Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler

TRƯỜNG DẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM CHI KHAI TRIỂN RIÊNG PHAN VÀ ÁP D ỤN G ĐỂ CHỨNG MINH CÔNG THỨC EULER KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC Chuyên Iigàiih; Giải tích Người hướng dẫn khua, hạt; r s , NGU YỀN VĂN H.ÀO HÀ N ộ i - 2015 LỜI CẢM ƠN Làn X.L11 đượu gửi Lời cam ơii tới các Giảng vieil khoa. ibáii trường' Dại hực Sư phạm hLà Nại 2 đa giúp đở em trong' quá trình. Ỉ1ỰC tập tại trường' và tạo điều kiện dio em liDầ.11 thành bàu kh.6ct Luạii tốt nghiệp. Dặc biệt em XĨIL bày tò Lòng biết ƠI1 sâu sắc; tới. T S r N g u yễn V ãn hLào đa tậu thill giúp đỡ em trưng suốt quá trình. Iigh.i.011 cứu và h.oà.11 thành kh.6a iuạn này, Mặc dù đà có rất nhiều cấ gắng, sDíig thời gia.il và kinh nghiệm bail th.au CÒI1 n h iề u h.ạ.11 chế I16I1 k h ó a iu ậ ii k h ô n g th ể trá n h . k h a i Iih.tfiig thiếu sót rất uiDiig được sự đóng' góp ỹ kiếii của. các thầy OQ giáo, uác bạii sinh. viên và bạiỉ đực tí à Nộir thÁĩig 5 năm 2015 SLiiii vieil N g u y ễ n T h ị K im U lli 2 L ời CAM ĐOAN L/II1 XÌIL caul đoan dưới sự hướng dẩii của. T S , N gu yểĩi Văn t i ko kh.6a Luậii ũủct em với đề tài “Tích, vô hạn” được h.oằ.11 thành. không trùng; với bất kĩ đề tài Iiài> khác, Trong quá trình. Làui đề tài, em đa kế thừa, nhưng thành, tựu của. các nhà khoa, lụ>c với $ự trâu trọng và biết ƠI1. Hà Nộĩt tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyên Thị Kim Ulli 3 Mục lục • « 1 M Ộ T SỐ K IẾ N m ứ c C H U Ẩ N B Ị 9 1 .1 Chuỗi s ố .................................................................................. 9 Một ỉ>6 khái Liìệin cơ b à u .......................... y 1.1.1 1.1.2 LL3 1.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương, l ‘i Uh-UỖL với i>6 hạng ũớ dấu tùy ỹ ................, , , UhLiiổL h.à.111 í> ố ........................................................................ 1.2.1 Mật í>6 khái Iiiệni cơ b à u .............................. . . . 1.2.2 Các tiêu điuảii hội tụ đều của. chuỗi hàm số . , 1$ 21 21 22 1,2 ,¿5 Tính. chất của hàm số giới hạn cua điiLQÌ. hàiii hại tụ đ ề u .................................................................. 1.3 Chuỗi Lũy thừa 1,3-1 ........................................................ ... . . . Khái liiệin về chuồi lũy thừa 132 Báu kíiiti hội tụ của. chuồi, lũy t h ừ a .................... 1.'S.'