Tài liệu Luận văn giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi

1 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5 PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6 1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6 1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6 1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7 1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9 2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9 2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10 2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 2 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12 2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13 2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14 Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 16 1.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 16 1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 22 1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 24 1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính…………………………………………………………………...…….. 25 1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 27 1.5.1 Phương trình Airy………………..………………. 27 1.5.2 Phương trình Legendre………………...………….. 30 1.5.3 Phương trình Hermite…………………………….. 34 2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 37 2.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 37 2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius................................................ 38 2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….….... 43 2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48 Chương 3 CÁC BÀI TOÁN 1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………………………………. 58 2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………………………………… PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 77 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện bài luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Trần Thị Thanh Thúy. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài đến nội dung, hình thức. Và em cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ các quý Thầy cô và các bạn. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Sinh viên thực hiện. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 3 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 4 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề. 4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN  Nhận đề tài. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 5  Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.  Lập đề cương chi tiết.  Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài.  Thực hiện đề tài.  Trình bày và thông qua GVHD.  Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.  Báo cáo luận văn. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius. 6. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn được chia làm 3 chương như sau: Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau. Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn. Chương 3: Các bài toán Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 6 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CHUỖI LŨY THỪA 1.1 Định nghĩa 1 Chuỗi lũy thừa theo x  x0 (hoặc chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng:   a x  x  n n 0  a 0  a1  x  x0   a2  x  x0    2 n 0 (1.1) ở đó các a n ( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi.  Đặc biệt, khi x 0  0 ta được chuỗi a n x n (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin. n 0 1.2 Khoảng hội tụ Chuỗi (1.1) luôn hội tụ tại x  x0 . Tập hợp tất cả các điểm x tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại x  x0 . Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.  ∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa  an ( x  x0 )n , chỉ có một trong 3 khả năng sau: n 0 (i) Chuỗi hội tụ chỉ tại x  x0 . (ii) Chuỗi hội tụ với mọi x. (iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại x0 : x0  R , x0  R  , hoặc x 0  R, x 0  R  , hoặc  x0  R, x0  R  , hoặc  x0  R, x0  R  . Số R trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói R  0 , trường hợp (ii) ta nói R  . * Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau: an , n  a n 1 R  lim (1.3) Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi R  lim 1 n  n 7 . an (1.4) 1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với x 0  0 , tức là chuỗi có dạng  a x n n  a0  a1 x  a2 x 2   n 0 Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.   n 0 n0 n n Tính chất 1. Giả sử f ( x)   an x và g ( x)   bn x . Khi đó  f(x) + g(x) =  (an  bn ) x n n 0 Tính chất 2. Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có: cxm   n 0 n 0  an x n   can x n m .  n Tính chất 3. Nếu f ( x)   an x với R < x < R thì n 0  f '(x) =  nan x n1 với R < x < R. = a1 + 2a2x + . . . n 1 Bằng cách lặp lại tính chất này , ta được:  f(k)(x) =  nn  1n  2 n  k  1a n x n k . n k 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa  Nếu một chuỗi lũy thừa n  a x  x  n 0 có bán kính hội tụ R  0 thì tổng của chuỗi n 0 này xác định một hàm số f  x  trên  x0  R, x0  R  . Khi đó, f  x  được gọi là khai triển được thành chuỗi lũy thừa. Hàm số f  x  và các hệ số của chuỗi này có liên hệ với nhau như thế nào ? Định lý sau sẽ trả lời cho câu hỏi này. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 8 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi ∆ Định lý 2 Giả sử chuỗi  f  x    a n  x  x0   a0  a1  x  x0   a2  x  x0    n 2 (1.5) n 0 hội tụ về f  x  với x 0  R  x  x0  R, R  0 . Khi đó: ak  f k   x0  k! với k  0, 1, 2, 3, * Nếu f  x  có đạo hàm mọi cấp tại x  x0 thì chuỗi   n 0 f n   x0  x  x0  n! n (1.6) được gọi là chuỗi Taylor của f theo các lũy thừa của  x  x0 . ∆ Định lý 3 (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử f  x  khả vi vô hạn lần và tồn tại C : n f    x  C,  x   xo  R, x0  R  Khi đó, ta có:  f  x   n 0 n f    x0  n!  n   x  x0  , x  x0  R, x0  R . □ Định nghĩa hàm giải tích Một hàm số f  x  là giải tích tại x  x0 nếu f  x  là tổng của chuỗi lũy thừa theo các lũy thừa của  x  x 0  và chuỗi này có bán kính hội tụ R  0 . Nếu f là giải tích tại mọi điểm trong khoảng mở I thì f được nói là giải tích trên khoảng I này. 1.5 Một vài khai triển cơ bản Sau đây là khai triển một số hàm sơ cấp đơn giản và thông dụng nhất: ex  1 ch x  x x2 xn   ....   ..., x  R . 1! 2! n! e x  ex x2 x4  1   2 2! 4! Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 9 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi e x  ex x3 x5  1   2 3! 5! sh x  cos x  1  sin x  x  2n x2 x4 n x   ...   1  ...,x  R . 2! 4! 2n ! x3 x 5 x 2n1 n   ...   1  ..., x  R . 2n  1! 3! 5! n x2 n 1 x  ...   1  ..., x   1,1. 2 n    1 2    1...  n  1 n  1  x  x  ...  x  ..., x   1,1. 2! n! ln 1  x   x  1  x  2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân □ Định nghĩa 2 Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó. Phương trình vi phân có dạng:   F x, y, y, y,, y m   0 . (1.7) trong đó, y  y  x  là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn y . Cấp của phương trình vi phân là m nếu m là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thay vào thỏa phương trình. 2.2 Phương trình vi phân cấp một □ Định nghĩa 3 Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: F  x, y , y    0 hay (1.8) y  f  x, y  (1.9) ∆ Định lý 4 (Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình y  f  x, y  Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 10 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi Giả sử các hàm f  x, y , f  x, y  liên tục trên hình chữ nhật D a  x  b, c  y  d  và  x0 , y0  là điểm trong của D . Khi đó, tồn tại nghiệm duy nhất y x  của (1.9) xác định và liên tục trong khoảng  x0   , x0    (   0 nào đó ) sao cho y0  y x0  . □ Định nghĩa 4 Nghiệm của phương trình vi phân (1.9) là hàm y  f  x  thay vào thỏa (1.9). Nghiệm tổng quát của (1.9) là hàm y    x, C  thỏa (1.9) với mọi hằng số C . Nghiệm riêng của (1.9) là nghiệm duy nhất y    x,C 0  thỏa điều kiện ban đầu y0  y x0  . Nghiệm riêng có thể thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C  C0 . Bài toán tìm nghiệm riêng được gọi là Bài toán Cauchy. 