Một cách tiếp cận bài toán về hàm số

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay Môc lôc TT Néi dung Trang Më ®Çu 2 PhÇn 1 Mét sè vÊn ®Ò vÒ lý thuyÕt PhÇn 2 ¸p dông gi¶i to¸n 4 1 Bµi to¸n vÒ tÝnh ch½n, lÎ cña hµm sè 7 2 Bµi to¸n vÒ hµm tuÇn hoµn 8 3 T×m hµm sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc 10 3.1 Bµi to¸n vÒ hµm kh«ng liªn tôc. 3.1.1. Ph­¬ng tr×nh: f((x))  g(x). 10 10 3.1.2. Ph­¬ng tr×nh ®a thøc 11 3.1.3. D¹ng: 12 u( x). f ( g ( x))  v( x). f (h( x))  w( x). 3.1.4. Ph­¬ng tr×nh hai biÕn ®éc lËp 15 3.2 TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè 17 3.2 Bµi to¸n vÒ hµm ®¬n ®iÖu 19 3.4 Bµi to¸n vÒ hµm liªn tôc 20 Tµi liÖu tham kh¶o 22 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Hàm số là một khái niệm cơ bản của toán học. Các bài toán về hàm số và phương trình hàm rất phong phú, đa dạng thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi Ôlimpic toán. Nhưng do đặc thù của nó là tương đối khó nên chỉ xuất hiện trong các kỳ thi HSG toán. Đối với học sinh phổ thông thì ít được tiếp cận chúng. Với mục đích là xây dựng một chuyên đề để bồi dưỡng cho HSG của trường, và quan trọng hơn là nhằm mục đích bồi dường chuyên môn cho chính bản thân mình tôi chọn đề tài “ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”. Trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề quan trọng, cơ bản và sát với nội dung, phân phối chương trình về hàm số được cung cấp cho học sinh phổ thông. Các bài tập đưa ra không đòi hỏi những kiến thức cao, xa lạ với học sinh. Qua thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh khá giỏi đều tiếp thu được, giải được các bài toán này không quá khó khăn. 2. Mục đích nghiên cứu: - Hệ thống một số dạng toán và một số phương pháp cơ bản giải các bài toán về hàm số thường xuất hiện trong các kỳ thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia. - Rèn luyện ký năng giải toán hàm số cho học sinh. - Giúp học sinh có cái nhìn mới về dạng toán này. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: + Các bài toán về hàm số không quá khó, không phải dùng đến nhiều kiến thức mở rộng khác: Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số; Hàm tuần hoàn; Tính giá trị của hàm số; Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước; + Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán hàm số. - Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung, chương trình phổ thông, có sự mở rộng phù hợp với nội dung thi, bồi dường HSG toán trung học phổ thông . 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách không khó khăn, tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán này. - Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải trong bài toán cơ bản, điển hình. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 3 5. Nội dung 1. Bài toán về tính chất chẵn, lẻ của hàm số. 2. Bài toán về hàm tuần hoàn. 3. Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. - Hàm không liên tục. - Hàm liên tục, có đạo hàm. - Hàm đơn điệu 4. Tính giá trị của hàm số. 6. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu. - Thực nghiệm sư phạm qua công tác bồi dưỡng HSG ở trường THPT Lê Xoay. 7. Kết luận. Với mục đích và nhiệm vụ ở trên, đề tài “ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ” chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản của hàm số. Đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu xót trong cấu trúc cũng như nội dung của nó. Tôi kính mong các thầy cô đọc và cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vĩnh Tường, tháng 5 năm 2010. Tác giả: Nguyễn Minh Hải Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Phần 1. 4 Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT VỀ HÀM SỐ 1.Định nghĩa hàm số. Cho một tập hợp khác rỗng D (D R). Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (miền xác định), x gọi là biến số (đối số) của hàm số f. 2. Hàm số hợp. Định nghĩa. Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm u gọi là hàm số trung gian. 3. Phép tịnh tiến hệ tọa độ. Công thức chuyển đổi hệ tọa độ. Giả sử I là một điểm của mp có tọa độ (x 0 , y 0 ) y Y đối với hệ tọa độ Oxy. Gọi IXY là hệ tọa độ mới gốc I và hai trục IX, IY y Y M  theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy. - Giả sử M là một điểm bất kỳ của mp. Gọi (x, y) là tọa độ của M đối với hệ Oxy và (X; Y) là tọa độ của M đối với hệ IXY. X X x x I O  x  X  x 0 (CT chuyển đổi hệ tọa độ trong phép tịnh tiến tiến theo OI ) Khi đó:   y  Y  y0 - Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) trên hệ Oxy, Khi đó trên hệ IXY thì (C) có phương trình: Y = f( X + x0) – y0 4. Hàm tuần hoàn. Định nghĩa Hàm f : D  R được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1, x  D  x  T  D 2, f(x  T)  f(x), x  D. Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện trên gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 5 Chú ý: Các hàm: y  sin x,y  cosx tuần hoàn với chu kỳ là T  2 . Các hàm: y  tan x,y  cot x tuần hoàn với chu kỳ là T  . Hàm f(x) thỏa mãn: f(x  T)  f(x), x  D. là hàm tuần hoàn vì: f(x  2T)  f(x  T)  f(x)  f(x  2T), x  D. 5. Hàm số chẵn, hàm số lẻ. Định nghĩa. Cho hàm số f : D  R. - Hàm f được gọi là hàm chẵn trên D nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1. x  D   x  D. 2. f (x)  f ( x), x  D. - Hàm f được gọi là hàm lẻ trên D nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1. x  D   x  D. 2. f (x)  f ( x), x  D. Chú ý. - Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng. - Tổng của các hàm chẵn (lẻ) xác định trên D là một hàm chẵn (lẻ) trên D. 6. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Định nghĩa. Hàm số f xác định trên K ( khoảng, đoạn, nửa khoảng) - Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu x1, x 2  K, x1  x 2  f (x1)  f (x 2 ). - Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu x1, x 2  K, x1  x 2  f (x1)  f (x 2 ). - Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K gọi là hàm đơn điệu trên K. 7. Hàm liên tục. Định nghĩa 1. (Hàm liên tục tại một điểm). Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và x 0  (a;b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu xlim f (x)  f (x 0 ). x 0 Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0. Định nghĩa 2. (Hàm liên tục trên một khoảng, trên một đoạn). - Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng). Hàm số f được gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. - Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b]. Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim  f (a), lim  f (b). x a x b Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 6 8. Đạo hàm của hàm số. Định nghĩa 1.( Đạo hàm của hàm số tại một điểm). Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x 0  (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f (x)  f (x 0 ) khi x dần đến x0 được gọi là x  x0 đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0, kí hiệu f’(x0). f (x)  f (x 0 ) . x x 0 x  x0 f '(x 0 )  lim Định nghĩa 2.(Đạo hàm của hàm số trên một khoảng). - Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng). Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J. - Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f’ xác định bởi f ': J  R được gọi x f '(x) là đạo hàm của hàm số f. Chú ý. Hàm số có đạo hàm trên J thì liên tục trên J. Điều ngược lại không đúng. 9. Một số vấn đề về đa thức. Định nghĩa. Pn ( x)  an xn  an1xn1  ...  a1x  a0 (an  0) gọi là đa thức bậc n. Định lí 1. Nếu đa thức có nghiệm x = x0 thì : Pn ( x )  ( x  x0 ).Pn1 ( x) Nếu đa thức có nghiệm bội k là x = x0 thì : Pn ( x)  ( x  x0 )k .Pnk ( x) Định lí 2. Cho hai đa thức Pn ( x)  an x n  an1x n1  ...  a1x  a0 (an  0) và Qn ( x)  bn xn  bn1xn1  ...  b1x  b0 (bn  0) + Khi đó Pn ( x )  Qn ( x), x  R  ai  bi , i  1...n + Hoặc: Pn ( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  a0  0, x  R  a1  0, i  1...n (Thực ra kết quả trên chỉ cần đúng với n +1 giá trị phân biệt của x là đủ) Định lí 3. Hàm đa thức liên tục và có đạo hàm mọi cấp trên R. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 7 Phần 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ 1. Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số. Ví dụ 1. Cho f(x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R. CMR: f(x)  0. Giải. Theo định nghĩa có: f ( x)  f (x)  f (x), x  R  f (x)  0, x  R. Ví dụ 2. Cho x 0  R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f (x 0  x)  f (x), x  R. x0 x x x  t, khi đó x 0  x  2  t. (1)  f ( 0  t)  f ( 0  t), t  R. 2 2 2 2 x0 x0 x0 Đặt g(t)  f (  t). Khi đó: g(  t)  f (  t)  f (  t)  g(t), t  R. 2 2 2 x0 Vậy: f (x)  g(x  ) , trong đó g(x) là hàm chẵn tùy ý trên R. 2 Ví dụ 3. Biết rằng đồ thị của đa thức P(x) có tâm đối xứng. CMR đồ thị của P’(x) có trục đối xứng. Giải. Đặt x  Giải. Giả sử P(x) có tâm đối xứng là I(x 0 ; y 0 ). Khi đó qua phép đổi hệ trục tọa độ từ hệ  Oxy sang hệ IXY ( IX, IY tương ứng nhận các véc tơ i, j là các vectơ đơn vị). x  x 0  X CT đổi hệ trục:  Khi đó đồ thị của P(x) trên hệ IXY có phương trình:  y  y0  Y Y  f (X)  P(x 0  X)  y0 và f(X) là hàm lẻ trên R, tức: P(x 0  X)  y0  (P(x 0  X)  y 0 )  P(x 0  X)  P(x 0  X)  2y 0 , X  R.  P '(x 0  X)  P '(x 0  X)  0, X  R.  P '(x 0  X)  P '(x 0  X), X  R. P '(x) nhận x  x 0 làm trục đối xứng. Bài tập tương tự. Bài tập 1. CMR mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết được dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ xác định trên R. HD. Xét hai hàm số: g(x)  f (x)  f ( x) f (x)  f ( x) , h(x)  , x  R. 2 2 Dễ kiểm tra g(x) là hàm chẵn, h(x) là hàm lẻ trên R, và f(x) = g(x) + h(x). Bài tập 2. Cho a, b  R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f (a  x)  f (x)  b, x  R. (*) a a a a  a   x  t, khi đó x   t; a  x   t. (*) có dạng: f   t   f   t   b. (**) 2 2 2 2  2  a  b Đặt f   t    g(t). Khi đó (**) trở thành: g(t)  g( t)  0, t  R. 2  2 a b  Vậy f (x)  f  x    , trong đó g(x) là hàm lẻ tùy ý. 2 2  Bài tập 3. Biết đồ thị của đa thức P(x) có trục đối xứng. CMR đồ thị của P’(x) có tâm đối xứng. HD. Đặt HD. Làm tương tự Ví dụ 4. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 2. Bài toán về hàm tuần hoàn. Ví dụ 1. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x  1)  f(x  1)  2.f(x), x  R. 1, CMR : f(x  4)  f(x), x  R. 2, CMR : f(x) là hàm tuần hoàn. Giải. Ta cã: f ( x  2)  f ( x)  2 f ( x  1); f ( x  4)  f ( x  2)  2 f ( x  3). f ( x  3)  f ( x  1)  2 f ( x  2)  f ( x  4)  2 f ( x  3)  f ( x  2)  2[ 2 f ( x  2  f ( x  1)]  f ( x  2)  f ( x  4)  f ( x  2)  2. f ( x  1)   f ( x)  f ( x  8)   f ( x  4)  f ( x)  f ( x) lµ hµm tuÇn hoµn. Ví dụ 2. Cho hàm f : R  R \ {3} thỏa mãn: f(x  1)  f(x)  5 , x  R. f(x)  3 CMR: f(x) là hàm tuần hoàn. f ( x)  5 5 f ( x  1)  5 f ( x)  3 2 f ( x)  5   Giải. Ta cã: f ( x  2)  f ( x )  5 f ( x  1)  3 f ( x)  2 3 f ( x)  3 f ( x)  5 2 5 2 f ( x  2)  5 f ( x)  3 f ( x  4)    f ( x), x  R VËy f(x) tuÇn hoµn. f ( x  2)  3 2 f ( x)  5  3 f ( x)  3 f(x)  5 Bài toán tæng qu¸t: Hµm f : R  R \ {3} tho¶ m·n: f(x  a)  , x  R. f(x)  3 lµ hµm tuÇn hoµn v×: f(x+4a) = f(x), x R. Ví dụ 3. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x  4)  f(x  4)  f(x), x  R. CMR: f(x) là hàm tuần hoàn. Giải. Tõ gi¶ thiÕt cã:  f ( x  4)  f ( x  4)  f ( x)  f ( x  8)  f ( x  4)  0  f ( x  8)   f ( x  4), x  R.   f ( x  8)  f ( x)  f ( x  4)  f ( x  12)   f ( x)  f ( x  24)  f ( x) Ví dụ 4. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: 1, f(x  3)  f(x)  3 2, f(x  2)  f(x)  2 Đặt g(x)  f(x)  x, x  R. CMR : g(x  6)  g(x), x  R. ( CMR: g(x) là hàm tuần hoàn) Giải. §Æt g(x) = f(x) – x, x R. Ta chøng minh: g(x + 6) = g(x), x  R. Ta cã: g ( x  6)  f ( x  6)  x  6  f (( x  3)  3)  x  6  f ( x  3)  3  x  6  g ( x  6)  f ( x  3)  x  3  f ( x)  3  x  3  g ( x). (1) T­¬ng tù: g ( x  6)  f ( x  6)  x  6  f (( x  4)  2)  x  6  f ( x  4)  2  x  6 8 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 9  g ( x  6)  f ( x  3)  x  3  f ( x)  2  x  2  g ( x). (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: g(x+6) = g(x), x R. VËy f(x) tuÇn hoµn. Bài tập tương tự. Bài tập 1. Hàm số y = f(x) xác định với mọi x  (; ), và đồ thị của nó nhận hai đường thẳng x = a, x = b làm trục đối xứng (b > a). CMR f(x) là hàm số tuần hoàn. HD. Giả thiết có: f (a  x)  f (a  x); f (b  x)  f (b  x), x  R. CM hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2b – 2a. Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x. Biết đồ thị của hàm số đối xứng qua điểm A(x 0 ; y 0 ) và qua đường thẳng x = b ( b ≠ x0). CMR f(x) là hàm tuần hoàn. HD. Theo giả thiết có: f (x 0  x)  f (x 0  x)  2y 0 , x  R. f (b  x)  f (b  x), x  R CM hàm tuần hoàn chu kỳ 4b – 4x0. ( Ví dụ hàm y = sinx thỏa mãn điều kiện Bài tập 4) Bài tập 3. CMR các hàm sau không tuần hoàn: 1. y  sin(x 2 ) 2. y  tan x Bài tập 4. Cho hàm f : R   R thỏa mãn: f(x  a)  1  f(x)  f 2 (x), x  R  . với a cho trước. 2 CMR: f(x) là hàm tuần hoàn. 1 1 Giải. Ta cã: f 2 (x  a)  (  f(x)  f 2 (x))2   f(x)  f 2 (x)  f(x)  f 2 (x) 2 4  f ( x  2a )  1  2 f ( x  a)  f 2 ( x  a)  1 1 1 1  (  f ( x))2    f ( x)  f ( x), x  R  2 2 2 2 VËy f(x) lµ hµm tuÇn hoµn. Bài tập 5. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)  a.sin(ux)  b.cos(vx), x  R. (a, b, u, v  R* ) CMR: f(x) tuần hoàn khi chỉ khi u  Q. v Bài tập 6. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)  f(x  3).f(x  3), x  R. (1) CMR: f(x) là hàm tuần hoàn. HD CM. f ( x0 )  f ( x0  18)  0 (3) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 10 Một cách tiếp cận bài toán hàm số 3. TÌM HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 3.1. Các bài toán không có điều kiện liên tục. 3.1.1. Xét phương trình dạng: f((x))  g(x). - Đặt: (x)  t. Giải x theo t được phương trình: x = h(t). Được: f(t)  g(h(t)) là hàm số cần tìm. - Nếu không rút được x theo t hoặc biểu thức quá phức tạp, thì bằng cách nào đó ta biến đổi cả g(x) theo (x) : g(x)  k((x)) khi đó: f((x))  k((x))  f(t)  k(t)  x  2  2x  5 , x  1. Ví dụ 1. Tìm f(x) trên R, biết: f   2  x 1  x 1 t 2 2   5 7t 2  8t  1 x 1 t2 t 1   t x   f (t )   2 .Thö l¹i tho¶ m·n. Giải. Đặt 2 x 1 t 1 2t  2t  5 t2   1  t 1  1 1  Ví dụ 2. Tìm f(x) trên R, biết: f  x    x3  3 , x  0. x x  1 1 1 Giải. §Æt t  x  1  x 3  3  ( x  ) 3  3( x  )  t 3  3t  f ( x)  x3  3 x x x x x Thö l¹i tho¶ m·n. Ví dụ 3. Tìm f(x) trên R, biết: f( 1  x )  1  x2 , x  1. Giải. §Æt t  1  x  x  t 2  1  f (t )  1  (t 2  1) 2  t 4  2t 2  2  f ( x)  x 4  2 x 2  2, x  R (Tho¶ m·n) 1 Ví dụ 4. Tìm f(x) trên R*, biết: f( )  2x  1  2x 2 , x  0. x 1 1 2 1 2 1 Giải. §Æt t   x   f (t )   1  2. 2  f ( x)   1  2. 2 x t t t x x Ví dụ 5. Bài tập tương tự. Bài tập 1. Tìm f(x) trên R\{1,-2}, biết: f( HD. Đặt 3x  1 x  1 ) , x  0, x  1. x2 x 1 3x  1 2t  1 x 1 t  4 t 4 x4 2 t x   . Vậy f (t )   f ( x)  ,x  . x2 3t x  1 3t  2 3t  2 3x  2 3 1 Bài tập 2. Tìm f(x) trên R\{1}, biết: f(1  )  x 2  1, x  0, x  1. x 2 1 t t 2  2t  1  HD. §Æt t  1   x  , (t  1)  f (t )   .  1  x t 1 (t  1)2  t 1  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 11 Một cách tiếp cận bài toán hàm số 3.1.2. Phương trình đa thức. Phương pháp:1 - Tìm một số nghiệm của đa thức: x1, x2, …,xk. - Biểu diễn P ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn ).Q( x) thay vào phương trình. - Tìm đa thức Q(x) Ví dụ 1. (MODOVA) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đảng thức: ( x 3  3x 2  3x  2).P( x  1)  ( x3  3x 2  3x  2).P( x) Giải. Gi¶ thiÕt  ( x  2)( x 2  x  1).P ( x  1)  ( x  2)( x 2  x  1).P( x), x  R.  P(2)  0  P(1)  0  P(0)  0  P(1)  0  P( x)  ( x  2)( x  1) x( x  1).Q ( x) Thay vµo PT ta ®­îc: ( x  2)( x 2  x  1)( x  1)( x  2) x( x  1)Q ( x  1)  ( x  2)( x 2  x  1) x( x  1)( x  1)( x  2).Q( x)  ( x 2  x  1).Q ( x  1)  ( x 2  x  1).Q( x)  Q( x) Q( x  1)  2 , x  R. x  x 1 x  x  1 2 Q( x)  c, x  R.  P( x )  cx ( x  1)( x  1)( x  2)( x 2  x  1) c là số thực bất kì. x  x 1 Ví dụ 2. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đảng thức:  2 x( x 3  3x 2  3x  2).P( x)  ( x 2  1)( x 2  x  1).P( x  1) Giải. Gi¶ thiÕt  x( x  2)( x 2  x  1).P( x)  ( x  1)( x  1)( x 2  x  1).P( x  1), x  R.  P (1)  P(1)  0  P( x)  ( x  1)( x  1).Q( x) Thay vµo ph­¬ng tr×nh ®­îc: ( x  2)( x 2  x  1) x.( x 2  1).Q ( x)  ( x 2  1)( x 2  x  1)( x 2  2 x).Q( x  1), x  R. Q( x  1) Q( x)  ( x 2  x  1).Q ( x)  ( x 2  x  1).Q ( x )  2  2 , x  R. x  x  1 x  x 1 Q ( x  1) Q( x)   2  c, x  R.  P ( x)  c( x 2  1)( x 2  x  1). 2 ( x  1)  ( x  1)  1 x  x  1 Phương pháp2.- Tìm bậc của đa thức (bậc n )(so sánh bậc của x ở hai vế để dự đoán bậc của đa thức và chứng minh) - Đặt Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 ( an  0) Thay vào phương trình. - Đồng nhất hệ số, ta tính được a0, a1, …, a n Ví dụ 1. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thoả mãn: 2.P ( x)  P(1  x)  x 2 , x  R. Giải. Gi¶ sö: Pn ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 ( an  0)  Pn (1  x)  an (1  x) n  an 1 (1  x) n 1  ...  a1 (1  x)  a0  2.Pn ( x)  Pn (1  x)  (2an  ( 1) n an ) x n  ......  x 2 n2  1 V× 2an  ( 1) n an  0, n    a2  . n 2 a  (  1) a  1 3 n  n 1 1 1 1 1 §ång nhÊt hÖ sè ta thu ®­îc a1  ; a0   . VËy P( x)  x3  x  . 2 3 3 2 3 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 12 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Ví dụ 2. Tìm đa thức P(x) hệ số thực thoả mãn: P( x  y )  P ( x)  P( y )  3xy ( x  y ), x, y  R. Giải. Gi¶ sö: Pn ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 (1) (an  0). Theo gi¶ thiÕt ta cã: an ( x  y ) n  an 1 ( x  y ) n 1  ...  a1 ( x  y )  a0 Pn ( x)  ( an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 )   ( an y n  an 1 y n 1  ...  a1 y  a0 )  3 xy ( x  y ) §ång nhÊt hÖ sè cña x 2 y  xy 2  n  3. Khi ®ã: P ( x)  ax 3  bx 2  cx  d . ( a  0) Thay vµo hÖ thøc (1) ®­îc: a ( x  y ) 3  b( x  y) 2  c( x  y )  d  ax3  bx 2  cx  d  ay 3  by 2  cy  d  3 x 2 y  3 xy 2 .  3ax 2 y  3axy 2  2bxy  d  3x 2 y  3xy 2 , x, y  R.  d b0 VËy y  x 3  cx, c  R.  a  1;  c  R .  Bài tập tương tự. Bài tập 1. Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn đ¼ng thức: (4 x 2  2 x)(4 x 2  4 x  2).P ( x)  ( x 2  1)( x 2  3 x  2).P (2 x  1) Giải. P( x)  c( x 2  1)( x 2  3x  1) , c là số thực bất kì. 3.1.3. Phương trình dạng: u( x). f ( g ( x))  v( x). f (h( x))  w( x). (Phương trình hai biến phụ thuộc) Phương pháp 1: Đặt t = t(x) sao cho: g(x) = h(t); h(x) = g(t). Khi đó thu được: u '(t ). f (h(t ))  v '(t ). f ( g (t ))  w'(t ).  u ( x ). f ( g ( x))  v( x). f (h( x))  w( x) Ta thu được hệ:  u '( x). f (h( x))  v '( x). f ( g ( x))  w'(t ).  f ( g ( x))  m( x) Giải hệ thu được:  ( Phương trình dạng 3.1.1 )  f (h( x))  n( x) 1 Ví dụ 1. Tìm f(x) trên R*, biết: f(x)  2.f( )  x, x  0. (1) x 1 1 1 Giải. Đặt x  . Thay vµo PT ®­îc: f( )  2.f(t)  t, t.  f( )  2.f(x)  x, x  0. (2) t t x 2 2 2 x Tõ (1) vµ (2) suy ra: 3 f ( x)   x  f ( x)  , x  0. x 3x 1 1 Ví dụ 2. Tìm f(x) trên R\{1}, biết: (x  1)f(x)  f( )  , x  1. (1) x x 1 1 1 1 1 1 t x2 , x  1. (2) Giải. Đặt x   (  1) f ( )  f (t )    (1  x) f ( )  xf ( x)  1 t t t 1  t x 1  x 1 t 1  2  ( x  1) f ( x )  ( x  1) f ( x)  1 Tõ (1) vµ (2) suy ra:  ( x  1)2 f ( 1 )  x(1  x) f ( x)  x 2  x 2 x x2  x  1 x2  x  1 1  [( x  1)2  1]. f ( x)  1   f ( x)   , x  0;1. 2 1 x 1 x (1  x)( x  x  1) 1  x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 13 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Ví dụ 3. Tìm f(x) trên R, biết: 2f(x)  3xf(x)  2  3x .  6 x. f ( x)  4. f ( x)  4  6 x Giải. §Æt t   x  2. f (t )  3t (t )  2  3t   2 6 x. f ( x)  9 x . f ( x)  3 x(2  3 x)  (4  9 x 2 ). f ( x)  4  6 x  6 x  9 x 2  4  12 x  9 x 2  f ( x)  4  12 x  9 x 2 , x  R. ( Thö l¹i tho¶ m·n). 4  9 x2 Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)  xf(1  x)  x 2  1, x  R. Giải. §Æt t  1  x  f (1  t )  (1  t ). f (t )  (1  t )2  1  x. f (1  x)  x(1  x). f ( x)  x( x 2  2 x  1)  x. f (1  x)  f ( x)  x 2  1   [( x(1  x)  1]. f ( x)  x( x 2  2 x  2)  ( x 2  1)  x3  3x 2  2 x  1  g ( x)  x3  3x 2  2 x  1 , x  R. (Thö l¹i tho¶ m·n).  x2  x 1 Bài tập tương tự. Bài tập 1. Tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn: a.f(x  1)  b.f(1  x)  g(x), x  R. (a, b, g(x) cho trước, g(x) xác định trên R, a   b ) Áp dụng: 1, 2009.f(x  1)  2010.f(1  x)  x, x  R. 2, 2008.f(x  1)  2009.f(1  x)  x 2  1, x  R. 3, 2008.f(x  1)  2010.f(1  x)  x 2  2x  2, x  R. HD. §Æt t  1  1  x  x  t  2, thay vµo PT ®­îc: a.f(1  t)  b.f(t  1)  g(t  2), t  R. a.g (1  x)  b.g (1  x) a2  b2 2 Bài tập 2. T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f : R \    R tho¶ m·n: 3  2x   2 2 f ( x)  f    1005 x, x  R \   . (1)  3x  2   3 2010 x( x  1) HD f ( x)  3x  2 1  x 1  Bài tập 3. Tìm hàm f(x) thỏa mãn: f ( x  1)  3 f    1  2 x, x   . 2  1 2x  2 x  x 1 1 HD. f ( x)  ,x   . 4x  2 2 Nếu việc chuyển đổi giữa hai biến gặp khó khăn, ta phải thực hiện chuyển đổi theo ba biến, V× a 2  b 2  0  f ( x)  hoặc nhiều hơn. Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)  Giải. §Æt 1  1  .f    1, x  R \ {0;1} (1) 2x  1  x  1 t 1 thÕ vµo (1) ®­îc:  t  t  0;1  1  t  tx  x  1 x t Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 14 Một cách tiếp cận bài toán hàm số t x  t 1   x 1  f f (t )  1, t  0;1  f  f ( x)  1, x  0;1. (2)    t  2(t  1)  x  2( x  1) §Æt x 1 1 (1) t  x   x 1 t  1  1  t  t 1  f f    1, t  0;1.  1 t  2  t   1  1  x  x 1   f f    1, x  0;1. (3) 2 1 x   x  LÊy (2) – (3)x x 1 1 x  1  x , x  0;1. (4) ®­îc: f    f ( x)  2 2  1 x  4 x x 1 6x  2 LÊy (1)x (2x) – (4) ®­îc: (2 x  ) f ( x)  2 x   f ( x)  , x  0. 4 2x 7x  x 3  x 3 Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f : R \ {  1}  R thỏa mãn: f  f   x, x  R \ {  1}  x 1   1 x  Giải. §Æt y  x 3 y3 x3 y3 Khi ®ã (1) trë thµnh: x   x 1 1 y 1 x y 1  y 3 y 3 , y  1.  f ( x)  f ( y)  f    y 1  1 y §Æt y   x 3 x 3 , x  1. (2) f   x 1  1 x x3 y 3 x3 y3 Khi ®ã (1) trë thµnh: x   1 x 1 y 1 x 1 y 3 y  y3 f , y  1.  f ( x)    f ( y)  y 1  1 y  LÊy (2) + (3) – (1) ®­îc: f ( x)   3 x  x 3 f , x  1. (3)   1 x  1 x 1 x 3 x 3 x3  8 x (   x)  2 x 1 1 x 2(1  x 2 )  a2  Ví dụ 3. Tìm hàm f(x) biết rằng: f ( x)  f    x. ax  a2  a2 Giải. Trong (1) thay x bởi được: f   ax ax  ax  a 2 a2 được: f  ax  x (a  0, x  a ) (1)  ax  a 2  a2 f    x  ax (2)  ax  a 2  f x  ( ) (3)  x  x 3  a 2 x  a3 Giải hệ (1),(2),(3) bằng cách: (1) + (2) –(3) được: f ( x)  , x  0, x  a. 2 x( x  a ) Bài tập tương tự. 1  x 1  Bài tập 1. Tìm hàm f(x) xác định x   thỏa mãn: f ( x)  f    x (1) 3  1  3x  9x3  6x2  x  2 1 HD. f ( x)  ,x   . 2 18 x  2 3  x 1  Bài tập 2. Tìm hàm f(x) xác định x  R \ {-1;0;1} thỏa mãn: x. f ( x)  2 f    1 (1)  x 1  4x2  x  1 f ( x)  HD. 5 x( x  1) Trong (2) thay x bởi Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 15 Một cách tiếp cận bài toán hàm số 3.1.4. Phương trình hai biến độc lập. Phương pháp: Chọn một biến là một giá trị cụ thể hoặc phụ thuộc vào biến kia và đưa phương trình về dạng 3.1.4. Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm f : R*  R* thỏa mãn: f(x)f(y)  f(xy)  1 1  , x, y  R* . x y Giải. Chọn y = 1. Từ đó lập luận theo x. 1 1 1 x Chän y = 1 ®­îc: f(x)f(1)  f(x)   1  f(x).(f(1)  1)   1  x x x NÕu tÝnh ®­îc f(1) th× ta tÝnh ®­îc f(x). Cho x = 1 ta ®­îc:  f (1)  1 (lo¹i) f (1)2  f (1)  2  0    f (1)  2 1 x VËy f(1) = 2  f ( x)  x Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn: (2) f(xy)  f(x  y)  f(x  y  1)  xy  2x  1, x, y  R. (1) Giải. Chän y = 0 (1) ®­îc: f (0)  f ( x)  f ( x  1)  2 x  1 Chän y = 1 ®­îc: (2) f ( x)  f ( x  1)  f ( x  2)  3 x  1 (3) Thay x = x + 1 vµo (3) ®­îc: f ( x  1)  f ( x)  f ( x  3)  3( x  1)  1 (4) LÊy (4) – (1) ®­îc: f ( x  3)  x  3  f (0). (5) TÝnh f(0) ? Thay x = 0 vµo (2), x = -2 vµo (5) ®­îc :  2 f (0)  f (1)  1  f (0)  0   f (1)  f (0)  1 VËy f(x+3) = x + 3 suy ra f(x) = x,  x R. Ví dụ 3. Tìm hàm f : R  R thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1, f (1)  1 2, f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y  R. 3,  1  f ( x) f    2 , x  0. x x Giải. Thay x = y = 0 và (2) được: f (0)  2 f (0)  f (0)  0. Thay x = -1, y= 1 vào (2) được: f (0)  f (1)  f (1)  f (1)  1. Xét x  R, x  0, x  1. Ta có:    1   x 1   x   1  1 f   f   f    f  x 1    x 1   x 1   x 1     x  2  x      f (1)   x 1    x     x 1  2  1   1  f       x    x 1  f ( x)   1   1  2     x   x 1    x 1  f   1   x   f ( x  1) f   2 ( x  1)2  x 1   x 1     x  2  f ( x)  f (1)  2  f ( x)  1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 16 Một cách tiếp cận bài toán hàm số x2 f ( x) f ( x) 1 x 2  1  2 f ( x)     ( x  1) 2 ( x  1)2 ( x  1)2 ( x  1) 2 ( x  1)2  x 2  1  2 f ( x)  x 2  2 x  1  f ( x)  x, x  0, 1.  Vậy f ( x)  x. Bài tập tương tự Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm f : R  R thỏa mãn:  f(x  y)  f(x  y)  2f(x).cos y, x, y  R.    f(0)  f( )  1  2 HD. CM: f(t) + f(-t) = 2cos t (1) f (  t )  f (t )  0 (2) f (  t )  f (t )  sin t (3) LÊy (1) + (2) – (3) ®­îc: f (t )  sin t  cos t  f ( x)  sin x  cos x ( Thö l¹i tho¶ m·n) Bài toán 2. Tìm hàm f : R  R thỏa mãn 3 điều kiện sau: f (1)  1 1, 2, f ( x  y )  f ( x)  f ( y)  2 xy 3,  1  f ( x) f    4 , x  0. x x HD. Trong (2) cho x = 0 được: f ( y)  f (0)  f ( y )  0  f (0)  0. 