Tài liệu Khóa luận một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ THƠM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Sư phạm Toán học Hà Nội, tháng 5 năm 2019 TRƯỜNG ĐH THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ THƠM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Sư phạm Toán học GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: T.S Phạm Xuân Hinh Hà Nội, tháng 5 năm 2019 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Thủ đô Hà Nội và ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Có được sự hoàn thành của khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Phạm Xuân Hinh – người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, những kinh nghhiệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Do thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận còn nhiều hạn chế. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để em có thể hoàn thiện hơn về đề tài của mình. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2019 Sinh viên Đặng Thị Thơm 1 MỤC LỤC TRANG LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... 1 PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................ 4 PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................ 8 CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN ...................................................................... 8 1.1.Hệ phương trình .................................................................................. 8 1.1.1.Các định nghĩa................................................................................. 8 1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương ................................. 10 1.2.Hệ bất phương trình. ......................................................................... 11 1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ............................... 11 1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ............................................. 12 1.2.3.Bất phương trình tương đương. ..................................................... 12 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ............... 14 2.1.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số ................................................. 14 2.1.1. Định nghĩa .................................................................................... 14 2.1.2. Phương pháp giải.......................................................................... 14 2.1.3. Ví dụ minh họa ............................................................................. 14 2.2. Hệ có chứa một phương trình bậc nhất .......................................... 15 2.2.1. Định nghĩa .................................................................................... 15 2.2.2. Phương pháp giải.......................................................................... 16 2.2.3. Các ví dụ minh họa ....................................................................... 16 2.3. Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng ........................................... 18 2.3.1. Định nghĩa .................................................................................... 18 2.3.2. Phương pháp giải.......................................................................... 18 2.3.3. Ví dụ minh họa ............................................................................. 19 2.4. Hệ phương trình đối xứng loại I ...................................................... 20 2.4.1. Định nghĩa .................................................................................... 20 2 2.4.2. Nhận dạng .................................................................................... 20 2.4.3. Phương pháp giải.......................................................................... 20 2.4.4. Ví dụ minh họa ............................................................................. 21 2.5. Hệ phương trình đối xứng loại II .................................................... 24 2.5.1. Định nghĩa .................................................................................... 24 2.5.2. Nhận dạng .................................................................................... 24 2.5.3. Phương pháp giải.......................................................................... 24 2.5.4. Ví dụ minh họa ............................................................................. 24 2.6. Hệ phương trình đẳng cấp ............................................................... 26 2.6.1. Định nghĩa .................................................................................... 