Skkn các bài toán về tính tổng - toán 6

  • Số trang: 15 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 19 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

A: lý do chän ®Ò tµi I C¬ së lý luËn: M«n to¸n lµ mét m«n khoa häc ,nh÷ng tri thøc ,kü n¨ng to¸n häc cïng víi ph¬ng ph¸p lµm viÖc trong to¸n häc trë thµnh c«ng cô ®Ó häc tËp nh÷ng m«n khoa häc kh¸c , m«n to¸n lµ c«ng cô cña nhiÒu ngµnh khoa häc . M«n to¸n gióp cho häc sinh h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn nh÷ng ph¬ng ph¸p, ph¬ng thøc t duy vµ ho¹t ®éng nh to¸n häc ho¸ t×nh huèng thùc tÕ, thùc hiÖn vµ x©y dùng thuËt to¸n ,ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò . Nh÷ng kü n¨ng nµy rÊt cÇn cho ngêi lao ®éng trong thêi ®¹i míi . M«n to¸n gãp phÇn ph¸t triÓn nh©n c¸ch con ngêi , ngoµi viÖc cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc , kü n¨ng to¸n häc, m«n to¸n gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung nh ph©n tÝch, tæng hîp , trõu tîng ho¸ , kh¸i qu¸t ho¸. Ta thÊy ®îc m«n to¸n cã vai trß rÊt quan träng trong ®êi sèng vµ trong kü thuËt . V× vËy ngêi thÇy ph¶i cã ph¬ng ph¸p d¹y häc ®Ó ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh ,nhÊt lµ häc sinh giái . Theo nh yªu cÇu cña bé m«n to¸n nãi chung , m«n to¸n 6 nãi riªng ,mçi tiÕt häc ph¶i h¹n chÕ lý thuyÕt kinh viÖn mµ chñ yÕu khai th¸c s©u bµi tËp vµ thùc hµnh . Trong mçi bµi tËp , ngêi thÇy ph¶i gióp hoc sinh ph©n tÝch tõng khÝa c¹nh cña bµi to¸n , råi khai th¸c ph¸t triÓn bµi to¸n ®ã , thËm trÝ ph¶i lËt ngîc l¹i vÊn ®Ò . NÕu lµm ®îc viÖc ®ã th× häc sinh cµng hiÓu s©u s¾c bµi to¸n , d¹ng to¸n. Tõ ®ã sÏ kÝch thÝch ®îc tÝnh tß mß , kh¬i dËy cho häc sinh tÝnh s¸ng t¹o, khai th¸c ®îc tiÒm n¨ng vÒ m«n to¸n cña häc sinh . Trong kho tµng to¸n häc cã v« vµn nh÷ng bµi to¸n hay trong ®ã cã hai bµi to¸n tÝnh tæng : A= 1  1  ....  1 1.2 2.3 99.100 A=1.2+2.3+...+99.100. §îc ¸p dông réng r·i , nÕu khai th¸c ®îc bµi to¸n nµy ta thÊy ®îc nhiÒu ®iÒu thó vÞ . Víi lý do ®ã t«i chän viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm “Khai th¸c vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n” . II C¬ së thùc tiÔn : a §èi víi häc sinh : §a sè häc sinh kÓ c¶ lµ häc sinh giái khi gi¶i xong bµi to¸n lµ ®· b»ng lßng víi kÕt qu¶ ®ã .ChÝnh v× lý do ®ã nÕu thay ®æi 1 mét vµi d÷ kiÖn th× häc sinh lóng tóng. Cô thÓ bµi to¸n tÝnh tæng : A= 1  1  ...  