Khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tích phân_skkn toán thpt

  • Số trang: 50 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 24 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ----***---- S¬ yÕu lý lÞch Họ và tên: PHAN LẠC DƯƠNG Ngày tháng năm sinh: 01 - 08 - 1981 Năm vào ngành: 09 – 2003 Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Vì Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Hệ đào tạo: Chính quy Bộ môn giảng dạy: Toán Ngoại ngữ: Anh văn Trình độ chính trị: Sơ cấp Đại học: Đại học Sư Phạm Hà Nội. Môc lôc A – PHẦN MỞ ĐẦU Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. Trang 4 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU VI. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4 5 6 6 7 B– NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN II. GIẢI PHÁP 1. Những kiến thức liên quan 1.1. Nguyên hàm 1.2. Tích phân 2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải 2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm 2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân 2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số 2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải 2.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 2.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 2.2.3. Sai lầm vì dùng công thức không có trong SGK 8 8 10 10 11 15 15 15 17 18 20 22 22 24 27 29 31 2.2.4. Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức 2.3. Các bài tập tự luyện 4. Thiết kế một giáo án chi tiết III. HIỆU QUẢ CỦA SKKN: 40 C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 42 42 43 I. KẾT LUẬN II. KHUYẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng 45 Phụ lục Danh mục các từ và cụm từ viết tắt SKKN : sáng kiến kinh nghiệm THPT : trung học phổ thông SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên ĐH, CĐ và THCN : đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp A – PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để có thể đáp ứng được yêu cầu của thời đại mới, trong những năm qua, ngành giáo dục không ngừng tổng kết kinh nghiệm, đổi mới về mọi mặt, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học, thay thế phương pháp truyền thụ áp đặt bằng phương pháp tích cực, sáng tạo. Người giáo viên đóng vai trò tổ chức định hướng, phát huy tính chủ động tích cực Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xây dựng thế giới quan và nhân cách. Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của chương trình giáo dục phổ thông. Mục tiêu chung của môn Toán là: Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh những phương pháp luận đặc trưng của Toán học, rất cần thiết cho thực tiễn cuộc sống. Từ đó hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất đạo đức, tác phong lao động khoa học, ý chí và khả năng tự học, tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên ĐH, CĐ và THCN và đi vào thực tiễn cuộc sống. Người giáo viên dạy Toán muốn dạy tốt thì cần phải thường xuyên tổng kết, rút kinh nghiệm giảng dạy, để có thể thiết kế ra những bài giảng có tính hệ thống và tính sư phạm cao. Trong chương trình Toán THPT , Tích phân và các ứng dụng của tích phân chiếm một vị trí quan trọng. Luôn có mặt trong tất cả các đề thi tốt nghiệp THPT, các đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ và THCN. Hơn thế nó là một công cụ để giải một trong những bài toán thực tiễn phổ biến nhất trong cuộc sống hằng ngày: Bài toán tính diện tích và thể tích. Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như : - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục; Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như : Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng - Hàm số không liên tục trên vẫn sử dụng được công thức NewtơnLeibnitz. - Đổi biÕn sè t = u(x) nhưng u(x) không ph¶i lµ mét hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trên [a; b]. - Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời. - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận ( không tìm được giá trị chính xác)… Trước đây cũng đã có một số tác giả nghiên cứu và đề cập đến vấn đề này tuy nhiên những kết quả thu được còn hạn chế, hầu như chỉ dừng lại ở việc chỉ ra một vài sai sót của học sinh. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những những kiến thức căn bản, khắc phục được những sai lầm khi giải toán từ đó tự mình làm được những bài tập cơ bản, tiến tới giải quyết được những bài toán nâng cao và thấy yêu thích môn Toán hơn, trên cơ sở tiếp thu một số kết quả của đồng nghiệp đi trước, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “ KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN ”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích cải tiến nội dung và phương pháp giảng dạy các tiết học lí thuyết và bài tập Nguyên hàm và tích phân từ đó: * Hình thành cho học sinh kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân. * Giúp học sinh nhận thấy những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán và cách khắc phục. * Giúp cho học sinh có khả năng tư duy nhất quán nhưng linh hoạt và sáng tạo. Giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập môn Toán từ đó Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt cho học sinh trong học tập và nghiên cứu. * Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ bản về Nguyên hàm và tích phân; - Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản; - Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi. - Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính Tích phân bất kì. - Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố. - Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy. IV. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 12 của trường THPT Ba Vì trong hai năm liên tiếp NĂM HỌC LỚP 12A1 SĨ SỐ 48 2010 - 2011 12A2 12A1 43 47 2011 - 2012 12A2 49 1. Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu về Nguyên hàm và tích phân trong chương III thuộc chương trình Giải Tích 12 - Ban cơ bản. - Đề tài được nghiên cứu, áp dụng và đánh giá kết quả trong hai năm học 2010- 2011 và 2011- 2012 cho hai lớp 12 của trường THPT Ba Vì; cùng với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán THPT từ năm học 2003- 2004. Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Tôi đã nghiên cứu nhiệm vụ giáo dục THPT, chương trình toán học phổ thông ( SGK, SGV Giải tích 12), các cuốn sách “ Hướng dẫn thực hiện chương trình, SGK môn Toán THPT ” và một số tài liệu tham khảo về Tích phân của một số tác giả. 2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Đưa ra bàn luận trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và cùng thực hiện; - Tham khảo ý kiến các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm đã có nhiều kinh nghiệm; 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Dạy thực nghiệm trên 2 lớp 12 của trường là: 12A2 ( 2010-2011), 12A1( 2011-2012) và lấy kết quả đối chứng trên hai lớp 12A1 ( 20102011), 12A2( 2011-2012). 4. Phương pháp đánh giá - Dự giờ, kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh; - Kiểm tra đánh giá trên 3 đối tượng: Giỏi - Khá - Trung bình, yếu, kém trong đó nội dung dạy học, phương pháp thực hiện và kết quả thu được đánh giá chủ yếu đối với đối tượng học sinh khá, trung bình, yếu, kém. B – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình năm quá ngắn ( với số tiết bài tập là 3 tiết ứng với 3 bài của cả chương ) do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề thi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán. Năm học 2009 - 2010, khi giảng dạy môn Toán khối 12 ở lớp 12A1, 12A10 của trường THPT Ba Vì, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính Tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Những lớp tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài với việc soạn giảng 03 tiết Luyện tập tính nguyên hàm, tích phân. Tiến hành điều tra ban đầu về học lực môn Toán đối với lớp thực nghiệm và lớp đối chứng tôi thu được kết quả: NĂM HỌC LỚP 2010 - 2011 2011 - 2012 12A1 12A2 12A1 12A2 SĨ GIỎI SỐ SL % SL 48 10 21 43 6 14 47 13 27 49 9 18 Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. KHÁ S % L 16 33 15 35 18 39 19 39 TB % 15 13 12 14 YẾU S % SL L 31 7 15 30 9 21 26 4 8 29 7 14 KÉM % 0 0 0 0 0 0 0 0 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng Đây là các lớp của khối 12 mà đối tượng học sinh khá, giỏi chiếm số đông bên cạnh đó có cả học sinh yếu kém. Vì thế yêu cầu kiến thức đưa ra cũng phải phù hợp với nhận thức và khả năng của các em, không gây sự chán nản, học chống đối để các em có thể nắm chắc kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thành thạo một số dạng tích phân căn bản ở phần bài tập và sách bài tập và ngày càng say mê, hứng thú với bộ môn Toán hơn. Đối với lớp 12A1 (năm học 2009 – 2010) là một lớp có chất lượng học sinh cao nhất trong khối, tôi chưa áp dụng đề tài khi dạy mà chỉ giảng dạy bình thường như phân phối chương trình SGK. Sau khi kết thúc chương tôi đã tiến hành kiểm tra 45 phút theo phân phối chương trình. Kết quả thu được như sau: Điểm Số HS đạt Tỉ lệ % [8 - 10] 3 5,88 [6,5 - 8) 6 11,32 [5 - 6,5) 12 23,53 [3,5 - 5) 23 [0 – 3,5) 45,54 7 13,73 N = 51 Qua kết quả khảo sát nêu trên tôi nhận thấy: - Kết quả bài làm đạt không cao so với mặt bằng kiến thức của lớp. - Đa phần học sinh mắc những sai lầm thường gặp khi mỗi dạng bài. - Nhiều em bế tắc không biết cách giải những bài từ mức trung bình trở lên. II. GIẢI PHÁP 1. Những kiến thức liên quan: 1.1. Nguyên hàm Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 10 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  1.1.1. Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. 1.1.2. Định lí: * Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. * Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f ( x )dx  F ( x)  C � f ( x)dx � khi đó: ( C là hằng số) 1.1.3. Tính chất nguyên hàm : f ( x)dx) '  f ( x) và 1. ( � f '( x)dx  f ( x)  C � kf ( x)dx  k � f ( x )dx (k là hằng số khác 0) 2. � ( f ( x) �g ( x))dx  � f ( x)dx �� g ( x)dx 3. � 4. f (t )dt  F (t )  c � � f [u ( x)]u '( x)dx  F [u ( x)]  C � 1.1.4. Sự tồn tại nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.1.5. Bảng công thức các nguyên hàm cơ bản Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp STT Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm ' 1 y =x y =1 dx x  C 2 y = x y' = 2  .x   1  x dx  x  1 C(  1    1) 3 4 5 y = sin x y = cosx y = tgx y' = cosx y' = sinx 6 y = cotgx 7 y = lnx y' = 8 y = logax y' = 1  , x   k 2 2 cos x 1 , x  k y'=  sin 2 x y'= 1 , x  R * x 1 , x ln a Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. cos xdx sinx  C sin xdx  cosx  C dx cos 2 x tgx  C dx sin 2 x  cot gx  C dx x ln x  C ( x 0) 1 x ln a dx log a x  C 11 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  x  R * ,0  a 1 y = ex y' = ex y = ax 9 10 e x dx e x  C y' = ax lna ( 0  a 1 ) x a dx  ax C ln a ( 0  a 1 ) Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm hợp thường gặp: COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN COÂNG THÖÙC HÀM HỢP u ' dx  u  C � u '.u dx  � u' u  1 C  1 du u dx u u '.e dx  e � u u  ln u  C C au u '.a dx  C � ln u u u '.cos udx  sin u  C � u 'sin udx   cos u  C � u' � cos 2 u dx  � u '.(1  tan 2 u )dx  tan u  C u' �sin u dx  �u '.(1  cot u)dx   cot u  C 2 2 dx  x  C x  dx  dx x e x x 1  1 C ln x  C dx e x  C x a dx  ax C ln a cos x.dx sin x  C sin x.dx  cos x  C 1 (1  tan 2 x)dx  tan x  C �cos2 x dx  � 1 2 �sin 2 x dx  �(1  cot x)dx   cot x  C Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 12 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng 1.1.6. Một số phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số : Phương pháp này dựa vào định lí sau: Nếu f (t )dt  F (t )  c và t=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục , thì � f [u ( x)]u '( x )dx  F [u ( x )]  C � b. Phương pháp nguyên hàm từng phần: Phương pháp này có được dựa và định lí sau: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u ( x).v '( x)dx  u ( x).v( x)  � v( x).u '( x) dx � Hay viết gọn là: udv  u.v  � vdu � 1.2. Tích phân 1.2.1. Định nghĩa tích phân: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b)  F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí b hiệu là f ( x )dx � a b b a a f ( x)dx  F ( x ) �  F  b   F  a  (công thức Newtơn- Leibnitz). * Ý nghĩa hình học của tích phân : Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích b phân f ( x ) d x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị � a của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b . Vậy: Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 13 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  b S f ( x ) d x. � a 1.2.2. Tính chất của tích phân: a ) Tính chất 1 : b b kf ( x )dx  k� f ( x )dx � a (k là hằng số). a b ) Tính chất 2 : b b b a a a [ f ( x ) �g( x )]dx  � f ( x )dx �� g( x )dx. � c ) Tính chất 3 : b c b f ( x )dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx � a a (a < c < b). c 1.2.3. Phương pháp tính tích phân : a) Phương pháp đổi biến số: Đ ị n h l í : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số x   ( t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ;  ] sao cho  ( )  a,  (  )  b và a � ( t ) �b với mọi t �[ ;  ]. Khi đó b  a  f ( x )d x  � f ( ( t )) '( t )d t. � b) Phương pháp tính tích phân từng phần: Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây. Đ ị n h l í : Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì : b b u ( x)v '( x )dx  u ( x)v ( x ) |  � u '( x) v( x )dx � b a a Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. a 14 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm b b u d v  uv a  � hay a Phan L¹c D¬ng  b vd u . � a 2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục: 2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải: 2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm: 3 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= �x  1dx 0 Cách giải sai của học sinh 3 I= 3 �x  1dx = �x  1d ( x  1) 0 = Cách giải đúng I= 0 1 2 x 1 3 1 1 1 =   4 2 2 0 3 3 0 0 1 ( x  1) 2 d ( x  1) �x  1dx = � 3 3 2 = ( x  1) 2 3 2 3 = (8  1)  2 = ( x  1)3 3 0 3 0 14 3 - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? 