ô Khai triều thành chuỗi lũy thừa củct mạt số hàm -32 KHAI TRIỂN R1ÊJNG PH.AJN VÀ Á P DUJNG 2Ả Khai 22 SS triều riêng ph.au diel hàm số Lượng giác; 2,L I Khcũ triền riêng phần cửa. hàm cotcUỉg 2 Ả .2 Khai triển riẽiig, phần của. mạt ị>6iiàin giác khác; 2b> 2b> sơ cấp 2 20 -5-5 ,, , . , 'ở‘ò Lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -ST Ấp đụng khcii triều riêng piiầii trong; việc tính, giá trị cua. C ( 2 ) .................................................................................. í 38 M ực; l ụV MỤC LỤV 22X Chứng iiiLiứi gốc của. EuLer.................................... 'ò$ 222 Chứng iiiLiih. thứ hcù.................................... ... . . . 41) Kết Luận .....................................................45 Tài Liệu tham khảo , .............................................................. 40 5 M ực; l ụV MỤC LỤV MỞ ĐẦU 1, Lí do chọii đề tài Khcù triển riêng ptiầii là một trong' uhữiig kỹ thuật tính toáu của. giải tíđi, Minh. h-ựa đio điều đó, chúng tel ũ6 thề giới thiệu qua. hcũ vấii đề dưới đay; Về m ặ t lí th u y ế t, Iigu yêii liàtn uủct h à m liutu t ỹ đ ư ợc g iả i q u y ết tr iệ t để qua việc; biểu điên mật hàm hữu tỷ dưới dạng tổng' quát củct mật hàm đa thức với một hàm hữu tỷ có bạc của đa thức trêu nhò hau bậc của. đa thức dưới mẩu. Như vậy, vấn đề CỜI1 lại ià xử kỹ Iiguyẽu hàm i5ciu bằng việc ph.au tích đa thức dưới mẫu thành tíđi người ta. th.il được cáu ph.au thức.: riêng phần, N guyẽii h-àui uủa. các ph.â.11 thức ricug p h ầ n được tín h to á n m ộ t cách, đơii giản qua. các Iiguyẽii h.à.111 cơ bản. l a đa biết công thức; tí di phân từng pliầti f udv = uv — f vdu. Nhờ cồng thức liày, việc tính, tích phau cua- một ỉ>6 hàiii có thể 116L là khá phức tạp được diuyểii sang từ những' dạng, đơn giản hơu. Ngoài uiiữiig đề cập trêu, đây, trưng' Giãi tích, các; nhà. Tt>áu liực đã đưa Lei một í>6 kh.cũ triển riêng' ph-ầii củct một i>ố hàm đặc biệt qua. các; chuỗi đề thu được những cồng thức biểu điều rất 11ỖL tiếng và đem lại một 56 kết quả đẹp đẽ, Dược sự định, hướng của. người, hướng dẩiL, tôi điỊHi đề tài irKhcù trien riêng phần và áp dụng đé chứng minh, c ô n g ' t h ứ c E u L e r" để hoà.11 th àn h . k h ó a iu ậ ii t ấ t n g h iệ p đ iu y ê ii Iigàuh. Toán Giải tích, Khóa Luậii dược cấu trúc; hai điươiig + Uhươiig L Trình. bày một số kiến thức cơ bàu về chuỗi số7 điuai hàm và điuẩi. Lũy thừa., -Ị- Chương 2' Trinh bày một cách hệ thống về khcũ triều riêng ptLầii