Tài liệu Rèn luyện và phát triển tư duy logic cho học sinh tiểu học qua giải bài toán hình học

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Môn toán ở Tiểu học không chỉ rèn luyện cho các em đơn thuần là khả năng tính toán, mà chủ yếu rèn cho các em năng lực tư duy. Chính bởi sự tư duy sâu sắc mà các em mới có thể nhạy bén hơn trong quá trình học tập nhiều môn học khác và khi tham gia các hoạt động thực tế. Rèn luyện toán học không có nghĩa đơn giản là rèn luyện cho các em trở thành những nhà Toán học, những bậc thầy trong giải toán mà đơn giản chính là rèn luyện tư duy để các em trở nên linh hoạt hơn khi tiếp cận những vấn đề trong đời sống hằng ngày. Mặt khác, nội dung hình học ở Tiểu học là bộ phận cấu thành có khả năng phát triển năng lực trí tuệ và năng lực tư duy mạnh mẽ nhất cho HS tiểu học. Mà chủ yếu các nội dung này được đặc biệt qua tâm ở các lớp cuối cấp (lớp 4, lớp 5). Cụ thể là thông qua các bài toán nâng cao, bồi dưỡng mang nội dung hình học. Với cương vị là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển tư duy logic cho học sinh Tiểu học qua giải bài toán hình học.” 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lí luận phép suy luận, suy diễn, chứng minh trong toán học. - Nghiên cứu cơ sở thực tiễn về giải toán ở Tiểu học. - Nghiên cứu việc vận dụng phép suy luận toán học phù hợp với thực tiễn vào giải toán hình học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các bài toán hình học ở tiểu học - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán lớp 4, 5. 4. Phương pháp nghiên cứu 1 - Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu SGK, STK, một số đề thi HSG liên quan. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 2 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lí luận 1.1. Suy luận là gì? a, Khái niệm - Suy luận là quá trình suy nghĩ từ một hay nhiều mệnh đề rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã có gọi là tiền đề suy luận. Mệnh đề mới gọi là kết luận hay hệ quả logic. - Ta kí hiệu: X 1 X 2 ……X  Nếu X 1 ⇒ Y là một suy luận rút ra từ mệnh đề lớn; Y là kết luận. n X 2 ……X n ⇒ Y là hằng đúng thì ta bảo đó là hợp logic, Y được gọi là kết luận logic hay hệ quả logic. Từ định nghĩa ta thấy: Nếu X 1 X 2 ……X n ¿ 1 và suy luận là hợp logic thì Y ¿ 1 Nếu X 1 X 2 ……X n = 0 và suy luận là hợp logic thì ta chưa thể có kết luận gì về Y. Kết luận được rút ra có thể đúng và cũng có thể là sai. Nếu tồn tại bộ giá trị của (X 1 X 2 ……X n , Y) mà X 1 X 2 ……X n ⇒ Y nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận không phù hợp logic hay suy luận sai. Một suy luận hợp logic là một quy luật logic thường kí hiệu là  X 1 X 2 ....... X n Y X1 X 2 3 Xn Y hay :  Ví dụ: Nếu kí hiệu: X : số tự nhiên chia hết cho 6 1 2 X ¿¿ ¿ ¿ : số tự nhiên chia hết cho 9 Y: số tự nhiên chia hết cho 3 Thì định lí được viết: X 1 ∪ X 2 ⇒ Y. Ta có thể hiểu rằng một số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 6 thì chia hết cho 9. Đây là một suy luận không hợp logic. b. Phân loại suy luận Dựa vào kết luận (hay tính chất suy luận) của các mệnh đề, ta phân ra loại suy luận suy diễn và suy luận quy nạp. - Suy diễn: là suy luận theo quy tắc, đi từ cái chung tổng quát đến cái riêng, cái cần chứng minh. - Suy luận quy nạp: đi từ cái riêng, cụ thể đến cái chung. Kết luận của suy luận quy nạp chỉ mang tính chất ước đoán. Người ta thường gọi các suy luận này là phép suy đoán. Ta xét hai phép suy luận được áp dụng phổ biến trong dạy học toán ở bậc Tiểu học là suy luận