SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ở BẬC THPT
Người thực hiện: Mai Huy Sáu
Chức vụ: Giáo Viên
SKKN thuộc môn: Toán
1
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
Lý do chọn đề tài..................................................................................1
Mục đích nghiên cứu........................................................................... 2
Đối tượng nghiên cứu.......................................................................... 2
Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2
2. Nội dung sáng kiến.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ...................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề .......................................................................... 3
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã được sử dụng
2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ................ 4
2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ .................................. 6
2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác ......................... 12
2.3.4. Một số tích phân cơ bản của hàm số mũ và lôgarit..................... 15
2
2.4. Hiệu quả SKKN ............................................................................ 19
3. Kết luận, kiến nghị............................................................................. 19
1. Mở đầu
Lý do chọn đề tài.
+ Tính tích phân là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ
thi tuyển sinh vào đại học. Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là
nhiệm vụ đặc biệt quan trọng. Trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và
dạy bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thông học sinh
thường lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải, học sinh không biết
bài này thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần.
+ Đối với những bài toán như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi
để phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng
tạo trong giải toán. Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán
“bài toán gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát
hiện lời giải. Xuất phát từ bài toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy
luận” từ đó “quy bài toán lạ” về “bài toán quen” củng cố lòng tin cho học sinh
học toán, say mê với toán và giải toán có hiệu quả. Dạy và hướng dẫn học sinh
giải toán tích phân ở cấp THPT, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh
chủ động giải toán tích phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân
có trong sách giáo khoa, các bài toán tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?”.
+ Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tôi nhận thấy
hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập
tích phân cơ bản thường gặp.
+ Qua giảng dạy, tôi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng
nghiệp một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản
dạng quen thuộc (không có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng
toán tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát và lời giải tổng quát cho tích
phân ấy, mà tôi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải” , suy
luận được khi giải toán tích phân).
Mục đích nghiên cứu:
+ Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập
tích phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất.
+ Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với
đồng nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng
3
dẫn học sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy
học môn Toán ở lớp 12.
Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tích phân cơ bản thường gặp trong chương
trình giải tích lớp 12.
Phương pháp nghiên cứu:
+ Xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Khảo sát thực tế.
+ Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh…
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1) Bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất của nguyên hàm, các tính chất của
tích phân (SGK giải tích lớp 12)
2) Để giải toán tích phân học sinh phải nắm được các vi phân “cơ bản” thường
1
gặp, Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a 0 ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ;
a
dx
= d (ln x) ;
x
1
1
sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k 0
k
k
x
sin x
1
dx = d ( x 2 + a 2 )
dx
=
d
(
)
Các vi phân phức tạp hơn:
;
2
2
2
cos x
cos x
x +a
dx
x
= d ln( x + x 2 + k ) ; (1 − 1 ) dx = d ( x + 1 ) ...
dx = −d ( a 2 − x 2 ) ;
x
x2 + k
x2
a2 − x2
3) Ngoài ra học sinh phải nắm được các vấn đề cốt yếu sau đây:
a) Sử dụng thành thạo định lý Niu tơn – Leibnitz(SGK GT 12):
Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a ; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
b
f ( x ) thì f ( x)dx = F ( x )
a
b
= F ( b) − F ( a)
a
Chú ý: Giả thiết f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] là điều kiện bắt buộc phải có để được
sử dụng định lý. Một số học sinh cứ tưởng có được F ( x ) là tính được tích phân,
chẳng hạn nếu viết I =
3π
4
0
3π
1
dx
f ( x) =
Ta đã bi
ế
t
không
=
tanx
=
1
?
(
)
4
cos 2 x
cos 2 x
0
π
3π
0; nên I không tồn tại.
2
4
b) Phương pháp đổi biến số.
xác định tại x =
4
Cơ sở của nó là định lý sau: Nếu t = ϕ ( x) đơn điệu trên đoạn [ a ; b ] thì
b
,
f (ϕ ( x ))ϕ ( x)dx =
ϕ (b )
ϕ (a)
a
f (t )dt . (SGK giải tích lớp 12)
c) Phương pháp tích phân từng phần.
b
b b
Ta có: udv = uv − vdu . (SGK giải tích lớp 12)
a a
a
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua giảng dạy bài toán tính tích phân, học sinh thường lúng túng gặp nhiều
khó khăn. Không biết bài này dùng phương pháp tính nào đổi biến hay tích phân
từng phần), nếu đổi biến số thì đổi như thế nào(đặt x = t hay t = u ( x ) ), còn
nếu dùng phương pháp tích phân từng phần thì không biết chọn u và dv sao cho
thích hợp…Kết quả khảo sát khi tôi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm
học 2013 2014 khi chưa áp dụng sáng kiến này:
Điểm < 5
Lớp
Sĩ số
12D
12P
Điểm 5
< 8
Điểm 8
số lượng
%
số
lượng
%
số
lượng
%
38
13
34,21
23
60,52
2
5,27
47
17
36,17
24
51,06
6
12,77
Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm dưới trung bình là quá
cao, trong khi đó học sinh đạt điểm giỏi lại quá thấp. Điều này khiến bản thân
tôi phải trăn trở tìm ra phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải các dạng
toán tích phân cơ bản một cách dễ dàng và hiệu quả nhất.
2.3 Các giải pháp được sử dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải các
tích phân cơ bản.
Thông qua một số dạng tích phân cơ bản tôi hướng dẫn cho học sinh các cách
tiếp cận khác nhau, áp dụng vào giải các tích phân đơn giản khác:
Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dưới
dấu tích phân liên tục trong đoạn đang xét):
2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ:
β '
β
f ( x)
dx = ln f ( x)
a) Tích phân I1 =
α
α f ( x)
Ví dụ 1: Tinh tích phân I =
1
0
x3
dx
x 2 +1
5
1
1
x
1 2 1 1 1 2x
1 1
2
)
dx
x
−
−
ln
x
+
1
=
(*) =
0
2 0 2 0 x 2 +1
x2 + 1
2 2
0
Chú ý: Tích phân (*) có dạng I1
Ta c ó: I = ( x −
Bài tập tương tự: Tính I =
b) Tích phân I 2 =
Ta viết
β
1
( x +1) 2 dx (Trích ĐH khối D năm 2013)
x 2 +1
0
f ( x)
dx (với bậc của f ( x ) nhỏ hơn hai)
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
1
2
α
f ( x)
A
B
+
=
( x − x1 )( x − x2 )
( x − x1 ) ( x − x2 )
β
f ( x)
dx với bậc của f ( x ) nhỏ hơn ba
2
(
x
−
x
)(
x
−
x
)
1
0
α
f ( x)
C
A
B
+
+
Ta tìm các hệ số A, B, C sao cho:
=
( x − x1 ) ( x − x0 ) ( x − x0 ) 2
( x − x1 )( x − x0 ) 2
Tích phân
Ví dụ 2: Tính tích phân I =
1
4x + 5
dx
0 x + 3x + 2
2
Mẫu số là tam thức bậc hai có hai nghiệm: x = − 1; x = − 2 , nên ta tìm A, B sao cho:
4x + 5
A
B
=
x 1 x 2
x 2 + 3x + 2
Bằng phương pháp hệ số bất định ta tìm được: A =1; B = 3
Vậy: I =
1
1
1
1
4x + 5
1
1
dx
dx
dx
(
ln
x
1
3
ln
x
2
)
=
+ 3
=
= 3 ln 3 2 ln 2
2
0
x
+
1
x
2
x
+
3
x
+
2
0
0
0
2
x 2 + 3 x +1
dx (Trích ĐH khối B năm 2014)
Bài tập tương tự: Tính I =
2
x
+
x
1
1
Ví dụ 3. Tính tích phân I =
1
Ta có: I =
1
−2 (
0
0
(
1
0
(x
1
2
+ 3x + 2
)
2
dx
1
1
1
dx
dx
1
1 2
dx
+
(
−
)
dx
=
=
2
2
2
x +1 x + 2
x 2 + 3x + 2
0 ( x + 1)
0 ( x + 2)
0
)
x +1 1
1
1
−1
−1
2
3
−
)dx = − ( x +1) − ( x + 2 ) − 2ln
= + 2ln
x+ 2 0 3
x +1 x + 2
4
Ví dụ 4. Tính tích phân I =
2
x+ 2
dx
2
(
x
+
1)(
x
+
2
x
+
4)
0
6
x+2
A
Bx + C
=
+ 2
,
2
x +1
( x + 1)( x + 2 x + 4)
x + 2x + 4
1
1
2
Theo phương pháp hệ số bất định ta có A = ; B = − ; C = . Khi đó:
3
3
3
2
2
2
2
2
dx
1 dx
2x + 2
1 ( x − 2)dx
1 dx
1
I=
−
−
=
dx +
2 .