và áp đụng để chứng mình. công thức Euler, 5 M ực; l ụV MỤC LỤV 2r Mực đích và nhiệm vụ nghiên cửu -h Chứng minh được cổng thức khai triển riêng phần của một $6 hàm lượtig giác, + Tính tồng của. một số chuỗi số, điuồL hàm. "h Tính. tống' củ a lià iu ¿ e ta Rienia-Ii với sấ m ủ Iigu yên cỉiẳ ii liliờ kh.cũ triều riêng phần của hàm Lượng giác, 3, Đối tượng nghiên cứu -|- Nghiêu cứu khai triểỉi riêng phần của. mạt »6 hàm Lượng giác; như hàm 7YZ 1 1 cot7Tz ,t a n — , ------- , -----— 2 sin 7Ĩz eos y- qua. các điuồL "h Tính. tồng của. một số chuỗi số, điuẩi tiàin Iiliư tính. tồng của h-àin ¿etaRi.euia.1111 với ¡>6 mủ chẵn. 4, Phương pháp nghiên cứu KiiOci Luậii sử dụng một số phương pháp và uôiig cụ của giải tích bao gồm -Ị- Phương ph-áp ptiâii tídi và tồng hợp các kiến thức về lỹ thuyết chuỗi ¡>6, lỹ thuyết chuỗi hàm và khcii triều riêng phần của mật *6 hàiii đặc; biệt. -h Phương- pháp phân tích, tống hợp về klmi. triền riêng phần của. mật i>6 hàm Lượng giác từ đ6 kết hợp XÌIL ỹ kiến uủa. Iigười hướng dẩn. 7 MỤC' LỤC MỤCLỤU B Chương 1 M ỘT SỐ K IẾ N THỨC CH UAN ♦ BỊ♦ 1.1 Chuỗi í>ố 1.1.1 Mật »6 khái liLệui cơ bản Đ inh nghĩa. 1.1, ChLD dãy 3ố {a n}. Tống vô hạn Clị + 0,2 + ••• + an + ... = ^2 CLn 11= 1 (l'l) được gọi Là mật chuồi số, -b an đượu gọi Là í>6 hịiỉi^ tống quát thứ n uíict chuỗi s6. H- Tổng' sn —ữl + ữ2+ ••• + an —2 aẢ -5 (1-2) k=l được gụi là tồng riêng thứ n ũủa. điuQL số, L)ằy {s„ } được gvi Là day tống riêng của. điuổi (1.1). JNếu giới hạn uủct day tồng rỉêiig lim s„ = s tần tại và hữu hạn thì n-»oo chuỗi được gọi Là hội. tụ và có tồng riêng Là s. K.hi đ6 ta aliig viết + 00 ?t= 1 Nếu lim sn = ±00 hoặc; không tầu tại giới hạn Iiày, till chuỗi được n— >oo gụi Là phân kì. V í d ụ 1 ,1 ,1 , X é t chuỗi i>6 11 Vti VÔI s ố VttươNU 1 MỘT s ờ KlẾiS T t iữ v CUVẪiS VỊ qn = 1 + q + q2 + ... + qn + ... n= 0 lồng riêng của chuỗi được x.ác địiih như i>ciu sn = 1 + q + q2 + ... + ợn_1 IU xét các trường hợp (i) Trường' hợp q Ỷ 1? ró tổng; riêng thứ n của. chuỗi Là s rt 1 —q' 1 - q + Nếu \q\ < 1 thi lim ợn = 0, L)u> đó n —ìoo lim sn = — -— n— >oo 1 — (Ị Vậy chuỗi i>6 đã chi> là hội tụ và cớ tồng' là +OQ 1 Ẹ 1 thì lim 5n = 00 tiêu điuổi đa dii> ph.au kì. ft-»oo (ii) 1 rường hợp q = 1 khi đ6 ta. lim 5n = lim n = +00, n —>00 n —¥ oc Vậy chuỗi đã đio phân kì, (m) Trường hợp q = —L Day tồng riẽug được x.