1 . NÕu ta thay ®æi 1.2 2.3 99.100 1.2=2;2.3=6;...;99.100=9900 Bµi to¸n trë thµnh tÝnh tæng A= 1  1  ...  1 . 2 6 9900 Th× häc sinh lóng tóng mÆc dï ®· biÕt c¸ch gi¶i bµi to¸n tríc ®ã . Trong thùc tÕ nÕu biÕt khai th¸c vµ ph¸t triÓn bµi to¸n nµy th× ta thÊy b¸i to¸n rÊt hay . b §èi víi b¶n th©n : Khi gi¶ng d¹y t¹i trêng T.H.C.S.Hng §¹o,mét trêng cã bÒ dÇy thµnh tÝch d¹y tèt , häc tèt .ThÓ hiÖn t¹i c¸c ®ît héi gi¶ng ,®ît thi häc sinh giái c¸c cÊp. §Ó ®¹t ®îc nh÷ng thµnh tÝch ®ã ,b¶n th©n t«i còng nh c¸c b¹n ®ång nghiÖp ph¶i thêng xuyªn häc hái lÉn nhau ,®ång thêi ®äc c¸c tµi liÖu tham kh¶o . Tõ ®ã t×m tßi hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cho phï hîp . XuÊt ph¸t tõ viÖc gi¶ng d¹y hai bµi to¸n tÝnh tæng: A= 1  1  ...  1 . 1.2 2.3 99.100 A=1.2+2.3+...+99.100. Lµ nh÷ng bµi to¸n ®îc ¸p dông réng r·i trong toµn cÊp häc . MÆt kh¸c hai bµi to¸n nµy cßn cã sù t¬ng ®ång vÒ c¸ch khai th¸c vµ ph¸t triÓn . NÕu cµng khai th¸c ta cµng thÊy nhiÒu bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i ®éc ®¸o ,c¸c c¸ch gi¶i nµy l¹i cã mèi quan hÖ dµng buéc lÉn nhau . b biÖn ph¸p thùc hiÖn 2 §Ó ®¹t ®îc hiÖu qu¶ cao trong d¹y vµ häc cô thÓ lµ ®èi víi c¸c bµi to¸n nµy , mét trong c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn tèt nhÊt lµ ph¶i x©y dùng hÖ thèng c¸c bµi tËp hîp l« gÝc . Ta ph¶i khai th¸c bµi to¸n theo tõng m¶ng ,mçi m¶ng ta l¹i chia thµnh tõng phÇn ,sao cho mçi phÇn cã sù liªn kÕt chÆt chÏ víi nhau vÒ cÊu tróc cña bµi to¸n còng nh vÒ ph¬ng thøc gi¶i to¸n . §èi víi mçi bµi to¸n sau khi gi¶i ®Òu cã phÇn nhËn xÐt vÒ thÓ lo¹i vµ híng ph¸t triÓn .§Ó thÊy ®îc sù t¬ng tù trong c¸c bµi to¸n hoÆc thªm mét vµi d÷ kiÖn , hoÆc lËt ngîc vÊn ®Ò ®Ó cã ®îc bµi to¸n míi cã néi dung phong phó vµ phï hîp h¬n . BiÖn ph¸p cô thÓ: a:bµi to¸n I: TÝnh tæng : A= 1  1  ...  1 . 1.2 2.3 99.100 Trong phÇn nµy cã 9 bµi to¸n ®ù¬c khai th¸c tõ bµi to¸nI b:bµi to¸n ii : TÝnh tæng : A=1.2+2.3+...+99.100. Trong phÇn nµy còng cã 9bµi to¸n ®îc khai th¸c tõ bµi to¸nII. Hai bµi to¸n IvµII ®Òu thuéc d¹ng dÉy c¸c phÐp to¸n viÕt theo quy luËt . Ta còng cã thÓ coi bµi to¸n II lµ bµi to¸n khai th¸c tõ bµi to¸n I v× ta chØ cÇn nghÞch ®¶o mçi sè h¹ng cña tæng A trong bµi to¸n I lµ ta ®îc bµi to¸n II. Hai bµi to¸n nµy khi gi¶i ta ®Òu ph¶i t¸ch mçi sè h¹ng trong tæng thµnh hai sè h¹ng cã dÊu kh¸c nhau. Hai bµi to¸n nµy ta thÊy nhiÒu sù t¬ng ®ång vÒ cÊu tróc ,còng nh vÒ c¸ch khai th¸c. 3 TÝnh tæng A= 1  1  ....  