Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp đường tròn và một số bài toán liên quan

Lời cảm ơn Được sự đồng ý và phân công của cô giáo hướng dẫn Th.S Phùng Thị Thủy em đã thực hiện đề tài “Đường tròn và một số bài toán liên quan”. Để hoàn thành khóa luận này em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên đã tận tâm hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại trường Đại học Thủ đô Hà Nội. Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo Phùng Thị Thủy đã tận tình, chu đáo hướng dẫn em trong thời gian hoàn thành bài khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài này một cách hoàn chỉnh nhất, nhưng do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, kiến thức còn hạn hẹp nên khóa luận sẽ không tránh khỏi nhứng thiếu sót nhất định mà bản thân em chưa thấy hết được. Em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo thêm của quý thầy, cô và các bạn để khoá luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Tác giả khóa luận Dương Ngọc Ninh 1 DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 1 Mục lục 2 Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 6 2. Mục đích nghiên và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu 7 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 7 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu 7 3.2. Phạm vi nghiên cứu 7 4. Phương pháp nghiên cứu 8 5. Cấu trúc đề tài 8 NỘI DUNG Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Đường tròn 1.1.1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn 9 1.1.2. Đường kính và dây của đường tròn 10 1.1.3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây 10 1.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 10 2 DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục 1.1.5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn 12 1.1.6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 12 1.1.7. Vị trí tương đối của hai đường tròn 13 1.2. Góc với đường tròn 1.2.1. Góc ở tâm. Số đo cung 16 1.2.2. Liên hệ giữa cung và dây 18 1.2.3. Góc nội tiếp 18 1.2.4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 19 1.2.5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. 19 Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 1.2.6. Cung chứa góc 20 1.2.7. Tứ giác nội tiếp 21 1.2.8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp 22 1.2.9. Độ dài đường tròn, cung tròn 22 1.2.10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn 23 Chương 2. Một số bài toán liên quan 2.1. Bài toán chứng minh 24 2.2. Bài toán tính toán 39 2.3. Bài toán quỹ tích 46 2.4. Bài toán cực trị hình học 49 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 3 DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, các từ viết tắt Giải thích ( O;R ) Đường tròn tâm O bán kính R ( O';r) Đường tròn tâm O' bán kính r (O ) Đường tròn tâm O ABC Góc ABC AmB Cung AmB  Khác nhau  Trùng nhau  Lớn hơn  Lớn hơn hoặc bằng  Nhỏ hơn hoặc bằng  Nhỏ hơn  Bằng nhau ∽ Đồng dạng Song song  Vuông góc  Thuộc  ABC Tam giác ABC 4 DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt S ABC Diện tích tam giác ABC CABC Chu vi tam giác ABC S MNPQ Diện tích tứ giác MNPQ CMT Chứng minh trên DHNB Dấu hiệu nhận biết ĐPCM Điều phải chứng minh c.c.c Cạnh - cạnh - cạnh g.c.g Góc - cạnh - góc g.g Góc – góc GT Giả thiết đvdt Đơn vị diện tích đvđd Đơn vị độ dài cm Xăng – ti - mét 5 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Mục tiêu của việc dạy môn Toán là dạy cho học sinh các kiến thức Toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán. Từ đó yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải, chứng minh được các dạng toán. Chương trình Toán trung học cơ sở ở hai lĩnh vực đại số và hình học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Đặc biệt, phần hình học có rất nhiều dạng toán như chứng minh các tam giác đồng dạng, chứng minh các tam giác bằng nhau, chứng minh các góc bằng nhau, bài toán quỹ tích và dựng hình và các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp, … Các bài toán về đường tròn rất phong phú, phạm vi nghiên cứu rất rộng. Các dạng toán về đường tròn đóng vai trò là một đơn vị kiến thức trọng tâm trong chương trình Hình học 9, hơn thế nữa nó còn là một dạng toán được quan tâm nhiều trong các kì thi học kì, kì thi chuyển cấp và trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi ở cấp trung học cơ sở. Trên thực tế, dù đây là dạng toán khó, nhưng sách giáo khoa lại chỉ đưa ra cách chứng minh rất đơn giản như ở định nghĩa, định lí; chưa có sự hệ thống các phương pháp chứng minh một cách cụ thể dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh các bài toán, kĩ năng làm bài còn yếu kém, chưa biết cách khai thác hết dữ kiện đề bài cho, chưa tìm được sự ràng buộc giữa các giả thiết. Vì vậy, việc hệ thống các kiến thức sau khi học xong Chương II – Đường tròn trong Hình học 9 là việc làm hết sức cần thiết để cho học sinh có cách giải nhanh, đúng, dễ hiểu. Ta biết rằng, khi sử dụng đường tròn thì có thể suy ra được các yếu tố về góc bằng nhau, cạnh bằng nhau, … qua đó học sinh có thể liên hệ, vận dụng ngược lại để giải một số bài toán hay và khó. Đây là dạng toán mới với học sinh lớp 9 nhưng lại giúp học sinh lớp 9 nhìn nhận lại các bài toán đã giải ở lớp 8 để có những cách giải hay hơn hoặc lí giải theo hướng khác. 6 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH Với những lí do trên, em đã chọn cho mình đề tài nghiên cứu: “Đường tròn và một số bài toán liên quan”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của khóa luận là giúp giáo viên và học sinh hệ thống hóa lại kiến thức, nắm rõ các các bài toán liên quan đến đường tròn, đồng thời vận dụng để giải các bài toán xuôi – ngược, bài toán hay và khó (về quỹ tích, điểm cố định, cực trị, …). Qua đây, em hy vọng rằng khóa luận sẽ góp phần thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, chú trọng cho học sinh kĩ năng giải toán, phân loại, phân tích tự tìm tòi lời giải bằng nhiều cách khác nhau, kĩ năng nhận biết nhanh để giải các bài toán về đường tròn. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài này là đưa ra được các kiến thức cơ bản về định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến đường tròn mà học sinh đã được học. Phân loại được các dạng bài liên quan đến đường tròn có kèm ví dụ minh họa từ dễ đến khó và có lời giải. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là đường tròn và một số bài toán. Đó là việc áp dụng lý thuyết đường tròn để giải các bài toán liên quan đến đường tròn. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu một số dạng bài liên quan đến đường tròn và phương pháp giải của nó. Giới hạn kiến thức: Chương trình Hình học lớp 6, 7, 8, 9 ở trường THCS. 7 Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH 4. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu đề tài này để đạt hiệu quả cao nhất. Em đã sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp quan sát thực tế giảng dạy các giờ học Toán về chuyên đề đường tròn và một số bài toán liên quan của giáo viên THCS. - Nghiên cứu tài liệu. 5. Cấu trúc đề tài Khóa luận được chia làm hai chương chính như sau: Chương 1. Một số kiến thức cơ bản Chương 2. Một số bài toán liên quan 8 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Đường tròn 1.1.1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Định nghĩa 1.1. (Đường tròn) Đường tròn tâm O bán kính R (với R  0 ) là hình gồm các R O điểm cách điểm O một khoảng bằng R (Hình 1.1). Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là ( O;R ) . Hình 1.1 Ta cũng có thể kí hiệu là ( O ) khi không cần chú ý đến bán kính.  Cách xác định đường tròn Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó. Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn (Hình 1.2). A A A O B O B O C' C C B Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.2  Tâm đối xứng Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó (Hình.1.3).  Trục đối xứng Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn (Hình 1.4). 9 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH 1.1.2. Đường kính và dây của đường tròn Định lí 1.1. A Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường O kính. C D I Định lí 1.2. B Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây Hình 1.5 thì đi qua trung điểm của dây ấy (Hình 1.5). Hình 1.2 2 Định lí 1.3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 1.1.3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1.4. (Hình 1.6) B K A Trong một đường tròn: O  Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. D H  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. C Hình 1.6 Định lí 1.5. (Hình 1.7) Trong hai dây của một đường tròn: B E A  Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.  Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. 1.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn  Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn  Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 10 C O F D Hình 1.7 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản Khi đường thẳng DƯƠNG NGỌC NINH a và đường tròn ( O ) có hai điểm chung (Hình 1.8), ta nói đường thẳng Đường thẳng A và B a và đường tròn ( O ) cắt nhau. a còn gọi là cát tuyến của đường tròn ( O ) (Hình 1.8). Khi đó OH  R và HA  HB  R 2  OH 2 . a H A O O B a A B H a) b) Hình 1.8  Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Khi đường thẳng a và đường tròn ( O ) chỉ có một điểm chung C , ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng O a a là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) . Điểm C gọi là tiếp điểm. C≡H Hình 1.9 Khi đó H trùng với C , OC  a và OH  R (Hình 1.9). Định nghĩa 1.2. (Tiếp tuyến) Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Định lí 1.6. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 11 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH  Đường thẳng và đường tròn không giao nhau Khi đường thẳng a và đường tròn ( O ) không O có điểm chung (Hình 1.10), ta nói đường thẳng a và đường tròn ( O ) không giao nhau. a Khi đó OH  R . H Hình 1.10  Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn (Bảng 1.1) Vị trí tương đối Số Hệ thức của đường thẳng và đường tròn điểm chung giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 dR Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 dR Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 dR Bảng 1.1 1.1.5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Định lí 1.7. O Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường a H thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn (Hình 1.11). Hình 1.11 1.1.6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí 1.8. (Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau) B (Hình 1.12) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau A O tại một điểm thì:  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. 12 C Hình 1.12 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH  Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.  Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. Định nghĩa 1.3. (Đường tròn nội tiếp tam giác) Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn (Hình 1.13). Trên hình 1.13, đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC , tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ) . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác. A A E F B I D E F B D C K C Hình 1.13 Hình 1.14 Định nghĩa 1.4. (Đường tròn bàng tiếp tam giác) Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác (Hình 1.14). Trên hình 1.14, đường tròn ( K ) bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC . 1.1.7. Vị trí tương đối của hai đường tròn  Ba vị trí tương đối của hai đường tròn 13 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH  Hai đường tròn cắt nhau Hai đường tròn có hai điểm chung được A gọi là hai đường tròn cắt nhau (Hình 1.15). Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm. O O' B Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung.  Hai đường tròn tiếp xúc nhau Hình 1.15 Hai đường tròn chỉ có một điểm chung (Hình 1.16) được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. O' O A A O O' b) a) Hình 1.16  Hai đường tròn không giao nhau Hai đường tròn không có điểm chung (Hình 1.17) được gọi là hai đường tròn không giao nhau. O' O O O' b) a) Hình 1.17 14 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH Định nghĩa 1.5. (Đường nối tâm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O') có tâm A không trùng nhau. Đường thẳng OO' gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO' gọi là đoạn O nối tâm. O' Do đường kính là trục đối xứng của mỗi B đường tròn nên đường nối tâm là trục đối Hình 1.18 xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó. Định lí 1.9. (Tính chất đường nối tâm)  Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (Hình 1.18).  Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.  Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính (Bảng 1.2) Vị trí tương đối của hai đường tròn ( O;R ) và ( O';r) ( R  r ) Số điểm chung Hệ thức giữa OO' với R và r Hai đường tròn cắt nhau 2 R  r  OO'  R r Hai đường tròn tiếp xúc nhau: 1 - Tiếp xúc ngoài OO'  R r - Tiếp xúc trong OO'  R r  0 Hai đường tròn không giao nhau: 0 - (O ) và ( O') ở ngoài nhau OO'  R r - (O ) và ( O') đựng nhau OO'  R  r Bảng 1.2 15 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH Định nghĩa 1.5. (Tiếp tuyến chung) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Trên hình 1.19, các đường thẳng d1 và d 2 là các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( O ) và ( O') (tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm). Trên hình 1.20, các đường thẳng m1 và m2 là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn ( O ) và ( O') (tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm). m1 d1 O O' O' O d2 m2 Hình 1.19 Hình 1.20 1.2. Góc với đường tròn 1.2.1. Góc ở tâm. Số đo cung Định nghĩa 1.6. (Góc ở tâm) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm (Hình 1.21). A m D B α O O n C α=180° 0°<α<180° Hình 1.21 Hình 1.22 16 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH  Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung. Với các góc   0    180  thì cung nằm bên trong góc được gọi là “cung nhỏ” và cung nằm bên ngoài góc được gọi là “cung lớn”. Cung AB được kí hiệu là AB . Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như ở hình 1.21, ta kí hiệu: AmB, AnB . Trong đó AmB là cung nhỏ và AnB là cung lớn. Với   180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn (Hình 1.22).  Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn. Ở hình 1.21, AmB là cung bị chắn bởi góc AOB , ta còn nói góc AOB chắn cung nhỏ AmB. . Ở hình 1.22, ta cũng nói góc bẹt COD chắn nửa đường tròn. Định nghĩa 1.7. (Số đo cung)  Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).  Số đo của một nửa đường tròn bằng 180 . Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB .  Chú ý  Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180 .  Cung lớn có số đo lớn hơn 180 .  Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 0 và cung cả đường tròn có số đo 360 . 17 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH  So sánh hai cung  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. Định lí 1.10. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ AB = sđ AC + sđ CB . 1.2.2. Liên hệ giữa cung và dây D Định lí 1.11. (Hình 1.23) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai C O đường tròn bằng nhau: B  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. A Hình 1.23  Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Định lí 1.12. (Hình 1.24) D C Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: O B  Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. A  Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. Hình 1.24 1.2.3. Góc nội tiếp A Định nghĩa 1.8. (Góc nội tiếp) A Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên B O đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó (Hình 1.25). O C B Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. 18 C Hình 1.25 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH Định lí 1.13. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Hệ quả 1.1. Trong một đường tròn:  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.  Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 1.2.4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Định nghĩa 1.9. (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh y nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn A x cạnh kia chứa dây cung (Hình 1.26). Định lí 1.14. O Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. B C Hình 1.26 Hệ quả 1.2. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 1.2.5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Định nghĩa 1.10. (Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 19 Chương 1. Một số kiến thưc cơ bản DƯƠNG NGỌC NINH Trong hình 1.27, góc BIC nằm trong đường tròn A D ( O ) được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn I (Hình 1.27). C O Định lí 1.15. B Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Hình 1.27 Định nghĩa 1.11. (Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn (Hình 1.28). I A I A n I n C n A B C C O O O B D m m m Hình 1.28 Định lí 1.16. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 1.2.6. Cung chứa góc  Cách vẽ cung chứa góc  (Hình 1.29) M M m y m α A α B d α O A α H O y d B x x a) b) Hình 1.29 20