ác định như sau 0 khi n = 2 k 1 khi n = 2 k + 1 Như vậy dảỵ {s n} không uó giới hạn, L>1> đ6 với \q\ = 1 thì chuồi đả diD ptiâii kL V í dụ 1,1,2 , Uhx> chuỗi i>6 ts? 1 n=i n{n + 1) Ta cố ũ) 1,1. Vtỉ VÔI s ờ 1.2 CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị 2.3 2/ 1 = 1---- — . 3.4 \2 "■ n(n + 1) 3/ V3 4/ \n n + 1/ 71+1 Từ đớ7 suy ra lim sn = L Vạy chuỗi đa diD là hội tụ với tống: bằng 1. n— >oc 1,1,1,1, Điều kiệu để chuỗi hội tu Đ ịnh lí 1 , 1 , 1 , (tiêu diuẩu CcHiđiỵ), Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chí khi với ỉiiựi 6 > 0 tầu tại số Iiguyêii dương N sao (ill) với II1ỰL n > N và mọi số liguyẽii đương p tel có \an+i + an+2 + ... + an+p\ ^ £ (1.3) Chứng m inh, UhuẩL (1.1) hại tụ khi và chi khi day tống riêng {s n} hội tụ, rheo tiêu diuẳii Uctudiy về sự hội tụ cua. dãy số, với inựi. ố > 0 tồn tại »6 ỉiguyêii dương N dio với mại n > N và II1ỰĨ »6 Iiguyêii dươiig; p tel c6 l^n+p 1^ Diều này tương’ đương với 10-77 + 1 + a n+2 + . .. + a n + p \ < E H ệ quả 1 , 1 , 1 (điều kiệu cầu để chuỗi hội tụ), Nếu chuỗi (1.1) [lội tụ lim an = 0 n— »00 Thật vậy, thei> (1.3) thi với uiựi n > N diựii p = l ta Iihậii được; IQ'n+1 1 ^ £ L)o đó ta ũ6 lim an = 0 n-^oo 11 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị C hú ỹr Diều kiệu trẽn đií là điều kiệu cần điứ không' phài điều kiệu Ví dụ 1,1,» + °° 77 77 I a) Chuỗi £ — — ptiâii kì vì lim — —— = - , n=i 2n + 1 n-^oo 2n +1 + OC ị b) Xét điuơi 2 ị n = 1 Tì, ' M-ặc dù- lim — 0 uhưug chuỗi Ìiày ph.au kL Thật n —>00 n vậy, t a CQ 1 1 1 52n - sn — -- —— H —— + ... + — n+ Ị n+ 2 _ 2n 1 1 1 _ 71 _ 1 2n 2n 2n 2n 2 Nếu chuỗi này hôi tụ thì các day tống riêng { ,sn} và { s 2n} pliài dầu tới một giới hạn khi n —> +OG? tức Là lim (s2n —sn) = 0, Tuy Ìihiẽu, n —^oc điều Iiày mâu thuẫn với đáuli giá trêu, hLệ quả 1,1,2 , Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuổi. Ìiày bằng cád.1 thêm vào hi>ặc bớt đi mạt số hữu hçtii üáü i>6 heilig uùiig liöi tụ hoặc uùiig ph.au kì, 1,1,1,2, Tính chất về các phép ti)áu của chuỗi hội tụ Đ inh Lí 1 , 1 , 2 , Nếu các chuỗi là 5 và t am Y l bn liậi tụ và có tổng' Lần Lượt n= 1 n=1 thì cáũ diuổi 2 (an ± &„) và n=l (Ằ an ) ảiiig hôi tụ và lầu lượt n=l được xác định th.e^L> công tiiức dưới đáy + 00 -1-00 E (an ± M = s ± í; E ^an = Ằs. n=l 71=1 C h ứ n g Liiiiili, Kí hiệu 5n = ữi + ữ2 + ••• + ữnj t'n = bị + 02 + ... + bn. Khi CÎ6 {Sn } + 00 là tống riêng của. chuôi n=l (ữn i frn) và {Asn} Là tống riêng cua điuổi (Aan), Theo tíiili chất củci day í>6 hội tụ ta có n= 1 12 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1. MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ lim (sn =b tn) = s ± t\ lim Xsn = As. n —>oc n —>oo Vậy cớ điều uầii ũhứiitỊ, minh. 1 ,1 ,2 D ấ u h i ệ u h ộ i t ụ củ a . ch.uơL d ư ơ n g . a n được gt>i Là chuỗi dương Iiếu a n > 0 với II1ỰÌ n . n=l Đinh. lí 1 , 1 , «5. Diều kiệu cầu và đủ đề một chuỗi dương h-pL tụ Là day Chuồi số tống," riêng của. I1Ớ bị diặii. C hứng m inh, Vì Yì, an h-ội tụ Iiẽii dãy tổng riêng (s„) c;ủa IIÓ hôi tụ. n=l L)o đ6 dãy (sn) bị chặn. [Ngược Lại, CÌD dảỵ tồng riêng của. chuỗi dương Là. dãy (sn) tăng liẽii nếu + 00 dãy (sn) bị diặii thì tầu tại giới hail, L)o CÎ6 điuQĨ an hội tụ, n= 1 1 , 1 , 2 .1 . D ấu hiệu su sánh. Cho hai chuỗi í>ố dương an và X) K n= 1 n=l Đ inh Lí 1 ,1,4 , (Dấu hiệu ¡>0 sánh thứ nhất), Giả sử tồn tại số nguy eil dương ĨI() và Liiột hằng’ 3ố c > Ü !>&(_> cho an < Cbn; với iiiựi n > 1ĨQ. Khi đó ta cớ uác khẳng định. Seul (?;) Nếu chuỗi i-iöi tụ thì kéo theư chuồi n= 1 an hội tụ, 77,= 1 (Ü) Nếu chuỗi an phân kì thì kéo theo chuỗi. n=l bn phân kì, n= 1 Chứng' m in h , Như đã Í1 ÓL trong' hệ quà 1,1,2, không' mất tính, tổng quát ta cố thế giả thiết + 00 n của các chuỗi n 0 = L GựL s n và t n Lầu Lượt là. tổng: riêng thứ +00 an và n=l bn. Khi đ6 tel œ n—l s n < C t n ; với II1ỰL n > 1. Như vậy Iiếu day {tn} bị chặn thì dãy { s n} cũng; bị chặn và Iiếu dãy { sn} không bị diặii thì dãy {tn} cung không bị điặii, Từ đ6 ta. suy ra. U 1,2 CtỉUỖlSỜ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CtiVẨn Uị kết iuậii cua. định iỹ. Đinh. lí 1 ,1,5 (Dấu hiệu so sánh, thứ licti), Giả sử lim — = k. Khi n-^oo bv đó ta có các khẳng định. sau (i) Nếu 0 < k < +oo thi từ sự hội tụ của chuỗi ^ an kéư theo sự 71=1 hội tụ củ a chuỗi ^ ữ7ìn= 1 (zz) Nếu 0 < k < +oo thi từ sự phân kì của. chuồi ^2 an kéi> thei> n= 1 Sự pliaii kì của. chuỗi XI ữn• n= 1 Chứng m inh, (i) Bởi vì lim — = Ẫ ;v à O < / c < + o o liêu tần tại ỉ>6 n-+00 bn Iiguyêii dương 720 để với iiiựl n > n 0 -^ < k + 1 bn an < (k + 1 )6n. Theo định il L L 4 thì điuoi. X] an hội tụ, 71= 1 (zz) Trường liỢp 0 < k < +OG và chuỗi bn ph.au kì, Khi đó ta có n=l lim ^ = f c - = í ỉ n ->oo an ^ 0 khi k Ỷ +00 khi k = + 0 G tức Là. 0 < k* < +oo, Theo phần chứng' minh. trêu, Iiếu diuQL hội tụ thi chuỗi X] K n=l an ph-àĩ- hội tụ, L)o đò, dmỗi ^ an phân kL n= 1 n=1 +OQ ^ V í du 1 ,1 ,4 , Xét chuỗi —n=ĩ n 2 Với inựi n ta. c6 1 , 1 , 1 . 