Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn

  • Số trang: 20 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
nguyen-thanhbinh

Đã đăng 8358 tài liệu

Mô tả:

Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bØm s¬n Trêng thcs ba ®×nh Híng dÉn häc sinh líp 9 lµm mét sè d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn T¸c gi¶ : TrÇn ThÞ Hµ Chøc vô : Gi¸o viªn §¬n vÞ : Trêng THCS Ba §×nh - BØm S¬n M«n: To¸n N¨m häc: 2011 – 2012 0 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 LÀM MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A – ĐẶT VẤN ĐỀ I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình đại số lớp 9, nó tiếp tục được củng cố ở các lớp bậc Phổ thông trung học. Trong sách giáo khoa đại số lớp 9, mảng kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn bao gồm: Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0); Công thức nghiệm; Định lý Vi ét thuận và đảo; Tính chất và đặc điểm nghiệm (nếu có); các phương trình qui về bậc hai; Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai. Vị trí của phương trình bậc hai quan trọng như vậy, đặc biệt là định lý Vi ét có nhiều ứng dụng rộng rãi, trong các kỳ thi tốt nghiệp Trung học cơ sở và kỳ thi chuyển cấp các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn chiếm một vị trí không nhỏ, chủ đề về phương trình bậc hai có thể nói là “người bạn đồng hành”. Nhưng qua thực tế giảng dạy Tôi thấy học sinh chỉ biết cách giải phương trình bậc hai, sử dụng định lý Vi ét để nhẩm nghiệm, giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, còn các bài toán đòi hỏi phải có sự linh hoạt sáng tạo khi vận dụng các kiến thức trên thì nhiều em còn lúng túng không biết đường lối giải. Để giúp học sinh có kiến thức tương đối sâu sắc về phương trình bậc hai, có kỹ năng thành thạo khi giải các dạng toán có liên quan, Tôi đã quan tâm nghiên cứu và lựu chọn thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn”. II – THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1/. Thực trạng: 1 *Thực trạng chung: Dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn nằm rải rác trong toàn chương IV đại số 9, Sau một thời gian học sinh thường quên các bài đã học ở phần trước đó. Dạng toán này tuy không phải là dạng khó lắm xong để làm tốt học sinh cần phải chăm chỉ, nắm chắc lý thuyết, luyện tập thường xuyên. *Thực trạng đối với giáo viên: Do thời gian của chương trình nên để HS hiểu được sâu hơn thì GV phải tự tổng hợp kiến thức để dạy lồng ghép vào các buổi học. *Thực trạng đối với học sinh: - Nhìn chung các em chỉ làm những bài tập trong từng bài học mà chưa biết cách hệ thống các dạng bài tập để luyện tập, củng cố kiến thức. - Một số học sinh chưa chịu khó tìm tòi những bài tập đòi hỏi tính sáng tạo, những bài toán liên quan đến nhau trong chương trình đã học. 2/.Khảo sát thực tế: Qua đợt kiểm tra khi HS chưa học đề tài về một số bài toán về phương trình bậc hai một ẩn ở hai lớp 9A; 9D trường trung học cơ sở Ba Đình thu được kết quả như sau: Lớp Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu 9A 6,8% 11,2% 42,5% 39,5% 9D 5,7% 9,3% 38,6% 46,4% Từ thực tế trên, để giúp các em có kết quả học tập tốt hơn, năm học này tôi đã thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn” . B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I . CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: 1. Đối tượng thực hiện: 2 + Đối tượng giúp tôi nghiên cứu và áp dụng đề tài này là lớp 9A; 9D trường trung học cơ sở Ba Đình- Bỉm Sơn – Thanh Hoá. + Thời gian thực hiện : Trong năm học 2011- 2012 . 