2.3 Phương trình vi phân cấp hai □ Định nghĩa 5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng y  a1  x  y  a2  x  y  f  x  (1.10) trong đó a1  x , a2 x , f  x  là các hàm của biến độc lập x . Nếu f  x   0 thì (1.10) trở thành y  a1  x  y  a2  x  y  0 (1.11) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của (1.10). Nếu f  x   0 thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. 2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất  Tìm một nghiệm riêng y1  x  .  Tìm một nghiệm riêng y2  x  độc lập tuyến tính với y1 x  bằng công thức sau:  a1  x dx e  y 2  y1  . 2 y1  Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.20) là: y  C1 y1  C 2 y 2 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 11 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi với C1 , C 2 là các hằng số bất kỳ. ◙ Chú ý Công thức cho nghiệm y2(x) được tìm từ phương pháp sau: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: y  p x  y  q x  y  0 trên khoảng mở I mà trong đó các hàm p x  và q  x  là các hàm số liên tục. Giả sử ta đã biết nghiệm y1  x  của phương trình này. Ta sẽ tìm nghiệm y2  x  , sao cho y 2  x  và y1  x  tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến tính. Đặt v x   y2  x  . Nếu ta biết v x  thì y 2  x  sẽ tìm theo công thức: y1  x  y2  x   v x  y1  x  Thay biểu thức y2 vào phương trình đã cho với y 2  v y1  vy1 và y 2  v y1  2v y1  v y1 . Ta được: vy1  2vy  vy1   p( x)  vy1  vy1   q( x)vy1  0. Do y1 là nghiệm phương trình đã cho nên: vy1  2vy1  p ( x)vy1  0 . Đặt v   u với giả thiết y1  x  không triệt tiêu trên I. Khi đó, phương trình trên trở thành  y  u   2 1  p  x   u  0 .  y1  Giải phương trình này ta nhận được  p  x dx y2 e   v  C dx  K . y1 y12 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 12 Chọn C  1, K  0 ta có:  p  x dx e  y2  y1  dx y12 y 2 chính là nghiệm độc lập tuyến tính với nghiệm y1(x). ∆ Định lý 5 Nếu y1  x , y 2 x  là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình: y  p x  y  q x  y  0 thì p  x    y1 y2  y1y2 y  y  yy và q  x   1 2 1 2 . y1 y2  y1 y2 y1 y2  y1 y2 2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất  Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.11) y  C1 y1  C 2 y 2 .  Tìm nghiệm riêng của phương trình (1.10) có dạng: Y  y1 A x   y2 Bx  với A, B thỏa mãn hệ phương trình:  Ay1  By2  0   Ay1  By2  f ( x)  Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.10) có dạng: y  y  Y. 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi 2.6.1 Phương trình thuần nhất *Dạng: y  py  qy  0 trong đó, p, q là hằng số. *Cách giải: Giải phương trình đặc trưng: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi (1.12) Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi k 2  pk  q  0 13 (1.13) * Nếu (1.13) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: y  C1e k1x  C 2 e k2 x ( C1 ,C2 là hằng số tùy ý) * Nếu (1.13) có nghiệm kép k1  k 2 thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: y  C1  C2 x e k1 x * Nếu (1.13) có hai nghiệm phức liên hợp k1    i , k2    i thì nghiệm tổng quát của (1.12) là: y  e x C1 cos  x  C 2 sin  x . 2.6.2 Phương trình không thuần nhất *Dạng: y  py  qy  f  x  (1.14) trong đó, p, q là hằng số. * Cách giải: - Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất tương ứng. - Tìm một nghiệm riêng Y của (1.14) a/ Trường hợp: f  x   ex  Pn  x  trong đó, Pn  x  là một đa thức bậc n và  là hằng số. (i) Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: Y  e x  Q n  x  Qn  x  là một đa thức cùng bậc với Pn  x  có n  1 hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. (ii) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm nghiệm riêng dạng: Y  xex  Qn  x  với Qn  x  được xác định như trên. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 14 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi (iii) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.13) thì nghiệm riêng: Y  x 2 e x  Qn  x  (Qn  x  là một đa thức cùng bậc với Pn  x  có các hệ số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định). b/ Trường hợp: f  x   e x   Pn  x  cos  x  Qm  x  sin  x     0  : trong đó Pn  x  , Qm  x  là các đa thức bậc n và m;  ,  là các hằng số. (i) Nếu   i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng dạng: Y  e x   Ar  x  cos  x  Br  x  sin  x  . (ii) Nếu   i là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.13) thì tìm một nghiệm riêng: Y  xe x   Ar  x  cos  x  Br  x  sin  x  trong đó Ar  x  , Br  x  là các đa thức bậc r  maxm, n  có các hệ số được tìm bằng phương pháp hệ số bất định. - Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất là: y  y Y . 2.7 Phương trình Cauchy-Euler □ Định nghĩa 6 Phương trình Cauchy-Euler là phương trình có dạng: b2 x 2 y   b1 xy  b0 y  0 (1.15) trong đó, b2 , b1 , b0 là các hằng số. ■ Cách giải: Đổi biến x  et  0 , (1.16) Suy ra: t  ln x (1.17) dy dy  dx dt (1.18) x và x2 d 2 y d 2 y dy  2  dx 2 dt dt Thế (1.18) và (1.19) vào (1.15) ta được: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi (1.19) 15 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi b2 d2y dy  b1  b2   b0 y  0 2 dt dt (1.20) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số. Giải (1.20) tìm được nghiệm y  yt  Kết hợp (1.16) và (1.17), suy ra nghiệm y  y  x  của phương trình đã cho. Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 16 Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA Một số phương trình vi phân có dạng rất đơn giản nhưng rất khó tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp. Ví dụ như phương trình y   2 xy   y  0 . Phương trình này liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử và một số phương trình vi phân khác nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý nên việc giải các phương trình như dạng trên là rất quan trọng. Vì vậy, cần thiết phải xây dựng các phương pháp để tìm nghiệm cho các phương trình nói trên. Trong đó, phương pháp ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa là phương pháp thông dụng nhất. * Phương pháp chuỗi lũy thừa: Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho việc giải phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên. Phương pháp này cho nghiệm của phương trình vi phân ở dạng lũy thừa:  y  y x    cn x n  c0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3   n 0 Cơ sở toán học của phương pháp này là thay biểu thức trên cùng với các đạo hàm  y x    cn nx n1 , n 1  y x    cn nn  1x n2 , . . . vào phương trình vi phân và từ đó xác n 2 định giá trị của các hằng số c0 , c1  . 1.1 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp này được minh họa qua các ví dụ sau. ▪ Ví dụ 1 Sử dụng phương pháp chuỗi để tìm nghiệm riêng của phương trình sau: y  x  1 y   x 2 y  x, với y0  1, y 0  1 . Một nghiệm theo các lũy thừa của x sẽ có dạng là: y x   c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  c4 x 4  . Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 17 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi với : y x   c1  2c2 x  3c3 x 2  4c4 x 3  5c5 x 4  , y x   2c2  6c3 x  12c4 x 2  20c5 x 3  , cũng hội tụ với mọi x . Thế y, y , y  vào phương trình đã cho, ta được: 2c2  6c3 x  12c4 x 2       x  1 c1  2c2 x  3c3 x 2  4c4 x 3      x 2 c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  c4 x 4    x. Sắp xếp các số hạng theo cùng lũy thừa của x , ta được: 2c2  c1   6c3  2c2  c1  1x  12c4  3c3  2c2  c0 x 2    0 . Do một chuỗi bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của chuỗi đều bằng 0 nên ta có: 2c2  c1  0, c2  c1  2 6c3  2c2  c1  1  0, c3  2c2  c1  1  6 12c4  3c3  2c2  c0  0, c4  3c3  2c2  c0  12 Ta có: y0  c0 , y 0  c1 . Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: c0  1, c1  1. 1 2 1 2 1 8 Suy ra: c2  , c3  , c4   Vậy, nghiệm chuỗi cần tìm là: y x   1  x  x2 x3 x 4    ,    x  . 