Skkn các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục

  • Số trang: 26 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục MỤC LỤC A. Phần mở đầu.................................................................................................. 1. Lý do chọn đề tài........................................................................................ 2. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................... 3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 4. Mục tiêu nghiên cứu................................................................................... B. Phần nội dung................................................................................................ 1. Cơ sở khoa học đề xuất SKKN.................................................................. 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu............................................................. 3. Giải pháp thực hiện.................................................................................... 4. Nội dung cụ thể ......................................................................................... 4.1. Những kiến thức liên quan................................................................. 4.1.1. Nguyên hàm .............................................................................. 4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm.................................................. 4.2. Tích phân ........................................................................................... 4.2.1. Định nghĩa tích phân.................................................................. 4.2.2. Tính chất của tích phân.............................................................. 8 4 . 2 . 3 . P h ư ơ n g p h á p t í n h t í c h p h Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 1 1 2 2 2 3 3 4 5 6 6 6 7 8 8 8 Trang 1 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục â n............................................................................................................ 4.3. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục........................................................................................................... 4.3.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm........................... 4.3.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản........................ 4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục.... 4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải.................... 4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm.................... 4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân..... 4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân........................... 4.4.1.4. Sai lầm khi đổi biến số....................................................... 4.4.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải........................ 4.4.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số.................... 4.4.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số....................................... 5. Kết quả ...................................................................................................... C. Kết luận và kiến nghị..................................................................................... 1. Kết luận...................................................................................................... 2. Đề xuất và kiến nghị .................................................................................. Tài liệu tham khảo.............................................................................................. Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương 9 9 10 10 10 10 11 12 13 14 14 15 17 18 18 19 20 Trang 2 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục Đề tài: “CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học hay còn gọi là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân... Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại số. Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, ... Nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể. Học sinh lớp 12 khi ôn thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên đề này. Những người mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 3 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. Tôi vui lòng giới thiệu đến các đồng nghiệp và những người yêu Toán sáng kiến kinh nghiệm: “Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục”. 2. Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12. 3. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A2 và 12A8 – Trường THPT Kiên Lương 4. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em. Mặc dù đã tham khảo một lượng lớn các tài liệu tham khảo hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm nhưng vì năng lực và thời gian có hạn rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường, góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bộ môn Toán của trường phổ thông. Giúp các em tránh những sai lằm thường gặp trong giải toán nguyên hàm – tích phân trong các kỳ thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng. Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 4 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục B. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề thi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán. Năm học 2012 – 2013, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A2 và 12A8 của trường THPT Kiên Lương, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 5 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp 12A2 tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này. 