2
3 0 x +1 3 0 x 2 + 2 x + 4
3 0 x +1
6 0 x2 + 2x + 4
0 ( x + 1) + 3
Ta tìm A; B; C sao cho:
2
Tính
0
dx
( x + 1) 2 + 3
2
ta đổi biến: x + 1 = 3 tant. Từ đó tính được tích phân I
Chú ý : Khi gặp tích phân dạng : I 4 =
β
α
ta có thể đặt : x = a tan t hoặc x = a tan t
Bài tập tương tự: Tính I =
1
0
dx
x2 + a 2
x3
dx (Trích ĐH khối B năm 2012)
3x 2 2
x4
c) Việc sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản giúp ta định hướng cách giải,
chẳng hạn: (1 +
1
1
1
)dx = ( x − ) ' dx = d ( x − ) .
2
x
x
x
2
2
dt = (1 +
1
)dx
x2
Ví dụ 5. Tính tích phân sau I =
Nên ta đặt t = x
I=
3
2
1
x
2
1
1 x
1 x
dx
Ta có:
=
4
1 x4
11 x
x2
1
x2
.
1
x2
3
2
1
2 −1
dt = 1
1
1
ln(
)
= ... =
(
−
)dt
2
2
2
+
1
2
2 2 1 t− 2 t+ 2
2
1t
2
1 x2
dx .
Ví dụ 6. Tính tích phân: I =
3
x
x
1
1
1
−1
−d ( x + )
2
2
1− x
x , nên ta đặt t = x 1
dx = x
dx =
Ta có:
3
1
1
x+x
x
x2 + 2
x2 + 2
x
x
I = ln
4
5
2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ:
a) Tích phân J1 =
dx
x
2
a2
Ta có thể thực hiên theo các cách giải sau:
7
a
sin t
a
cos t
+) Cách 1: Đổi biến số x
+) Cách 2: Đổi biến số x
+) Cách 3: Đổi biến số t x x 2 a 2
+) Cách 4: Đổi biến số t ln( x x 2 a 2 )
1
1
+) Cách 5: Ta viết x 2 a 2
x a
x a và đặt t =
( x a)
x a
x a
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận.
4
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau : I =
Đối với tích phân I ta đặt x =
3
còn khi x = 4 thì t =
6
4
3
2
sin t
. Vậy I =
dx
x
2
3
2
dx
x2 1
4
2 cos tdt
. Đ
ổ
i c
ậ
n
khi x =
thì t =
3
sin 2 t
dx
3
4
; J =
dt
(Ta sẽ nói kỹ về tích phân này ở phần
sin t
6
sau). Đối với tích phân J ta đặt t = x
3 +2 2
Tích phân J =
1+ 2
x
2
1 thì ta được :
dx
x2
dt
.
1 t
3+ 2 2
dt
= ln t
= ln(1+ 2) .
t
1+ 2
b) Tích phân J 2 =
β
α
dx
x2 + a2
Ta có thể thực hiện theo các cách giải sau:
+) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t
+) Cách 2: Đổi biến số x = cot t
+) Cách 3: Đổi biến số t = x + x 2 + a 2
+) Cách 4: Đổi biến số t = ln( x + x 2 + a 2 )
+) Cách 5: Đổi biến số x 2 + a 2 = a + tx
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
8
Tích phân J 3 =
β
x 2 + a 2 dx
α
+) Cách 1: Đổi biến số x = a tan t
+) Cách 2: Đổi biến số x = a cot t
u = x2 + a 2
+) Cách 3: Tích phân từng phần
dv = dx
du =
x
x2 + a2
dx
v=x
β 2
β β x 2 dx
x + a2 − a2
2
2 β
−
−
dx =
Khi đó J = J = x x + a
= x x + a
α α a 2 + b2
α α a 2 + b2
β
β
dx
2
2 β
2
2
2
− a + b dx + a
= x a + b
J3 = x x 2 + a 2 + a 2 J 2 (đã có)
2
2
α α
α a +b
+) Cách 4: Đổi biến số t = x + x 2 + a 2
2
2
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận
Ví dụ 8. Tính tích phân sau: I =
2 3
2
Đặt x = 2 tan t
I=
π
3
π
4
dx =
dx
x2 x2 + 4
2
dt và khi x = 2 thì t = , khi x = 2 3 thì t = .
