DAYHOCTOAN.VN
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU............................................................................................................ 2
1.1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................ 2
1.2. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................. 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu. ........................................................................... 2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .................................................. 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................................... 3
2.1.1. Những kiến thức cơ bản: ......................................................................... 3
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức4
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng: ......................................... 4
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn: ........................................... 5
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip: ....................................................... 6
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của
số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip. ............................................ 6
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải ) ...................................................................................................... 7
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải) ....................................................................................................... 9
2.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn 𝒛 + 𝑨 = 𝒌, 𝑨, 𝑩 ∈ 𝕮, 𝒌 > 𝟎 .
Tìm z sao cho 𝑷 = 𝒛 + 𝑩 đạt min, max. ..................................................... 11
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải) ..................................................................................................... 12
2.1.4.
............ 12
Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức ............................. 14
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN .................................. 19
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:..................................... 20
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy ..................................... 20
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 20
1. Kết luận ....................................................................................................... 20
2. Kiến nghị ..................................................................................................... 21
DAYHOCTOAN.VN
1
DAYHOCTOAN.VN
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm. Mảng
kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện
nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một trong
những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức. Để
giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả
lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh
hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức,
người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án,
chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết. Đó là lí
do tôi chọn đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để
hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số phức,
đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn nhất, nhỏ
nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức
z’’... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức
về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh giá...Tuy nhiên phần lớn
học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng. Với thực trạng như vậy, tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số
phức”. Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng những kĩ năng cơ bản quan trọng
mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài
toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các
năng lực toán học tương đối cao, phức tạp trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là:
* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng,
đường tròn, đường elíp.
* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học,
phương pháp hàm số. lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số
phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức.
* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc
nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy
để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất.
DAYHOCTOAN.VN
2
DAYHOCTOAN.VN
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:
2.2.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng x yi , trong đó 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, và i là số
thoả mãn i 2 1 . Ký hiệu số phức đó là z và viết z x yi .
* i được gọi là đơn vị ảo
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là ℭ .
2.2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
x x
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’
'
'
y y
2.2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.2.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y),
khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
|𝑧| = 𝑂𝑀 = √𝑎2 + 𝑏 2
2.2.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z z ' (a a ') (b b ')i
z z ' (a a ') (b b ')i
2.2.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i
2.2.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức
trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
* zz
* z z' z z'
DAYHOCTOAN.VN
3
DAYHOCTOAN.VN
* z.z ' z.z '
* 𝑧. 𝑧̅ = 𝑎2 + 𝑏 2 = |𝑧|2 = |𝑧̅|2
2.2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
• Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
z-1=
1
1
.z 2 .z
2
a b
z
2
z'
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như
z
z'
z '.z
sau: z '.z 1 2
z
z
• Thương
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính
chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực
thông thường.
2.2.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
* |𝑧 2 | = |𝑧|2 = |𝑧̅ 2 | = |𝑧̅|2 = 𝑧. 𝑧̅. Đặc biệt: Khi |𝑧| = 1 𝑡ℎì 𝑧 =
1
𝑧̅
1
ℎ𝑜ặ𝑐 𝑧̅ = .
𝑧
* |𝑧| là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của mặt
phẳng phức.
* |𝑧 − 𝑧′| là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu
diễn của số phức z’.
𝑧
|𝑧|
* |𝑧. 𝑧′| = |𝑧|. |𝑧′|, | | = |𝑧′|.
𝑧′
* |𝑧| − |𝑧′| ≤ ||𝑧| − |𝑧′|| ≤ |𝑧 + 𝑧 ′ | ≤ |𝑧| + |𝑧′|.
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số
phức
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|3𝑧 + 1 − 𝑖| = |−3𝑧̅ + 2 + 3𝑖|
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈ 𝑅), ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
DAYHOCTOAN.VN
4
DAYHOCTOAN.VN
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a, b,
c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
|3𝑋 + 1 − 𝑖|2 − |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2 CALC X = 0 → −11 → 𝑐 = −11
|3𝑋 + 1 − 𝑖|2 − |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2 + 11 CALC X = 1 → 18 → 𝑎 = 18
CALC X = i → −24 → 𝑏 = −24
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với
học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và
chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính
cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng
trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức
z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| = |𝑚′ . 𝑧 + 𝑎′ + 𝑏′𝑖|
|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|
|𝑚𝑧̅ + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường
thẳng.
