LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc giải một bài toán hình học phẳng lớp 10 bằng phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi. Có một số bài toán chỉ
cần dựa vào lý thuyết là có thể làm được, xong cũng có một số bài toán đòi
hỏi phải tư duy vận dụng một cách linh hoạt kết hợp với những kiến thức cũ.
Chính vì thế cần phải tư duy xác định mối liên hệ giữa chúng để làm sao giải
được bài toán một cách thuận lợi hơn.
Sau mỗi bài lý thuyết mới chúng ta cần vận dụng để làm bài tập đúc kết
ra các dạng toán rồi hệ thống lại các dạng bài tập trong bài học. Đây coi như
là củng cố bài học để nắm kiến thức dễ dàng hơn. Đó chính là một cách học
hiệu quả đặc biệt đối với môn toán rất hữu dụng.
Với những lý do trên em đã lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN”
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh lớp 10 (lớp đầu cấp) một phương pháp hiệu quả
đối với việc học toán. Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với toán học hiện
đại thì đây còn là bước nền giúp học sinh tiến đến việc giải những bài tập hình
học không gian theo phương pháp khoa học.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh lớp 10 trường THPT Trần Quốc Tuấn
- Đối tượng: Các dạng bài toán về phương trình đường tròn trong
chương trình lớp 10.
- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đường tròn
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống lại kiến thức
- Xác định được các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán mẫu.
- Bài tập toán mẫu
5. Phương pháp nghiên cứu chính
- Nghiên cứu lý luận: Phân tích nội dung chương trình SGK và định
hướng cho học sinh
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp điều tra.
B- NỘI DUNG
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đường tròn
Hệ tọa độ Đêcac trong mặt phẳng: “Tập hợp những điểm I cách đều
cho trước một khoảng không đổi R là đường tròn tâm I bán kính R”
Kí hiệu (I,R) hoặc gọn hơn (I)
2. Các dạng phương trình cuẩ đường tròn.
a) Phương trình chính tắc của đường tròn.
Gọi C là đường tròn tâm I (a;b), bán kính R. Ta có phương trình chính
2
2
2
tắc của đường tròn dạng: (C ) : ( x a) ( y b) R
Chú ý: Ta có:
2
2
2
Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình: x y R
2
2
Đường tròn đơn vị có phương trình: x y 1
b) Phương trình tổng quát của đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình
(C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 với a 2 b 2 c 0
(2)
Là phương trình của đường tròn tâm I (a;b) và bán kính R a 2 b 2 c
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
a. Định nghĩa tiếp tuyến đường tròn
Đường thẳng đi qua tiếp điểm của đường tròn và vuôn góc với bán kính
tại tiếp điểm đó thì đường thẳng có được gọi là tiếp tuyến của đường tròn
b. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x a) ( y b) R .
Khi đó, tiếp tuyến (d) tại điểm M ( x0 , y0 ) �(C ) có phương trình:
(d ) : ( x0 a)( x a) ( y0 b) 0
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, Đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp
tuyến) với đường tròn có tâm I bán kính R khi và chỉ khi: d I ,(d ) R
CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:
(C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0
(1)
Bước 2: Để (1) là phương trình đường tròn điều kiện là: a 2 b 2 c 0
Bước 3: Khi đó (C) có tâm I(a;b) bán kính R a 2 b 2 c
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xác định phương trình đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính.
2
2
a. x y 2 xy 4 y 4 0
2
2
c. x y 2 x y 1 0
2
2
2
b. x y 4 xy 6 y 14 m 0
2
2
d. x 2 y x y 1 0
Giải
a. Ta có: a 2 b2 c 1 4 4 9 0 do đó phương trình đã cho là
phương trình của đường tròn có: tâm I (1, 2) và bán kính R = 3
2
2
Nhận xét: trong các phương trình dạng: x y 2ax 2by c 0 sẽ
luôn là phương trình của một đường tròn khi x < 0
b. Ta có a 2 b 2 c 4 9 14 m 2 1 m 2 0 do đó phương trình đã
cho không phải là phương trình đường tròn.
2
2
c. Viết lại phương trình dưới dạng: x y 2 x y 1 0
Ta có: a 2 b2 c 1
1
1
1 0 . Do đó phương trình đã cho là phương
4
4
1�
1
�
1; �, bán kính R
trình đường tròn có tâm I �
2�
2
�
2
d. Ta có hệ số của x 2 và y khác nhau do đó phương trình đã cho không
phải là phương trình đường tròn.