2. Phương pháp thực hiện: - Đề tài được thực hiện thông qua chương trình dạy học trên lớp và lồng ghép vào các buổi học tự chọn, các buổi học bồi dưỡng. - Các vấn đề nâng cao và phát triển trong đề tài được lựa chọn, diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu để học sinh lớp 9 có thể tiếp thu được. - Tham khảo các tài liệu liên quan đến chương trình đại số 9 và đặc biệt là tham khảo ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp trong tổ toán của trường. II – TỔ CHỨC THỰC HIỆN: Giáo viên cùng học sinh hệ thống kiến thức bằng những câu hỏi gợi mở, đưa ra các bài tập, định hướng cách làm sau đó giao các bài tập tương tự, có kiểm tra ,đánh giá, cho điểm.GV cho HS chốt lại vấn đề sau mỗi phần học. 1. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT. 1.1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số. Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho, a 0 . Nếu x = t là nghiệm của phương trình thì ta luôn có at2 + bt + c = 0 1.2 Giải phương trình. a) Phương trình bậc hai khuyết b và c ( b =0; c = 0 ) ax2 = 0 : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 0 b) Phương trình bậc hai khuyết b ( b = 0 )  c a ax2 + c = 0  x2 = c > 0 : Phương trình vô nghiệm a + Nếu a và c cùng dấu hay + Nếu a và c trái dấu hay x1 = -  c a c < 0 : Phương trình có 2 nghiệm a ; x2 =  c a 3 c) Phương trình bậc hai khuyết c ( c = 0): ax2 + bx = 0  x(ax + b) = 0 : b a Phương trình có 2 nghiệm là : x = x1 = 0 ; x = x2 = d) Phương trình bậc hai đủ: ax2 + bx + c = 0 ( 1) Công thức nghiệm tổng quát  = b’ 2 – ac   < 0 : (1) Vô nghiệm   = 0 : (1) Có nghiệm kép x 1 = x2 = (a, b, c 0) Công thức nghiệm thu gọn  b� a   > 0 : (1) Có 2 nghiệm phân biệt:  b+   b�  � x1 = ; x2 = a a 2  = b – 4ac  < 0 : (1) Vô nghiệm  = 0: (1)Có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a  > 0 : (1) Có 2 nghiệm phân biệt: b  b  x1 = ; x2 = 2a 2a 1.3 Định lý Vi ét a) Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1 ; x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là: S = x 1 + x2 = b ; a P = x1. x2 = c a b) Định lý đảo: Nếu có hai số x1 ; x2 mà x1 + x2 = S ; x1. x2 = P S2 - 4P  0 thì hai số đó là nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 Chú ý: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1 ; x2 thì ta có thể phân tích: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0 với x1 = b  b  ; x2 = 2a 2a 2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. 2.1 Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.  a 0    0 4 * Bài toán: Cho phương trình mx2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định hướng giải: Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng phương trình (1) có nghiệm phân biệt chỉ cần   > 0. Chỉ được xét   khi phương trình là bậc hai, tức là khi m 0. Rõ ràng m = 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc nhất một ẩn không thể có hai nghiệm phân biệt. vậy bài toán giải như sau: a) m = 2 ta có 2x2 - 6x + 1 = 0   = (-3)2 - 1.2 = 9 - 2 = 7 Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 3+ 7 3 7 ; x2 = 2 2 b) Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:  a 0     0   m 0   2  (m 1) - m(m + 1)  0  m 0   1  m  3  0 m < 1 3 * Bài toán vận dụng: Cho phương trình ẩn x : x2 - 2(m - 1)x + m 2 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2.2 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép.  a 0    0 * Bài toán: Cho phương trình (a + 1)x2 - a3x + a2(a - 1) = 0 Tìm a để phương trình có nghiệm kép Định hướng: GV: Để phương trình đã cho có nghiệp kép thì phải có điều gì ? HS: Đáp số  a + 1 0  6 2   a - 4(a + 1).a (a - 1) 0 a = 0 hoặc a = - 2 hoặc a = 2 * Bài toán vận dụng: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép: a) x2 - 18x + m = 0 c) mx2 - 12x + 4 = 0 b) x2 + mx + 1 = 0 d) m2x2 - mx - 2 = 0 2.3. Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm. Xét a 0 ;  < 0 hoặc a = 0; b = 0; c 0 5 Bài toán: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: mx2 + 2m2x + 1 = 0 (1) Định hướng giải: Xét m = 0 ; Phương trình (1) có dạng 0x + 1 = 0 : Vô nghiệm Xét m 0 ; Phương trình (1) là phương trình bậc hai, Vô nghiệm nếu   < 0  m(m - 1)(m2 + m + 1) < 0  m(m - 1) < 0 (do m2 + m + 1 > 0)  0 < m < 1 Vậy phương trình vô nghiệm khi 0  m < 1 Bài tập áp dụng: Tìm giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm: a) 5x2 + 10x + m = 0 b) 3x2 + mx + 1 = 0 c) m2x2 + mx + 4 = 0 Đáp số: a) m > 5 ; b) - 2 3 < m < 2 3 ; c) m 0 2.4 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm. * Cách giải: Cách 1: Cho   0 sau đó xét  … Cách 2: Cho ac < 0 sau đó xét tích ac … Bài toán : Cho phương trình 4x2 - 2(a + b)x + ab = 0 (1) a) Giải phương trình với a = 1 ; b = 2 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a,b Định hướng giải: a) Với a = 1 ; b = 2 ta có 4x2 - 2(1 + 2 )x + 2 = 0  = ( 2 - 1)2 Phương trình có 2 nghiệm x1 = 1 2 ; x2 = 2 2 b) Ta có   = (a - b)2  0 với a, b  R Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a,b . Bài toán vận dụng: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0 2.5 Điều kiện để một phương trình bậc hai có một nghiệm bằng một số cho trước, tìm nghiệm còn lại. Bài toán: Cho phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (1) Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại. Hướng dẫn giải: Để PT đã cho là PT bậc hai có nghiệm thì  a 0  0 m<4     0 6 x = 3 là nghiệm của phương trình (1)  m = - 9 4 (Thoả mãn) Chú ý: Để tìm nghiệm thứ hai ta có 3 cách làm: Cách 1: Thay m = trình ta được x2 = 9 vào phương trình đã cho và giải phương 4 7 9 9 vào công thức tính tổng 2 nghiệm: 4 34 34 7  x2 = x1 + x2 = -3= 9 9 9 9 cách 3: Thay m = vào công thức tính tích 2 nghiệm: 4 21 21 7  x2 = x1.x2 = :3= 9 9 9 Cách 2: Thay m = - Bài toán áp dụng: Một trong các nghiệm của phương trình 5x2 + mx + 1 = 0 là x = 1. Tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại. Đáp số: * m = - 6 * Nghiệm còn lại: 1 5 2.6 Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai. Bài toán 1: Tìm a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + ax + 8 = 0 (1) x2 + x + a = 0 (2) Giải Giả sử x0 là 1 nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:  x 0 2 + ax0 + 8 0  2  x 0 + x0 + a 0 Nếu a  1  (a - 1)x0 = a - 8 thì ta có a3 - 24a + 72 = 0 Với a = - 6 thì x0 =  a 8 ; a 1 (a + 6)(a2 - 6a + 12 = 0  a=-6 (1) là x2 - 6x + 8 = 0 có nghiệm x1 = 2 ; x2 = 4 (2) là x2 + x - 6 = 0 có nghiệm x1 = 2 ; x2 = - 3 Nếu a = 1 thì (1) là x 2 + x + 8 = 0 và (2) là x2 + x +1 = 0 , cả hai phương trình này vô nghiệm. Kết luận: a = - 6 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung. Bài toán 2: 7 Tìm m để một nghiệm của phương trình 2x 2 - 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phương trình x2 - 4x + m = 0 (2) Hướng dẫn giải: Giả sử (2) có nghiệm x = a , (1) có nghiệm x = 2a ; Thay vào 2 phương trình ta có:  8a 2  26a + 2m 0  2  a  4a + m 0  6a2 - 18a = 0 hay 6a(a - 3) = 0 - Với a = 0 thì m = 0 (1) là 2x2 - 13x = 0 có nghiệm x1 = 0 ; x2 = (2) là x2 - 4x = 0 13 2 có nghiệm x1 = 0 ; x2 = 4 - Với a = 3 thì m = 3 (1) là 2x2 - 13x + 6 = 0 có nghiệm x1 = 6 ; x2 = 1 2 (2) là x2 - 4x + 3 = 0 có nghiệm x1 = 3 ; x2 = 1 Bài tập áp dụng: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau ít nhất có 1 nghiệm chung x2 + (m - 2)x + 3 = 0 (1) 2 2x + mx + m + 2 = 0 (2) Hướng dẫn giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình, thế thì:  2 x 0 2 + 2(m  2) x 0 + 6 0   2 x 0 2 + mx0 + m + 2 0  (m - 4)x0 = m - 4 Nếu m  4 thì x0 = 1. Thay vào (1) ta có 12 + (m - 2).1 + 3 = 0  m = 2 m = -2 thì (1) là x2 - 4x + 3 = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3 (2) là 2x2 - 2x = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 0 Nếu m = 4 thì (1) là x2 + 2x + 3 = 0 (2) là 2x2 + 4x + 6 = 0 cả hai phương trình này vô nghiệm. Vậy với m = - 2 thì (1) và (2) có ít nhất một nghiệm chung. 