1 1.2 2..3 99.100 Híng dÉn: Ta cã: 1 1   1 .2 1 1 1   2.3 2 bµi to¸n I 1 2 1 3 ................... 1 1 1   99.100 99 100 VËy A=1- 1  1  2 2 1 A=1100 99 A= 100 1 1 1  ....   3 99 100 Tæng qu¸t : 1 1 1 n B= 1.2  2.3  ....  n(n  1)  n  1 NÕu sè h¹ng ®Éu tiªn cña B kh«ng ph¶i lµ 1 k ( k  1) . Th× 1 1 C= k (k  1)  ....  n(n  1) : n  k 1 C= k (n  1) víi k n 4 1 1.2 mµ b¾t ®Çu tõ *NhËn xÐt : Ta thÊy: 1.2=2 2.3=6 3.4=12 . ............ . 99.100=9900 VËy ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 1: H·y tÝnh tæng : D= 1  1  1  ....  1 2 6 12 9900 Híng dÉn : D= 1  1  1  ....+ 1.2 2.3 D= 99 100 3.4 1 99.100 * NhËn xÐt : NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi to¸n ngäc Bµi to¸n :2 T×m sè tù nhiªn a biÕt 1 1 1 1 99    ...   1.2 2.3 3.4 a.(a  1) 100 Híng dÉn : 1 a 1 1    ...+ a( a  1) a  1 1.2 2.3 Nªn a  99 a  1 100 VËy a=99 *NhËn xÐt: Ta thÊy : 5 1 1 .22 2 .3 3 2 3 .4 6 2 ................. 99.100  4950 2 Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n : Bµi to¸n 2: TÝnh tæng : 1 1 1   ...  4950 F= 1 3 Híng dÉn F= 2  2 2 1.2 2.3 99.100 1 1 1 F  2.(   ...  ) 1 .2 2 .3 99.100 99 F  2. 100 99 F  50  ...  * NhËn xÐt : Ta thÊy 99 kh«ng lµ sè nguyªn tõ ®ã cã ®îc bµi to¸n 100 Bµi to¸n 4 Chøng minh r»ng : A= 1  1  ...  1 kh«ng lµ sè nguyªn . 1.2 2.3 99.100 Híng dÉn : Ta tÝnh A= 99 100 Tæng qu¸t : 1 1 1 B= 1.2  2.3  ...  n(n  1) còng kh«ng lµ sè nguyªn * NhËn xÐt : Ta thÊy 6 1.2=2! 2.3=3! 3.4<4! 4.5<5! ........... 99.100<100! vµ ®¬ng nhiªn ta cã bµi to¸n Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng : G= 1  1  1  ...  1  1 2! 3! 4! 100! Híng dÉn : Ta cã : G< 1  1  1  ...  1 1.2 2.3 3.4 99.100 VËy G<1 Tæng qu¸t : 1 1 1   ...  , ,  1 2! 3! n! Còng t¬ng tù ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng : I 1 1 1  2  ...  1 2 2 3 1002 Híng dÉn : I< 1  1  ...+ 1  99 1.2 2.3 99.100 100 VËy I<1 Tæng qu¸t : 1 1 1  2  ...  2  1 2 2 3 n * NhËn xÐt : Khai th¸c bµi to¸n nµy ta cã : 1 3  22 4 1 8 1 2  3 9 ................. 1 1 1 9999  2 100 10000 Mµ 1 1 1  2  ...  1 2 2 3 1002 7 nªn ta cã bµi to¸n : Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng : 3 8 9999   ...   98 4 9 10000 Híng dÉn : Ta cã : 3 8 9999 1 1 1   ...  1  2  1  2  ...  1  4 9 1000 2 3 1002 1 1 1 99  ( 2  2  ...  )  99  1 98 2 3 100 2 * NhËn xÐt : Còng tõ viÖc I  12  12  ...  1 2 2 3 100 ta ®îc bµi to¸n : Bµi to¸n 8: Chøng minh r»ng : I 1 1 1 1  2  ...  