4
3
cos 2 t
cos tdt (tích phân này có thể chuyển về tích phân hàm hữu tỷ khi đặt
4sin 2 t
u = sin t )
Ví dụ 9. Tính tích phân: I =
3
x 2 −1dx ta dùng phương pháp tích phân từng
2
phần: Do biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai , nên ta đặt:
u = x 2 −1
dv = dx
du =
xdx
2
x −1
v= x
3
dx
3 3 x 2 dx
3 3 2
2
−
−
I = x x −1
−
x
−
1
dx
=
x
x
−
1
2
2 2 x 2 −1
2 2
2 x −1
2
3 3 2
hay 2I = x x −1 − x −1dx (Đây là tích phân đã đề cập phần a) tích phân J1)
2 2
2
9
c) Tích phân J 4 =
β
dx
a2 − x2
Đổi biến số x = a sin t hoặc x = acos t
α
1
Ví dụ 9: Tính tích phân I = x
2
0
1
Bài tập tương tự: a)
d) Tích phân: J 5 =
0
x 2 dx
α
1
2 3
( 4− x )
β
π
2
1 − x dx . Ta đặt x = a sin t thì I = 1 sin 2 t cos 2 tdt =..
80
2
; b) x 2 4 − 3x 2 dx
0
dx
với mx 2 + nx + p > 0 , ∀ x R
2
(ax + b) mx + nx + p
1
t
Đổi biến số: ax + b = ta sẽ đưa tích phân J 5 về dạng
Ví dụ 10: Tính tích phân I =
2 3
5
1
t
ta đặt x = ta có dx = −
dx
x x2 + 4
x
a2
(Tích phân J2).
,(ĐH khối A 2003)
1
5
dt
. Khi đó I =
t2
dx
2
1
dt
4t 2 + 1
(tích phân J2)
2 3
Nhận xét: Trong ví dụ 10 nhiều học sinh nghĩ là đặt x = 2 tan t , nhưng vấp phải
việc đổi cận tích phân.
Bài tập tương tự. Tính tích phân I =
4
7
e) Tích phân J 6 =
Cách tính: J 6 =
β
α
β
mx + n
dx
x x2 + 9
; J = J =
2
1
dx
x4 x2 + 1
dx (với a > 0, m 0 )
2
ax + bx + c
β
β
mx + n
d (ax 2 + bx + c)
dx
dx = A.
+ B.
2
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
α
α ax + bx + c
α
Tìm A, B bằng phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11. Tính tích phân: I =
3
5x − 3
2
dx
2 x + 8x + 1
5x − 3
(2 x 2 + 8 x + 1) '
1
=
A
.
+B
Ta tìm A ; B sao cho
2x2 + 8x + 1
2 x2 + 8x + 1
2 x 2 + 8 x + 1
3
5 3 d (2 x 2 + 8 x + 1)
dx
5
Khi đó
=
I
=
−
13
A = ; B = − 13
2
2
4
4
2 x + 8x + 1
2
2 2 x + 8x + 1
2
10
1
2d
5 3 2
= 2 2 x 8 x 1
4
Với J =
3
β
dx
2 x2 + 8x + 1
2
2 x 2 8 x 1 −13J
đưa về dạng
α
dx
x2 + k
(quen thuộc)
2
f) Khi gặp tích phân dạng: x ax 2 + b hoặc dạng ax + b thì đặt t = ax 2 + b
a
còn khi gặp dạng a 2 − b 2 x 2 ta đặt x = sin t sint.
b
Ví dụ 12. Tính tích phân: I =
Vậy: I =
dt = t
2
3
0
x
4 − x2
dx .
tdt = − xdx và x = 0 thì t = 2 ; x = 1 thì t = 3
t 2 = 4 − x2
+) Cách 1:Đặt t = 4 − x 2
2
1
x
=2− 3
3
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a 2 − x 2 nên ta đặt x = 2sin t
π
6
dx = 2costdt . khi đó: I = 2 sin tdt .