1 sn — 1 + ——+ ... H--- —< 1 + —— + —— + ... + 22 14 n 2 .21 .32 n( - ì ) n 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị 1 1 1 1 1 - 1 + 1“ 2 + 2 _ 3 + - + ^ I ' ñ = 2 - - n < 2. Vì dãy tổng riêng bị diặii liêu diuồi hội tụ theo định. Lý 1,1.3, Từ kết quá trêu đây uùiig dấu hiệu SL> sánh thứ nhất, ta củng suy ra ngay hàm RieiilcUlii-zeta C(s) = Ễ -7; vởi s > 2 n= 1 res là một chuỗi hội tụ. V í dụ 1 ,1 ,5 , Xét chuồi Y] —, . ^ n tan On+l n=l ^ r 7T"I Dề dàng klein tra raiig lieu X G 0,— thì tan X < 2 x. L)i> đó, với rnựL n > 1 ta cố 7T 2 tĩ n < n. = 7r.— . On+ 1 2n+1 2n +00 ■-° ■1_[ rheo ví dụ 1,1.4, chuồi.—- hội9 tụ, höi-Lại tu, vì Lai vì n=l n 2 n tan n ,lim 49”—= ,lim — n2 = n— >00 1 n— >00 2n n2 0, + OC 7-7 liêu thei> đinh lý 1.1,5, chuồi X] — hôi tiuTüf đ6 theo đinh, lý 1.1,4, n=i 2n +00 7Ịctiuổi ^V 72 tan Ọn+l ——— hội Y tụ, n=l z 00 ^ Từ í>ư hoi tu của diuồi—- và tiêu cỉiuẩii sánh thứ Iihất? tel ũủiig n=l rc Iih.ặ.11 đượu tính, hại tạ của. hàm ¡¿etä-Rieiiicuiii V í d ụ 1 ,1 ,6 , Hàm ¿etaRieiiiaim đượu xác định bởi công thức 00 I C(5) = Ẽ 4 n=l hội tụ khi s > 2 1,1,2.2. Dấu hiệu Cauchy 15 2 , 2 VtỉVỖl s ờ C;i-i[;'ơ:VG ỉ. Đ i n h Lý m ộ t sờ LÍIẾN THỨC cti VAN Uị (D ấ u h iệ u C a u c h y ), C h a ch u ô i đ ư ơ n g an- (¿Là sử 71=1 lim = c, K-liL đó, ta vó các khẳng địiiii sau n —ìoo (i) Nếu c < 1 till chuỗi đa điD hội tụ. ( m) Nếu c > 1 thì điuổi đa diD pliâii kì, Chứng m inh, (z) Nếu c < 1 thì tần tại $6 p đè c < p < 1, Vì lim n-»00 = c iiẽn tầu tại 1ĨQ < p o đế a n < p n ; với m ọ i n > riQr Vì chuỗi í>n h.ôl tụ, tiẽii diuồi an hội tụ theo định. lí 1.1.4. 77,=1 71=1 (?;?;) Nếu c > 1 thì tần tại 77,0 để jựã^ > 1 an > 1; với ÍI1ỰL n > 1ĨQ. Như vậy chuồi, phân kỳ theo hệ quà L 1,1,1 của định.Lý1,1.1, 1,1,2,3, Dấu hiệu D ’Alembert Diĩih. lỹ 1 ,1,7 . (Jhx> chuỗi dương XI anrc=1 lim = cL Khi đó ta. cớ các ktiẳiig địiili sau sử tầu tại giới hạn 7Z-S-OC a n (i) (ii) Nếu d Nếu. < 1 thì chuỗi đà dio hoi tụ, d > 1 thi diuổi đã cho ph.au kỳ, Chứng m inh, Nếu d < 1 thì tầu tại p để d < p < L Vi lim n-rOo a n = d Iiẽii tồ ii tạ i i>6 u g u y ẽ u dư ơ n g n 0 đ ế IIIỰL n > n 0 và ^n+1 —1— < p o an+1 < pan. Từ đ6? ta c6 0*110+2 ^ ^n0+lộ <' ^n0Q &ĩio+k <'- Q/tiqQ + 00 Vì chuỗi +O Q ữn0ỢẢ hoi tụ, Iigỉiĩct Là chuỗi X] an hội tụ theo định. iỷ 15 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị 1.1.1. Nếu ri > 1 th ì tầ u tại 77,0 để Iiiựi n > n 0 và ^ J- tlciy CLn +i CLn Vậy không, c 6 lim CLn ^ 0*110' 0 liêu chuỗi ph.au kỳ. an = n —>oo 1 , 1 , 2 , 4 , D ấu hiệu tích. phân Cauchy Đ inh Lỷ 1 ,1 ,8 , Uhx> chuỗi số dương an- stí f ( x ) là một hàm n=l đơii điệu giảm và liêu tục; trêu [1; +oo) SctU1 d'lD /(n) = an; với mựi n = 1, 2,... + oo oo Khi đó, chuỗi ^2 an và tích, ph.au f f(t)dt cùng h.