suy diễn và suy luận quy nạp. 1.2 Hai loại suy luận, suy đoán và suy diễn a. Suy luận suy đoán (phép quy nạp) a.1 Khái niệm 4 Người ta gọi phép suy đoán là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát tới cái tổng quát hơn; phép suy luận không tuân theo quy tắc chung cho quá trình suy luận mà chỉ dựa trên cơ sở quan sát và thực nghiệm. a.2 Đặc điểm - Quá trình rút ra kết luận luôn tuân theo quy tắc logic. - Nếu suy luận xuất phát từ một tiền đề đúng thì sẽ rút ra một kết luận đúng. - Phép quy nạp được ứng dụng rộng rãi trong trình bày toán học, trong thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông. a.3 Phân loại Có 2 loại quy nạp: quy nạp không hoàn toàn và quy nạp hoàn toàn. (1) Quy nạp không hoàn toàn Định nghĩa: Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung được rút ra chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể được xét đến. Kết luận của phép quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, vì vậy còn gọi là các giả thiết. Sơ đồ A 1 ,A 2 ,….A n là B (hoặc có tính chất B) A 1 ,A 2 ,….A n là những phần tử thuộc A Kết luận: Mọi phần tử của A là B (hoặc có tính chất B) Chú ý, trong sơ đồ trên, A 1 chỉ là các phần tử thuộc A, không phải là tất cả. Các ví dụ (2) Quy nạp hoàn toàn Định nghĩa: Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Vì kết luận được rút ra trên cơ sở 5 đã khảo sát tất cả các trường hợp nên kết luận của phép quy nạp hoàn toàn có độ chính xác cao hơn so với phép quy nạp không hoàn toàn. Các ví dụ: a.4 Vai trò của phép suy luận quy nạp trong dạy Toán ở Tiểu học Trong dạy học ở Tiểu học, phép suy đoán quy nạp, đặc biệt là quy nạp không hoàn toàn được sử dụng phổ biến và hiệu quả. Vì những lí do sau: - Mặc dù kết luận của phép suy luận không hoàn toàn không chắc chắn đúng song trong việc dạy Toán ở Tiểu học phép quy nạp không hoàn toàn vẫn đóng vai trò quan trọng. - Vì học sinh Tiểu học còn nhỏ, trình độ hiểu biết còn non nớt, các vấn đề giảng dạy đều phải qua thực nghiệm nên đây là phương pháp chủ yếu nhất, đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với học sinh. Tuy phép suy luận này chưa cho phép ta chứng minh chân lí mới, nhưng nó cũng giúp ta đưa các em thật sự đến gần các chân lí ấy; nó giải thích được ở một mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh tình trạng bắt buộc thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt. Đặc đểm tư duy của học sinh Tiểu học là tính cụ thể. Các em có tư duy trừu tượng được thì cũng phải dựa trên các ví dụ, những sự vật cụ thể, rõ ràng; dựa trên những kiến thức sẵn có. Vì vậy, nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có thể giúp các em tự tìm ra kiến thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức một cách rõ ràng, có ý thức, chắc chắn. Trong dạy học toán ở Tiểu học, chúng ta thường dùng phương pháp quy nạp không hoàn toàn để dạy bài mới. b. Suy diễn b.1 Định nghĩa: Suy diễn là suy luận hợp logic, đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. 