thực hiện thắng lợi sự nghiệp “Công nghiệp hoá, hiện đại hoá” do Đảng ta khởi xướng và lãnh đạo. Trong quá trình phát triển của đất nước, Đảng ta luôn coi “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”, là nền móng của sự phát triển kinh tế, xã hội đem lại những đổi mới cho đất nước. Thực hiện ước nguyện của Bác Hồ là đưa dân tộc Việt Nam “Bước lên đài vinh quang, sánh vai với các cường quốc năm châu” Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các đối tượng học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học. 1.2. Lí do chủ quan: Bản thân tôi, được nhà trường phân công dạy toán lớp 6. Qua nghiên cứu tài liệu và giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu trong môn toán 6 cũng như môn toán THCS. Đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã 100% là các em học sinh dân tộc, bao gồm cả học sinh khá giỏi và học sinh yếu kém. Trong quá trình giảng dạy có em tiếp thu nhanh và hứng thú với môn học, say mê tìm hiểu, bên cạnh đó cũng có em tiếp thu bài rất chậm, lười học có thái độ thờ ơ với môn học, khả năng tính toán, tính nhẩm rất yếu. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong tiết học còn gặp nhiều khó khăn. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc dạy "phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về "phép chia hết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã áp dụng nhằm bội dưỡng các em học sinh khá, giỏi thông qua các giờ học buổi chiều. Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy. 1.3. Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công tác giảng dạy và giáo dục: 1.3.1. Mục đích nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu nhằm đưa ra những phương pháp phù hợp để giúp học sinh giải các bài toán về phép chia hết trong tập hợp N, từ đó học sinh có kĩ năng vận dụng các phương pháp đã học để giải các bài tập về phép chia hết từ các dạng toán cơ bản đến một số bài tập năng cao, phù hợp với mọi đối tượng Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 2 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N học sinh trường PTDT Nội trú Sông mã. 1.3.2. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hết trong N” trong SGK Toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy Toán 6. Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 6 1.3.3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp N”.Cụ thể là : - Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán về phép chia hết. - Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 1.3.4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực hành - Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần Phép chia hết. 1. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, làm vững chắc thêm các kiến thức lí thuyết. Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tói việc lặp đi lặp lại với mục đích học thuộc những kí hiệu, quy tắc, định lí, công thức, cách làm…đã học và làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thành thạo. Trong thực hành, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà còn nhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các bài toán khác nhau.Vì thế trong dạy học toán, bên cạnh việc cho học sinh luyện tập một số chi tiết, bài tập cụ thể, giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh thực hành phát triển kĩ năng. I. Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết. 1. Định nghĩa Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x 2. Các dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2 Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại c) Dấu hiệu chia hết cho 5 Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 3 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25) Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 hoặc 125. f) Dấu hiệu chi hết cho 11 Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. 3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết + 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0 + a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0 + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c + Nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n) + Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên. + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n + Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết. Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương pháp sau: 1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k ( k  N) hoặc a = m.k ( m chia hết cho b) Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7 Giải aaaaaa = a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7 Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. Giải Ta có : abcabc = abc000  abc = abc .(1000+1) = abc .1001 = abc .11.7.13 nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13. Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11 Giải Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 4 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N Gọi 2 số đó là ab và ba . Ta có : ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11 2. Phương pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết. 2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu * Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm như sau: - Viết a = m + n mà m  b và n b - Viết a = m - n mà m  b và n b * Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dưới dạng tổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b. Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng : a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Giải a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2. Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1)  3 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tổng của 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4 Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n. 2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích. Để chứng minh a chia hết cho b (b  0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: + Ta chứng minh a.m chia hết cho b; (m, b) = 1  a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n + Biểu diễn a = a1 . a2,, b = b1.b2, Rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với  a, b là số tự nhiên. Giải Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với  a. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với  b Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3. Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với  a, b mà (3,5) = 1. Vậy (1980 a + 1995b) chia hết cho 15 Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n  N) Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2 Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2) Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 5 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N  4.n.(n+1) chia hết cho 8  2n.(2n + 2) chia hết cho 8 * Giáo viên nhận xét : Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết. 3. Phương pháp 3: Dùng định lí về chia có dư Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k  N. Rồi xét tất cả các trường hợp của r. Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2. Giải Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k - Với n = 2k +1 ta có: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2. - Với n = 2k ta có : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = 2.(2k+3)(k+3) chia hết cho 2. Vậy với mọi n  N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2. Ví dụ 8: Chứng minh rằng: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4. Giải a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2) Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0;1;2 - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3  n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3 - Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên) Thì n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3 Do đó n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3 - Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên) Thì n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3 Do đó n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3 Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 6 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp. 4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng. Ví dụ 9: Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72 Giải 28 Ta có 10 + 8 = ( 100... 0 + 8) = 100 . . . 08 có tổng các chữ số bằng 9 nên 28 chữ số 0 27 chữ số 0 chia hết cho 9. 1028 + 8 = = 1000. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8. 27 chữ số 0 Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8  (8.9) hay 1028+ 8  72. *Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng như trên. 5. Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet. Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”. Ví dụ10: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5. Giải Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4. Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư (Nguyên tắc Đirichlet). Vậy hiệu của 2 số chia hết cho 5. III. Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết Bài 1: a) Tìm tất cả các số x,y để số 34 x5 y chia hết cho 36. b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4 ,5 . Giải 34 x5 y Vì (4;9) = 1 nên chia hết cho 36 khi và chỉ khi 34 x5 y chia hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4. Ta có: 34 x5 y chia hết cho 4 khi và chỉ khi 5y chia hết cho 4 . Vậy y 2; 6. 34 x5 y chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9 Hay (12+x+y) chia hết cho 9 Vì x,y là các chữ số nên x+y   6;15. Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại) Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9 Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 b) Ta có : 21xy  5 thì y  0;5. Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 7 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4 Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 nếu x 0  4 do đó x  0; 2; 4 ; 6 ; 8. (1) 21x 0  3 khi và chỉ khi (2 + 1 + x + 0)  3 hay (3+ x) 3 do đó x  0; 3; 6; 9. ( 2) Kết hợp (1) và ( 2) ta có x  0; 6. Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160 Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211 Giải Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a 0b; ab0; ba 0; b0a Tổng của các số đó là: a 0b  ab0  ba 0  b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hết cho 211. Bài 3: Cho A = 2 +22 +23 + ... +260. Chứng minh rằng : A 3; A 7; A  15 Giải 2 3 60 *A = 2 +2 +2 + ... +2 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + ...+ (259 + 260) = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + ... + 259 (1+2) = 2.3+ 23. 3 +.... +259. 3 = 3.(2+ 23 + ... + 259) chia hết cho 3 *A = (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + ... + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) +... + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ ... + 258.7 = 7( 2+24 +... + 258) chia hết cho 7 *A = (2+ 22+ 23 + 24) + ... + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) +... + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + ... + 257) chia hết cho 15. Vậy A chia hết cho 3, A chia hết cho 7 và A chia hết cho 15. Bài 4 : Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6. a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b. Giải a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 vì (a - b)  6 và 6b  6 b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6 vì (a- b)  6 và 18b6 c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6 vì ( a - b )  6 và 12b  6 Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 199493) chia hết cho 5. Giải 2n 2 n n Ta có: 9 = (9 ) = 81 = ...1 Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 8 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N 199493 = (19942)46. 