26 2.6.2. Phương pháp giải.......................................................................... 27 2.6.3. Ví dụ minh họa ............................................................................. 27 2.7. Hệ phương trình không mẫu mực ................................................... 29 2.7.1. Phương pháp biến đổi tương đương .............................................. 29 2.7.2. Phương pháp biến đổi thành tích .................................................. 33 2.7.3. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................... 40 2.7.4. Phương pháp đánh giá. ................................................................. 43 2.8. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. ............................................ 48 2.8.2. Định nghĩa .................................................................................... 48 2.8.2. Phương pháp giải.......................................................................... 48 2.8.3. Các ví dụ minh họa ....................................................................... 49 2.8.4. Các bài tập tự luyện ...................................................................... 51 CHƯƠNG 3 – MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI ................................................................................................................. 52 Bài toán 1. Giải và biện luận hệ phương trình....................................... 52 Một số đề thi vào lớp 10 THPT ở các trường chuyên ............................ 53 PHẦN KẾT LUẬN .......................................................................................... 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 75 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Môn toán là môn khoa học cơ bản trong hệ thống giáo dục phổ thông. Nó phát triển năng lực sáng tạo và khả năng tư duy logic cho học sinh, rèn luyện kĩ năng phân tích tổng hợp, rèn tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, tính chủ động, vận dụng sáng tạo kiến thức vào thực tế, giúp ích rất nhiều cho cuộc sống. Song môn Toán là môn học khá khó với nhiều học sinh. Mặc dù vậy, những người học sẽ tìm thấy điều lý thú nếu có sự say mê, phương pháp học đúng, nghiên cứu môn học một cách nghiêm túc. Trong chương trình Toán bậc THCS, nội dung chuyên đề hệ phương trình nằm trong phần đại số lớp 9. Đây là một trong những nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải hệ phương trình một cách thành thạo. Mặt khác, trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS những vấn đề này cũng được đề cập thường xuyên, mở rộng hơn nữa là kĩ năng giải hệ bất phương trình đại số, đặc biệt đối với các học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua. Với tất cả lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số”. 2. Mục đích nghiên cứu - Trên cơ sở các kiến thức được học ở trường Đại học Thủ đô Hà Nội, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập và thực tiễn học tập của học sinh, nghiên cứu đề tài nhằm tìm ra những phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số một cách hiệu quả nhất để góp 4 phần giúp học sinh đào sâu và rèn luyện năng lực tư duy Toán học nói chung và bộ môn số học nói riêng. - Xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của nội dung này trong giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9. 3. Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tập chung nghiên cứu những phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số và các bài toán liên quan đến hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số. 4. Phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu những phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số và những vấn đề có thể giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 9. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số trong chương trình đại số lớp 9. - Sưu tầm và phân loại một số dạng hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số và phương pháp giải từng dạng. - Đề xuất được hệ thống một số bài toán học sinh khá giỏi và các đề thi vào 10. 