2
2
Ví dụ 2: Cho họ hệ đường cong (Cm ) : x y 2mx 2(m 1) y 2m 1 0
a. Tìm m để (Cm) là phương trình đường tròn (Cm)
b. Tìm tập hợp tâm cá đường tròn (Cm)
c. Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)
Giải
2
2
2
2
2
a. Ta có: a b c m (m 1) 2m 1 2m 2 0 luôn đúng
Vậy với mọi m, phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm
I m (m; m 1) , bán kính R 2m 2 2
Nhận xét: Để đường cong (Cm) là phương trình đường tròn thỏa mãn 3
điều kiện:
2
- Hệ số x 2 = Hệ số y
- Không tồn tại hệ số chéo yx
- Điều kiện: a 2 b 2 c 0
�x m
b. Ta có: I m : �
(I) khử m từ hệ (I) ta được: x y 1 0
y
m
1
�
Vậy tâm Im của họ (Cm) đường tròn (C0 có bán kính nhỏ nhất bằng
2
Ví dụ 3:
2
2
Cho họ đường con: (Cm ) : x y 2(m 2) x 2(m 4) y 4m 2 0
a. CMR: với mọi m luôn có (Cm) là phương trình đường tròn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm)
c. Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)
Giải:
a. m (Cm ) là đường tròn
b. Tâm Im của họ (Cm) thuộc đường thẳng (d): x y 2 0
c. Trong họ (Cm) đường tròn (C-2) có bán kính nhỏ nhất bằng 10
DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp chung:
Gọi (C) là đường tròn thỏa mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn
phương trình dạng tổng quát haowtj dạng chính tắc.
* Muốn có phương trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phương trình với
ba ẩn a, b, c điều kiện a 2 b 2 c 0
* Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập ba phương trình với 3 ẩn
a, b, R, điều kiện R > 0
Chú ý: 1. cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ càng để lựa
chọn dạng phương trình thích hợp.
2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta có sử dụng phương pháp
quĩ tích để xác định phương trình đường tròn.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a. Tâm I (1, -3) bán kính R = 1
b. Đường kính AB với A (11); B (3,5)
c. Đi qua điểm M (1,2); N (3,1) và tâm I nằm trên (d ) : 7 x 3 y 1 0
Giải:
a. Đường tròn (C) có tâm I (1,3), bán kính R = 1 có phương trình:
(C ) : ( x 1) 2 ( y 3) 2 1
b. Cách 1: Gọi trung điểm I của AB là tâm của đường tròn � I (2,3),
bán kính E
AB
5.
2
2
2
Vậy đường tròn (C) có phương trình: (C ) : ( x 2) ( y 3) 5
Cách 2: Dùng phương pháp quĩ tích. Ta có:
uuur uuur
M ( x, y ) �MA MB � MA.MB 0
� (1 x;1 y )(3 x;5 y) 0 � (1 x )(3 x) (1 y )(5 y) 0
� x2 y 2 2x 6 y 8 0
c. Giả sử phương trình (C) có dạng:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 với
a 2 b2 c 0
Điểm A(1,2) �(C ) nên 5 2a 4b c 0
(1)
Điểm B (3,1) �(C ) nên 10 6a 2b c 0
(2)
Tâm I (a, b) �( d ) nên 7a 3b 1 0
(3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3), ta được:
1
3
a , b , c 10
2
2
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : x y x 3 y 1 0
Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1,2); N (5,2); P(1,-3)
Giải
Cách 1:Phương trình đường tròn (C) có dạng:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 , điều kiện: a 2 b 2 c 0
M (1;2) �(C ) � 1 4 2 a 4b c 0
(1)
N (5;2) �(C ) � 25 4 10 a 4b c 0
(2)
P(1;3) �(C ) � 1 9 2a 6b c 0
(3)
1
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta được a 3, b , c 1
2
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : x y 6 x y 1 0
Cách 2: Đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt nghĩa là đường tròn ngoại
tiếp tam giác � tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
�IM 2 IN 2
Gọi I (a;b) là tâm của đường tròn � I M IN IP R � � 2
2
�IM IP
a3
�
(1 a ) 2 (2 b) 2 (5 a) 2 (2 b) 2
�
�
��
��
1
2
2
2
2
b
(1
a
)
(2
b
)
(1
a
)
(
3
b
)
�
�
�
2
2
41
1 � 41
� phương trình của đường tròn: ( x 3) 2 �
R IM
�y �
4
� 2� 4
2
2
Cách 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của hai đường
trung trực. (học sinh tự làm)
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình ba
cạnh sau:
( AB) : x 5 y 2 0,
( BC ) : x y 2 0,
( AC ) : x y 8 0
Giải
Cách 1: Tìm tọa độ điểm A, B, C
+) AB �AC A(7,1)
BC �BA B( 3, 1)
CA �CB C (3,5)
+) Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có dạng:
x 2 y 2 2ax 2by c 0 , với a 2 b 2 c 0
Điểm A, B, C �(C ) , ta được
14a 2b c 50
a2
�
�
�
�
6a 2b c 10 � �
b 0 , Thỏa mãn điều kiện.