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|𝑧 − (𝑎 + 𝑏𝑖)| = 𝑅 𝑣ớ𝑖 𝑅 > 0
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
|𝑧 + 1 − 𝑖| = |−3𝑧̅ + 2 + 3𝑖|
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈ 𝑅), ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
7
5
11
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 + 𝑦 +
=0
4
2
8
7
5
11
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 + = 0
4
2
8
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
DAYHOCTOAN.VN
5
DAYHOCTOAN.VN
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta
tìm a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
(|𝑋 + 1 − 𝑖|2 − |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2 ): (12 − (−3)2 ) − |𝑋|2 CALC X = 0
11
11
→
→𝑐=
8
8
(|𝑋 + 1 − 𝑖|2 − |−3𝑐𝑜𝑛𝑗𝑔(𝑋) + 2 + 3𝑖|2 ): (12 − (−3)2 ) − |𝑋|2 −
CALC X = 1 →
CALC X = i →
−7
5
2
4
→𝑎=
→𝑏=
5
11
8
−7
4
2
7
5
11
4
2
8
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 +
=0
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây
cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh
trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác
cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay,
thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên
dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số phức
z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| = |𝑚′ . 𝑧 + 𝑎′ + 𝑏′𝑖|
|𝑚𝑧 + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|
|𝑚𝑧̅ + 𝑎 + 𝑏𝑖| =|m'.𝑧̅ + a' + b'i|
Mà m ≠ m’ và m ≠ -m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:
b
Ta thường gặp bài toán:
Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa
mãn |𝑧 − 𝑐| + |𝑧 + 𝑐| = 2𝑎 với a > c > 0.
-a
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
c
-c
Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0). Từ điều kiện bài toán,
ta có MF1 + MF2 = 2a. Dựa vào định nghĩa của elip,
ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :
𝑥2
F2
F1
a
-b
= 1 𝑣ớ𝑖 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn
của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.
Phương pháp chung:
DAYHOCTOAN.VN
6
DAYHOCTOAN.VN
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây
cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z.
Bước 2.
•
•
•
•
•
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá.
Khảo sát hàm số để đánh giá.
Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng
với điểm biểu diễn M ∈ (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện
bài toán có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5
cách giải )
Ví dụ 4: Tìm z sao cho z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều kiện
w z 3 i z 1 3i là số thực.
Giải: Giả sử z = x + yi (x, y ∈ 𝑅), khi đó
w x 3 y 1i .x 1 3 y i x 2 y 2 4 x 4 y 6 2x y 4i
Ta có w R x y 4 0 .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x y 4 0 .
Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì
z min OM min OM (d ) , ta được M(-2; 2) z 2 2i .
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
2
2
z x 2 y 2 x 2 4 x 2x 2 8 2 2 .
Vậy z min 2 2 x 2 y 2 z 2 2i
Cách 3. (Phương pháp hàm số) z x 2 y 2 x 2 4 x 2 2 x 2 8x 16
Xét hàm số f(x) = 2 x 2 8x 16 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại 𝑥 =
𝑏
− = −2 min z 2 2 z 2 2i
2𝑎
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
x y 4 0 x y 4 16 x y 2 x 2 y 2
2
x 2 y 2 8 z x 2 y 2 2 2 z min 2 2 x y 2 z 2 2i .
Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
DAYHOCTOAN.VN
7
DAYHOCTOAN.VN
Nhận thấy |𝑧| nhỏ nhất là
= 2√2 tại x = -2, nên y = 2
hay z = -2 + 2i
Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i . Biết số phức z thỏa mãn
điều kiện |𝑧 + 1 − 3𝑖| = |−𝑧 + 1 + 𝑖|
Giải:
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng:
x-y+2=0
Cách 1: (Hình học) Ta thấy |𝑧 − 3 + 2𝑖| nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ
điểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng
7√2
2
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
|𝑧 − 3 + 2𝑖| = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑥 + 4)2
1
49
2
2
= √2𝑥 2 + 2𝑥 + 25 = √2(𝑥 + )2 +
≥√
49
2
=
7 √2
2
Cách 3. (Phương pháp hàm số) |𝑧 − 3 + 2𝑖|=√2𝑥 2 + 2𝑥 + 25
Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 2𝑥 + 25 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại
𝑥=−
𝑏
2𝑎
=
−1
2
min z
7 2
2
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
x y 2 0 ( x 3) ( y 2) 7 49 (x 3 ( y 2)) 2 2 ( x 3) 2 ( y 2) 2
z 3 2i
7 2
.