2.7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: Cách giải : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b): - Chứng tỏ rằng A  k với x  (a ; b) - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A trong khoảng (a ; b): - Chứng tỏ rằng A  k với x  (a ; b) - Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Bài toán 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 3x2 - 6x + 1 8 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = - 2x2 - 4x + 1 Hướng dẫn giải: a) A = 3(x - 1)2 - 2  - 2 ; min A = - 2  x = 1 b) B = -2(x + 1)2 +3  3 ; max B = 3  x = - 1 Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức sau: A= 2x +1 x2  2 (1) Hướng dẫn giải: 2x +1 = m  mx2 - 2x + (2m - 1) = 0 (2) x2  2 1 Nếu m = 0 , (1)  x = 2 Nếu m  0, với những giá trị khác nhau của x, A có thể có những giá trị lớn 2x +1 nhất hoặc nhỏ nhất, vì thế khi gọi m là giá trị của A thì phải có x để 2 = x  2 Cách 1: m tức là mx2 - 2x + (2m - 1) = 0  có nghiệm   0  (2m + 1)(m - 1)  0  - Kết hợp cả 2 trường hợp ta có: - 1  m 1 2 1 thì (2)  x2 + 4x + 4 = 0 2 m = 1 thì (2)  x2 - 2x + 1 = 0 1  Vậy min A = 2  max A = 1 m=- 1  m 1 2  x=-2  x=1 x=-2 x=1 Cách 2: ( x  1) 2 1 x2 + 2 1 1 ( x  1) 2 A= 2 - 2 2 x +2 A=1- max A = 1  x = 1 min A = - 1  x=-2 2 * Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) A = 3x2 – 6x + 1 ; b) x2 – x + 1 ; c) x2  2 x  3 x2  2 * Kết quả khảo sát (Qua một bài kiểm tra 30 phút) sau khi học phần trên ở lớp 9A (43 HS) như sau: + Số học sinh làm tốt: 30 em + Số HS làm được xong còn trình bày chưa gãy gọn: 13 em + Số HS không làm được: 0 * Với những HS làm tốt Tôi đã cho các em làm thêm những bài toán nâng cao của dạng đó, với những em còn trình bày chưa tốt Tôi đã nhắc nhở, phân tích lỗi sai để các em rút kinh nghiệm làm tốt hơn. 9 3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. 3.1 Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) - Nếu ta tính nhẩm được hai giá trị x1, x2 thoả mãn: b   x1  x 2   a ·   x .x  c  1 2 a Thì ta kết luận được x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho - Nếu phương trình ax2 +bx + c = 0 (a  0) có: a + b + c = 0 thì x1 = 1 ; x2 = c a a - b + c = 0 thì x1 = - 1 ; x2 = * Bài toán: Tính nhẩm nghiệm a) 3x2 +(3-2m)x - 2m = 0 ; Đáp số: a) x1 = - 1 , x2 = c a b) mx2 +(1-m)x - 1 = 0 2m 3 b) Nếu m  0 thì x1= 1 ; x2 = - 1 m Nếu m = 0 thì x = 1 * Bài tập vận dụng: Tính nhẩm nghiệm a) x2 - 49x - 50 = 0 ; b) x2 - (1 + 5 )x + 5 = 0 Đáp số: a) x1 = -1; x2 = 50 ; b) x1 = 1 ; x2 = 5 3.2 Xét dấu các nghiệm của phương trình: Cho phương trình ax2 +bx + c = 0 (a  0) ; gọi S = - b c ; P= a a Điều kiện để phương trình: a) Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 b) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:  > 0 ; P > 0  >0 ; P>0 ; S>0 c) Có 2 nghiệm dương phân biệt:  >0 ; P>0 ; S<0 d) Có 2 nghiệm âm phân biệt:  = 0 ; S < 0 ; (S > 0) e) Phương trình có nghiêm kép âm (dương): * Bài toán: Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) 7x2 - 13x + 2 = 0 b) 4x2 + 2 .x - 1 = 0 c) 9x2 - 12x + 1 = 0 Hướng dẫn giải: 10 a)  = 113 > 0 ; P = 2 13 >0; S = >0 7 7  Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. b) P < 0 ; S < 0  Phương trình có 2 nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. c)  = 0 ; S = 12 >0 9  Phương trình có nghiệm kép dương. * Bài toán áp dụng: Cho PT: x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b)Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương. 3.3 Xác định hệ số của phương trình theo điều kiện về dấu các nghiệm: Bài toán: Cho phương trình x2 - 3x + k - 1 = 0, Xác định k để phương trình: a) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu b) Có 2 nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu thì:   10  k  0  k  10    P  k  1  0 k 1 b) P < 0  k - 1 < 0  k < 1  1 < k < 10 Bài toán áp dụng: Xác định m để phương trình: (m - 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm dương Đáp số: - 1 0 1 1 x1 + x 2 3 + = = x1 x2 x1 x 2 8 x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 32 - 2.(-8) = 25 b) 5x2 + 4x + 1 = 0 có   = 22 - 5 = 4 - 5 = - 1 < 0  Phương trình vô nghiệm. 11 Chú ý: Không thể nói phương 5x2 + 4x + 1 = 0 có tổng các nghiệm bằng , tích các nghiệm bằng 4 5 1 . Như vậy phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của 5 phương trình trước khi tính hệ thức giữa các nghiệm. 3.5 Xác định hệ số của phương trình biết hệ thức giữa các nghiệm: Phương pháp: - Xét điều kiện có nghiệm của phương trình (nếu cần) - áp dụng định lý Vi ét để tính tổng và tích hai nghiệm - Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (thường dùng): x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 x12 - x22 = (x1 + x2) (x1 - x2) * Bài toán: Cho phương trình x2 - 3x + (k - 1) = 0 ; Xác định k để phương trình thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) b) x12 - x22 = 6 ; 2x1 - 3x2 = 1; c) x12 + x22 = 3 ; 1 d) x1 = x 2 Hướng dẫn giải: a) Giải hệ:  x1 + x 2 3   2 x1  3 x 2 1 ta có k - 1 = x1.x2 = 2  x1 2   x 2 1   k=3 b) Giải hệ:  x1 + x 2 3  2 2  x1  x 2 6 k - 1 = x1.x2 = 5 4 5  x  1  2   x 1  2 2   k= 9 4 13 c)   0  k  4  x +x =3 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 3  9 - 2(k - 1) = 3  k = 4 13 k=4> (không thoả mãn) 4 13 d) x1.x2 = 1  k - 1 = 1  k = 2 < (thoả mãn) 4 2 1 2 2 Chú ý: Ở câu a), b) các nghiệm của phương trình bậc hai đã biết cụ thể trước khi tính k nên không cần kiểm tra điều kiện có nghiệm. 12 Ở câu c) phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình nếu không sẽ mắc sai lầm, đó là kết luận k = 4 là giá trị phải tìm. * Bài tập vận dụng: Xác định m để pt: x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: a) 3x1 + 2x2 = 1 ; b) x12 - x22 = 12 ; c) x12 + x22 = 1 ; d) x1 = 2x2 . 3.6 Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với các tham số: (không phụ thuộc vào các tham số) Muốn tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm x1 ; x2 và độc lập với tham số m, ta làm như sau: - Tính S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 - Khử m ,tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lập với m.  Bài toán: Cho phương trình x2 - (k - 1)x + k + 1 = 0 . Giả sử phương trình có các nghiệm x1 ; x2 . a) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với k b) Biểu thị x2 theo x1 Hướng dẫn giải: a) Ta có S = x1 + x2 = k – 1  k = S + 1 P = P = x1 . x2 = k + 1  P = S + 1 + 1  P = S + 2 hay x1.x2 = x1 + x2 + 2 b) (x1 - 1)x2 = x1 + 2 x1 + 2 x2 = x  1 (x 1) 1  Bài toán áp dụng: Tìm hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 Đáp số: x1 + x2 - x1.x2 + 1 = 0 . 