�
�
�
6a 10b c 34
c 22
�
�
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : x y 4 x 22 0
Cách 2: Nhận thấy rằng: BC AC � ABC vuông tại C
Do đó:
(C ) có tâm I trung điểm AB, bán kính R
AB
2
Tương tự như cách 1 ta có: A(7,1) và B (3, 1)
a(2,0
�
(
C
)
� (C ) :( x 2) 2 y 2 26
Vậy ta được:
�
�R 26
Ví dụ 4: Cho hai điểm: A(4,0); B(0;3) . Lập phương trình đường tròn nội tiếp
OAB
Giải
Cách 1: Tâm I là giao của hai đường phân giác trong của góc AOB và
góc BAO.
+) Phương trình phân giác trong của góc AOB là: x-y =0
x y
PT (AB) được cho bởi: ( AB) : 1 � 3 x 4 y 12 0
4 3
+) Phương trình các đường phân giác của góc BAO được cho bởi:
( ) : 3 x y 12 0
�
3 x 4 y 12
y
� �� 1
( 2 ) : 3 x 9 y 12 0
9 16
1
�
Trong đó ( 2 ) là đường phân giác trong của BAO
�x y 0
� I (1;1)
Khi đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ: �
3 x 9 y 12 0
�
Bán kính r d ( I ; OA) 1
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x 1) ( y 1) 1
Cách 2: Nhận xét rằng:
Tâm I(a;b) thuộc góc phần tư thứ nhất, suy ra a > 0; b > 0
(C) tiếp xúc vơi )A, OB. Vậy a = b = r
Ta có: SABC p.r
Trong đó:
1
AABC .OA.OB 6
2
1
p (OA OB AB ) 6
2
Thay (2) , (3) ta được: r = 1
(1)
(2)
(3)
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x 1) ( y 1) 1
Nhận xét: Để lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, ta cần lựa
chọn 1 trong 2 hướng sau:
Hướng 1: Tổng quát, ta có thể lựa chọn một trong hai cách để thể hiện:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Viết phương trình hai phân giác trong của góc A và góc B
Bước 2: Tâm I là tọa độ giao điểm của hai đường phân giác trên
Bước 3: Tính khoảng cách từ I tới một cạnh của tam giac, ta được bán kính
Bước 4: Thiết lập phương trình đường tròn.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 2: Tính diện tích S của ABC và các cạnh; từ đó suy ra bán kính r
bới công thức: r
S
p
Bước 2: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp ABC ; khi đó từ điều
kiện khoảng cách từ I tới ba canh bằng, r, ta có được hệ theo hai ẩn a, b � tọa
dộ của I.
Bước 3: Thiết lập phương trình đường tròn.
Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ABC , tức là:
1. Nếu ABC đều, canh bằng a thì (C) có tâm I là trọng tâm ABC ,
bán kính R
a 3
6
2. Nếu ABC cân tại A, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Gọi E là trung điểm của BC. Lập phương trình của tham số của (AE)
uu
r
IA
BA
Bước 2: Tâm I �( AE ) và thỏa mãn uur
BE
IE
Bước 2: Thiếp lập phương trình đường tròn (C) với tâm I, bán kính r = (IE)
Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (5,6) và tiếp xúc với
�x 2 4t
, (t �R)
đường thẳng (d) có phương trình (d ) : �
�y 3t
Giải:
Cách 1:
Đường tròn (C) tâm I(5,6), bán kính R có dạng:
(C ) : ( x 5) 2 ( y 6) 2 R 2
(1)
Thay x,y từ phương trình tham số của (d) vào (C), ta được:
25t 2 60t 45 R 2 0
(2)
(C) tiếp xúc với (d) � phương trình (2) có nghiệm kép
6
� 0 � R 2 9 (khi đó ta được t )
5
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x 5) ( y 6) 9
Cách 2:: Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát ta được:
(d ) : 3 x 4 y 6) 0
Gọi R là bán kính đường tròn (C)
3.5 4.6 6
(C) tiếp xúc với (d) � R d I ,(d )
9 16
3
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x 5) ( y 6) 9
Ví dụ: Cho hai đường thẳng có phương trình:
(d1 ) : 2 x y 1 0,
(d 2 ) : 2 x y 2 0
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) .