6. Phương pháp nghiên cứu Thực hiện đề tài này, tôi kết hợp sưu tầm tài liệu và sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận; 5 - Phương pháp phân tích; - Phương pháp tổng hợp; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 6 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN : Tập hợp các số tự nhiên : Tập hợp các số thực : Mọi : Phép kéo theo, phương trình hệ quả : Phép tương đương (khi và chỉ khi), phương trình tương đương TM: Thỏa mãn L: Loại VT: Vế trái VP: Vế phải THCS: Trung học cơ sở 7 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1.Hệ phương trình 1.1.1.Các định nghĩa  Định nghĩa phương trình Cho hai hàm số của n biến x1 ,x 2 ,...,x n là f  x1 ,x 2 ,...,x n  và g  x1 ,x 2 ,...,x n  . Ta gọi tập hợp n số x =  x1 ,x 2 ,...,x n    n là một điểm trong không gian n chiều  n . Khi đó, các hàm số f  x1 ,x 2 ,...,x n  và g  x1 ,x 2 ,...,x n  được xem là các hàm một biến f  x  , g  x  trong  n . Giả sử f  x  có D1   n , g  x  có miền xác định là D2   n . Ta định nghĩa phương trình: f  x  = g  x 1 là kí hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f  x  và g  x  bằng nhau”. Gọi x là ẩn của phương trình 1 ; nếu coi f và g là hàm của n biến x1 ,x 2 ,...,x n trong không gian  thì 1 là phương trình của n ẩn x1 ,x 2 ,...,x n . Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình 1 , đó là tập S = D1  D2 .  Định nghĩa hệ phương trình Cho m phương trình f1  x   g1  x  ,f 2  x   g 2  x  ,...,f m  x   g m  x  , miền xác định lần lượt là S1 ,S2 ,...,Sm . ( Có thể xem fi  x  và gi  x  , i=1,...,m là các hàm n biến, bằng cách xem biến x   n như trên). f1  x   g1  x   f 2  x   g 2  x  Hệ m phương trình:  ....................... f  x   g  x  m m 8  * Trong đó mỗi phương trình được xét trên miền xác định chung của hệ m   S  Si  là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong   i 1   từng phương trình là bằng nhau”.  Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình Một giá trị a  S của x làm cho từng phương trình trở thành đẳng thức đúng: fi  a   gi  a  ,i  1, 2,..., m , được gọi là một nghiệm của hệ * . Trong trường hợp này, ta nói hệ phương trình có nghiệm. Nếu với mỗi phương trình fi  x   gi  x  có tập hợp nghiệm là M i , thì tập hợp nghiệm của hệ là m M   M i do đó nếu có một phương trình tích của hệ là vô nghiệm thì hệ là i 1 vô nghiệm.  Định nghĩa hai hệ phương trình tương đương Để cho gọn, ta viết P1  x  ,P2  x  là hai hệ phương trình một ẩn hay n ẩn; M1 , M 2 lần lượt là tập nghiệm của P1  x  ,P2  x  . P1  x  và P2  x  được gọi là tương đương nếu M1  M 2 . Nói khác đi, P1  x  và P2  x  là tương đương trên S khi và chỉ khi: Tập nghiệm M1 của P1  x  là tập con của tập nghiệm M 2 của P2  x  và tập nghiệm M 2 của P2  x  là tập con của tập nghiệm M1 của P1  x  (hay P1  x  và P2  x  là hệ quả của nhau). Ta kí hiệu bởi: P1  x   P2  x  hoặc P1  x   P2  x  Trong tất cả các định nghĩa trên, với khuôn khổ của chương trình đại số cấp THCS nên bài khóa luận này chúng tôi chỉ xét những hệ phương trình phổ biến thường gặp với 2 ẩn số và 3 ẩn số như: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 9 số, hệ phương trình ba ẩn số bình đẳng, hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2,… 1.1.2.Các định lí về hệ phương trình tương đương  Định lí 1 Nếu: F1  x1 ,x 2 ,...,x n  = 0  x1 = f  x 2 ,...,x n  Thì:  x1  f1  x 2 ,..., x n  F1  x1 , x 2 ,..., x n   0   F x , x ,..., x  0    F2  f1  x 2 ,..., x n  , x 2 ,..., x n   0 n   II    I   2 1 2 ............................. ...............................................   F f  x ,..., x  , x ,..., x  0 Fm  x1 , x 2 ,..., x n   0 n 2 n  m 1 2 Chứng minh: Thật vậy, nếu F1  0 vô nghiệm thì  I    II  vì đều vô nghiệm. Giả sử F1 có nghiệm và  x1 , x 2 ,..., x n    a1 ,a 2 ,...,a n  là nghiệm của nó, nghĩa là a1  f  a 2 ,...,a n  là một đẳng thức đúng. Khi đó, trong đẳng thức Fi  a1 ,a 2 ,...,a n   0,i  2,..., m việc thay thế số a1 bởi f1  a 2 ,...,a n  sẽ không làm ảnh hưởng gì đến đẳng thức đó cả. Do đó nếu  a1 ,a 2 ,...,a n  là nghiệm của hệ  I  thì cũng là nghiệm của hệ  II  và ngược lại.  Định lí 2 10 F1  0 F1  0 F  0 n F  n F  0 2 22 2   12 1  I  F3  0  n13F1  n 23F2  n 33F3  0 ........ .....................................   Fm  0 n1m F1  n 2m F2  n mm Fm  0 ( n ik có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, n 22 , n 33 ,...,n mm  0 trong miền xác định của  I  ). Chứng minh: Các nghiệm của  I  cũng là nghiệm của  II  vì nếu Fi  0,i  1, 2,...,m thì các vế trái của các phương trình trong  II  cũng bằng không. Đảo lại, n12F1  0 , do đó n 22F2  0 mà n 22  0 nên F2  0 . Tương tự nếu F1  F2  0 thì n13F1  n 23F2  0 , do đó từ dòng thứ ba của hệ  II  ta được n 33F3  0 mà n 33  0 nên F3  0 … Cuối cùng ta được: F1  F2  ...  Fm  0 1.2.Hệ bất phương trình. 1.2.1.Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f (x)  g(x),f (x)  g(x),f (x)  g(x),f (x)  g(x) trong đó f (x),g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x. Điều kiện xác định của bất phương trình (ĐKXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức f (x),g(x) có nghĩa. 11 Giá trị x 0 thỏa mãn ĐKXĐ làm cho f (x 0 )  g(x 0 ) là một mệnh đề đúng thì x 0 là một nghiệm của bất phương trình f (x)  g(x) . 