Tài liệu Một số kinh nghiệm giải các bài tập hình học phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Phần I : PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀ I: Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao. Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Việc dạy toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc giải các bài tập hình học phẳng là một vấn đề khó đối với các em học sinh. Trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm dạy học giải bài tập hình học phẳng thông qua một số tuyến bài tập ở cả ba dạng toán: chứng minh , tìm tòi và loại toán thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng học giải bài tập hình học phẳng cho học sinh. II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Tuyến bài tập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học, tuyến bài tập khai thác tính chất của diện tích đa giác, tuyến bài tập liên quan đến định lí Pitago, tuyến bài tập về diện tích hình tròn. III. PHƯƠNG PHÁ P NGHIÊN CỨU: - Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành, vận dụng... - Nghiên cứu tài liệu, ... IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Học sinh thuộc đối tượng THCS nói chung, học sinh THCS Phúc ThịnhNgọc Lặc nói riêng. V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Giới hạn giảng dạy ở phần: Giải các bài tập hình học phẳng ở ba loại bài tập: 1 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS chứng minh, tìm tòi và loại toán thực tiễn thông qua các ví dụ cụ thể của các tuyến bài tập nghiên cứu. Phần II. NỘI DUNG Ví dụ 1: Tuyến bài tập chuẩn bị cho việc chứng minh hình học Bài tập1: Hãy điền vào chỗ …để chứng minh định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” 2 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Giả thiết………. Kết luận………… Các khẳng định (1) Ô1+Ô2=1800 (2) Ô3+Ô2= ………….. (3) Ô1+Ô2 = Ô3+Ô2 (4) Ô1=Ô3 Tương tự hãy chứng minh Ô2=Ô4 Căn cứ của khẳng định Vì ………………….. Vì …………………. Căn cứ vào …………. Vì ………………….. Bài tập2 : Cho định lí:”Nếu hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O và xÔy vuông thì các góc yÔx’ , x’Ô y’ , y’Ôx đều là góc vuông. a)Hãy vẽ hình. b)Viết giả thiết và kết luận của định lí c)Sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để có chứng minh định lí trên. 1) xÔy + x’Ô y =1800 (vì hai góc này bù nhau) 2) x’Ô y’ = xÔy( vì hai góc đối đỉnh) 3)900 + x’Ô y = 1800 (theo giả thiết và căn cứ vào ……..). 4) y’Ôx = x’Ô y (vì hai góc đối đỉnh). 5) x’Ô y = 900 (vì căn cứ vào ……..) 6) x’Ô y’= 900 (vì căn cứ vào ……..) 7) y’Ôx =900 (vì căn cứ vào ……..). d) Hãy trình bày lại cách chứng minh trên một cách gọn hơn. Bài tập3: Cho bài toán “ AMB và ANB có MA=MB, NA= NB “. Chứng a) Ghi giả thiết, kết luận của bài toán. b) Hãy sắp xếp các câu sau một cách hợp lí để giải bài toán trên 1) Do đó: AMN và BMN ( c.c.c) 2) MN cạnh chung; MA=MB (giả thiết) ; NA=NB (giả thiết) 3) Suy ra �AMN  �BMN ( Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 4) AMN và BMN có: 3 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Bài tập 4: Cho bài toán” Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB// CE”. ABC GT KL MB=MC AM=ME AB//CE a) Hãy sắp xếp năm câu sau đây một cách hợp lí để giảI bài toán trên: 1) MB=MC (giả thiết); �AMB  �EMC ( hai góc đối đỉnh) ; MA=ME (giả thiết) 2) Do đó AMB = EMC (c.g.c) 