2 2 3 1002 kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn . Tæng qu¸t : 1 1 1  2  ...  2 2 2 3 n kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn . * NhËn xÐt : Ta thÊy víi 100 sè tù nhiªn lín h¬n 1 kh¸c nhau a1 , a2 ,..., a100 1 1 1 1 1 1  2  ...  2  2  2  ...  2 a1 a2 a100 2 3 1002 : gióp ta t×m ra bµi to¸n . Bµi to¸n 9: T×m c¸c sè tù nhiªn lín h¬n1 kh¸c nhau 1 1 1  2  ...  2 1 2 a1 a2 a100 Híng dÉn : Ta cã : 0 1 1 1 1 1 1  2  ...  2  2  2  ...  1 2 a1 a2 a100 2 3 1002 8 a1 , a2 ,..., a100 sao cho vËy kh«ng cã sè tù nhiªn nµo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Çu bµi . *NhËn xÐt : NÕu ta nghÞch ®¶o mçi sè h¹ng cña bµi to¸n I ta®îc bµi to¸n míi. bµi to¸n II TÝnh tæng : A=1.2+2.3+3.4+...+99.100. Híng dÉn : 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3. 3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+...+99.100(101-98). 3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.10198.99.100. 3A=99.100.101. A=99.100.101:3. A=333300. Tæng qu¸t : 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2):3 NÕu tæng B cã sè h¹ng ®Çu tiªn kh«ng ph¶i lµ 1.2mµ lµ k. (k+1) ta cã : C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+...+n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)k(k+1)(k+2)]:3 víi n k . *NhËn xÐt : Ta thÊy : 1.2= 2 2.3=6 3.4=12 .............. 99.100=9900 VËy ta cã ®îc bµi to¸n khã h¬n . Bµi to¸n 1: TÝnh tæng : D=2+6+12+...+9900. Híng dÉn : D=1.2+2.3+3.4+...+99.100 9 D=333300. NhËn xÐt : Ta coi bµi to¸n II lµ bµi to¸n thuËn th× ta còng suy ra bµi to¸n ®¶o . Bµi to¸n 2: T×m sè nguyªn abiÕt : 1.2+2.3+...+a(a+1)=333300. Híng dÉn : Ta cã : 1.2+2.3+...+a(a+1) = a(a+1)(a+2):3 nªn a(a+1)(a+2):3=333300.  a ( a  1)(a  2) 333300.3 a ( a  1)(a  2) 999900 99.100.101. VËy a=99 *Nh©n xÐt : Ta thÊy: 1 .2 1 2 2 .3 3 2 3 .4 6 2 .............. 99.100  4950 2 VËy ta ®îc bµi to¸n : Bµi to¸n 3: TÝnh tæng : E=1+3+6+...+4950. Híng dÉn : 1.2 2.3 3.4 99.100    ...  2 2 2 2 1 E  (1.2  2.3  3.4  ...  99.100) 2 1 E  333300 2 E 166650. E *NhËn xÐt : Ta thÊy : 10 1 1.2 2 1 2  2.3 2 3.4 2 ............................. 1 2  3  1  2  3  ....  100  99.100 2 VËy ta ph¸t triÓn tõ bµi to¸n trªn thµnh bµi to¸n Bµi to¸n 4: TÝnh tæng : F 1  (1  2)  (1  2  3)  ....  (1  2  3  ...  100) 1.2  2.3  3.4  ...  99.100 Híng dÉn : 1.2 2.3 99.100   ...  2 2 F  2 1.2  2.3  ...  