1994 = ...6 46. 1994 = ...6 .1994 = ...4 Do đó: 92n + 199493 = ...1 + ...4 = ...5 chia hết cho 5 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) Giải Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2) Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) khi và chỉ khi 4 chia hết cho (n+2) Hay (n+2) là ước của 4. Tức là (n+2)  { 1; 2;4} nên n  { 0;2} Vậy với n  {0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2) Cách 2: (3n+10) chia hết cho (n+2) Mà (n+2) chia hết cho (n+2) nên 3(n+2) chia hết cho (n+2) Do đó [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2) Hay 4 chia hết cho (n+2) đến đây giải tiếp như ở cách 1. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1 Giải Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1)  3n + 1  d  4.( 3n + 1)  d 4n + 1  d 3. ( 4n+1)  d  ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d 1d d=1  ( 3n + 1, 4n + 1) = 1 Bài 8: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Giải Có 45 -2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm ( từ 2 đến 9). Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5 = 40 học sinh ( ít hơn 43 học sinh) Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Bài 9: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y. Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 9 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N Giải Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31  ( 6x + 42 y)  31  6 ( x + 7y )  31 mà ( 6, 31 ) = 1  ( x + 7y )  31 ( đpcm). Bài 10: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3. Tìm dư cho phép chia số đó cho 462. Giải Gọi số cần tìm là a. Theo bài ra, ta có a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thương và là các số tự nhiên). Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2)  6 a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2)  7 a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1)  11 suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6,7,11) = 462  ( a + 8)  462  ( a + 8 ) = 462. m ( m  N)  a = 462. m - 8 = 462.(m - 1) + 454  a = 462.n + 454 ( n  N) Vậy a chia cho 462 dư 454. 2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết". Các bài toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh. Với đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã, các em thường “sợ” học bộ môn toán và coi đây là môn học khó. Các em có thói quen nhìn thấy những bài tập khó, phức tạp hơn sách giáo khoa là thường chán nản không muốn làm. Do đó việc tìm ra đối tượng học sinh khá giỏi trong môn toán là rất khó khăn. Việc tìm ra các phương pháp giải toán cụ thể cho mỗi dạng toán để các em vận dụng vào giải các bài tập là một việc làm hết sức cần thiết nhằm nâng cao hiệu quả học tập bộ môn toán. 2.3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 10 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N *Biện pháp 1: Xây dựng cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản và các phương pháp giải cụ thể về “phép chia hết” trong tập hợp N: Đây là điều kiện cần thiết không thể thiếu, nó là nền móng để học sinh ghi nhớ, nắm chắc các kiến thức cơ bản một cách có hệ thống. Các kiến thức đó phải được sắp xếp theo trình tự hợp lí, logic. Đồng thời học sinh phải nhận rõ được mối quan hệ gắn bó giữa các đơn vị kiến thức trong môn học cũng như mối quan hệ kiến thức liên môn. Việc nhận diện chính xác các đơn vị kiến thức và sắp xếp một cách có hệ thống, điều đó mới chỉ đạt được một nửa yêu cầu, nghĩa là mới chỉ dừng lại ở mức độ học tập nghiên cứu về phương diện lí thuyết, nửa còn lại phụ thuộc vào khả năng vận dụng thực hành những kiến thức lí thuyết vào việc giải các dạng bài tập cụ thể bằng nhiều cách khác nhau một cách hợp lí và sáng tạo, đạt hiệu quả cao. Trong giờ học, giáo viên cho học sinh ôn tập, hệ thống lại toàn bộ các kiến thức cơ bản về phép chia hết ( Được trình bày ở mục I. Trước hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.) Các kiến thức này đã được học trên lớp như định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và các tính chất về quan hệ chia hết. Ngoài ra giáo viên cung cấp thêm cho học sinh một số dâu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 11, cho 25 mà trong quá trình làm bài tập các em vận dụng. Sau khi học sinh đã có được hệ thống kiến thức cơ bản về “phép chia hết” giáo viện cho học sinh tự tìm tòi ra các phương pháp giải các bài tập về phép chia hết. Nếu học sinh còn lúng túng, hay chưa tìm ra được các phương pháp cụ thể, giáo viên có thể hướng dẫn hoặc cung cấp cho học sinh các phương pháp đó (Được trình bày ở mục II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết). Sau đó cho học sinh vận dụng các phương pháp đã học để làm các dạng bài tập cụ thể (Được trình bày ở mục III. Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết) * Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 1: Học sinh được hệ thống hoá lại các kiến thức cơ bản về “phép chia hết” trong tập hợp N, đồng thời có được các phương pháp giải cụ thể về các dạng toán về “phép chia hết”. Học sinh bước đầu vận dụng làm được một số bài toán cơ bản. *Biện pháp 2: Tổ chức thực hiện việc bồi dưỡng học sinh Giáo viên xây dựng nội dung chương trình cụ thể, có kế hoạch ôn tập chi tiết và biện pháp cụ thể, chọn lựa đối tượng học sinh có khả năng học tập bộ môn. Ôn tập theo kế hoạch bồi dưỡng “ôn tài năng trẻ” của nhà trường. Ngoài ra giáo viên có thể đưa một số bài tập cho học sinh về tự làm ở nhà, sau đó kiểm tra, đánh giá cụ thể. * Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 2: Hoạt động dạy học bồi dưỡng học sinh khá giỏi đã có nề nếp tương đối ổn định trong nhà trường, học sinh say mê học tập hơn, giáo viên nhiệt tình, có trách nhiệm cao hơn trong công việc. Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 11 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N *Biện pháp 3: Tổ chức kiểm tra, đánh giá năng lực học tập của học sinh: Việc làm này được tiến hành theo nhiều hình thức khác nhau nhằm đánh giá năng lực học tập của học sinh sau mỗi dạng kiến thức, cụ thể là phần nội dung kiến thức về phép chia hết trong tập hợp N một cách khoa học, khách quan và chính xác. - Kiểm tra bằng hệ thống các bài tập mang tính áp dụng các phương pháp đã học, đòi hỏi tính độc lập sáng tạo của học sinh. Qua hình thức bài tập này giáo viên có thể phát hiện được khả năng tư duy sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội, vận dụng kiến thức. Nếu thiếu tư chất này thì khó có thể đào tạo, bồi dưỡng học sinh theo kiến thức chuyên sâu. - Kiểm tra bằng cách tạo ra những tình huống phức tạp cần phải vận dụng linh hoạt các kiến thức và các phương pháp đã học để giải bài tập và tìm tòi hướng giải mới, hay hơn các cách đã học. Từ đó đánh giá được khả năng thích ứng và xử lí tình huống của học sinh trên cơ sở vận dụng thực hành. * Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 3: Kiểm tra, đánh giá học sinh là một hoạt động được tiến hành thường xuyên, đảm bảo tính khách quan, chính xác, khoa học đã mang lại hiệu quả thiết thực. Sau khi kiểm tra, đánh giá giáo viên nắm bắt được khả năng nhận thức các kiến thức của học sinh. Từ đó có biện pháp rèn luyện phù hợp, giúp các em có thể nắm vững kiến thức và có kĩ năng vận dụng thực hành giải toán tốt hơn. *Biện pháp 4: Tổ chức tổng kết rút kinh nghiệm: Giáo viện tổ chức ôn tập, tổ chuyên môn nhà trường cùng bàn bạc, trao đổi, rút kinh nghiệm những ưu, nhược điểm của nội dung ôn tập về phép chia hết trong N đối với đối tượng học sinh của nhà trường, từ đó thống nhất các nội dung, biện pháp thực hiện để đạt được kết quả cao nhất. * Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 4: Đúc rút kinh nghiệm trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi: Giáo viên không chỉ cần có kiến thức mà cần phải có kinh nghiệm; học sinh phải có khả năng và lòng yêu thích, lòng say mê, sáng tạo trong môn toán. 2.4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, trong quá trình giảng dạy môn toán 6 và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường PTDT Nội trú Sông mã năm học 2010-2011, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán. * Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 12 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau: Thời gian Áp dụng đề tài Từ Chưa 6/9/2010 áp đến dụng 9/10/2010 Từ 11/10/2010 Đã áp đến dụng 10/11/2010 Số HS giải được theo các mức độ Tổng Từ Từ Từ 0 -20% Trên 80% số 20-50% 50-80% Bài tập Bài tập HS Bài tập Bài tập SL % SL % SL % SL % 36 25 69 10 28 1 3 0 0 36 10 28 20 55 4 11 2 6 Thời gian thực hiện đề tài trên còn ngắn, qua quá trình kiểm tra, đánh giá thấy được số lượng học sinh giải được các bài tập về “phép chia hết” trong tập hợp N đã tăng lên rõ rệt. Do đó cần tiếp tục trao đổi, rút kinh nghiệm để thống nhất các biện pháp thực hiện trong thời gian tới. 3. KẾT LUẬN 3.1. Ý nghĩa của đề tài trong công tác giảng dạy: Phần " Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên" ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này rất hay sử dụng. Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách ( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp. Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được. 3.2. Nhận định chung: Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 13 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N một nâng cao là phải làm như vậy. 3.3. Những bài học kinh nghiệm: Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần " Phép chia hết trong tập hợp N " ở lớp 6. Chắc chắn nó chưa được hoàn chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều khó khăn, bản thân tôi muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để năm học tới được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà. 3.4. Ý kiến đề xuất: Để hoàn thiện các biện pháp thực hiện đề tài, chúng tôi mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các cấp quản lí chuyên môn, các đồng nghiệp để đề tài thực sự đi và thực tế dạy học trong nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt là chất lượng giáo dục mũi nhọn ở trường PTDT Nội trú Sông mã. Kính mong Phòng GD&ĐT Sông mã tạo điều kiện, quan tâm, đầu tư cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy học phù hợp với yêu cầu đổi mới nội dung, phương pháp dạy học. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sông mã, ngày 12 tháng 02 năm 2010 Người thực hiện Đèo Thị Kiểu Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 14 Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trung học cơ sở 2. Nâng cao và phát triển Toán 6 3. Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập Toán 6 4. Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học cơ sở Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã. 15
- Xem thêm -