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” 2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như: - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 6 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. 2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như: - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức NewtơnLeibnitz; - Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác)…; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần. 3. Giải pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau: 3.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng; - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 3.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp... - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...; - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề; - Phương pháp: phương pháp giải toán. 3.3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế; - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 7 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay). 3.4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh. 3.5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 3.6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản; - Phân dạng bài tập và phương pháp giải; - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao; - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 4. Nội dung cụ thể 4.1. Những kiến thức liên quan 4.1.1. Nguyên hàm 4.1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'  x   f  x  với mọi x thuộc K. 4.1.1.2. Định lí: * Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 8 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục * Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số. f  x  dx . Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là � f  x  dx  F  x   C (C: hằng số) Khi đó: � 4.1.1.3. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: f '  x  dx  f  x   C � Tính chất 2: kf  x  dx  k � f  x  dx � Tính chất 3: � f  x  �g  x  � dx  � f  x  dx �� g  x  dx � � � (k là hằng số khác 0) 4.1.1.4. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4.1.1.5. Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp x  1 x dx  C �  1 1 dx  ln x  C � x  e dx  e � x x C 1 (ax  b)1 (ax  b) dx  C � a 1 1 1 dx  ln ax  b  C � ax  b a 1 eaxbdx  eaxb  C � a  cos x.dx  sin x  C � mx  n a � 1 amx n dx  C m ln a a xdx  � 1 cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C � a ax C lna 1 sin x.dx   cos x  C � sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C � a 1 .dx  � (1  tan 2 x)dx  tan x  C 2 � cos x 1 .dx  � (1  cot 2 x)dx   cot x  C 2 � sin x dx  tan(ax  b)  C � cos (ax  b) a 1 1 2 1 1 dx   cot x  C � sin (ax  b) a 2 4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm 4.1.2.1. Phương pháp đổi biến số Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 9 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục f  t  dt  F  t   C và t  u  x  là hàm số có đạo hàm liên Định lí: Nếu � tục thì f  u  x   .u'  x  dx  F  u  x    C � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 10 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục 4.1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K thì u  x  .v'  x  dx  u  x  .v  x   � u'  x  .v  x  dx � udv  uv  � vdu Hay viết gọn là � 4.2. Tích phân 4.2.1. Định nghĩa tích phân Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), b f  x  dx kí hiệu là � a b f  x dx  F  x  a  F  b   F  a  (Công thức Newton – Leibnitz) Khi đó: � b a 4.2.2. Tính chất của tích phân Tính chất 1: Tính chất 2: b b a a kf  x  dx  k � f  x  dx � b b b a a a � f  x  �g  x  � dx  � f  x dx �� g  x dx � � � b Tính chất 3: (k là hằng số) c b f  x dx  � f  x dx  � f  x dx � a a với a  c  b c 4.2.3. Phương pháp tính tích phân 4.2.3.1. Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b  . Giả sử hàm số x    t  có đạm hàm liên tục trên  ;  sao cho a      , b      và a �  t  �b với mọi t � ;  b  a  f  x dx  � f    t   . '  t  .dt Khi đó: � 4.2.3.2. Phương pháp tích phân từng phần Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 11 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây Định lý: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì b u  x  .v'  x  .dx   u  x  .v  x   � a b b b a b � u'  x  .v  x  .dx a b u.dv  uv a  � vdu Hay viết gọn là � a a 4.3. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 4.3.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ 1. Chứng minh rằng F ( x)  (1  x)e  x là một nguyên hàm của hàm f ( x)  xe  x trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g ( x )  ( x  1)e  x . * Lời giải có sai lầm: F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R. g  x  dx  �  x  1 e � x dx  � xe  x dx  � e  x dx  �   1  x  e x  C � e  x  C � � � � � �  (1  x)e  x  e  x   xe  x . * Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: g  x  dx  �  x  1 e � x dx  � xe  x dx  � e  x dx  �   1  x  e  x  C1 � e  x  C2 � � � � � �   xe  x  C với C = C1 – C2. tan xdx Ví dụ 2. Tính tích phân � sin x dx . cos x tan xdx  � * Lời giải có sai lầm: I  � 1 sin x � � u du  dx � � cos 2 x Đặt � cos x � � � � dv  sin xdx v  cos x � � �I  1 cos x sinx .cos x  � 2 dx  1  I � 0  1 (Vô lý) cos x cos x * Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 12 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục d  cos x  s inx dx   �   ln cos x  C cosx cosx * Lời giải đúng: I  � tan xdx  � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 13 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục 4.3.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản  2x  1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I  � 5 * Lời giải có sai lầm: I  �  2x  1 5  2x  1 dx  6 6 C * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: x n dx  Học sinh vận dụng công thức � x n 1  c với n ≠ – 1 n 1 * Lời giải đúng: Đặt 2x + 1 = t dt t6  2x  1  C 5 5 dt � dt  2dx � dx  � � 2x  1 dx  t  C   � 2 2 12 12 6 4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 3 Ví dụ 4. Tính tích phân I  �x  1dx 0 3 3 3 1 1  * Lời giải có sai lầm: I  �x  1dx  �x  1.d  x  1  2 x 1 0 2 0 0 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? 