99.100 1 F  2 *NhËn xÐt : Do: 1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+100) =1.100+2.99+3.98+...+99.2+100.1 Ta l¹i ph¸t triÓn bµi to¸n thµnh bµi to¸n kh¸c . Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng: G 1.100  2.99  3.97  ...  100.1 1.2  2.3  ...  99.100 cã gi¸ trÞ b»ng 1 C¸ch gi¶i t¬ng tù . * Nh©n xÐt : . H¬n n÷a : 2.99=2(100-1)=2.100-1.2 3.98=3(100-2)=3.100-2.3 ........................................ 100.1=100(100-99) VËy ta h×nh thµnh nªn bµi to¸n Bµi to¸n 6: TÝnh tæng : I=1.100+2.99+3.98+...+100.1 Híng dÉn: 11 I=1.100+2.99+3.98+...+100.1 =1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+...+100.100-99.100 =100(1+2+3+..+100)-(1.2+2.3+3.4+...+99.100) 101.100  333300 2 505000  333300 100. 171700 * NhËn xÐt : 12 1.1 1.(2  1) 1.2  1. 2 2  2.2  2(3  1) 1.2  2 ............................................ 99 2 99.99 99(100  1) 99.100  99 V©þ ta lËp ®¬c bµi to¸n míi th«ng qua bµi to¸n II. Bµi to¸n 7: TÝnh tæng: H =12  22  32  ...  992 Híng dÉn: H =1.(2-1)+2.(3-1)+...+99(100-1) =1.2-1+2.3-2+...+99.100-99 = 1.2+2.3+...+99.100- (1+2+3+...+99) =333300 - 99.100 2 = 333300-4950 =328350 *NhËn xÐt : Ta ®· thÊy : H 12  22  ...  992 328350 VËy K 22  42  62  ...  1982 b»ng Bµi to¸n 8: TÝnh tæng : K  22  42  ...  1892 Híng dÉn : K  22 (12  22  ...  992 ) K=4.328350 K=1313400 * NhËn xÐt : Ta chia H cho 4 ®îc 12 bao nhiªu ? 12 2 2 992   ...  22 22 22 1 2 99 M ( ) 2  ( ) 2  ...  ( ) 2 2 2 2 2 2 M (0,5)  1  ...  ( 45,5) 2 M  Bµi to¸n 9: H·y tÝnh : M (0.5) 2  12  ...  ( 45,5) 2 §¸p sè=328350:4=8285,5 c :kÕt qu¶ Sau khi ®îc häc xong bµi to¸n nµy häc sinh cã kü n¨ng lµm c¸c bµi to¸n mét c¸ch hîp lý , c¸c em nh×n nhËn mçi bµi to¸n díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau. Tõ ®ã kÝch thÝch ®îc sù tß mß ,sù s¸ng t¹o ,ham häc hái ,kh¸m ph¸ c¸i míi l¹ trong häc tËp m«n to¸n nãi riªng vµ c¸c m«n khoa häc kh¸c nãi chung . §Æc biÖt nhiÒu em häc sinh ®· vËn dông ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n mét c¸ch hîp lý nªn ®· taä ra ®îc nhiÒu bµi to¸n hay ,bµi to¸n khã vµ cã nh÷ng lêi gi¶i ®éc ®¸o . d: bµi häc kinh nghiÖm §Ó ®¹t ®îc hiÖu qu¶ cao trong d¹y häc m«n to¸n . Gi¸o viªn ph¶i cã ph¬ng ph¸p d¹y häc phï hîp víi tõng ®èi tîng häc sinh .Muèn cã cã ®îc ph¬ng ph¸p tèt ®ßi hái ngêi thÇy ph¶i thêng xuyªn häc hái , tù båi dìng nh÷ng kiÕn thøc cho m×nh . §ång thêi ph¶i trang bÞ cho häc sinh nh÷ng ý tëng gi¶i to¸n ,sau ®ã míi rÌn luyÖn nh÷ng kü n¨ng tr×nh bµy lêi gi¶i . Néi dung c¸c bµi tËp khi ph¸t triÓn ph¶i theo mét tr×nh tù l« gÝc tõ dÔ ®Õn khã . Häc sinh ph¶i cã thêi gian tù häc ,trao ®æi ,tù t×m tßi lêi gi¶i ,tù ph©n tÝch vµ ph¸t triÓn mçi bµi to¸n theo nhiÒu híng kh¸c nhau . E :h¹n chÕ Ngoµi nh÷ng kÕt qu¶ ®· ®¹t nh nªu ë trªn th× trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn ¸p dông kinh nghiÖm nµy vµo viÖc híng dÉn gi¶ng d¹y cho häc sinh t«i thÊy nh÷ng h¹n chÕ sau : Sè lîng bµi to¸n cßn Ýt nªn viÖc h×nh thµnh kü n¨ng vµ vËn dông chuyªn ®Ò cßn h¹n chÕ . 13 Do thêi gian cã h¹n nªn néi dung cßn s¬ sµi . C¸c bµi to¸n h¬i khã nªn chuyªn ®Ò chØ ¸p dông ®èi víi häc sinh kh¸ ,giái. F :híng ®Ò xuÊt §Ó t¨ng thªm hiÖu qu¶ vµ kh¾c phôc nh÷ngtån t¹i khi ¸p dông ®Ò tµi , t«i tiÕp tôc ®Ò ra cho m×nh híng gi¶i quyÕt tiÕp theo : TiÕp tôc nghiªn cøu ®Ò tµi “khai th¸c vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n tõ mét bµi to¸n ®¬n gi¶n “vµ ¸p dông trªn líp,®ång thêi theo dâi kÕt qu¶ cña häc sinh ®Ó t×m ra biÖn ph¸p kh¾c phôc nhîc ®iÓm vµ h¹n chÕ cña ®Ò tµi . §a ra héi th¶o chuyªn ®Ò trong tæ chuyªn m«n th¶o luËn ®Ó t×m ra biÖn ph¸p tèi u nhÊt . G ®iÒu kiÖn ¸p dông §Ó ¸p dông chuyªn ®Ò nµy t«i thÊy cÇn ph¶i ®¶m b¶o nh÷ng ®iÒu kiÖn sau: +§èi víi häc sinh : Ph¶i n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ vËn dông linh ho¹t vµo c¸c bµi to¸n kh¸c . Ph¶i cã lßng say mª häc tËp kh«ng ng¹i khã kh«ng ng¹i khæ ,®îc ®Çu t thêi gian , thêng xuyªn ®äc c¸c tµi liÖu tham kh¶o . +§èi víi gi¸o viªn : CÇn cã nhiÒu thêi gian vµ c¸c tµi liÖu tha kh¶o®Ónghiªn cøu vµ ¸p dông vµo c¸c bµi to¸n d¹ng to¸n cô thÓ. Ph¶i cã tr×ng ®é chuyªn m«n v÷ng vµng ®Ó kh«ng nh÷ng cã nh÷nh lêi gi¶i hay mµ cßn khai th¸c vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n hay h¬n ,®a d¹ng h¬n . kÕt luËn Trªn ®©y lµ toµn bé kinh nghiÖm cña t«i ®ã lµ nh÷ng ý kiÕn nhá ®îc rót ra tõ viÖc häc hái vµ gi¶ng d¹y .Víi thêi gian nghiªn cøu cã h¹n nªn møc ®é nghiªn cøu cha s©u nªn b¶n kinh nghiÖm nµy cßn nhiÒu h¹n chÕ . T«i rÊt mong sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó b¶n kinh nghiÖm ®îc hoµn thiÖn vµ ¸p dông cã kÕt qu¶ tèt . T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n. 14 Ngäc s¬n ngµy 15 th¸ng 3 n¨m2004 Ngêi viÕt : Lu v¨n HËu môc lôc A Lý do chän ®Ò tµi I C¬ së lý luËn II C¬ së thùc tiÔn B BiÖn ph¸p thùc hiÖn Bµi to¸n I Bµi to¸n II C KÕt qu¶ D Bµi häc kinh nghiÖm 15 Trang 1 2 2 3 6 12 17 18
- Xem thêm -