®Ò TµI SKKN
PHßNG GI¸O DôC EAH’LEO céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Trêng thcs lª lîi
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
--------------****--------------
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tªn ®Ò tµi
Båi dìng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh
nh©n tö cho häc sinh líp 9 trong trêng thcs
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
1
®Ò TµI SKKN
1. LÝ do chän ®Ò tµi
PhÇn I: më ®Çu
1.1. C¬ së ph¸p chÕ
§µo t¹o båi dìng häc sinh trung b×nh yÕu kÐm lµ mét c«ng t¸c thêng xuyªn cña
ngµnh gi¸o dôc & ®µo t¹o. Trong xu thÕ ph¸t triÓn hiÖn nay, t×nh tr¹ng häc sinh ë c¸c
vïng cã ®iÒu kiÖn cßn khã kh¨n bÞ mÊt gèc còng nh häc yÕu m«n to¸n t¬ng ®èi phæ
biÕn. ChÝnh v× vËy, trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, viÖc chèng häc sinh ngåi sai líp diÔn ra
tÝch cùc cho nªn c«ng t¸c cËp nhËt bæ trî kiÕn thøc cho häc sinh lu«n ®îc ngµnh gi¸o
dôc hÕt søc chó träng.
1.2. C¬ së lý luËn
To¸n häc lµ m«n häc gi÷ vai trß quan träng trong suèt bËc häc phæ th«ng. Lµ
mét m«n häc khã, ®ßi hái ë mçi häc sinh ph¶i cã mét sù nç lùc rÊt lín ®Ó chiÕm lÜnh
nh÷ng tri thøc cho m×nh. ChÝnh v× vËy, viÖc t×m hiÓu cÊu tróc cña ch¬ng tr×nh, néi
dung cña SGK, n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc, ®Ó tõ ®ã t×m ra nh÷ng biÖn ph¸p d¹y
häc cã hiÖu qu¶ lµ mét c«ng viÖc mµ b¶n th©n mçi gi¸o viªn ®ang trùc tiÕp gi¶ng d¹y
bé m«n to¸n thêng xuyªn ph¶i lµm.
Trong c«ng t¸c gi¶ng d¹y bé m«n To¸n, viÖc kÞp thêi bæ trî kiÕn thøc cho c¸c
häc sinh trung b×nh, yÕu kÐm t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em cã c¬ héi häc tiÕp lªn c¸c líp
trªn. Hµng n¨m nhµ trêng lu«n tæ chøc båi dìng häc sinh vµo c¸c thêi ®iÓm trong n¨m
®Æc biÖt vµo cuèi n¨m ®· chøng tá tÇm quan träng cña nã.
Ch¬ng tr×nh To¸n bËc THCS cã rÊt nhiÒu phÇn kiÕn thøc c¬ b¶n, trong ®ã
chuyªn ®Ò “Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” lµ mét trong nh÷ng chuyªn ®Ò gi÷ mét
vai trß quan träng, nã gióp cho häc sinh h×nh thµnh kü n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt trªn
c¸c biÓu thøc ®¹i sè. Ch¼ng h¹n, ®Ó thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc ®¹i sè th× kh«ng
thÓ thiÕu viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh sÏ gÆp rÊt
nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sinh kh«ng thµnh th¹o ph©n tÝch biÓu thøc vÕ tr¸i thµnh nh©n
tö, thËm chÝ trong nhiÒu ®Ò thi häc k×, thi vµo líp 10, ... nhiÒu n¨m còng cã nh÷ng bµi
to¸n vÒ chuyªn ®Ò ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, ... ChÝnh v× vËy, viÖc båi dìng cho
häc sinh chuyªn ®Ò vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò mµ
b¶n th©n t«i hÕt søc quan t©m.
1.3. C¬ së thùc tiÔn
N¨m häc nµy, b¶n th©n t«i ®îc Nhµ trêng vµ Phßng gi¸o dôc giao cho nhiÖm vô
®µo t¹o båi dìng häc sinh m«n to¸n 9. §©y lµ c¬ héi ®Ó t«i ®a ®Ò tµi nµy ¸p dông vµo
c«ng t¸c båi dìng häc sinh.