0
1
Ví dụ 13. Tính tích phân : I = x 2 − x 2 dx (ĐH khối B – 2013)
+)Cách 1: Đặt t = 2 − x
t = 3 . Vậy: I =
2
1
0
2
tdt = − xdx và x = 0 thì t = 2 ; khi x = 1 thì
t = 2 − x2
2
t3 2
2 2 −1
t dt =
=
.
31
3
2
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a 2 − x 2 nên ta đặt x = 2 sin t
π
π
1
2
dx = 2costdt . khi đó: I = sin 2tdt = − cos2t 2 =1
2
0
0
1
Bài tập tương tự. Tính tích phân I = x 4 + 3x 2 dx ;
0
g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa n ax + b thi ta thường đặt
t = n ax + b
Ví dụ 14: Tính tích phân I =
2
xdx
(ĐH. A2004)
1 1 + x −1
11
dx = 2tdt ;
Đổi biến số dạng 1: Đặt t = x − 1 t 2 = x −1
Đổi cận : khi x = 1 thì t = 0 ; khi x = 2 thì t =1
I =
1
0
( 1 + t ) .2tdt = 2
2
1+ t
1
t + t3
dt (đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ).
1+ t
0
Ví dụ 15. Tính tích phân I =
7
3
0
Ta có I = 1
7
3
30
( 3x +1) + 2
3
x +1
dx
3 3x + 1
dx =
3x +1
7
3
2
1
1
−
3
( 3x +1) + 2 ( 3x +1) 3 d ( 3x +1)
90
5
2 7
1 3
46
( 3x + 1) 3 + 3 ( 3x + 1) 3 3 =
=
9 5
15
0
9
3
Bài tập tương tự: I = x 1 − xdx ; J =
1
1
( x − 1) 2
xdx
0
2.3.3. Một số tích phân cơ bản của hàm số lượng giác:
a) Tích phân K1 =
b
dx
Ta có thể tính bằng các cách đổi biến sau:
sin x
a
x
+) Cách 1: Đặt t = tan 2
dt =
dx
K1 =
b
dt
t
a
x
2
b
b
b
dx
sin xdx
d (cosx)
t = cosx , đưa về cách tính tích
=
=−
+) Cách 2: K1 =
2
2 (Đặt
sin
x
1
−
cos
x
1
−
cos
x
a
a
a
2.cos 2
phân hàm phân thức hữu tỷ)
b) Tích phân K 2 =
b
dx
cosx
a
x
1− t2
Cách 1: Đặt t = tan thay cos x =
2
1+ t2
K2 =
b
dt
2
a 1− t
b
dx b d (sin x)
t = sin x , đưa
=
Cách 2: Nhân tử và mẫu với cosx , ta có K 2 =
2 (Đặt
cosx
1
−
sin
x
a
a
về cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ quen thuộc)
12
x
π x
2 π
b 1 + tan ( − )
b d (tan( − ))
dx
4 2 dx = −
4 2
=
Cách 3: K 2 =
π
x
π
x
π
a sin
a
a
2
tan(
−
)
tan(
−
)
−x
4 x
4 2
2
b
= − ln tan
x π
−
2 4
b
a
b
c) Tích phân dang: K 3 = R ( sin x ;cos x ) dx (trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ)
a
Thông thường ta đưa về tích phân của hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến đặt
t = tan
x
2
i)Trường hợp đặc biệt:
+) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số lẻ đối với sin x thì đặt t = cosx
+) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số lẻ đối với cosx thì đặt t = sin x
+) Nếu R ( sin x; cosx ) là hàm số đều chẵn đối với sin x và cosx thì ta đặt t = tan x
ii) Trường hợp tổng quát: Ta hướng dẫn học sinh áp dụng mệnh đề sau:
b
Giả sử phải tính R ( sin x ;cos x ) dx , ( trong đó R là hàm số phân thức hữu tỉ)
a
Ta kí hiệu ω ( x) = R ( sin x,cos x ) dx gọi là vi phân của hàm phải tính.
+) Nếu ω ( − x ) = ω ( x ) thì ta đổi biến số: u = cosx
+) Nếu ω ( π − x ) = ω ( x ) thì ta đổi biến số: u = sin x .
+) Nếu ω ( π + x ) = ω ( x ) thì ta đổi biếnsố: u = tan x .