Suy ra tâm I thuộc đường phân giác của của góc tạo bởi (d1). (d2).
Các đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) có phương trình:
( ) : 2 y 3 0
�
2x y 1
2x y 2
�
��1
( 2 ) : 4 x 1 0
4 1
1 4
�
* Nếu I (a, b) �( 1 ) được: 2b 3 0 (2)
5
3
Giải hai phương trình(1), (2) ta được: a ; b
2
2
5 3
2. 1
11
Khi đó bán kính
2 2
R d I ,(d1 )
4 1
2 5
2
2
� 5 � � 3 � 121
Vậy phương trình đường tròn (C1 ) : �x � �y �
� 2 � � 2 � 20
Tương tự với I (a, b) �( 2 ) ta được phương trình đường tròn
2
2
� 1 � � 5 � 121
(C2 ) : �x � �y �
Vậy tồn tại hai đường tròn (C 1) và (C2) thỏa
� 4 � � 4 � 80
mãn điều kiện đầu bài.
DẠNG 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định định phương tính của M đối với đường tròn (C) là PM /( C ) .
Bước 2: Kết luận:
Nếu PM /(C ) 0 � M nằm trong đường tròn
Nếu PM /(C ) 0 � M nằm trên đường tròn
Nếu PM /(C ) 0 � M nằm ngoài đường tròn
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
Nếu M nằng trong (C) � không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M
nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều đặt (C) tại hai điểm phân biệt.
Nếu M nằm trên (C) � tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua
Nếu M nằm ngoài (C) � tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M
M
Ví dụ: Cho điểm M(5;2) và đường tròn (C) có phương trình:
(C ) : x 2 y 2 8 x 6 y 21 0
a. Chứng tỏ rằng điểm M nằm trong (C)
b. Lập phương trình đường thẳng (d1) đi qua M và cắt đường tròn (C)
tại hai điểm E, F sao cho M là trung điểm EF.
c. Lập phương trình đường thẳng (d2) đi qua M và cắt đường tròn (C)
tại hai điểm A, B sao cho AB = 4
Giải.
Đường tròn (C) có tâm I(4,3) và bán kính R = 2
a. Ta có: PM /( c ) 2 0 � M nằm trong đường tròn
b. Vì M là trung điểm EF, do đó:
qua M (5;2)
�
(d1 ) : � uuur
� ( d1 ) :1.( x 5) 1( y 2) 0 � (d1 ) : x y 3 0
vtpt
IM
(1;
1)
�
c. Vì (d2) qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm AB sao cho AB = 4 = 2R
qua M (5;2)
�
x 5 y 2
� (d 2 ) : �
� (d 2 ) :
� (d 2 ) : x y 7 0
qua I (4;3)
42 32
�
DẠNG 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp chung:
Ta lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của
đường tròn, ta được:
Nếu h R � (d ) �(C )
Nếu h R � (d ) tiếp xúc với (C)
Nếu h R � (d ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của (d) và (C)
Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số của đường tròn
Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) và đường tahwngr (d) có phương trình:
(C ) : x 2 y 2 1 0,
(d ) : x y 1 0
a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm A, B
b. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc
đường thẳng ( ) : 2 x y 2 0
Giải:
Đường tròn (C) có tâm O(0,0) và bán kính R=1
Ta có: d O,(d )
1
11
1
R
2
Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Giả sử phương trình đường tròn (S) có dạng
x 2 y 2 2ax 2by c 0 với a 2 b 2 c 0
Điểm A(0,1) �( S ) nên 1 2b c 0
(1)
Điểm A(0,1) �( S ) nên 1 - 2a + c = 0
Tâm I(1,b) �() nên 2a - b – 2 = 0
Giải hệ phương trình tạo bởi (1),(2), (3) ta được: a= b = 2, c = 3.