1 * Ví dụ 2 : Tính tích phân : (2x  1)5dx I= � 0 Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 15 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Cách giải sai của học sinh 1 (2 x  1)5 dx = I= � 0 = Cách giải đúng 1 (2 x  1)5 dx I= � 1 (2 x  1) 6 6 Phan L¹c D¬ng  0 1 1 (2 x  1)6 = 12 0 1 6 = (1  1)  0 = 1 1 (2 x  1)5 d (2 x  1) � 20 1 0 1 (1  1)  0 12 ( Có thể hướng dẫn các em cách giải khác: đổi biến số t=2x-1) - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm x n 1 x dx   c (với n ≠ –1) thay vì hàm hợp, đã dùng � n 1 n (ax  b) n dx  � (ax  b) n 1 c (n  1)a .* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàm của hàm hợp ứng với u = ax+b. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 16 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  2 A �x  4dx, 2 1 B= � (2x  1)3 dx, 0 2 dx C= � , 2 (2x  1) 1 1 dx D= � 2x 1 0e 4 dx E =� , 1  3x 1  /12  F = �cos(  4x)dx, 6  /6 7 1 G� dx x 3 3 2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân: 2 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I= dx  2  2 (x  1) Cách giải sai của học sinh 2 dx I=  = 2 (x  1 ) 2 1 =x 1 2 d ( x  1)  2  2 ( x  1) 2 1 4 = - -1 = 3 3 2 Cách giải đúng Hàm số y = 1 không xác định ( x  1) 2 tại x = -1    2;2 suy ra hàm số không liên tục trên   2;2 do đó tích phân trên không tồn tại. - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 17 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  1 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Hàm số y = ( x  1) 2 không xác định tại x= -1    2;2 suy ra hàm số không liên tục trên   2;2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân. Giúp b các em tạo thói quen: Khi tính  f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) a có liên tục trên  a; b không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 5 1 2 3 dx A=  4 . 0 (x  4) 2 B= x( x  1) dx . 2  2 1  x 3 .e x  x 2 dx D=  3 x 1 C=  14 dx 0 cos x 2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân: 1 * Ví dụ 1 : Tính tích phân : xe x dx I= � 0 Cách giải sai của học sinh 1 I= Cách giải đúng ux � � du  dx � � �� . Ta có: dv  e x dx �v  e  x � xe x dx Đặt: � � 0 1 1 � �� �  x � � � xdx . � e dx � = �� �� � 0 0 � �� � �x 2 =� �2 � 1 2 ��  x � . �e �� 0 �� 1 1 e = (  1)  � � � 0� 1 e 1 2e Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. I   xe x 1 1 � e x dx 0 0 1 1 x   e e 0 2 e2   1  . e 2 18 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng - Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại. - Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục : * Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm b � �b �� u(x).v(x).dx = �� u(x)dx �. � v(x)dx � của một tích, nên đã dùng � � �� � a �0 �� a � b � thay vì dùng công thức tích phân từng phần: b b u ( x )v '( x) dx  u ( x)v( x) |  � u '( x) v( x)dx � b a a a .* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần: -Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx. + chọn u sao cho du dễ tính . + chọn dv sao cho dễ tính v = dv . + áp dụng công thức . - Dấu hiệu: hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau không thỏa mãn công thức nguyên hàm hàm hợp. DẠNG I : � sin kx � � � cos kx � � b p ( x). � tgkx �dx đặt u = p(x) : đa thức ; dv = � �kx � a e � � � kx � m � � Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. sin ax  cos ax    dx . tgax   ax  e  19 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phan L¹c D¬ng  b DẠNG II : p( x). ln x.dx đặt u = lnx ; dv = p(x).dx . a �e � � sin lx � e kx �� sin lx � � .� . dx DẠNG III : � đặt u = ; dv = � kx � � kx � � �.dx hai lần. � cos lx cos lx m � � � � a � � �m � kx b ( Hoặc ngược lại ). Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 1 A� x.2 x 1dx , 0 0 B= �x ln(x  2)dx , 1 2 C= � x log 2 xdx 1  D� (x  ecos x ) sin xdx , 0  /2 E= �(x 2  x) cos xdx , 0  F= � sin x.e  x dx 0 2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số: * Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= 1 2 �1  x 2 dx 0 Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi. 20
- Xem thêm -