2 2 8 ▪ Ví dụ 2 Dùng chuỗi lũy thừa giải phương trình: y  y  0 . Giả sử phương trình có nghiệm dạng:  y=  cn x n . n 0 Lấy vi phân từng số hạng chuỗi này, ta được:  y' = c1 + 2c2x + 3c3x2 + . . . =  ncn x n1 , n 1 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 18  y'' = 2c2 + 2.3c3x + . . . =  n(n  1)cn x n2 . n 2 Thay vào phương trình đã cho, ta có: 2c 2  6c3 x  12c 4 x 2  20c 5 x 3  30c 6 x 4    c 0  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3  c 4 x 4    0. Sắp xếp vế những số hạng trên theo số mũ tăng dần của x, ta được: 2c 2  c 0   6c 3  c1 x  12c 4  c 2 x 2  20c 5  c 3 x 3  30c 6  c 4 x 4    0. Vì phương trình này thỏa với mọi x nên: 2c2  c0  0, 6c3  c1  0, 12c4  c2  0, 20c5  c3  0, 30c6  c4  0,  Từ đó: 1 1 1 1 1 c 2   c0 , c3   c1 , c4   c 2 , c5   c3 , c6   c4 . 2 6 12 20 30 Ta thấy: c2 biểu diễn qua c0 , c3 biểu diễn qua c1 . Và c4 biểu diễn qua c2 nhưng c2 biểu diễn qua c0 . Do đó: c4   c2 1 1  1     c0   c0 . 12 12  2  24 Tương tự: c5  1 1 c1 , c 6   c0 . 120 720  Nếu ta thế các giá trị từ c0 đến c6 vào y =  cn x n và đặt c0 , c1 làm nhân tử chung n 0 ta được: 1 4 1 6 1 1 5  1    y  x   c 0 1  x 2  x  x    c1  x  x 3  x   . 24 720 6 120  2    ◙ Chú ý Phương pháp này cho phép ta tìm được nhiều số hạng của nghiệm. * Phương pháp sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu ta tìm được dạng tổng quát cho các hệ số cn . Công việc này được tiến hành như sau: Ta giải phương trình vi phân đã cho, nhưng lần này ta sử dụng ký hiệu tổng " " và để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của y' , y'' dễ dàng hơn, ta đặt n’ = n –  2, nghĩa là n = n’ + 2. Ta được : y    n  2n  1c n 2 x n . n  0 Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi 19 Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi  Theo lý thuyết chuỗi lũy thừa, hai chuỗi  n  2n  1c n  2 x n và n  0   y   n  2n  1cn2 x n .  n  2n  1c n 2 x n là như nhau. Nên n 0 n 0 Kỹ thuật này rất quan trọng trong việc sử dụng phương pháp chuỗi. Thay y, y' và y'' vào phương trình vi phân đã cho, ta được:   n  2n  1c n 2  cn x n  0 . n 0 Một chuỗi lũy thừa đồng nhất bằng không khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng không. Do đó, các hệ số của x n phải bằng 0: n  2n  1  cn2  cn  0, n  0, 1, 2,  Suy ra: cn  2   cn n  1n  2 n = 0, 1, 2, 3, . . . Nếu biết c0 và c1 thì các hệ số còn lại sẽ được xác định. Với n  0, c 2   c0 . 1.2 Với n  1, c3   c1 . 2 .3 Với n  2, c4   c0 c c2   0. 3.4 1.2.3.4 4! Với n  3, c5   c3 c1 c   1. 4.5 1.2.3.4.5 5! Với n  4, c6   c c c4  0  0. 5.6 4!.5.6 6! Với n  5, c7   c5 c c  1  1. 6.7 5!.6.7 7! Theo quy luật trên, ta có: Với các hệ số chẵn: Với các hệ số lẻ: c 2 m   1 c2 m1   1 m m c0 . 2m ! c1 . 2m  1! Do đó, nghiệm của phương trình đã cho là: Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi Giải một số Phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi 20 y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . = c0 ( 1  x2 x4 x6 x2n +  + . . . + (1)n + ...) 2! 4! 6! (2n)! +c1 ( x   = c0   1n n 0 x3 x5 x 7 x 2 n1    ...  (1)n  ... ) 3! 5! 7! (2 n  1)! 2 n 1  xn + c1   1n x , với c0 và c1 là hai hằng số tùy ý. 2n! 2n  1! n 0 ► Nhận xét * Chúng ta nhận thấy hai chuỗi tìm được ở trên chính là các chuỗi Maclaurin của cos x và sin x . Do đó, nghiệm của phương trình là: y  C1 cos x  C2 sin x. * Tuy nhiên, có một số trường hợp khó có thể biểu diễn các nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa của các phương trình vi phân dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết. Ví dụ sau minh họa điều này. ▪ Ví dụ 3 Giải phương trình: y  2 xy  y  0 . Giả sử nghiệm của phương trình có dạng:  y   cn x n . n 0  Khi đó: y    nc n x n 1 . n 1   n 2 n 0 y    nn  1cn x n 2   n  2n  1c n 2 x n . Thế y, y, y vào phương trình và rút gọn, ta được:   [(n  2)(n  1)cn2  (2n  1)cn ] x n = 0. n 0 Do đó: (n+2)(n+1)cn+2  (2n1)cn = 0. Vậy: cn+2 = 2n  1 cn , n = 0, 1, 2, . . . ( n  1)(n  2) Luận văn tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán – SVTH: Nguyễn Thị Phương Nhi