ộL tụ hoặc cùng phân n=l 1 kỳ. C h ứ n g m in h ,T ừ già thiết của. định lý7 với II1 ỰL X G [fc, * + 1 ] và í>6 tự nhiên Ả- > 1, ta đều c6 a*+i = /(fe + 1) < f{x ) < f(k) = ak. (1.4) Từ đớ7 ta cớ /c+1 ữjfe+i < / f { x ) d x < ak. k Lấy tồng' các vê của bất đẳng thức treu theo k từ 1 đếii 71 ta được fe+ l n E ßifc+1 < / k= 1 n ỉ\x )d x < 1 ak fe=l hay 77-+1 5„+i - ai < / f(x)d x < sn; 1 (1.5) tnmg đớ s„ Là tồng: riẽiig th.ứ n của. chuỗi ^ aẢ:' -Lừ bất đẳng thức *=1 n+1 kép (1.5) ta thấ.y rằng day {s n} và tích, ph.â.11 f f(x)d x cùng bị điặii 1 17 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠNG 1. MỘT SỜ KIẾN THỨC CHUÂIS BỊ hoặc cùng không bị diặii. Diều. đ6 dio ta. khẳng định. của. định. [ỷ. C h ú ýr Khi áp dụng dấu hiệu D'Alembert Lici.y dấu hiệu Cauchy Iiếu lim n —¥ oo dn = 1 Iie>ặc lim = 1 thi chưa. kết Luậii được gi về sự hội 7Z—»oo tụ imy phân kỳ của. chuỗi. Tuy Iihiêii, Ìiếu từ một số n0 Iiào đố trở đi mà — ———> 1 thì có thề suy ra an am > \;Vm > n0. Diều đỡ ch.i> ta khẳng định, day an không tiến đến 0 kill n —> +00 và như vậy điuổi ^ an ph.an kỷ, n=l 1,1,5 Uhuỗi VỠL i>6 hạng cá dấu tùy Ý 1.1.3.1, Chuỗi đau dấu Dinh, nghĩa, Mật chuỗi số ó> dạng n= 1 (—l) n-lan trong đó các »6 an cùug dấu được gụi là chuỗi đau dấu. 1.1.3.2, Sự hội tụ Đ in h Lỹ 1 . 1.9 (Dấu hiệu Leibniz). Giả sử day {a n} là đơn điệu giảm và lim a n = 0. Khi đó, điuổi (—1)77_ 1a„ hôi tụ. n— »oc n=1 ' C h ứ n g m in h , Gựi {sn} Là day tổng riêng; cửa điuaL Bởi vì 5 2 m — ( a l — 0 ,2 ) + ( a 3 — d ị ) + ... + ( ữ 2 m - l — a 2m ) các số hạng trong iigDặu đều không âm liêu day {S2m} đơn điệu tăng, Mặt khác;, ta, lại có thể viết s 2m = CLì — \{ọ>2 — a ¿‘ ) + ( ữ 4 — Ö5 ) + ••• + ( a 2 m - 2 — 0 > 2 m - l ) + ữ 2m]- L)o đó? s2?n < di với ỈIIỰL m. Vậy {s2m} hội tụ theo tiêu đmẳii đơn điệu. Từ đó, iiếu lim s 2m — s thì với mại m—>00 7V1 2 |^2m '-’I ^ dương; A^I đế với U1Ị>L m > — ta đều có ĩã £ > 0 tồn tại số liguyẽii 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị Lại vì lim an = 0 Iiẽii với II1ỰL ổ > 0 tầu tại ¡>6 liguyêii dương Nọ để n-> oo với Iiiựi n > N 2 củug có Dặt N =max{iVi, N2} thì với II1ỰL n > N ta- có |s„ — s\ < —: với ndiẳu, 1 Với I 2 n Lẻth ì n + 1 ch.au Iiẽii t a uũn g tó £ l^n '-M l^n+1 ^ ®n+l| — l^n+1 £ |®n+ l| ^ 2* 2* ^" rsh.