3) �MAB  �MEC suy ra AB//CE 4) AMB = EMC suy ra �MAB  �MEC (Hai góc tương ứng ) 5) AMB và EMC có: b) Hãy trình bày lại cách chứng minh trên ngắn gọn hơn. Bài tập 5: Cho bài toán “ Cho tam giác ABC , gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, cắt BC tại H. Gọi d’ là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Đường thẳng đi qua H và song song với AC cắt d’ tại E. Chứng minh rằng ACEH là hình bình hành”. a) Chứng minh bài toán trên. b) Sau đây là chứng minh của ba bạn X, Y, Z. Hãy nêu nhận xét lời giải bài toán của ba bạn đó. Bạn X:  Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Do đó AH//CE.  Lại có: AC song song với HE Vậy ACEH là hình bình hành (Vì một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau là một hình bình hành) 4 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Bạn Y:  Theo giả thiết AH vuông góc với BC và BE vuông góc với BC Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.Vậy AH song song với CE  Theo giả thiết, AC song song với HE Nếu một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau thì tứ giác đó là một hình bình hành). Vậy ACEH là hình bình hành. Bạn Z: AH  BC CE  BC AH // CE AC // HE ACEH là một hình bình hành Bài tập 6: Cho bài toán: “Cho EFG là một tam giác vuông tại E. Gọi d là đường thẳng vuông góc với EF tại F. Đường thẳng qua E song song với FG cắt d tại H. Gọi M là trung điểm của FE. Chứng minh rằng M là trung điểm của HG”. a) Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận. b) Hãy sắp xếp 10 câu sau một cách hợp lí để chứng minh bài toán trên: 1) Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 2) Trong một hình bình hành các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3) Nếu một tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau thì đó là một hình bình hành. 4) Ta có HE và GF song song với nhau (giả thiết). 5) Ta có M là trung điểm của FE. 6) Ta có EG vuông góc với EF (Vì EFG là tam giác vuông tại E). 7) Ta có HF vuông góc với EF (giả thiết). 5 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS 8) Vậy M là trung điểm của HG. 9) Vậy HFGE là hình bình hành. 10) Vậy HF và EG song song với nhau. c)Hãy trình bày lại bài toán trên một cách ngắn gọn hơn. Bài tập7: Cho bài toán: “Cho hình vuông ABCD gọi E là điểm nằm trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua E, song song với AC, cắt BC tại F. Chứng minh rằng EF vuông góc với BD”. a) Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận. b) Sắp xếp 6 câu sau một cách hợp lí để có chứng minh bài toán trên. 1) Vậy EF vuông góc với BD 2) Ta có EF song song với AC 3) Vậy AC vuông góc với BD 4) Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. 5) Ta có ABCD là một hình vuông. 6) Trong một hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. c)Hãy trình bày lại cách chứng minh một cách ngắn gọn hơn. Bài tập 8: a) Hãy điền vào chỗ … để có một chứng minh đầy đủ *Ta có ABCD là một hình thoi (giả thiết) Nếu……….Thì………. Vậy AC vuông góc với BD *Hơn nữa ta có KI song song với AC (giả thiết) Nếu ………Thì ………. Vậy KI vuông góc với OD. *Hơn nữa, Ta có I là trung điểm của OD (giả thiết) Nếu ………Thì ……………. Vậy KI là đường trung trực của OD *Nếu ……….Thì ……………… 6 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Vậy KO = KD c) Hãy viết đề toán ứng với lời giải trên , biết rằng điểm K nằm trên AD và