2
Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
Nhận thấy 𝑓(𝑥) nhỏ nhất là
nên |𝑧 − 3 + 2𝑖| nhỏ nhất là
DAYHOCTOAN.VN
=
49
2
tại x = -2
7 √2
2
8
DAYHOCTOAN.VN
2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5
cách giải)
Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 2 4i 5 .Tìm số phức z có
môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó tập hợp điểm M là
đường tròn I(2;4), bán kính R 5 , có phương trình: ( x 2)2 ( y 4)2 5
Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có
z OM 2 x 2 y 2 ( x 2)2 ( y 4)2 4 x 8 y 20 4 x 8 y 15 4 ( x 2) 2( y 4) 25 (2)
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( x 2) 2( y 4) (12 22 ) ( x 2) 2 ( y 4) 2 5 5 ( x 2) 4( y 4) 5 (3)
Từ (2), (3) ta suy ra:
5 z 3 5
.Vậy:
x 1
z min 5
z 1 2i
y 2
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 2: (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt t x 2 y 2 . Do x 22 y 42 5 x 2 y 2 15 4( x 2 y)
Ta có x 2 y 5x 2 y 2 5.t , Suy ra t 2 15 4 5t 5 t 3 5
x 1
z 1 2i
y 2
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Vậy z min 5
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt x 2 5 sin t , y 4 5 cos t
Ta có : x 2 y 2 2 5.sin t 4 5. cos t 25 4 5 sin t 2 cos t
2
2
Do 5 sin t 2. cos t 5 5 x 2 y 2 45 5 z 3 5
x 1
z 1 2i
y 2
Vậy z min 5
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó z min OM min , z max OM max
Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2 x y 0 .
Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ
x 22 y 42 5
phương trình:
2 x y 0
DAYHOCTOAN.VN
x 3, x 1
A(1;2), B(3;6)
y 6, y 2
9
DAYHOCTOAN.VN
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA OM OB . Hay 5 z 3 5
x 1
z 1 2i
y 2
Vậy: z min 5
x 3
z max 3 5
z 3 6i
y 6
Cách 5. (Phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như
hình vẽ.
B
Ta có z min OM min M trùng với điểm A trên (C) gần O
nhất
4
A
Ta có OI 4 16 2 5
Kẻ AH Ox theo định lý Ta lét ta có:
O
H 2
K
AH OA 2 5 5 1
AH 2 OH 1 z 1 2i
4
OI
2
2 5
M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. Kẻ BK Ox , theo định lý Ta lét ta có:
4
OI
2 5
2
BK 6 OK 3 z 3 6i
BK OB 2 5 5 3
Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 5 5, z2 1 3i z2 3 6i . Tìm
giá trị nhỏ nhất của z1 z2 .
Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn
phương pháp hình học để trình bày lời giải
Ta có
d
• Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là
A
R
I
đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5
-5
• Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là
đường thẳng : 8x 6 y 35 0 .
Dễ thấy đường thẳng không cắt (C ) do d(I; ) =
Min z1 z2 d R
DAYHOCTOAN.VN
15
2
> 𝑅. Theo hình vẽ ta thấy
5
2
10
DAYHOCTOAN.VN
2.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn |𝒛 + 𝑨| = 𝒌, 𝑨, 𝑩 ∈ 𝕮, 𝒌 > 𝟎 .
Tìm z sao cho 𝑷 = |𝒛 + 𝑩| đạt min, max.
Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:
Đặt T = |𝐴 − 𝐵|, khi đó ta có |𝑇 − 𝑘| ≤ 𝑃 ≤ 𝑇 + 𝑘
M
Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là
k
điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn
M1
-A
-B
của số phức –B. Khi đó M thuộc đường tròn tâm là – M2
A, bán kính k.
Ta thấy M1B ≤ 𝑃 ≤ M2B ||𝑨 − 𝑩| − 𝒌| ≤ 𝑷 ≤
|𝑨 − 𝑩| + 𝒌
Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:
Ví dụ 8: Cho |𝑧 − 2 − 4𝑖| = √5. 𝑇ì𝑚 𝑚𝑖𝑛, max 𝑐ủ𝑎 𝑃 = |𝑧 + 1|
Đáp số: 5 − √5 ≤ 𝑃 ≤ 5 + √5
Ví dụ 9: |𝑧 − 2 − 4𝑖| = √5. 𝑇ì𝑚 𝑚𝑖𝑛, max 𝑐ủ𝑎 𝑃 = |𝑧|
Đáp số: √5 ≤ 𝑃 ≤ √5
Ví dụ 10: Cho |𝑧 − 1| = 1. 𝑇ì𝑚 𝑧 để |𝑧 − 𝑖| đạt GTNN
Giải: Dễ thấy GTNN của |𝑧 − 𝑖| là √2 − 1, để tìm z, ta xét hệ
2 − √2
𝑥
=
2
2
(𝑥 − 1) + 𝑦 = 1
|𝑧 − 1| = 1
2
{ 2
{
2
|𝑧 − 𝑖| = √2 − 10
𝑥 + (𝑦 − 1) = 3 − 2√2
√2
𝑦=
2
{
2 − √2 √2
𝑧=
+
𝑖
2
2
Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z
thỏa mãn |𝐴𝑧 + 𝐵| = 𝑘, 𝐴, 𝐵 ∈ ℭ, k > 0 . Tìm z sao cho 𝑃 = |𝐶𝑧 + 𝐷| đạt min,
max.