2 t t Cho x = y = t/2 được: f (t )  2 f    , t. (1)  2 2 2 2 1 t Cho x = y = 1/t được: f ( )  2 f    , t  0. t t  2 t f  2 f t  2 2 Theo (3) ta có:  4  4  3  8 f t t t   2 1 2    f (t )  t (t  0) (2) t   Từ (1) và (2) suy ra 3 f (t )  3t 2 (t  0)  f (t )  t 2 , (t  0). Mà f (0)  0  f (t )  t 2 , t  R. Vậy f ( x)  x 2 . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 17 Một cách tiếp cận bài toán hàm số 3.2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm xác định.Phương pháp quy nạp. Phương pháp: - Thay trực tiếp các giá trị thích hợp của x, từ đó dẫn đến giá trị cần tính. - Xây dựng hàm số thoả mãn điều kiện, sau đó tính giá trị. - Xây dựng biểu thức truy hồi, lập công thức tổng quát của dãy các giá trị x ( trong trường hợp tính giá trị x nguyên hoặc tự nhiên) Ví dụ 1. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: 1, f(x  y)  x  f(y) 2, f(0)  2 Tính: f(2010) ? Giải. Ta cã: f(1) = f(1+0) = 1 + f(0) = 1 + 2 = 3. f(2) = f(1+1) = 1 + f(1) – 1 + 3 = 4……… Quy n¹p: f(n) = n + 2, n N*  f( 2010) = 2010 + 2 = 2012. Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x)  x 4  ax 3  bx 2  cx  d ; (a, b, c, d  R) Biết f (1)  10; f (2)  20; f (3)  30. TÝnh f (12)  f ( 8)  34 10 Giải. §Æt g(x) = f(x) – 10x, xR. Khi ®ã: g(1) = g(2) = g(3) = 0  g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-d/6). Ta cã: f(12) + f(-8) = g(12) + 120 + g(-8) – 80 = 990( 12- d/6+8+d/6) +40 = 1976  f (12)  f ( 8)  34  1976  34  2010. 10 Ví dụ 3. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)f(y)  f(xy)  3(x  y  2), x, y  R. (1) Tính f(2007) ? Giải. Tr­íc hÕt ®i t×m hµm f(x) tho¶ m·n hÖ thøc trªn. Cho x = y = 0 ta ®­îc: f 2 (0)  f (0)  6  f (0)  2;3. 3 NÕu f(0)= -2 th×: chän y = 0 (1) trö thµnh: f ( x). f (0)  f (0)  3( x  2)  f ( x)   x  2 2 Thö l¹i vµo (1) thÊy kh«ng tho¶ m·n. NÕu f(0)=3. chän y = 0 (1) ®­îc: f(x)=x + 3. Thö l¹i thÊy tho¶ m·n . VËy f(2007) = 2010. Ví dụ 4. Cho hàm f xác định trên N* thỏa mãn: 1, f(n  1)  n(1)n 1  2f(n) 2, f(1)  f(2011) Tính f(1) + f(2) + …+ f(2010) ? Giải. Ta cã: f(2) = 1- 2f(1); f(3) = -2 -2f(2); f(4) = 4- 2f(3); ..., f(2010) = 2009 -2f(2009); f(2011) = -2010 -2f(2010) Céng theo vÕ c¸c ®¼ng thøc thu ®­îc: f(2) + f(3) +…+ f(2011) = 1– 2 +3 – 4+…+ 2009 – 2010 - 2(f(2) + f(3) +…+ f(2010)) do f(1) = f(2011) nªn: 3(f(1)+f(2) + f(3) + …+ f(2010)) = - 1005  f(1)+f(2) + f(3) + …+ f(2010) = - 335. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 18 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Bài tập tương tự Bài tập 1. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(1)  0; f(m  n)  f(m)  f(n)  3(4nm  1), m, n  N. Tính f(8)? f( 23) ? HD. Ta cã: f (2)  f (1  1)  2 f (1)  9; f (4)  f (2  2)  2 f (2)  45  63. f (8)  f (4  4)  2 f (4)  189  315; f (16)  f (8  8)  2 f (8)  756  1395. f (3)  f (1  2)  f (1)  f (2)  21  30; f (19)  f (16  3)  f (16)  f (3)  573  1998. Bài tập 2. Cho hàm f : R  R thỏa mãn: f(x)  f(y)  f(x  y)  xy  1, x, y  R. Nếu f(1) = 1. Hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n. HD. CM: f ( n)  n 2  3n  2 . 2 §Ó f ( n)  n  n 2  n  2  0  n  1. Bài tập 3. Tìm tất cả các hàm f : Z  R thỏa mãn các điều kiện sau: 1) f ( x). f ( y )  f ( x  y )  f ( x  y ), x, y  Z . 2) f (0)  0 3) f (1)  5 2 HD. Trong bài toán này chúng ta phải cố gắng tính giá trị hàm số tại một số điểm, từ đó tìm ra công thức tổng quát và đi chứng minh công thức đó. ( 2) Theo (1) có: f (0). f (0)  2. f (0)  f (0)  2  2 0  Ta chứng minh quy nạp công thức: f ( n)  2 n  1 5 1 . Lại có: f (1)   21  1 . 0 2 2 2 1 , n  Z . (5) 2n Bài tập 4.. Tìm tất cả các hàm số f : N  N thỏa mãn điều kiện sau: f ( f (n))  n  2, n  N . Bài tập 5. Cho hàm f xác định trên tập số nguyên và thoả mãn các điều kiện sau: f(0) ≠ 0, f(1) = 3. f(x)f(y)  f(x  y)  f(x  y), x, y  Z. Tính f(7). Bài tập 6. Cho f ( x )  9x  1  . Tính f   x 9 3  2010   2   2009  f   ... f    2010   2010  Bài tập 7. (KoMal-B381) Cho d·y hµm sè: 2x  7  f1 ( x)    TÝnh f (2010) (2010); x3   f n1 ( x)  f1 ( f n ( x)), n  1. HD. f (2010) (2010)  2010 ; f 2011 (2010)  2  f 2009 (2010)  3  1 4027  2010  3 2013 1 6037  2010  2 2012 f 2009 (2010); f 2011 (2010) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 19 Một cách tiếp cận bài toán hàm số 3.3. Các bài toán về hàm đơn điệu. Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm đồng biến f : R  R thỏa mãn: f ( f ( x)  y)  f ( x  y )  1, x, y  R. (1) Giải. Từ (1) suy ra: f ( x  f ( y))  f ( f ( y )  x)  f ( x  y)  1, x, y  R. (1') Trong (1) thay y = 0 ta được: f ( f ( x))  f ( x)  1, x  R. (2) Trong (1) thay x bởi f(x) được: (2) f ( f ( f ( x))  y )  f ( f ( x)  y )  1  f ( f ( x)  y  1)  f ( x  y )  2, x, y  R. (3) Trong (2) thay y bởi f(y) được: f ( f ( x)  f ( y))  f ( x  f ( y))  1  f ( x  y )  2 (4) Từ (3), (4) suy ra: f ( f ( x)  y  1)  f ( f ( x)  f ( y )  f ( x)  y  1  f ( x)  f ( y)  f ( y )  y  1. Vậy f ( x)  x  1, x  R. Thử lại thấy thỏa mãn. Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm đồng biến f : R  R thỏa mãn: f ( f ( x)  y)  f ( x  y )  f (0), x, y  R. (*) Giải. Từ giả thiết suy ra: f ( f ( y )  x)  f ( x  y )  f (0), x, y  R.  f (f (x)  y)  f (f (y)  x)  f (x)  y  f (y)  x, x, y  R do f đồng biến.  f (x)  x  f (y)  y  C, x, y  R  f (x)  C  x thế vào (*)  C = f(0). Vậy f(x) = x + f(0) với f(0) tùy ý. Bài tập tương tự: Bài tập 1. Tìm tất cả các hàm f :[1; )  [1; ) thỏa mãn: f (xf (y))  yf (x), x, y  [1; ). HD. CM: f(1) = 1 và f đồng biến. Xét f(x) > x và f(x) < x đều dẫn đến mâu thuấn. Vậy f(x) = x. Bài tập 2. Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : R  R thỏa mãn: f ( x  f ( y ))  f ( x)  y, x, y  R. 3.4. Các bài toán về hàm liên tục Sau đây là một số hàm chuyển đỏi các phép toán số học, kết quả của các bài toán này là cơ sở để chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn. Bài toán 1.(Phương trình Cauchy) Xác định các hàm f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: f ( x  y )  f ( x )  f ( y ), x, y  R. (1) Giải. Từ (1) suy ra f (0)  0, f ( x)   f ( x), f (2 x)  2 f ( x), x  R. Tương tự ta chứng minh được: f (3x )  3 f ( x), f (4 x)  4 f ( x), f (5 x)  5 f ( x)... 1. Từ đó chúng ta chứng minh quy nạp công thức: f (nx)  nf ( x), x  R, n  N *. - Thật vậy: Giả sử có f (kx)  kf ( x), x  R, với k nguyên dương. Khi đó có: f ((k  1) x)  f (kx  x)  f (kx)  f ( x). Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 20 Một cách tiếp cận bài toán hàm số  kf ( x)  f ( x)  (k  1) f ( x), x  R Kết hợp với tính chất f ( x)   f ( x) được: f (mx)  mf ( x), m  Z , x  R. x x  f ( x)  f ( m. )  mf ( )  f m m  mx   f ( x) , m  Z *, x  R. m 2. Ta đi chứng minh: f ( px)  pf ( x), p  Q, x  R. - Với p hữu tỷ luôn tồn tại m N*, n Z* sao cho: p  m . n x m m   x Khi đó: f  x   f  m.   mf ( )  f ( x). Vậy f ( px)  pf ( x), p  Q, x  R . n n n   n 3. Ta chứng minh: f (rx)  rf ( x), r  R, x  R. Với mọi số thực r luôn tồn tại dãy số hữu tỷ ( pn ) sao cho lim pn  r  lim pn x  rx n  n  Vì hàm liên tục trên R nên: lim f ( pn )  f (rx)  f ( rx)  lim pn . f ( x)  r. f ( x), x  R. n  n  4. Vậy f ( x)  f ( x.1)  x. f (1), x  R. Thử lại thấy f ( x)  ax, a  f (1) thỏa mãn. Kết luận: f ( x)  ax, x  R, a  R tùy ý. Nhận xét. – Chỉ cần giả thiết hàm liên tục tại một điểm nào đó là đủ. Vì khi đó theo tính chất (1) hàm sẽ liên tục trên R. - Kết quả bài toán không thhay đổi nếu thay R bằng nửa khoảng [a; ),(; b]. - Nếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện f ( x ) có đạo hàm trên R thì bài toán có thể làm đơn giản hơn. Bài toán 1.1. Tìm các hàm f ( x ) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện: f ( x  y)  f ( x)  f ( y ), x, y  R. (2) Giải. Lần lượt lấy đạo hàm (2) theo biến x, y ta được. f '( x  y )  f '( x), x, y  R; f '( x  y )  f '( y ), x, y  R.  f '( x)  f '( y ), x, y  R  f '( x)  const  f ( x)  ax  b. Thử lại vào (2) suy ra b = 0. Vậy f ( x)  ax, x  R, a  R tùy ý. Nhận xét. Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự. Bài toán 1.2. Tìm các hàm f ( x ) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện: f ( x  y)  f ( x)  f ( y ), x, y  R. (2) x 1 Giải. Theo bài toán 1, có: f    f ( x), x  R, m  N *. m m 1 1  1 1 Do f(x) đồng biến trên R nên: f     f ( x)  f      x  n n  n n
- Xem thêm -