2
2
Vậy phương trình đường tròn ( S ) : x y 4 x 4 y 3 0
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi đường thẳng (d m ) : mx 2 y m 0
2
2
luôn cắt đường tròn (C ) : x y 2 x y 8 0 tại hai điểm phân biệt
Giải
Ta nhận rằng
(d m ) luôn đi qua điểm cố định M (1,0)
Pm /( C ) 9 0 � M ở trong (C)
Vậy họ (dm) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
DẠNG 5. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp chung:
I. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I(a,b), bán kính
R thỏa mãn điều kiệnK ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có
phương trình: Ax By C 0 .
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C ) � d I ,(d ) R
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua M cho trước, khi đó:
a. Nếu M ( x0 , y0 ) �(C ) ( tức là PM /( C ) 0 ), ta có ngay
qua M ( x0 , y0 )
�
�
(d ) : � uuur
� ( d ) : ( x0 a )( x x0 ) ( y0 b)( y y0 ) 0
vtpt IM ( x0 a; y b)
�
b. Nếu M ( x0 , y0 ) �(C ) (tức là PM /( C ) �0 ta giả sử:
c. (d ) : A( x x0 ) B(( y y0 ) 0 � (d ) : Ax By0 0
2. Tiếp tuyên song song với đường thẳng ( ) : Ax By C 0 khi đó:
(d ) : Ax By D 0
3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ()Ax By C 0 khi đó:
(d ) : Bx Ay D 0
4. Tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó: (d ) y kx m � (d ) : kx y m 0
5. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (d) một góc , khi đó ta sử dụng một
trong hai công thức sau:
rr
a.b
r r
cos r r với a, b thứ tự và vtcp của (d), ( ) .
a.a
tg
k1 k2
với k1, k2 lần lượt là hệ số góc của (d), ( )
1 k1.k2
Các ví dụ.
Ví
dụ.
Lập
phương
trình
tiếp
tuyến
của
đường
tròn
(C ) : ( x 1) 2 ( y 4) 2 25 đi qua điểm M(5,1); N(-4,-6)
Giải:
Nhận xét rằng: PM /(C ) 0 � M �(C ) � (C ) có duy nhất 1 tiếp tuyến tại
M.
PM /( C ) 0 � M nằm ngoài (C) � tồn tại hai tiếp tuyến với (C) qua N.
Đường tròn (C ) có tâm I(1,4) bán kính R = 5
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(5,1) có dạng:
(5 1)( x 5) (1 4)( y 1) 0 � 4 x 3 y 17 0
Đường thẳng (d) đi qua N(-4-6) có dạng:
A( x 4) B( y 6) 0(d ) � Ax + By + 4A +6B= 0
(d)
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) � d I ,(d ) R
A 4 B 4 A 6B
A B
2
2
5 � A 2 B A2 B 2
B0
�
� 3B 4 AB 0 � �
4A
�
B
3
�
2
- Với B = 0 ta được tiếp tuyến (d1 ) : A( x 4) 0 � ( d1 ) : x 4 0
Với B
4 A
ta được tiếp tuyến
3
4A
( y 6) 0 � ( d 2 ) : 3 x 4 y 12 0
3
(d 2 ) : A( x 4)
Vậy qua Ma kẻ được hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đường tròn (C)
Ví
dụ
2:
Lập
phương
trình
(C ) : x 2 y 2 2 x 6 y 9 0 vuông
tiếp
góc
tuyến
của
với
đường
đường
tròn
thẳng
( ) : 3x 4 y 12 0
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1,3), bám kính R =1
Tiếp tuyến (d ) () có phương trình 4 x 3 y C 0
Đường
thẳng
4.1 3.3 C
16 9
(d)
là
tiếp
tuyến
của
(d)
(C ) � d I ,( d ) R
c 18
�
1� �
c 18
�
Với c= - 18 ta được tiếp tuyến (d1 ) : 4 x 3 y 18 0
Với c = -18 ta được tiếp tuyến (d 2 ) : 4 x 3 y 8 0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví
dụ
3:
Lập
phương
trình
tiếp
tuyến
của
đường
tròn
(C ) : ( x 2) 2 ( y 1) 2 20 có số hệ góc bằng 2.