𝐵
𝑘
𝐵
𝑘
Giải: |𝐴𝑧 + 𝐵| = 𝑘 |𝑧 + | = |𝐴|, ta xem = 𝐴′, |𝐴| = k’
𝑃 = |𝐶𝑧 + 𝐷|
𝑃
|𝐶|
𝐴
𝐷
𝐷
𝐶
𝐶
𝑃
1
3
5
5
= |𝑧 + |, ta xem
𝐴
𝑃
= 𝐵′, |𝐶| = 𝑃′
Đặt T = |𝐴′ − 𝐵′|, ta quay về dạng toán trên
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
|(1 + 𝑖)𝑧 − 2𝑖 + 1| = 1. 𝑇ì𝑚 𝑚𝑖𝑛, max 𝑐ủ𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 𝑐ủ𝑎 𝑃 = (𝑖 + 2)𝑧 − 𝑖 + 1
Giải:
1
3
1
Áp dụng ta có |(1 + 𝑖)𝑧 − 2𝑖 + 1| = 1 |𝑧 − − 𝑖| =
2
𝑃 = |(𝑖 + 2)𝑧 − 𝑖 + 1|
Từ đó
√130
10
−
√2
2
≤𝑃≤
DAYHOCTOAN.VN
= |𝑧 + − 𝑖|, T =
|𝑖+2|
130
√2
√
+
10
2
5
√130
10
√2
11
DAYHOCTOAN.VN
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4
cách giải)
Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết
số phức z thoả mãn điều kiện: z 1 z 1 4
Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:
x2 y 2
1
4
3
Cách 1: (Phân tích thành bình phương) Ta có z OM x 2 y 2 3
Do
x2
4
x2 y 2
x2
1 0
1 3 z 2
4
3
4
Vậy : z min 3 z 3i
z max 2 z 2
x2 y2
Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z 1
4
3
x2 y2
x2 y2
Khi đó: OM x y 4 4 4 OM 2
4
3
4
4
2
2
2
x2 y2 x2 y2
3
3 OM 3
OM x y 3
3
3
4
3
2
2
2
Từ đó, ta được 3 z 2 . Vậy: z min 3 z 3i
z max 2 z 2
Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt x 2.sin t , y 3 cos t , t 0;2
Ta có: OM 2 x 2 y 2 4 sin 2 t 3 cos 2 t 3 sin 2 t
Do 0 sin 2 t 1, t 3 OM 2 4 3 z 2 .
Vậy: z min 3 z 3i
B
z max 2 z 2
M
Cách 4: (Hình học)
A'
Theo hình vẽ ta thấy √3 ≤ 𝑂𝑀 ≤ 2. Vậy :
-2
• |𝑧|𝑚𝑖𝑛 = √3 M B hoặc B’ z 3i
• |𝑧|𝑚𝑎𝑥 = M A hoặc A’ z 2
3
A
O
B'
2
- 3
2.1.4.
Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan
hệ sau với số phức liên hợp của nó:
• 𝑧 + 𝑧̅ = 2. 𝑅𝑒(𝑧)
• 𝑧 − 𝑧̅ = 2. 𝐼𝑚(𝑧). 𝑖
DAYHOCTOAN.VN
12
DAYHOCTOAN.VN
• z là số thực 𝑧 = 𝑧̅
• z là số thuần ảo 𝑧 = −𝑧̅ 𝑧 + 𝑧̅ = 0
Ví dụ 13: Cho số phức z ≠ 1 thỏa mãn
𝑧+1
Giải:
𝑧−1
là số thuần ảo
𝑧+1
𝑧−1
+
𝑧̅ +1
𝑧̅ −1
𝑧+1
𝑧−1
là số thuần ảo. Tìm |𝑧|
=0
𝑧. 𝑧̅ − 𝑧 + 𝑧̅ − 1 + 𝑧. 𝑧̅ + 𝑧 − 𝑧̅ − 1 2𝑧. 𝑧̅ − 2 = 0|𝑧| = 1
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 5 và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?
Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên 𝑖𝑧 + 4 + ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑖𝑧 + 4 = 0 𝑖𝑧 − 𝑖𝑧
̅ +8=0
̅ = −8 𝐼𝑚(𝑧) = 4 → 𝑅𝑒(𝑧) = ±3. Vậy z = ±3 + 4𝑖
𝑖(𝑧 − 𝑧)
Ví dụ 15: Cho số phức z ≠ 1 thỏa mãn |𝑧| = 1 tìm phần thực của
Giải: Ta có: 2.Re(
Re(
1
1−𝑧
)=
1
1−𝑧
1
)=
1
1−𝑧
1
̅̅̅̅̅̅̅
+( )=
1−𝑧
1
1−𝑧
+
1
1−𝑧̅
=
2−𝑧−𝑧̅
1−𝑧−𝑧̅ +𝑧𝑧̅
1
1−𝑧
= 1. Vậy
2
1
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn |𝑧|−𝑧 có phần thực bằng 4. Tính |𝑧|
Giải: Từ giả thiết, ta có
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1
1
1
1
2|𝑧| − 𝑧 − 𝑧̅
+(
+
=8 2
)=8
|𝑧| − 𝑧
|𝑧| − 𝑧
|𝑧| − 𝑧 |𝑧| − 𝑧̅
|𝑧| − |𝑧|(𝑧 + 𝑧̅) + 𝑧.̅𝑧
=8
2|𝑧|−𝑧−𝑧̅
1
|𝑧|(2|𝑧|−(𝑧+𝑧̅) = 8
= 8 |𝑧| =
|𝑧|
)
1
8
Ví dụ 17: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn |𝑧1 | = |𝑧2 | = 1 𝑣à 𝑧1 . 𝑧2 ≠ 1 Tìm phần
𝑧 +𝑧
ảo của 𝑤 = 1 2
1+𝑧1 𝑧2
1
1
𝑧1
𝑧2
Giải: Vì |𝑧1 | = |𝑧2 | = 1 𝑛ê𝑛 𝑧1 = ̅̅̅ , 𝑧2 = ̅̅̅ . Ta có
𝑤=
𝑧1 +𝑧2
1+𝑧1 𝑧2
=
1
1
+
̅̅̅̅
𝑧
𝑧2
1 ̅̅̅̅
1 1
1+̅̅̅̅.̅̅̅̅
𝑧1 𝑧2
=
̅̅̅+𝑧
𝑧
1 ̅̅̅
2
̅̅̅̅̅̅
1+𝑧
1 𝑧2
=𝑤
̅. Vậy w là số thực
Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn |𝑎| = |𝑏| = |𝑐| = 1 , 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 .
Tính w = a2 + b2 + c2
1
1
1
𝑎
𝑏
𝑐
Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = -2abc( + + )
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= -2abc(𝑎̅ + 𝑏̅ + 𝑐̅) = -2abc.𝑎
+𝑏+𝑐=0
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0. Tìm phần
thực của w = z3 – z2 + z
DAYHOCTOAN.VN
13
DAYHOCTOAN.VN
Giải: Ta có
𝑧 7 +1
𝑧+1
= 0 𝑧 7 = −1 |𝑧| = 1 |𝑧|3 = 1
Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 - 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0
1
1
1
1
2−𝑧 3 −𝑧̅ 3
1
1
𝑤 = 1−𝑧 3. Dễ thấy 𝑅𝑒(𝑤) = 2 (1−𝑧 3 + 1−𝑧̅ 3) = 2 (1−𝑧 3−𝑧̅ 3+𝑧 3𝑧̅ 3) = 2
1
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: |𝑧 + | = 2√3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
𝑧
nhất của |𝑧|.
1 2
1
1
Giải: Ta có |𝑧 + | = 12 (𝑧 + ) (𝑧̅ + ) = 12
𝑧
𝑧
𝑧̅
Từ đó 12 =
|𝑧|4 +(𝑧+𝑧̅ )2 −2|𝑧|2 +1
|𝑧|2
≥
|𝑧|4 −2|𝑧|2 +1
|𝑧|2
|𝑧|4 +(𝑧+𝑧̅ )2 −2|𝑧|2 +1
|𝑧|2
= 12
|𝑧|4 − 2|𝑧|2 + 1 ≤ 12|𝑧|2
7 − 4√3 ≤ |𝑧|2 ≤ 7 + 4√3 2 − √3 ≤ |𝑧| ≤ 2 + √3
Vậy:
• Giá trị lớn nhất của |𝑧| là 2 + √3 , đạt được tại z = (2 + √3)𝑖
• Giá trị nhỏ nhất của |𝑧| là 2 − √3 , đạt được tại z = (2 − √3)𝑖
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức
Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh
hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 − 3| + |𝑧 + 3| = 10. Tổng các GTLN và
GTNN của |𝑧| là
A. 10
B. 6
C. 9
D. 13
Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa về elip thì tập hợp điểm biểu diễn của z là
elip có bán trục lớn bằng 5, bán trục bé bằng 4 nên 4 ≤ |𝑧| ≤ 5. Đáp án C
Bài 2: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn |𝑎| = |𝑏| = |𝑐| = 1 𝑣à 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 .