6 b.2 Đặc trưng - Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề đúng đã có được thực hiện theo các quy tắc logic. - Kết luận có tính ước đoán, có thể đúng, có thể sai. - Suy luận tuân theo các quy tắc, khẳng định rằng nếu tiền đề mà đúng thì kết luận cũng đúng. Trong trường hợp đó phép suy luận gọi là suy luận chứng minh. - Là phép suy luận có ý nghĩa to lớn trong sáng tạo toán học, trong dạy và học ở trường phổ thông. Ta đi xét 2 trường hợp đặc biệt của suy diễn, đó là 2 phép chứng minh trực tiếp : chứng minh tổng hợp và chứng minh phân tích đi lên. b.3 Hai phương pháp chứng minh toán học ở Tiểu học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp i. Định nghĩa: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, cần chứng minh. Phương pháp chứng minh tổng hợp được hình thành trên cơ sở quy tắc logic kết luận (tam đoạn luận khẳng định) ( A ⇒ B), A B ii. Sơ đồ A ⇒ B ⇒ C ⇒ …… ⇒ Y ⇒ X Trong đó: A là mệnh đề cho trước đã biết, B là hệ quả logic của A, C là hệ quả logic của B….,X là hệ quả logic của Y. Phép chứng minh tổng hợp còn gọi là phép đi xuôi. iii. Vai trò của phương pháp chứng minh tổng hợp trong dạy học toán 7 - Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề được chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng đã biết nào đó thì nó hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. Tuy nhiên đây là phương pháp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. - Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường tiểu học cũng như ở trường phổ thông. Các ví dụ 2) Phép chứng minh phân tích đi lên i, Định nghĩa: Phương pháp chứng minh phân tích đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó. ii, Sơ đồ: X ⇐ Y ⇐ …….. ⇐ B ⇐ A Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh, Y là tiền đề logic của X,….. A là tiền đề logic của B, A là mệnh đề cho trước. iii, Vai trò của phương pháp phân tích đi lên - Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn là mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận. Khi cần suy nghĩ để tìm cách giải một bài toán thì đây là phương pháp hay dùng nhất. - Tuy nhiên phương pháp này khá dài dòng, mất nhiều thời gian vì thường từ mệnh đề đã chọn làm mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó. 8 - Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường tiểu học cũng như các trường phổ thông. Các ví dụ 3) Mối quan hệ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp phân tích So sánh hai phương pháp, ta thấy: - Phương pháp tổng hợp rõ ràng, sáng sủa, gọn gàng và có hệ thống tốt hơn. Các chứng minh trong sách thường được trình bày theo hướng này. Tuy nhiên, phương pháp tổng hợp có nhược điểm là không nêu rõ lí do của mỗi việc làm. Khi theo dõi bài giảng (trình bày theo đường lối tổng hợp) thì các em sẽ không rõ mục đích của mỗi việc làm. - Còn phương pháp phân tích thì ngược lại, học sinh luôn hiểu rõ lí do của mỗi việc mình làm (vì sao phải chọn phép tính này mà không chọn phép tính kia?). Như vậy, suy nghĩ luôn có phương hướng xác định, tính tích cực, chủ động được phát huy. Tuy nhiên, bài giảng thường dài hơn, tốn nhiều thời gian hơn. - Vì các ưu nhược điểm trên nên giáo viên phải khéo léo kết hợp để bảo đảm sự cân đối giữa hai phương pháp trong lúc giảng dạy. + Khi muốn suy nghĩ để tìm ra cách giải thì ta thường dùng lối phân tích. + Khi đã tìm ra cách giải rồi, muốn trình bày hoặc viết bài giải của bài toán ra thì thường dùng lối tổng hợp. 2. Cơ sở thực tiễn 2.1 Đặc điểm tư duy của HS Tiểu học Nhìn chung, ở HS Tiểu học nhất là học sinh lớp dưới hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế so với hệ thống tín hiệu thứ hai, do đó các em rất nhạy cảm 9 với các tác động bên ngoài, điều này phản ánh trong nhiều hoạt động nhận thức của học sinh Tiểu học. Khả năng phân tích kém nên các em thường tri giác tổng thể. Tri giác không gian chịu nhiều tác động của trường tri giác, gây ra các “biến dạng”, các “ảo giác”. Tri giác thời gian của học sinh lớp dưới thường mang tính trực giác. Sự chú ý không chủ động còn chiếm ưu thế ở HS Tiểu học. Do thiếu khả năng phân tích, tổng hợp nên các em dễ bị phân tán, dễ bị lôi cuốn vào cảm giác trực quan, gợi cảm. Sự chú ý của các em thường hướng ra ngoài vào hành động chứ không hướng vào bên trong, vào tư duy. Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic, hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ khô khan. Trí nhớ tưởng tượng có phát triển nhưng còn tản mạn, ít có tổ chức và còn chịu nhiều tác động của hứng thú, kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết. 2.2 Một số đặc điểm về tư duy toán học Nếu như ở mức độ cảm tính, con người chỉ phản ánh được những thuộc tính bên ngoài của các mối quan hệ về không gian và trạng thái vận động của của sự vật, hiện tượng thì tư duy được hiểu là sự phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ mang tính quy luật của sự vật hiện tượng. Nhờ tư duy mà mà con người nhận biết tri thức, tư duy mang tính sang tạo và có mối liên hệ mật thiết với ngôn ngữ. Do vậy tư duy có tính trừu tượng và khái quát. Cũng giống như các hình thức tư duy khác, tư duy toán học cũng được thực hiện thông qua các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa..Các thao tác này vừa tách bạch, vừa bổ sung cho nhau, thống nhất với nhau trong một quá trình tư duy. 2.3 Việc dạy và học hình học ở Tiểu học Ở Tiểu học, khi học hình học vẫn dựa trên cơ sở trực giác, chưa đòi hỏi phải có lập luận chặt chẽ. Các em vẫn cần phải được thao tác trên đồ vật, thu thập thông 10 tin thông qua các giác quan, sau đó mô tả lại. Tất nhiên, vẫn phải yêu cầu học sinh nhận ra được các tính chất để nhận dạng nhưng không nhất thiết phải thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố với nhau. Liền với đó cũng yêu cầu HS phải nắm được hệ thống đo lường và những cách tính chu vi, diện tích, thể tích của các hình. Như vậy, việc dạy các yếu tố hình học ở Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho HS những hiểu biết cần thiết về hình dạng, vị trí, kích thước của các vật trong không gian, đồng thời chuẩn bị cho việc học hình học ở các lớp trên. Các bài tập hình học ở Tiểu học rất đa dạng và phong phú. Có nhiểu bài nhằm rèn luyện khả năng tính toán chu vi, diện tích, thể tích…dựa vào những công thức có sẵn; và cũng có những bài toán khó giúp HS có điều kiện phát triển trí thông minh, óc sáng tạo, phát triển tư duy logic. Đối với học sinh khá giỏi, để tạo điều kiện cho các em phát huy hết khả năng của mình thông qua các bài toán hình học nâng cao là một việc làm hết sức cần thiết. Dạy học các yếu tố hình học nói chung bao gồm các mảng kiến thức sau: - Hình thành biểu tượng hình hình học (các biểu tượng góc, hai đường thẳng song song, biểu tượng về các hình bình hành, hình tam giác...) - Rèn các kĩ năng thực hành như: Vẽ hình hình học, đo lường hình học và tính toán hình học. - Dạy học các đại lượng hình học như: công thức tính chu vi, diện tích, thể tích…một số hình hình học đã được học. - Dạy học giải toán có “nội dung” hình học. 2.4 Nội dung, mục tiêu và ý nghĩa chương trình Toán 4, Toán 5 2.5 Việc giải toán có nội dung hình học Bài tập hình học ở Tiểu học bao gồm các bài tập về kĩ năng nhận dạng hình, bài tập vận dụng các công thức tính các đại lượng hình học, giải các bài toán có nội dung hình học… 11 Trong phạm vi ngiên cứu của đề tài, tôi không tìm hiểu các bài toán có nội dung hình học thuần túy (bài tập về vẽ hình, cắt ghép hình) mà tập trung đi sâu vào các bài tập có nội dung về chu vi và diện tích các hình. Trong các