Ví dụ 16. Tính tích phân: I =
π
2
0
sin 2 x
dx ( Đề thi TN năm 2006)
2
4 − cos x
sin 2 x
dx . Ta có
x = x nên đổi biến số u = cosx ,
Đặt ω ( x ) =
4 − cos 2 x
1
t
dt , đây là tích phân quen thuộc.
đưa tích phân I =
2
4
−
t
0
π
3
3
sin 3 x
sin
xdx
Bài tập tương tự: Tính các tích phân I =
; J =
dx ;
3
2
+
cos
x
0 cos x. cos x
π
2
Ví dụ 17. Tính tích phân sau: I = cos3 x sin 4 xdx .
0
13
Biểu thức trong tích phân cosx có bậc lẻ (
x =
x ) nên đặt u = sin x , đưa
1
tích phân về dạng: I = (1 − u 2 )u 4 du , áp dụng bảng nguyên hàm ta được I =
π
6
0
2
π
2
π
2
0
0
2
35
Bài tập tương tự: I = sin x dx ; J = sin 2 x.cos3 x.dx ; K = (cos3 x −1) cos 2 x.dx
0
cos x
π
2
4
Ví dụ 18. Tính tích phân sau: I = tan x dx ( Trích ĐH A – 2008)
0
Đặt ω ( x ) =
π
2
cos 2 x
tan 4 x
dx thì có ω ( π + x ) = ω ( x ) nên ta đổi biến số u = tan x ,
cos 2 x
π
2
π
2
1 4
4
t dt
tan
x
tan
x
tan
x
I =
=
=
2 (Tích phân htỷ)
dx =
dx
dx
2
2
2
2
1
−
t
0
cos 2 x
0
0 cos x − sin x
0 cos x (1 − tan x )
4
4
Bài tập tương tự: Tính I =
π
4
−
Ví dụ 19. Tích phân: I =
π
6
π
6
π
4
π
sin 2 xdx
6
dx
; J =
4
2
cos x(tan x − 2 t anx + 5)
cos x ( sin x − cos x )
0
dx (Đề thi HSG tỉnh năm 2005)
3
0 cos x
Cách 1: Ta có I = cos xdx =
π
6
1
2
d (sin x) =
dt (Tích phân hàm hữu tỷ)
2
2
2 2
0 cos x
0 (1 − sin x)
0 (1 − t )
dx
sin xdx
1
Cách 2: Đặt u =
và dv = 2 ta có du =
và v = tan x .
cosx
cos x
cos 2 x
4
π
π 6
1
dx
Vậy 2 I =
(Đưa về tích phân cơ bản K2, đã trình bày cách
tan x 6 +
cos x
cosx
0 0
giải)
Ví dụ 20. Tính tích phân: I =
π
2
0
dx
,
4sin x + 3cos x + 5
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là bậc nhất đối với sin x và cosx , nên
1
dt
1
2dt
1 1 1
t
=
tan
x
I
=
−
.
thông thường ta sẽ đặt
dx =
và
=
= −
2
2
2 t+2 0
1+ t
6
0 (t + 2)
14
Bài tập tương tự: I =
π
2
0
π
2
sinxdx
dx
; J =
2sin x + cos x
2 + cos x
0
2.3.4. Tích phân chứa hàm số mũ và lôgarít.
a) Sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản.
1
dx
Chẳng hạn: dx = d ( x + b) = d (ax + b) với a 0 ; d (e x ) = d (e x + c) = e x dx ; = d ( ln x ) ,
a
x
1
1
sin xdx = − d (cos x) = − d (cos x + b) ; sin kxdx = − d (cos kx) = − d (cos kx + b) , với k 0
k
k
ln 3
x
e
dx .