Khi đó w = a2 + b2 + c2 có giá trị là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D
Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các
nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2 điều
kiện đó. Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ có
kết quả bằng 0.
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 2 − 2𝑧 + 5|=|(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)|. Tìm
giá trị nhỏ nhất của |𝑤| với w = z – 2 + 2i
A. |𝑤|𝑚𝑖𝑛 =
3
2
B. |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 2
C. |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 1
D. |𝑤|𝑚𝑖𝑛 =
1
2
Hướng dẫn:
DAYHOCTOAN.VN
14
DAYHOCTOAN.VN
|𝑧 2 − 2𝑧 + 5|=|(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)|
|(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 − 1 − 2𝑖)| = |(𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 3𝑖 − 1)|
|𝑧 − 1 + 2𝑖|(|𝑧 − 1 − 2𝑖| − |𝑧 − 1 + 3𝑖|) = 0
𝑧 = 1 − 2𝑖
(1)
[
|𝑧 − 1 − 2𝑖| − |𝑧 − 1 + 3𝑖| (2)
• Với (1), ta có |𝑤| = 1
• Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình
1
là 𝑦 = − . Do đó |𝑤| có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm
2
(2; -2) đến đường thẳng nên |𝑤| ≥
3
2
Kết luận: |𝑤|𝑚𝑖𝑛 = 1. Đáp án C
Bài 4: Nếu số phức z ≠ 3 và |𝑧| = 3 thì phần thực của
A.
1
3
B.
1
C. 6
6
1
3−𝑧
bằng
D. 3
Hướng dẫn:
Cách 1: Tự luận
Re (
1
1
1
1
1
6−𝑧−𝑧̅
1
) = 2 (3−𝑧 + 3−𝑧̅) = 2 (9−3(𝑧+𝑧̅)+𝑧𝑧̅) = 6 đáp án B
3−𝑧
Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả
1
6
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và |𝑎 − 𝑏| = 2.
1. Tính |𝑎|2 + |𝑏|2
A. 52
B. 56
C. 28
2. Tìm GTLN của M =|𝑎| + |𝑏|.
A. 2√26
B. √56
D. 48
C. √26
D.
√56
4
Hướng dẫn:
1. 𝑎 + 𝑏 = 8 + 6𝑖 𝑎̅ + 𝑏̅ = 8 − 6𝑖 𝑎. 𝑎̅ + 𝑏. 𝑏̅ + 𝑎. 𝑏̅ + 𝑏. 𝑎̅ = 100
|𝑎 − 𝑏| = 2 (𝑎 − 𝑏)(𝑎̅ − 𝑏̅) = 4 𝑎. 𝑎̅ + 𝑏. 𝑏̅ − 𝑎. 𝑏̅ − 𝑏. 𝑎̅ = 4
Cộng các vế ta có: |𝑎|2 + |𝑏|2 = 52. Đáp án A
1
2. Theo câu 1, ta có |𝑎|2 + |𝑏|2 = 52 ≥ (|𝑎| + |𝑏|)2 |𝑎| + |𝑏| ≤ 2√26
2
Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2 điều kiện trên và
|𝑎| + |𝑏| = √24 + √18 lớn hơn √56, √26,
√56
.
4
Đáp án A
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN
của biểu thức 𝑃 = |𝑧 + 1| + |𝑧 2 − 𝑧 + 1|. Tính giá trị của M.m
A.
13√3
4
B.
39
4
C. 3√3
D.
13
4
Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
DAYHOCTOAN.VN
15
DAYHOCTOAN.VN
𝑃 = √(𝑥 + 1)2 + 𝑦 2 + √(2𝑥 2 − 𝑥)2 + 𝑦 2 (2𝑥 − 1)2 =√2𝑥 + 2 + |2𝑥 − 1|
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng
Ta thấy:
f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧 − 3 − 4𝑖| = √5. Gọi M và m lần lượt là GTLN
và GTNN của biểu thức 𝑃 = |𝑧 + 2|2 − |𝑧 − 𝑖|2 .
Tính modul của w = M + m.i
A. |𝑤| = 2√314
B. |𝑤| = √1258 C. |𝑤| = 3√137 D.|𝑤| = 2√309
Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
P - 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4) (𝑃 − 23)2 ≤ (42 + 22 )((𝑥 − 3)2 +
(𝑦 − 4)2 ) = 100 13 ≤ 𝑃 ≤ 33 𝑤 = 33 + 13𝑖 |𝑤| = √1258 . Đáp án B.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN
của biểu thức 𝑃 = |𝑧 3 + 3𝑧 + 𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅|. Tính M + m
A.