1.2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. f1  x   g1  x   f 2  x   g 2  x  Kí hiệu  là xét một hệ bất phương trình một ẩn. .....................  f  x   g  x  n n Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. 1.2.3.Bất phương trình tương đương. Hai bất phương f1 ( x)  g1 (x ) và f 2 ( x)  g 2 (x ) được gọi là tương đương, kí hiệu ( x )  g1 ( x )  f 2 ( x )  g 2 ( x) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Định lí: Gọi D là ĐKXĐ của bất phương trình f ( x )  g ( x ), h(x ) là biểu thức xác định x  D thì a)f (x)  h(x)  g(x)  h(x)  f (x)  g(x) Hệ quả f (x)  (x)  p(x)  f (x) - g(x)  p(x) 12 b)f  x  .h  x   g  x  .h  x   f  x   g  x  nếu h  x   0x  D f  x  .h  x   g  x  .h  x   f  x   g  x  nếu h  x   0x  D 13 CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương pháp chung giải hệ phương trình:  Phương pháp thế  Phương pháp cộng đại số  Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương pháp biến đổi thành tích  Phương pháp đánh giá 2.1.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số 2.1.1. Định nghĩa Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ phương trình có dạng ax  by  c 1  a 'x  b'y  c'  2  trong đó a,b,c,a',b',c' là các số cho trước, a 2  b 2  0 và a '2  b'2  0 . Nghiệm của hệ là cặp số  x, y  thỏa mãn đồng thời hai phương trình 1 và  2  của hệ. Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ. 2.1.2. Phương pháp giải - Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế - Phương pháp cộng đại số 2.1.3. Ví dụ minh họa 3x  2y  4 1 Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình sau:  2x  y  5  2  Hướng dẫn giải 14 Cách 1: Sử dụng phương pháp thế: Từ phương trình  2  của hệ, rút y theo x ta có y  5  2x .  3 Thay  3 vào phương trình 1 của hệ ta được: 3x  2  5  2x   4  7x  14 Theo quy tắc thế, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau 7x  14 x  2    y  5  2x  y  1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là S   2;1 . Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số Nhân cả hai vế của phương trình  2  với 2 rồi cộng với phương trình 1 vế với vế ta được:  4x  2y    3x  2y   10  4 Hay 7x  14 Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: 7x  14 x  2    2x  y  5  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là S   2;1 . 2.2. Hệ có chứa một phương trình bậc nhất 2.2.1. Định nghĩa ax  by  0 Hệ có chứa một phương trình bậc nhất có dạng:  f  x, y   0 trong đó f là đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 2. 15 2.2.2. Phương pháp giải - Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình còn lại. - Dùng các phép biến đổi đồng nhất kếp hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để dưa phương trình về dạng tích đơn giản đã biết cách giải. 2.2.3. Các ví dụ minh họa  xy  x  2  0 1 Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình sau  3 2 2 2 2x  x y  x  y  2xy  y  0  2  Hướng dẫn giải  2  2x  x 2  y   y  x 2  y  +  x 2  y  = 0   x 2  y   2x  y  1  0 x  1  y  x 2 y  x 2   2  y  1 2 xy  x  2  0 y  x x  x  2  0             x  1  5 y 2x 1     y  2x  1   y  2x  1  2    x 2  x  1  0   xy  x  2  0 y   5   Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là   1  5   1  5   S  1;1 ,  ;  5  , ; 5  . 2 2       x 2y  y x  1  2x  2y Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình sau  2 2  xy  x  y  x  2y Hướng dẫn giải 16 1 2 x  1  x  y 1 Điều kiện:  y  1 2  x 2  2y2  xy   x  y   0   x 2  2xy  y 2   3xy  3y2   x  y   0   x + y   3y  x + y    x + y  = 0 2   x + y  x  2y  1 = 0 x + y = 0 L   x = 2y + 1  x = 2y + 1 Kết hợp với phương trình  2  , ta được   2y + 1 2y  y 2y = 2y + 2 y =  1 L   x = 2y + 1  x = 2y + 1 x = 1      y = 2  2y  y + 1  2  y + 1 = 0  y + 1 2y  2 = 0   TM    x = 5  Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S =   2;5  .  x  y  x  y  2 Ví dụ 2.4. Giải hệ phương trình sau  3 2 2 3  x  6x y  9xy  4y  0 Hướng dẫn giải x  y  0 xy0 Điều kiện:    x y 0  17 1  2  2  x3  4x 2 y  2x 2 y  8xy2  xy2  4y3  0  x 2  x  4y   2xy  x  4y   y2  x  4y   0   x  4y   x 2  2xy  y 2   0  x  4y  x  y   x  4y   3y  5y  2     x  y  x  y  2   x  4y  Kết hợp với (1), hệ     x  y   2y  2   x  y  x  y  2   x  y      y  8  2 15  8y  2 15y 2  4     x  32  8 15   x  4y    y  2  y  2    x  2 x  2    Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S   2;2  , 32  8 15;8  2 15 . 2.3. Hệ phương trình với 3 ẩn số bình đẳng 2.3.1. Định nghĩa Hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là hệ có các phương trình đều bình đẳng với 3 ẩn số nghĩa là khi hoán vị 2 ẩn tùy ý thì mỗi phương trình không thay đổi. 2.3.2. Phương pháp giải Phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình 3 ẩn số bình đẳng là đưa về hệ phương trình: 18