Ví dụ 21. Tính tích phân I =
x 3
(1 + e )
0
Ta thấy: e dx = d (e +1) nên I =
x
ln 3
x
e dx 2tdt . Vậy I =
x
Bài tập tương tự: I =
d (1 + e x )
x 3
(1 + e )
0
, từ đó đặt t = 1 + e x
e x = t 2 1
2
2
2tdt
dt
22
2
=
=
= 2 1
3
2
t 2
2t
2 t
1
e2 x
0
ex −1
Ví dụ 22. Tính tích phân: I =
dx ; J =
ln 5
(1 + e x )e x
ln 2
e 3
1
ex − 1
dx ( Đề thi TN năm 2006)
3ln x +1.ln x
dx . (ĐH khối B 2004) Vì
x
e
dx
= d (ln x) nên I = 3 3ln x +1ln xd (ln x) . Biểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm
x
1
số ln x . Khi đó đặt t = lnx thì bài toán được giải quyết
Bài tập tương tự: Tính: I =
e3
1
Ví dụ 23. Tính tích phân I = I =
ln 2 x
dx ; J =
x ln x +1
1
2
x
e
1
3 − 2ln x
dx
x 2ln x +1
2 x
x + e + 2x e
dx (ĐH. A 2010)
x
1
+
2
e
0
ex
x 2 + e x + 2 x 2e x
x 2 (1 + 2e x ) + e x
2
Ta có:
=
= x
. Do đó:
1 2e x
1 + 2e x
1 + 2e x
1
I = x 2 dx +
0
được.
1
1
ex
ex
1
x
dx
J
=
dx
e
dx
=
d (2e x + 1) nên J tính
. Đ
ặ
t
. Vì:
x
x
2
0 1 2e
0 1 + 2e
Bài tập tương tự: Tính I =
e
1
x 2e
ln x
x
3
+1
dx
15
π
2
Ví dụ 24. Tính I = (esin x + cos x)cos xdx (Đề thi ĐH khối D năm 2005)
0
π
2
2
Ta viết I = esin x cos xdx + cos 2 xdx .
0
0
2
Vì cosxdx = d (sin x) nên đối với tích phân e sin x cos xdx , ta đặt sin x = t
0
b) Sử dụng thành thạo quy tắc chọn u và dv trong phương pháp tích phân từng
b
b b
phần: Ta có: udv = uv − vdu .
a a
a
Chú ý : Nguyên tắc chung để chọn u, dv như sau: Ta chọn sao cho dv dễ tìm
được nguyên hàm của dv .
Đặc biệt: Giả sử f ( x)dx = f1 ( x). f 2 ( x)dx với f1 ( x) là đa thức thì việc lựa chọn u
và dv phụ thuộc vào f 2 ( x) , cụ thể:
+) Nếu f 2 ( x) là các hàm số lôgarit, các hàm số vô tỷ... thì đặt u = f 2 ( x) .
+) Nếu f 2 ( x) là các hàm số lượng giác, hàm số mũ, ... thì đặt u = f1 ( x)
Tuy nhiên đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và tình huống phức tạp các
bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp.
1
Ví dụ 25. Tính tích phân I = (2 x + 1)e x dx (Đề thi TN năm 2006)
0
Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt :
1
0
1
1
0
u = 2x + 1
dv = e x dx
, ta có
du 2dx
v ex
1
0
Vậy: I = (2 x + 1)e x − 2 e x dx = (2 x + 1)e x − 2e x = e + 1
0
1
Bài tập tương tự: Tính I = ( x − 3).e x dx (trích : đề thi THPT QG năm 2015)
0
2
Ví dụ 26. Tính tích phân I = (2 x3 + ln x)dx (đề thi minh họaTHPTQG năm
1
2
2
1
1
2015); Ta có I = 2 x3dx + (ln x)dx . Theo quy tắc chọn u và dv ở trên thì ta đặt :
dx
u ln x
2
du
1 42
, ta có
x Khi đó: I = x + x ln x
dv dx
1
2 1
v x
2
dx từ đó tính được I.
1
16
3
e
1
1
Bài tập tương tự: Tính K = (2 x ln x)dx (TN năm 2007); J = x 3 ln 2 xdx (ĐH
D2007)
Ví dụ 27. Tính tích phân I =
e
( x 2 + x + 1) ln xdx
2
x
(
x
+
1)
1
( x + 1) 2 − x ln x ln x
( x 2 + x + 1) ln x
ln x
Ta biến đổi như sau :
=
=
−
x
x( x + 1) 2
x( x + 1) 2
( x + 1) 2
Vậy : I =
e
e
ln x
ln x
dx −
dx
2
x
1
1 ( 1+ x)
Ta nhận thấy:
dx
= d (ln x ) , với cách nhìn này thì ta dễ dàng tính được tích phân
x
u = ln x
e
ln x
ln x
dx . Còn tích phân :
dx , ta đặt :
dx và dùng công thức tích
2
dv
=
x
(
x
+
1)
1
1
( x + 1)2
e
phân từng phần ta dễ dàng tính được.