bài tập này, tôi không xét các bài toán đơn giản chỉ cần áp dụng công thức để làm bài, hay bài tập hình học có liên quan nhiều đến kiến thức đại số mà chủ yếu tập trung đi hướng dẫn học sinh giải toán theo sơ đồ phân tích đi lên với các bài toán hình học nâng cao sử dụng chủ yếu phương pháp diện tích để giải toán. Qua đó rèn tư duy logic cho HS tiểu học. 2.6 Một số phương pháp cơ bản trong giải toán hình học ở Tiểu học. Phương pháp diện tích Khi giải các bài toán, HS không chỉ cần phải nắm vững các kiến thức mang tính công cụ mà còn phải biết tới các phương pháp giải toán để lựa chọn được các phương pháp phù hợp cho từng bài. Đối với các bài toán diện tích đa giác thì sử dụng hầu hết các phương pháp giải toán, trong đó có một số phương pháp được sử dụng nhiều hơn như: phương pháp diện tích, phương pháp suy luận, phương pháp dùng đơn vị quy ước, phương pháp sơ đồ diện tích. Trong giới hạn nghiên cứu của đề tài, tôi xin đi sâu vào phương pháp có thể áp dụng một cách triệt để hướng phân tích đi lên trong giải toán, đó là phương pháp diện tích. Phương pháp diện tích là phương pháp giải các bài tập liên quan tới diện tích các hình. Khi giải các bài tập dạng này ta thường: - Vận dụng công thức tính diện tích các hình bằng cách: áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích diện tích khi đã biết độ dài các đoạn thẳng là các thành phần của công thức tính diện tích hoặc nhờ công thức tính diện tích mà tính độ dài của một đoạn thẳng là yếu tố của hình. - Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, người ta có thể dung tỉ số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích như một phương tiện để giải toán, 12 giải tích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài đoạn thẳng, về diện tích. .- Phương pháp diện tích trong trường Tiểu học không chỉ được sử dụng trong thực hành giải toán mà còn được sử dụng trong dạy bài mới với các kiến thức về hình thành biểu tượng về diện tích, xây dựng diện tích các hình. 13 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN 1. Các công thức cơ bản + Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a P=a × 4 + Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b P = (a + b) × 2 + Công thức tính chu vi hình tròn có bán kính r C = r × 2 × 3,14 + Công thức tính diện tích tam giác có cạnh đáy bằng a và chiều cao h S = (a × h) : 2 + Công thức tính diện tích hình chữ nhật cạnh a, b S=a × b + Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a S=a × a + Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b, chiều cao h S = (a + b) × h : 2 Chú ý: Trong mỗi công thức tính diện tích như trên, các đại lượng được tính trên cùng một hệ thống đơn vị đo. 2. Hệ thống bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích 24 m và cạnh AB dài 16m, cạnh AC dài 10m. Kéo dài hai cạnh AB và AC về phía B và C, trên đó lấy BM = CN = 2m. Tính diện tích tam giác AMN? N C 2m 10 m A 16 m K 14 H B 2m M Ta hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo sơ đồ sau: AMN Tính S ¿ ¿¿ ¿ =? ⇑ Tính KM = ? ⇑ Tính S ACM =? ⇑ Tính CH = ? Đến đây ta dễ dàng tính được chiều cao của ta giác ABC khi biết diện tích và cạnh đáy tương ứng.(S ABC = 24 m , AB = 16m) Bài giải: Chiều cao CH của hình tam giác ABC là: (24 × 2) : 16 ¿ 3 (m) Cạnh AM bằng: 16 + 2 ¿ 18 (m) Diện tích tam giác ACM bằng: (18 ×3 ¿ : 2=¿ 27 (m) Chiều cao MK của hình tam giác ACM bằng: (27 ×2 ¿ :10=¿ 5,4 (m) Cạnh AN bằng: 10 + 2 = 12 (m) Diện tích tam giác AMN bằng: m (12 ×5,4 ¿ :2=32,4 ¿ ) Đáp số: 32,4 (m 15 ) 16