Víi tÊt c¶ nh÷ng lý do nªu trªn, t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi nµy.
2. NhiÖm vô cña ®Ò tµi
- Nghiªn cøu lÝ luËn vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
- X©y dùng hÖ thèng bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö víi c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i
bµi tËp thÝch hîp cho tõng bµi víi møc ®é tõ thÊp ®Ðn cao.
- Thùc nghiÖm viÖc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tö trong gi¶ng d¹y.
- §Ò xuÊt mét sè bµi häc kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu.
3. Giíi h¹n cña ®Ò tµi
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
2
®Ò TµI SKKN
§Ò tµi nµy t«i chØ ®em ra ¸p dông t¹i trêng: Trêng THCS Lª Lîi, huyÖn
EaH’leo, tØnh §¨k L¨k vµ dµnh cho ®èi tîng lµ häc sinh bé m«n To¸n líp 9.
4. §èi tîng nghiªn cøu
Häc sinh giái líp 9 cña Trêng THCS Lª Lîi, huyÖn EaH’leo, tØnh §¨k L¨k.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
§Ó thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, t«i sö dông nh÷ng ph¬ng ph¸p sau ®©y:
a) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn.
b) Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tiÔn.
c) Ph¬ng ph¸p quan s¸t.
d) Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t hãa.
e) Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm.
Ph Çn II : Né i dung ngh iªn cøu
1. Néi dung thùc hiÖn
1.1. C¬ së lÝ luËn
1.1.1. §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) §Þnh nghÜa 1
+ NÕu mét ®a thøc ®îc viÕt díi d¹ng tÝch cña hai hay nhiÒu ®a thøc th× ta nãi
r»ng ®a thøc ®· cho ®îc ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
+ Víi bÊt k× ®a thøc ( kh¸c 0 ) nµo ta còng cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña mét
nh©n tö kh¸c 0 víi mét ®a thøc kh¸c. ThËt vËy:
anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( a n xn + a n 1 xn – 1 + …..+ a 0 ) ( víi c 0, c 1 ).
c
c
c
b) §Þnh nghÜa 2
Gi¶ sö P(x) P x lµ ®a thøc cã bËc lín h¬n 0. Ta nãi P(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn trêng P nÕu nã kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña hai ®a thøc bËc kh¸c 0 vµ nhá
h¬n bËc cña P(x). Trêng hîp tr¸i l¹i th× P(x) ®îc gäi lµ kh¶ quy hoÆc ph©n tÝch ®îc
trªn P.
1.1.2. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a)§Þnh lý 1
Mçi ®a thøc f(x) trªn trêng P ®Òu ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch c¸c ®a thøc bÊt kh¶
quy, vµ sù ph©n tÝch ®ã lµ duy nhÊt sai kh¸c thø tù c¸c nh©n tö vµ c¸c nh©n tö bËc 0.”
b) §Þnh lý 2
Trªn trêng sè thùc R, mét ®a thøc lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi nã lµ bËc nhÊt hoÆc
bËc hai víi biÖt thøc < 0. VËy mäi ®a thøc trªn R cã bËc lín h¬n 0 ®Òu ph©n tÝch
®îc thµnh tÝch cña c¸c ®a thøc bËc nhÊt hoÆc bËc hai víi < 0”.
c) §Þnh lý 3( Tiªu chuÈn Eisenten )
Gi¶ sö f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, lµ mét ®a thøc hÖ sè nguyªn .
NÕu tån t¹i mét sè nguyªn tè p sao cho p kh«ng ph¶i lµ íc cña an nhng p lµ íc cña c¸c
hÖ sè cßn l¹i vµ p2 kh«ng ph¶i lµ íc cña c¸c sè h¹ng tù do a0. ThÕ th× ®a thøc f(x) lµ
bÊt kh¶ quy trªn Q.
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
3
®Ò TµI SKKN
1.2. Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Qua c¸c ®Þnh lý trªn, ta ®· chøng tá r»ng mäi ®a thøc ®Òu ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch
c¸c ®a thøc trªn trêng sè thùc R. Song ®ã lµ mÆt lÝ thuyÕt , cßn trong thùc hµnh th× khã
kh¨n h¬n nhiÒu , vµ ®ßi hái nh÷ng “kÜ thuËt” , nh÷ng thãi quen vµ kÜ n¨ng “ s¬ cÊp”.