e
x 2 +1 + ( x3 + x ln x + 2) ln x
dx
Ví dụ 28. Tính tích phân I =
(1
+
x
ln
x
)
1
Ta có tử thức : x 2 + 1+ ( x3 + x ln x + 2) ln x = ( x ln x + 1)( x 2 + ln x) + ( x ln x +1) '
e
Do đó : I = ( x 2 + ln x)dx +
1
e
e
( x ln x + 1) '
dx .
x
ln
x
+
1
1
e
( x ln x + 1) '
dx ; I 3 = ln xdx , ta thấy I1, I2 là các dạng tích phân
Đặt I1 = x dx , I 2 =
x ln x + 1
1
1
1
2
e
đã được trình bày ở trên, đối với tích phân I3 theo quy tắc chọn u và dv thì ta đặt
dx
u ln x
e e
du
khi đó
x . Vậy: I 3 = x ln x − dx , đến đây hoàn toàn tính được
dv dx
1 1
v x
Nhận xét: Khi gặp tích phân dạng này ta thường biến đổi như sau:
Giả sử cần tính tích phân có dạng
Bài tập tương tự : J =
f ( x)
dx ta biến đổi là: f ( x) = h( x).g ( x) + g '( x)
g ( x)
2
(ln x 1) x 3 ln x
dx
3
2
x
3
x
1
Ví dụ 28. Tính tích phân I =
8
3
ln x
dx
x +1
17
Tích phân từng phần (biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lôgarit)
u = ln x
dx
+) Đặt
dv =
x +1
Khi đó I = 2
8
x +1
dx (là dạng tích phân quen thuộc và đơn giản)
x
3
2
t = x + 1 dx = 2tdt và x = 3 thì t = 2 , x = 8 thì t = 3
+) Quy về tính I =
Đặt t = x + 1
dx
8
x +1
3
x
dx
Khi đó I = 2 x + 1ln x 1 − 2
x
3
v = 2 x +1
du =
3
3
t2
1
dt
2
= (1 2 )dt ( tích phân hữu tỉ quen thuộc)
2
t 1
2
2 t −1
π
3
1 + ln( x + 1)
3
dx (ĐHA 2012) ; J = 1 + x sin x dx (ĐH B
Bài tập tương tự: I =
2
x
1
cos 2 x
0
2010)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi tìm tòi và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy, bản
thân tôi nhận thấy chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ rệt. Các em học sinh
thực sự hứng thú với môn học, đa số học sinh giải tốt bài tập trong sách giáo
khoa và làm được các bài tính tích phân của các kỳ thi tuyển sinh vào đại học.
Qua kết quả khảo sát thực hiện trên các lớp học năm 20152016(Có cùng điểm
đầu vào so với 2 lớp trong năm học 20132014), chất lượng bài làm của các em
đã đạt kết quả cao hơn so với các năm trước. Kết quả cụ thể :
Điểm < 5
Lớp
Sĩ số
12G
46
Điểm 5
< 8
Điểm 8
số lượng
%
số
lượng
%
số
lượng
%
2
4,34
16
34,78
28
60,88
12C
47
4
8,5
19
40,42
24
51,08
- Bản thân khi trao đổi cùng đồng nghiệp thì được đồng nghiệp ủng hộ và công
nhận tính hiệu quả của sáng kiến khi đồng nghiệp dạy trực tiếp trên các lớp 12.
3. Kết luận, kiến nghị:
Có thể nói việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tích phân cơ bản là một
trong những phần quan trọng của chương trình giải tích lớp 12. Để giúp học sinh
có kỹ năng giải tốt các dạng toán này thì cần:
- Cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán khác nhau, những cách giải khác
nhau.
18
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán theo chiều hướng khác nhau để tìm
ra lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic.
- Phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
- Tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải quyết các bài cơ bản qua
mỗi cách giải tự nhận ra khó khăn(hạn chế), thuận lợi(ưu thế) của mỗi cách
giải mà lựa chọn một cách giải thích hợp nhất cho một bài toán.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy. Rất mong được sự góp ý xây dựng của đồng nghiệp để để sáng kiến
của tôi được hoàn thiện hơn, giúp học sinh học tốt hơn về toán tích phân, nhằm
nâng cao chất lượng giáo dục.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Mai Huy Sáu
19
20
- Xem thêm -
.PDF 
20 
1 
56 