7
4
B.
13
4
C.
3
4
D.
15
4
Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z bằng
biến đổi sau:
𝑇ừ |𝑧| = 1 |𝑧̅| = 1. Ta có 𝑃 = |𝑧 3 + 3𝑧 + 𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅| = |𝑧̅||𝑧 3 + 3𝑧 +
𝑧̅| − |𝑧 + 𝑧̅|= |𝑧 2 + 3 + 𝑧̅ 2 | − |𝑧 + 𝑧̅| = 4x2 - 2|𝑥| + 1
Dùng máy tính cầm tay
, ta thấy
Vậy: Min P = 0.75
DAYHOCTOAN.VN
16
DAYHOCTOAN.VN
Vậy: Max P = 3
15
Vậy M + m = . Đáp án D
4
1
Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c = +
2
2
2
2
|𝑎|
|𝑏|
|𝑐|
thức 𝑃 =
+
+
A. Pmin = 1 `
B. Pmin = 2
√3
𝑖.
2
Tính GTNN của biểu
C. Pmin = 3
D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
3
3
𝑃 = |𝑎|2 + |𝑏|2 + |𝑐|2 ≥ 3√|𝑎|2 . |𝑏|2 . |𝑐|2 = 3√|𝑎. 𝑏. 𝑐|2 = 3. Đáp án C
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm GTNN của biểu thức
𝑃 = |1 + 𝑧| + |1 + 𝑧 2 | + |1 + 𝑧 3 |
A. Pmin = 1 `
B. Pmin = 2
C. Pmin = 3
D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
𝑃 = |1 + 𝑧| + |𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. |1 − 𝑧 + 𝑧 2 |
= |1 + 𝑧| + |𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. |𝑧 + 𝑧̅ − 1|
=|𝑧 + 𝑧̅| + |1 + 𝑧|. (|𝑧 + 𝑧̅ − 1| + 1) = 2|𝑥| + √2𝑥 + 2. (|2𝑥 − 1| + 1)
Dùng máy tính cầm tay
ta thấy
Min P = 2 khi z = -1. Đáp án B
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn |
A. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
Hướng dẫn: |
1
2
6𝑧−𝑖
2+3𝑖𝑧
6𝑧−𝑖
2+3𝑖𝑧
3
B. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
4
| ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của |𝑧|
C. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| =
1
3
D. 𝑚𝑎𝑥|𝑧| = 1
| ≤ 1 |6𝑧 − 𝑖| ≤ |2 + 3𝑖𝑧| |6𝑧 − 𝑖| ≤ |3𝑧 − 2𝑖|
1
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ . Dễ thấy giá trị lớn
1
nhất của |𝑧| là .
9
9
Đáp án C.
Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn
|𝑧 + 1 + 𝑖| = |2𝑧 + 𝑧̅ − 5 − 3𝑖| sao cho biểu thức P = |𝑧 − 2 − 2𝑖| đạt GTNN.
Tìm phần thực của z.
DAYHOCTOAN.VN
17
DAYHOCTOAN.VN
A. Re(z) =
8+√7
B. Re(z) =
2
8+√2
2
C. Re(z) =
4+√6
2
D. Re(z) =
12+√2
2
Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2) , khi đó
2
P = |𝑧 − 2 − 2𝑖| = √(𝑥 − 2)2 + ((𝑥 − 2)2 − 2)2 . Để P đạt GTNN thì
3
f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN 𝑡 = 𝑥 − 2 =
2
√6
2
𝑥=
4+√6
2
. Đáp án C
Bài 13: Giả sử z1 , z2 là các số phức khác không, thỏa mãn z12 z1z2 z22 0. gọi
A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của z1 , z2 . Khẳng định nào sau đây đúng
A. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑡ạ𝑖 𝐴
B. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐴
C. ∆𝑂𝐴𝐵 đề𝑢
D. ∆𝑂𝐴𝐵 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑂
Hướng dẫn:
Ta có z13 z23 ( z1 z2 )( z12 z1z2 z22 ) 0 , suy ra:
z13 z23 z1 z2 z1 z2 OA OB .
3
3
Lại có
2
( z1 z2 )2 ( z12 z1z2 z22 ) z1z2 z1z2 nên z1 z2 z1 z2 AB 2 OA.OB OA2
Suy ra AB=OA=OB OAB đều. Đáp án C
1
Cách khác: Chọn 𝑧1 = +
2
√3
𝑖,
2
1
𝑧2 = − +
2
√3
𝑖
2
. Khi đó dễ thấy
z12 z1 z2 z22 0. OA = OB = AB = 1 nên ∆OAB đều. Đáp án C
Bài 14: Cho số phức z 0 thỏa mãn z 3
A. z
2
3
z
B. z
Hướng dẫn: Đặt a z
2
3
z
8
9. Khẳng định nào sau đây đúng.
z3
C. z
2
9
z
D. z
2
3
z
2
8
2
2
(a 0) . Ta có: ( z )3 z 3 3 6( z ) .
z
z
z
z
3
2
8
2
Suy ra: a z z 3 3 6 z 9 6a
z
z
z
3
Do đó a3 6a 9 0 (a 3)(a 2 3a 3) 0
Vì a 2 3a 3 0 , nên a z
2
3 . Đáp án A
z
Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 và |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤ 5.
Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có modul lần lượt nhỏ
nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = |𝑧2 + 2√2𝑧1 |.
DAYHOCTOAN.VN
18
DAYHOCTOAN.VN
A. P = √66
B. P = √33
C. P = 3√2
D. P = 8
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 𝑖| ≥ 3 là
phần bên ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0; 1)
bán kính R1 = 3.
A
R2=5
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 2𝑖| ≤
5 là phần bên trong (kể cả biên) đường tròn tâm I2(2; 2)
bán kính R1 = 5.
2
I2
I1
2
Theo hình vẽ ta nhận thấy
B
• z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là
B(0; -2) hay z1 = -2i
• z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là 𝐴(5 + 2√2; 5 + 2√2).
Vậy |𝑧2 + 2√2𝑧1 | = √66 . Đáp án A.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện SKKN
Tháng 3/2017, trước khi thực hiện việc giảng dạy các phương pháp này tại
lớp 12A1, tôi đã cho học sinh thử làm một đề trắc nghiệm với nội dung sau:
Câu 1: Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2| + |𝑧 + 2| = 6 là
đường nào sau đây:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C.Đường parabol
D. Đường elip
Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn |𝑧 − 2 − 4𝑖| = |𝑧 − 2𝑖|. Số phức z có
modul nhỏ nhất có dạng a + bi, khi đó a + b bằng:
A. 4
B. 0
C. -4
Câu 3: Gọi D là tập hợp các số phức z thỏa mãn
D. 2
z i
1 . Khi đó D là:
zi
A. Trục hoành
C. Đường phân giác y = x
B. Trục tung
D. Đường phân giác y = x
Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn
của các số phức z1 , z2 , z3 biết z1 z2 z3 . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A.
OA OB OC. B. OA OC OB. C. OB OC OA. D. OA OB OC 0.
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn |𝑧| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
𝑃 = |𝑧 3 − 𝑧 + 2|
DAYHOCTOAN.VN
19
DAYHOCTOAN.VN
A. 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
√11
2
B. 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
√13
2
C. 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 2√2
D. 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 3√5
Kết quả thống kê thu được như sau
Năm học
2016-2017
Sĩ
Điểm 9, 10
Điểm 7, 8
Điểm 5, 6
Dưới 5
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
47
0
0%
5
10,6%
25
53%
17
36,4%
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
• Tổ chức cho học sinh học theo nhóm đối tượng, phân chia thành các
nhóm có trình độ tương đương để thiết kế giáo án phù hợp.
• Đối với các nhóm học sinh khá giỏi thì hướng dẫn, gợi ý để các em tìm ra
được nhiều cách giải nhất, sau đó giáo viên bổ sung và tổng hợp.
• Thực hiện trắc nghiệm khách quan để kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh
phương pháp học của học sinh cũng như điều chỉnh nội dung bài giảng,
phương pháp dạy của giáo viên.
2.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng dạy
Sau khi giảng dạy các kĩ năng và phương pháp trên tại lớp 12A1, cũng kiểm tra
với 1 đề bài có độ khó tương tự như đề bài đã nêu ở phần 1. thì kết quả thực sự
khả quan hơn nhiều, nó thể hiện qua thống kê sau:
Năm học
2016-2017
Sĩ
Điểm 9, 10
Điểm 7, 8
Điểm 5, 6
số
SL
%
SL
%
SL
47
7
15%
30
64%
10
%
Dưới 5
SL
21% 0
%
0%
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
SKKN được viết ra qua nhiều suy ngẫm, đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản
thân nên nó mang tính thực tiễn cao. Ta có thể thấy rằng còn có thể mở rộng
phạm vi nghiên cứu của SKKN hơn nữa. Nhưng do sự hạn chế về số lượng trang
viết của một SKKN, nên tôi chưa thể truyền tải hết những kinh nghiệm còn ấp ủ,
thai nghén trong đó. Tuy vậy, bài viết nhỏ này cũng thể hiện được tương đối
nhiều những điều cần thiết nhất.
DAYHOCTOAN.VN
20
- Xem thêm -
.PDF 
21 
1 
124 