3.7 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó: - Trường hợp cho từng nghiệm x1 , x2 Ta có phương trình ẩn số x là (x - x1)(x - x2) = 0 - Trường hợp không có x1 , x2 riêng Ta tìm S = x1 + x2 ; P = x1.x2 Phương trình có ẩn số x là x 2 - Sx + P = 0 (Định lý Vi ét đảo), Phương trình trên chỉ có nghiệm khi S 2  4P tức   0  * Bài toán: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng: a) 1 1 và ; 2 4 b) 2 + 3 và 2 - 3 Hướng dẫn giải: a) 13 1 1 3  S +  2 4 4   1 1 1  P .   2 4 8  1  2 S  4 P   0 16   Phương trình phải lập là: 8x2 – 6x + 1 = 0 b) 2 + 3 và 2 - 3 S 4; P 1   S  4 P 12  0 2  Phương trình phải lập là: x2 - 4x + 1 = 0 * Nghiệm  ,  ; S =  +  ; P =  .   x2 - Sx + P = 0 hoặc (x -  )(x -  ) = 0 * Bài toán áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó bằng: a) 7 và 3 ; b) 1 + 2 và 1 - 2 Bài 2: Cho phương trình x 2 - 2kx + 1 = 0 có nghiệm x 1; x2. Lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 gấp 3 lần các nghiệm của phương trình trên. Hướng dẫn giải: x1 + x2 = 2k ; x1. x2 = 1 y1 + y 2 3( x1 + x 2 ) 6k    Phương trình phải lập là: y2 - 6ky + 9 = 0 y1 . y 2 9 x1 x 2 9  3.8 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của hệ thức giữa các nghiệm: * Bài toán: Cho phương trình x2 - mx +m - 1 = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x12 + x22 - 6x1x2 Hướng dẫn giải: a) a = 1  0  = (m - 2)2  0 ; m  R nên phương trình luôn có nghiệm. b) x1 + x2 = m , x1. x2 = m - 1 P = x12 + x22 - 6x1x2 = (x1 + x2)2 - 8x1x2 = m2 - 8(m - 1) =(m - 4)2 - 8  -8 Vậy min P = - 8  m = 4 * Bài toán vận dụng: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 b) Tìm m để P = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: a) a = 1  0   = (m + 1)2 - (2m + 10) = m2 - 9  0  m 3 b) x1 + x2 = 2m + 2 ; x1. x2 = 2m + 10 P = x12 + x22 + 10x1x2 = (x1 + x2)2 + 8x1x2 = (2m + 2)2 + 8(2m +10) = 14 = 4(m2 + 6m + 9) + 48 = 4(m + 3)2 + 48  48 min P = 48  m = - 3 3.9 Tìm hai số biết tổng S và tích P của chúng: Hai số phải tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - Sx + P = 0 với điều kiện S 2 - 4P  0. 2 2 2 S - 4P  0  S  4P  Nếu x  0 , y  0 thì S    P Nếu P  0 thì 2 x+ y  2 S  2 P xy * Bài toán: Tìm hai số x , y trong các trường hợp sau: a) x + y = 11 ; xy = 28 b) x - y = 5 ; xy = 66 Hướng dẫn giải: a) x + y = 11 , xy = 28 Thì x, y là nghiệm của phương trình X 2 - SX + P = 0  X 2 - 11X + 28 = 0 (Định lý Vi ét) Ta có S = X1 + X2 = 7 + 4 = 11 X1. X2 = 7.4 = 28  X1 = 7 , X2 = 4  x 7   y 4 Vậy b) Đặt Hoặc  x 4   y 7  x  y 5 (1)   xy 66 - y = y’ (1)   x + y ' 5   x( y ' ) 66  x + y ' 5   '  xy  66 Theo định lý Vi ét ta có: x, y’ là nghiệm phương trình X 2 - 5X - 66 = 0  x, y’ là nghiệm phương trình trên.  (X1 = 11 , Y1 = - 6) hoặc (X1 = - 6 , Y1 = 11)  (x = 11 , y = 6) hoặc (x = - 6 , y = - 11) * Bài toán vận dụng: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) u + v = 32; uv = 231 ; b) u – v = 5 ; uv = 24 ; c) u + v = -42; uv = - 400 3.10. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước: a) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có ít nhất một nghiệm không âm: Cách 1: Xét P = c , nếu a 15 - Có P < 0 (một nghiệm âm, một nghiệm dương) - Có P = 0 (một nghiệm bằng 0) - Có P > 0 ,   0 , S > 0 (hai nghiệm dương) Cách 2: Xét S = - b , nếu a - Có S > 0 (có một nghiệm dương) - Hoặc S = 0 (có một nghiệm không âm) - Hoặc S < 0 , P  0 (có một nghiệm không âm, một nghiệm âm) * Bài toán: Tìm m để phương trình (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0 (1) có ít nhất một nghiệm x  0. Xét m = - 1 thì (1)  -2x =2  x = - 1 (loại) Xét m -1 , thì (1) là phương trình bậc hai   = 2 - m2  0  m  2 S = x 1 + x2 = 2 có hai trường hợp m +1 Nếu m > -1 thì S > 0  (1) có ít nhất một nghiệm dương Nếu m < -1 thì S > 0. Khi đó: P = x1.x2 =  m  2  m   1 Vậy giá trị của m phải tìm là  m 1 > 0  (1) có 2 nghiệm âm m +1  -1 0 ta có -1 - Xem thêm -