Díi ®©y qua c¸c vÝ dô ta xem xÐt mét sè ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a
thøc thµnh nh©n tö.
1.2.1. Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung
Ph¬ng ph¸p nµy vËn dông trùc tiÕp tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp
céng (theo chiÒu ngîc).Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô :
Chuù yù a > 0, a ( a ) 2
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: (C¸c bµi nµy ®¬n gi¶n nªn chØ gi¶i tãm t¾t hoÆc
ghi kÕt qu¶)
2) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) ;
1) 5x – 5y = 5(x – y) ;
3) 12x2y2 – 18xy2 + 30y = 6y(2x2y – 3xy + 5) ;
4) x(y – 1) + 2(1 – y) = (x-2)(y-1)
5) 3 +
=
7( 2 1) ;
3
3
(
3
8)
10)
33
22
13)
ax
by
bx
3x
+6-2
14) 3x -
+ 1) ;
15
; 11) 10 – 2
ay
6
5
6) x - 3
x
=
= 3( 5 2)
; 12)
a b
( x - 3) ; 7) 14 7 =
; 9) ab a = a ( b 1) ;
x
a 2 b2
;
vôùi a,b,x,y döông.
3
; 15) a +
a
ab
; 16) 8
x
+ 4x ; 17)
x
y y
x
18) xm+2 - xm = xm(x2 – 1)
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: (c¸c bµi nµy khã h¬n nªn gi¶i chi tiÕt)
Bµi 19:A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Gi¶i: Ta cã:
P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bµi 21: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Gi¶i: Ta thÊy c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung lµ y – 2z
Do ®ã : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
4
;
®Ò TµI SKKN
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bµi 22 : ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bµi 23: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bµi 24 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)
Bµi 25 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bµi 26 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
1.2.2 . Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö
Ph¬ng ph¸p nµy vËn dông mét c¸ch thÝch hîp tÝnh chÊt giao ho¸n, tÝnh chÊt kÕt hîp
cña phÐp céng, ®Ó lµm xuÊt hiÖn tõng nhãm c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung, råi sau ®ã
vËn dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
1) x (x – y) + x – y = (x – y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y –x (x + y) = (x + y)(2 – x) ;
3) 5x2 – 5xy – 10x + 10y = 5(x – y)(x – 2)
4) 4x2 + 8xy – 3x – 6y ;
5) 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – 2 ;
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
5
®Ò TµI SKKN
6) ab + b
7)
x3
8)
a 3b
a
a 1
y3
x2 y
;
xy 2
ab3 (a b) 2
;
9) bc(b + c) + ca( c – a) – ab(a + b)
10) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc.
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bµi 12 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x6 + x4 + x2 + 1
Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x2 + 2x + 1 – y2
Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + 1 – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bµi 15 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
6
®Ò TµI SKKN
Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = 2xy + z + 2x + yz
Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
1.2.3. Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
Ph¬ng ph¸p nµy dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó ®a mét ®a thøc vÒ d¹ng tÝch, hoÆc luü thõa
bËc hai, bËc ba cña mét ®a thøc kh¸c.
C¸c h»ng ®¼ng thøc thêng dïng lµ :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp cô thÓ:
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ; 2) 1 – 2y + y2 = (1 – y)2 ;
3) x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3 ; 4) 27 + 27x + 9x2 + x3 ;
5) 8 – 125x3 = (2 – 5x)(4 + 10x + 25x2 ; 6) 64x3 +
1
8
; 7) 1 – x2y4 ;
8) (x – y)2 – 4 = (x – y – 2)(x – y + 2) ; 9) 16x2 – 9(x + y)2 ; 10) x + 2
11) x – 2
14) x
x
xy
2
+ y = ( x y) ;
- 8 ; 15) x
x
+y
12) 1 - x
x
; 13) a
a
x
+1
-1;
y
16) (x + y)3 – x3 – y3 = 3xy(x + y); 17) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2
Bµi 17: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x4 + x2y2 + y4
Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bµi 218: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
7
®Ò TµI SKKN
Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (x + y)3 +(x - y)3
Gi¶i: Dùa vµo ®Æc ®iÓm cña vÕ tr¸i vµ ¸p dông h»ng ®¼ng thøc ta sÏ cã c¸ch kh¸c
gi¶i nh sau :
C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = 16x2 + 40x + 25
Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bµi 21: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
Gi¶i: DÔ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)
Tõ ®ã ta cã : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bµi 22: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)
Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
8
®Ò TµI SKKN
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bµi 23: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = x8 – 28
Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
Bµi 24: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
= (x – 1)(x + 3)2
1.2.5. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
B»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (hay ph¬ng ph¸p ®æi biÕn) ta cã thÓ ®a mét ®a thøc víi
Èn sè cång kÒnh , phøc t¹p vÒ mét ®a thøc cã biÕn míi, mµ ®a thøc nµy sÏ dÔ dµng
ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö. Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n dïng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn
phô.