3 3 0 0 1 2 3 3 2 14 * Lời giải đúng: I  �x  1dx  �  x  1 .d  x  1   x  1 2  3 0 3 4 1 Ví dụ 5. Tính tích phân I  �  2x  1 dx 0 1 * Lời giải có sai lầm: I  �  2x  1 4  2x  1 dx  0 Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương 5 5 1  0 2 5 Trang 14 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm x  1 1 (ax  b)1  x dx   C thay vì � (ax  b) dx  C của hàm hợp, đã dùng �  1 a  1  1 * Lời giải đúng: I  �  2x  1 4  2x  1 dx  5 1 2.5 0 1 5  0 (Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t  2x  1 ) * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi tưng ứng với u  ax  b . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 7 2 a) I  1 dx b) I  � x3 3 �x  4dx 2 2 d) I  � 1 4 1  2x  1 2 dx 1  3x 1 e) I  � dx 1  2x  1 dx c) I  � 3 0  12 � � � � cos �  4x � dx f) I  � 6  6 4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 1 Ví dụ 6. Tính tích phân I  dx �  x  1 2 3 1 * Lời giải có sai lầm : I  1 dx �  x  1 2  3 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y  * Lời giải đúng: Hàm số y  1  x  1 2 1 1 1    1 x  1 3 2 2 1  x  1 2 không xác định tại x  1 � 3;1 không xác định tại x  1� 3;1 suy ra hàm không liên tục trên  3;1 , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 15 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục * Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo b f (x)dx cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục thói quen: Khi tính � a trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. * Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 5 3 dx a) I  � (x  4)4 0 1 2 x(x  1) dx b) J  � 2 2  2 1 x 3 .e x  x 2 dx d) L  � 3 x 1 1 c) K  dx 4 � cos x 0 4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 1 xe  x dx Ví dụ 7. Tính tích phân I  � 0 1 1 1 1 1 x2 1 �1 � e  1 xe dx  � xdx.� e dx  .  e x   . �  1� * Lời giải có sai lầm : I  � 0 2 0 2 �e � 2e 0 0 0 x x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng: I    xe x  1 0 1 � e  x dx  0 1  x 1 e  2 e  0 e 2 * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm: Biểu diễn f  x  dx về dạng u.dv  u.v'dx - Chọn u sao cho du dễ tính dv - Chọn dv sao cho dễ tính v  � - Áp dụng công thức * Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 0 x ln  x  2  dx a) I  � 1  2 b) I   2x  1 sin xdx � 0 Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương  2 c) I   x 2  x  cos xdx � 0 Trang 16 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục   x  ecos x  sin xdx d) I  � 0  e x sin xdx e) I  � 0 Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 17 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục 4.4.1.4. Sai lầm khi đổi biến số 1 2 Ví dụ 8. Tính tích phân I  �1  x dx 0 * Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint � dx = costdt 1 1 1 1 1  cos2t t sin 2t 1 1 � I  �1  sin t .cos t.dt  � cos t.dt  � .dt  (  )   sin 2 2 2 4 0 2 4 0 0 0 2 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng: Đặt x = sint � dx = cost.dt Đổi cận: x  0 � t  0; x  1 � t   2  2  2  2  1  cos2t t sin 2t 2  � I  �1  sin 2 t .cos t.dt  � cos 2t.dt  � .dt  (  )  2 2 4 0 4 0 0 0 * Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng b I  �c2  x 2 dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách a đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t 1 Ví dụ 9. Tính tích phân I  � 0 dx  2x  1 5 * Lời giải có sai lầm: Đặt x = 2x + 1 Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  3 3 3 dt t 4 20 � I  �5   t 4 1 81 1 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng: Đặt t  2x  1 � dt  2dx ; Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  3 3 3 dt t 4 10 � I  �5   2t 8 1 81 1 Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 18 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi * Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 2 dx b) I  � 2 1 x 0 a) I  �4  x dx 0  2  1 2 c) I  � sin 5 xdx 0  3 1 3 e) I  �. ln x  dx x 1 d) I  � sin x.e dx cos x 0 2 f) I  2 cos xdx � 1  sin x 0 Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. 4.4.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 4.4.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 2 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I  �4x  4x  1dx 0  2x  1 * Lời giải có sai lầm: I  �4x 2  4x  1dx  � 2x  1 dx  �  2x  1dx  2 0 2 2 0 2 4 0 2 2 2 0 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai  2x  1 2  2x  1 với x � 0; 4 thay vì dùng  2x  1 2  2x  1 với x � 0; 4 * Lời giải đúng: Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 19 Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục 2 2 1 2 2 2 1 9 5 I  �4x  4x  1dx  � 2x  1 dx  � 2x  1dx  �  1  2x dx  �  2x  1dx    4 4 2 1 0 0 0 0 2 2 2 * Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng: 2n � f  x � � � thì dùng phép biến đổi 2n 2n � f  x � � �  f  x 2n ( n ≥ 1, n nguyên). Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau  3 a) I  �1  sin 2xdx 3 2 b) I  �x  2x  xdx 0 0  3 2 �2 1 � I  x  2  2� dx � � c) x � � 1 2 2 d) I  �tg x  cot g x  2dx  6 2 4.4.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 1 4 3 0 1 x2 x Ví dụ 11. Tính tích phân I  � dx * Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint � dx = costdt . 1 4 Đổi cân: x  0 � t  0;x  � t  arcsin arcsin �I 1 4 arcsin 3 sin t 1 4 3 sin t arcsin 1 4 � 1  cos t cos t.dt  �cos t cos t.dt  �sin 0 2 0 1 4 3 t.dt 0 Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1  x 2 thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 9, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x = 1/4 ta không tìm chính xác được t * Lời giải khác: Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 20
- Xem thêm -