ư thế, với II1ỌL n > N ta. nhâu được 1 Isn - s\ < £ -. Vậy lim sn = s, tức Là chuỗi đã uhD hợi tụ và cố tổng bằng s. Chuỗi n —yoo đa.11 dấu thòâr mau điều kiệu của. định Lí 1.1.9 gụi Là chuỗi Leibniz, Vậy chuỗi Leibniz hội tụ. 1,1,3,3, Chuỗi hậi tụ tuyệt đối và chuỗi báu hội tụ D inh nghĩa, Chuồi i>6 ^2 an được gọi Là.hội tụ tuyệt đối Iiếu điuổi. n=l 53 \ an \ h-ội- tụ. Khi chuỗi n=1 an 71= 1 hội tụ nhưng chuỗi \a n\ phân kỹ n =1 thì chuồi ^2 an đượu gọi Là báu hội tụ, n=l D ịiih lý 1 .1 .1 D . Một chuỗi hội tụ tuyệt đối Là hội tạ, \an\ hội tự thì tlm> định. lý 1.1.1, với LI1 ỰÌ. C h ứ n g m in h , Nếu chuỗi n= l 6 > 0 tầu tại sơ uguyêii dương đễ với mại. N n > N và mọi p E N* ta cớ đánh, giá \a n + ì + a n+2 + Miư vay, chuồi ••• + a n+ p I < Iữ? ì+ l| + |^'?ỉ + 2 1 + ••• + |a ?i+p| < £■ an hội tụ tiieo đinh, lý 1 . 1 . L n=l + 00 V í dụ 1 ,1 ,7 , Chuôi 1 ( —l) ,/í+ — hội tụ theo dấu hiệu Leibniz (địiili » 1=1 n 19 1,1. Vtỉ VÔI s ờ CHƯƠÍSG 1. MỘT SÒ LÍIẾN THỨC CauẪlS Bị + 0Q +0C \ 2 lý 1.1.9) Iihưiig chuồi. ^2 —ph.au kỳ, Do đờ điuẩi ^2 (—l) Tt+1— Là báu 11= 1 ^ Tl—1 ^ liậi tụ. » . ... sin nx V í dụ 1 ,1 ,8 , Chuỗi n=l n 2 Isinnxl 1 . . +2° 1 . . „ +2^ Isin na;I l a ó > ----- -— < — , tel đa biêt chuôi 2J —7 íiỢi- tụ liên chuôi n2 n2 n=1 n 2 n=i n 2 +2? sin TLX hội tụ, Vậy chuỗi ^ 2 — hội tụ tuyệt đối. n=l n 1,1,3 ,4 , C ác tín h chất củcL chuỗi hỡi tụ T ín h chất 1 , (tính, chất kết hợp). Nếu chuỗi an hội tụ và cố tổng n= 1 là s thi điuổi (ữi + Ü2 + ... + Oni) + (flni + i + ữm+2 + ... + (ln-2) + ••• + ( ^ n fc_ 1 + l + ữnfe- i + 2 + ••• + ữnJ + (*) củng hội tụ và có tổng Là s. Chứng' minh., GựL tỵ Là tống riẽiig thứ k củci chuỗi (*) và sn là tống +00 riêng thứ n của điuổi an. l a œ n= 1 tk — s nk' L)o đó, từ lim sn = s suy ra. lim tk = lim Snk = s. Vậy ta có điều cầu n —¥00 n —ìoo n - ìo c chứng minh, T ín h chất 2 r (tính, chất giao hoán), Nếu chuỗi số an hội- tụ tuyệt n= 1 đối và cố tổng' là s thì điuẩi ^ bn nhận được bằng cách. đỗi dữữ tùy n=l + OC ỹ uáu số hạng của. điuQĨ an ^ủiig hội tụ và œ tống bằng S' n= 1 C hứng m inh, Vì chuỗi an hội tụ tuyệt đối Iiẽii chuỗi n —1 \an\ ixộĩ n=l tụ , Do đá, th e o đ ịn h lý 1.1.1, với II1ỰL £ > 0 tồ n tạ i số Iiguyêii dương Til để 21)