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Gi¶i: §Æt : y = x2 + x , ®a thøc ®· cho trë thµnh :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vµo (1) ta ®îc :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
§Æt y = (x2 + x + 1). §a thøc ®· cho trë thµnh :
A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4)
(*)
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
9
®Ò TµI SKKN
Thay: y = (x2 + x + 1) vµo (*) ta ®îc :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x12 – 3x6 + 1
Gi¶i: B = x12 – 3x6 + 1
§Æt y = x6 (y 0 )
§a thøc ®· cho trë thµnh :
B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y
= (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*)
Thay : y = x6 vµo (*) ®îc :
B = (x6 – 1 - x )( y 1 x )
= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
6
6
Bµi 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12
- §Æt X = x + y, ®a thøc trªn trë thµnh :
A = X2 – X – 12
= X2 - 16 – X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vµo (1) ta ®îc :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)
1.2.6. Ph¬ng ph¸p ®Ò xuÊt b×nh ph¬ng ®ñ ( t¸ch sè h¹ng)
Ph¬ng ph¸p ®Ò xuÊt b×nh ph¬ng ®ñ lµ ph¬ng ph¸p thªm, bít c¸c h¹ng tö trong
®a thøc ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c ®a thøc cã thÓ ®a vÒ h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
1) x3 – 7x – 6
Caùch giaûi 1: Taùch -7x = - x – 6x ñöôïc (x + 1)(x2 – x – 6) roài taùch tieáp - 6 = - 2 –
4.
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
10
®Ò TµI SKKN
Ñaùp soá: (x + 1)(x + 2)(x – 3).
Caùch giaûi 2:Taùch –7x = - 4x –3x ñöôïc (x + 2)(x2 – 2x – 3) roài taùch tieáp – 3 = -1 –
2
Caùch giaûi 3: Taùch – 6 = 8 – 14
2) x3 – x – 6
Caùch giaûi 1: Taùch - 6 = -4 -2 ñöôïc (x2 – 4) – (x + 2) = . . .
Ñaùp soá: (x + 2)(x – 3)
Caùch giaûi 2: Taùch - 6 = - 9 + 3 ñöôïc x2 – 9 – (x – 3) = …
Caùch giaûi 3: Taùch - x = 2x – 3x ñöôïc (x2 + 2x) – ( 3x + 6) = …
3) x4 + 4x2 – 5 = (x4 + 4x2 + 4) – 9 = (x2 + 2)2 – 32 = ….
Bµi 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x2 – 6x + 5
Gi¶i: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn ®©y b»ng mét sè c¸ch nh sau:
C¸ch 1: A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 2 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)2 – 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 3 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 6x + 9) – 4
= (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 4 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 5 : A = x2 – 6x + 5
= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
11
®Ò TµI SKKN
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 6 : A = x2 – 6x + 5
= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
= (x – 1)2 – 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 7 : A = x2 – 6x + 5
= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
C¸ch 8 : A = x2 – 6x + 5
§Æt f(x) = x2 – 6x + 5
DÔ thÊy tæng c¸c hÖ sè cña f(x) b»ng 0 hay f(x) = 0 nªn f(x) chia hÕt cho
(x- 1). Thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho (x –1) ®îc th¬ng lµ (x – 5). VËy
A = (x – 1)(x – 5)
Chó ý: §Ó ph©n tÝch ®a thøc ax2 + bx + c (c 0) b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch sè h¹ng ta
lµm nh sau :
Bíc 1 : lÊy tÝch a.c = t
Bíc 2 : ph©n tÝch t thµnh hai nh©n tö ( xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp) t = pi.qi
B¬c 3 : t×m trong c¸c cÆp nh©n tö pi, qi mét cÆp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bíc 4 : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bíc 5 : tõ ®©y nhãm c¸c sè h¹ng vµ ®a nh©n tñ chung ra ngoµi dÊu ngoÆc.
Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
B = x4 + 2x2 - 3
Gi¶i:
C¸ch 1: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 + 3x2 – x2– 3
= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
C¸ch 3 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
= (x4 – 1) + 2x2– 2
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
12
®Ò TµI SKKN
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
C¸ch 4 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 + 2x2 + 1) - 4
= (x2 + 1)2 – 4
= (x2 + 1)2 – 22
= (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
C¸ch 5 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
C¸ch 6 : B = x4 + 2x2 - 3
= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2
= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)
= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
A = x4 + x2 + 1
Gi¶i:
C¸ch 1 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
C¸ch 2 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
C¸ch 3 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
13
®Ò TµI SKKN
1.2.7. Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
Ph¬ng ph¸p nµy dùa vµo ®Þnh nghÜa hai ®a thøc b»ng nhau, ta cã thÓ tÝnh ®îc c¸c
hÖ sè cña sù biÓu diÔn ®ßi hái b»ng c¸ch gi¶i mét hÖ ph¬ng tr×nh s¬ cÊp.
Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô :
Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Gi¶i: BiÓu diÔn ®a thøc díi d¹ng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hai ®a thøc, ta ®îc hÖ ®iÒu kiÖn :
a c 16
ac b d 12
ad bc 14
bd 3
XÐt bd = 3 víi b, d Z , b 1;3 víi b = 3; d = 1
HÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh :
a c 6
ac 8
a 3c 14
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do ®ã c = - 4 , a = -2
VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
2. KÕt qu¶
T«i ®· øng dông néi dung nªu trªn vµo viÖc båi dìng häc sinh m«n to¸n t¹i Trêng THCS Lª . KÕt qu¶ mµ t«i ®· thu ®îc ®iÓm thi häc k× 1 20% giái, 30% kh¸, 35%
trung b×nh; sau khi s¬ kÕt häc k× 1 lµ 10% giái, 20% kh¸, 40% trung b×nh, 28%, yÕu.
3. Bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn
Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi vµ b¶n th©n t«i lµ ngêi trùc tiÕp thùc hiÖn viÖc
båi dìng häc sinh. T«i ®· rót ra mét sè bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn nh
sau:
- §Ó thùc hiÖn tèt c«ng t¸c båi dìng häc sinh, tríc hÕt gi¸o viªn cÇn ph¶i cã t©m
huyÕt víi nghÒ, cã sù nhiÖt t×nh vµ tÝnh kiªn nhÉn, n¾m v÷ng c¸c thuËt to¸n. CÇn ph¶i
cã mét ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp kÝch thÝch ®îc sù tß mß, n¨ng ®éng, s¸ng t¹o,
tÝch cùc cña häc sinh.
- To¸n häc lµ mét bé m«n khã, c¸c vÊn ®Ò cña to¸n lµ rÊt réng. ChÝnh v× vËy,
gi¸o viªn cÇn ph¶i biÕt ch¾t läc, x©y dùng thµnh mét gi¸o tr×nh «n tËp c¬ b¶n bao gåm
tÊt c¶ c¸c kiÕn thøc cÇn ®¹t cho tõng ®èi tîng häc sinh
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
14
®Ò TµI SKKN
- Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh cÇn thêng xuyªn b¸m s¸t ®èi tîng häc sinh,
theo dâi vµ ®éng viªn kÞp thêi sù cè g¾ng, nç lùc cña tõng häc sinh. §ång thêi, kÝch
thÝch c¸c em ph¸t huy tèi ®a kh¶ n¨ng cña m×nh trong qu¸ tr×nh «n luyÖn, häc tËp. Bªn
c¹nh ®ã, cÇn theo dâi kiÓm tra, uèn n¾n kÞp thêi nh÷ng sai sãt mµ häc sinh cã thÓ m¾c
ph¶i, gióp c¸c em cã niÒm tin, nghÞ lùc vµ quyÕt t©m vît qua nh÷ng khã kh¨n
- Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh còng cÇn hÕt søc tr¸nh cho häc sinh nh÷ng
biÓu hiÖn tù ty, cho m×nh lµ kh«ng lµm ®îc c¸c yªu cÇu cña thÇy. ChÝnh v× vËy, gi¸o
viªn cÇn tá ra sù tin tëng vµo häc sinh, kÞp thêi ®éng viªn khen ngîi c¸c ý kiÕn tèt.