O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD. Bài tập 9 Hãy đặt một bài toán mà trong chứng minh có sử dụng định lí “ Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau”. Giải thích dụng ý của các bài tập trên Chứng minh hình học là một trong những hoạt động khó khăn đối với học sinh, nhưng sức mạnh của hình học lại là suy luận diễn dịch. Một cái đích quan trọng của học tập hình học là học sinh biết lập luận có căn cứ. Vì vậy hoạt động chứng minh hình học phải được rèn luyện lâu dài, từng bước nâng cao. Học sinh phải biết chứng minh và trình bày chứng minh Một chứng minh có căn cứ phải được tuân theo lập luận ba giai đoạn. Tiên đề lớn (Tính chất, định lí ……) Tiên đề nhỏ (Giả thiết, điều đã biết, …….) Kết luận (Điều được suy ra) Nhưng cách trình bày chứng minh thường ở dạng rút gọn Vì vậy cách trình bày giới thiệu ở đây nhằm giúp học sinh làm quen với cách chứng minh đầy đủ, cần phải có và cách trình bafychuwsng minh rút gọn Bài tập 1 trình bày chứng minh theo hai cột.Các bài tập 2; 3; 4 ;6 ;7 tập cho học sinh từ cách trình bày đầy đủ đến cách trình bày ngắn gọn. Bài tập 7: Giúp học sinh phê phán cách chứng minh thiếu căn cứ, học cách trình bày chứng minh có căn cứ và hiểu sơ đồ của một cách chứng minh. Các bài tập 8;9 yêu cầu học sinh sáng tạo đề toán Mặt khác cũng cần chú ý là: Khả năng suy luận (diễn dịch) và chứng minh hình học gắn chặt với khả năng phân tích và tổng hợp hình. Vì vậy ngoài việc 7 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS cho hình vẽ sẵn, trong một số bài tập còn yêu cầu học sinh viết giả thiết, kết luận và vẽ hình Giáo viên nên lựa chọn và cho học sinh sử dụng các bài tập trên đây vào thời điểm thích hợp. Mỗi bài tập được coi là một hoạt động. Ví dụ 2: Tuyến bài tập khai thác tính chất của diện tích đa giác. Kiến thức về diện tích đa giác được khai thác theo 3 hướng: - áp dụng các công thức tính diện tích - áp dụng các tính chất của diện tích - Sử dụng diện tích đa giác như một công cụ để giải bài toán. Hãy cắt Theo hướng thứ hai ta có các bài tập, chẳng hạn: Bài tập 1: một tam giác thành 3 mảnh để ghép lại thành một hình chữ nhật. Gợi ý: Bài tập 2: Giải thích tại sao diện tích của tam giác trong các hình dưới đây bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng. Bài tập 3: Cho hình chữ nhật với hai kích thước là a,b. a) Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó. b) Hãy vẽ một hình bình hành có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng nửa diện tích của hình chữ nhật đó. Bài tập 4 Trên hình vẽ dưới đây ( AC// BF) hãy tìm tam giác có diện tích bằng diện tích của tứ giác ABCD. 8 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Bài tập 5: Cho hình thang ABCD (đáy nhỏ AB, đáy lớn CD ). Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng đáy lớn CD của hình thang và có diện tích bằng diện tích của hình thang. Hướng dẫn giải: Vẽ hình thang ABCD (AB//CD; AB < CD). Vẽ đường chéo AC. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại M, vẽ MC. Ta có: S MAC = S BAC Từ đó S ABCD = S MCD Bài tập 6: Cho một ngũ giác lồi ABCD. Hãy vẽ một tam giác có diện tích bằng diện tích ngũ giác ABCD. Nói rõ thứ tự vẽ hình và vì sao lại vẽ như vậy?. Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD phân giác của góc A và góc C cắt đường chéo BD tại E, F. Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE và ADCFE có diện tích bằng nhau. Bài tập 8: Cho hình chữ nhật VELO, gọi U là một điểm bất kỳ trên đường chéo VL. Qua U kẻ hai đường thẳng AD và NT song song với cạnh hình chữ nh ật. So sánh diện tích hai hình chữ nhật AUTO và DUNE. Ví dụ 3: Tuyến bài tập liên quan đến định lí Pitago. Bài tập1: Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm v à 4cm. Đo độ dài cạnh huyền. Bài tập 2: Cắt 4 tam giác vuông bằng nhau bằng giấy trắng. Gọi độ dài các cạnh góc vuông là b và c, độ dài cạnh huyền là c. Cắt tấm bìa màu hình vuông có cạnh bằng b+c. Đặt 4 tam giác vuông trắng lên hình vuông màu, phần bìa m àu không bị che khuất gồm hai hình vuông có cạnh là b và c. Tính di ện tích phần không bị che khuất theo b và c. Từ đó rút ra quan hệ giữa a2và (b2 +c2) 9 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Bài tập3: Hãy kiểm tra lại định lí Pitago với các tam giác vuông có độ d ài 3 c ạnh nh ư sau: a) a = 5cm b = 4cm c = 3cm b) a = 2cm b = 1,6cm c = 1,2cm c) a = 10cm b = 8cm c = 6cm Hướng dẫn: Một mặt vẽ tam giác có độ dài 3 cạnh cho trước rồi đo xem có góc vuông không? .Mặt khác kiểm tra xem trong mỗi trường hợp h ệ th ức a 2 = b2 + c2 có thỏa mãn không?. Bài tập4: Phân biệt các cách phát biểu sau về định lí Pitago a)Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. b) Nếu bình phương cạnh lớn nhất của một tam giác không bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó không phải là tam giác vuông. c) Trong moojy tam giác nếu bình phương cạnh lớn nh ất bằng t ổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông v à góc vuông đối diện với cạnh lớn nhất. Chú ý: a) Là định lí Pitago (thuận) b) Là định lí Pitago (phản đảo) c) Là định lí Pitago ( đảo) Bài tập5: Sử dụng mỗi hình vẽ sau để chứng minh định lí Pitago bằng phương pháp diện tích. (Hình 1) (Hình 2) Bài tập 6: Nếu độ dài của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì độ dài c ạnh huy ền thay đổi như thế nào?. Mệnh đề tổng quát với n là số tự nhiên bất kỳ còn đúng không?. Hãy phát biểu tính chất Pitago bằng ngôn ngữ số học. Chú ý: Bộ 3 số a, b, c thõa mãn: a2 = b2 + c2 được gọi là bộ ba số Pitago. 10 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Nếu a, b, c là bộ 3 số Pitago thì : ka, kb, kc c ũng l à m ột b ộ ba s ố Pitago (k � N*). Bài tập 7: a) Vẽ lại hình dưới đây đúng kích thước đã ghi trên hình. b) Tam giác CDB có vuông không?. (Đoán bằng mắt thường) c) Tính gần đúng giá trị của BC d) Kiểm tra lại dự đoán về tam giác CDB. Bài tập8: Tam giác MNP được vẽ trên giấy kẻ ô vuông. Xem cạnh ô vuông là một đơn vị độ dài. Hỏi tam giác MNP là tam giác gì?. Bài tập 9: a) Tam giác ABC vuông tại A. AB = 6cm, BC = 1 dm. Chứng minh rằng diện tích và chu vi của tam giác ABC được diễn tả bởi cùng một số. b) Cũng hỏi như thế với tam giác RST có ST = 50 mm và SR = 12cm. Bài tập10 : Xét đánh gãy cây, chỗ gãy cách mặt đất 2m, đỉnh cây chạm đất cách gốc cây 7m. Hỏi chiều cao của cây trước khi bị xét đánh là bao nhiêu?. (Tính gần đúng đến 0,1m, cho rằng cây thẳng và mọc vuông góc với mặt đất) Giải thích dụng ý của các bài tập trên, mỗi bài tập là một hoạt động Các hoạt động về định lí Pitago được xắp xếp theo trình tự sau: Tiếp cận định lí Pitago: các hoạt động 1,2,3. Phát biểu định lí Pitago: Hoạt động 4. 11 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Chứng minh định lí Pitago: Hoạt động 5. Khai thác định lí Pitago về mặt số học: Hoạt động 6. Vận dụng định lí Pitago: Hoạt động 7 đến 10. Vận dụng vào thực tế gần gũi: Hoạt động 10. Thực hiện các hoạt động trên học sinh sẽ: - Biết thêm chút ít về lịch sử. - Biết rằng định lí Pitago là cầu nối giữa tam giác và số. - Mặt khác một ý nghĩa của định lí Pitago là việc vẽ được góc vuông mà không cần eke. Ví dụ 4: Tuyến bài tập về diện tích hình tròn Dạy học hình học theo phương pháp đổi mới, ngoài các loại bài tập vốn có trong SGK ta cần chú trọng các loại bài tập đi sâu vào khái niệm, phối hợp hình học với đại số, liên hệ với thực tế xung quanh, kết hợp vẽ hình với tính toán….nhằm huy động kiến thức tích hợp, kỹ năng nhiều mặt, tư duy tổng hợp. Chẳng hạn với công thức S =  .R2 , nên cho học sinh luyện tập những bài tập sau: Bài tập 1: . a) Điền vào ô trống trong bảng sau (S là diện tích hình tròn bán kính R). R 0 1 2 3 4 5 10 20 S b)Vẽ đồ thi biểu diễn diện tích hình tròn theo bán kính của nó. c) Diện tích hình tròn có tỷ lệ với bán kính của nó không?. Bài tập 2: a) Điền vào ô trống trong bảng sau(S là diện tích hình quạt ứng với cung n0). Cung n0 0 45 90 180 360 S b)Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình quạt theo n0 c) Diện tích hình quạt ứng với cung n0 có tỷ lệ thuận với số đo độ của cung không?. Bài tập 3: Tính diện tích hình tròn biết chu vi của nó là C Bài tập 4 So sánh diện tích hình gạch soc và hình để trắng trong hình vẽ dưới đây: 12 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS V. KẾT LUẬN: Dạy học giải bài tập hình học phẳng là một nội dung rộng, đề tài này đã được nhiều giáo viên đề cập đến và đối với học sinh nhiều bài toán hình học phẳng là những bài toán khó. Học giải bài tập hình học ph ẳng b ổ trợ cho sự rèn luyện, phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn và phát triển trí thông minh của học sinh. Thực tế cho thấy việc áp dụng kinh nghiệm trên vào việc dạy hình học phẳng đã thu được những kết quả rất khả quan: lớp học sôi nổi, tỉ lệ học sinh học tập hình học tích cực, chủ động tăng cao, nhiều học sinh không còn mặc cảm với những bài toán chứng minh hình học, biết vận d ụng hình h ọc vào giải các bài toán thực tế. Kết quả kiểm tra viết môn hình của học sinh lớp 7A trường THCS Phúc Thịnh cho thấy: 13 Sáng kiến kinh nghiệm-Môn toán THCS Lớp 7A Sĩ số Học sinh đạt điểm TBình trở lên 32 30 Tỉ lệ % 93,75% Tuy nhiên đối với một số học sinh yếu kém trong lớp, các em rất ngại học, sức ỳ còn quá lớn do đó lôi cuốn các em vào trong các hoạt động hình học trên lớp sẽ gặp nhiều khó khăn. Rất mong nhà trường đầu tư hơn nữa cho những loại sách tham khảo, sách nâng cao.Trang bị thêm đồ dùng, thiết bị dạy học cho bộ môn. Phòng giáo dục tổ chức các buổi sinh hoạt liên trường để giáo viên học hỏi kinh nghiệm của các đồng chí giáo viên trong nhóm. Mỗi tuyến bài tập nêu trên đều có dụng ý riêng. Cái đích quan trọng cần đạt của học tập hình học là học sinh biết lập luận có c ăn c ứ. Trong khuôn khổ của đề tài mang nội dung rộng và khó, tôi mới chỉ đưa ra m ột số tuyến bài tập trên mà tôi đúc rút được qua việc học tập, giải bài tập, qua nghiên cứu các tài liệu, qua quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài chắc còn có những thiết sót. Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh. 14