Ph Çn IiI : k Õt luËn ch ung
Båi dìng häc sinh trung b×nh, yÕu kÐm bËc THCS lµ c¶ mét qu¸ tr×nh l©u dµi,
bÒn bØ. Bëi v× c¸c em ®· tr¶i qua c¶ mét qu¸ tr×nh 9 n¨m häc to¸n nhng nÕu mÊt gèc
th× qu¸ tr×nh lÊp lç hæng kiÕn thøc ®ã rÊt khã kh¨n. §Ó kh¾c phôc t×nh tr¹ng ®ã cÇn
ph¶i båi dìng cho c¸c em ngay tõ n¨m häc líp 6. Víi 4 n¨m liªn tôc, cïng víi sù nç
lùc cña c¶ thÇy lÉn trß, ch¾c ch¾n chóng ta sÏ cã Ýt häc sinh yÕu kÐm bé m«n To¸n.
Trªn ®©y, ®Ò tµi cña t«i còng míi chØ ®Ò cËp ®Õn mét vÊn ®Ò nhá trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh – Tuy nhiªn, theo t«i ®©y còng lµ mét trong nh÷ng m¹ch kiÕn thøc rÊt
träng t©m cña ch¬ng tr×nh to¸n.
* KiÕn nghÞ ®Ò xuÊt
- CÇn cã sù quan t©m h¬n n÷a tõ phÝa ban gi¸m hiÖu, cha mÑ häc sinh vµ gi¸o viªn chñ
nhiÖm trong viÖc gi¸o dôc ý thøc häc tËp cho häc sinh.
- CÇn ph©n lo¹i häc sinh ngay tõ ®Çu n¨m häc ®Ó cã kÕ ho¹ch båi dìng kÞp thêi vµ thêng xuyªn trong suèt qu¸ tr×nh häc to¸n ë cÊp THCS.
- T¨ng thªm thêi gian båi dìng cho häc sinh m«n To¸n 9 v× lîng kiÕn thøc to¸n trong
qu¸ tr×nh 4 n¨m lµ qu¸ nhiÒu.
NhËn xÐt ®¸nh gi¸ cña héi ®ång gi¸m kh¶o
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
15
®Ò TµI SKKN
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
.........................................................................................................................
Ngêi viÕt
Chñ tÞch héi ®ång
(Ký tªn, ®ãng dÊu)
NguyÔn ThÞ Nh Thïy
Môc lôc
PhÇn I: Më ®Çu
Trang 2
PhÇn II: Néi dung nghiªn cøu
Trang 3
C¬ së lÝ luËn
Trang 3
C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
Trang 4
KÕt qu¶
Trang 16
Bµi häc kinh nghiÖm
Trang 16
KÕt luËn chung
Trang 17
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
16
®Ò TµI SKKN
Tµi liÖu tham kh¶o
§Ó thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, t«i ®· sö dông mét sè tµi liÖu sau:
- S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viªn To¸n 8, To¸n 9.
- Chuyªn ®Ò båi dìng §¹i sè 8 (NguyÔn §øc TÊn)
“23 chuyªn ®Ò gi¶i 1001 bµi to¸n s¬ cÊp” cña Nhãm t¸c gi¶:
NguyÔn V¨n VÜnh – Chñ biªn, NguyÔn §øc §ång vµ mét sè ®ång nghiÖp
(NKTH).
NguyÔn ThÞ Nh Thïy – Lª Lîi – EaH’leo - §¨k L¨k
17
- Xem thêm -
.DOC 
17 
68465 
122 