Giải:
Đường thẳng (d) với hsg k = 2 có dạng: y 2 x m � 2 x y m 0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C ) � d I ,( d ) R
m7
�
2 5 � m 3 10 � �
m 13
4 1
�
4 1 m
- Với m = 7 thay vào (1) được tiếp tuyến (d1 ) : 2 x y 7 0
- Với m = -13 thay vào (1) được tiếp tuyến (d 2 ) : 2 x y 13 0
Vậy có hai tiếp tuyến (d1), (d2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
(1)
Ví
dụ
4:
Lập phương
(C ) : ( x 1) 2 ( y 1) 2 10
: 2x y 4 0
trình
tiếp tuyến
của
đường tròn
biết tiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
một gics bằng 450.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R 10
Cách 1: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến (d) và đường
thẳng
Ta có: k2 2 theo giả thiết:
k1 3
�
k
k
k
2
tg 450 1 2 � 1
1� �
1
�
1 k1.k2
1 2k1
k1
3
�
a. Với k1 3 , ta được: (d1 ) : y 3x m � (d1 ) : 3 x y m 0
(1)
Đường thẳng (d1) là tiếp tuyến của (C)
� d I ,(d1 ) R �
m6
�
10 � m 4 10 � �
m 14
9 1
�
3 1 m
Với m = 6, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.1 ) : 3x y 6 0
Với m = -14, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.2 ) : 3 x y 14 0
1
1
b. Với k1 , ta được: (d 2 ) : y x n � ( d 2 ) : x 3 y 3n 0 (2)
3
3
Đường thẳng (d 2 ) là tiếp tuyến của (C)
� d I ,(d 2 ) R �
a 3 3n
1 9
n 4
�
10 � 3n 2 10 � � 8
�
n
� 3
Với n = - 4, thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x 3 y 12 0
8
Với n , thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x 3 y 8 0
3
Vậy tồn tại bốn tiếp tuyến (d1.1 ),( d1.2 ),( d 2.1 ),(d 2.2 ) tới (C) thỏa mãn điều
kiện đầu bài.
Cách 2: Giả sử tiếp tuyến (d) có phương trình: Ax By C 0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
� d I ,(d ) R �
A BC
A2 B 2
10
(2)
0
0
Đường thẳng (d) tạo với một góc 45 � cos 45
2A B
4 1. A2 B 2
A 3B
�
2A B
2
2
2
�
� 3 A 8 AB 3B 0 �
B
�
2
A
5( A2 B 2 )
� 3
Với A = -3B thay vào (2) ta được:
C 14 B
�
10
�
C
4
B
10
B
�
�
2
C 6 B
�
3 B B 2
3B B C
+)
Với
C 14 B
thay
vào
(1)
ta
được
tiếp
tuyến
: 3Bx By 14 B 0
1
� (1 ) : 3 x y 14 0
+) Với C 6 B , thay vào (1) ta được tiếp tuyến
: 3Bx By 6 B 0
2
� ( 2 ) : 3x y 6 0
Tương tự với A
B
ta được hai tiếp tuyến:
3
: x 3y 8 0
3
: x 3 y 12 0
4
II. Tiếp tuyến trung của hai đường tròn.
Phương pháp chung:
Để lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1 ) và (C2) ta
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Giả sử đường thẳng (d ) : Ax By C 0 với A2 B 2 0 là
tiếp tuyến chung của đường tròn (C1 ) và (C2)
d I1 ,(d ) R1
�
�
Bước 2: Thiết lập điều kiện tiế xúc của (d) với (C1) và (C2): �
d I 2 ,(d ) R2
�
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d)
Ví
dụ:
Cho
hai
đường
tròn
(C1 ) : ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 và
(C1 ) L( x 2) 2 ( y 1) 2 4
Lập phương trình tiếp tuyến chúng của hai đường tròn trên
Giải
Đường tròn (C1) có tâm I1(1,1) và bán kính R1 = 1
Đường tròn (C2) có tâm I2 (2,-1) và bán kính R2 = 2
Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trìnhL Ax By C 0 với
A2 B 2 0
d I1 (d ) R1
�
�
Điều kiện (d) tiếp xúc với (C1) và (C2) � �
d I 2 (d ) R2
�
�A B C A2 B 2
�A B C
1
�
� 2
�A B C A2 B 2
� A B2
�
�� C 3B
��
��
�
2
A
B
C
1
�
�
��
�2 A B C 2 A B C
2
�
C
(4 A B)
2
2
�
�
� A B
3
��
C 3 B
� �
�
� �
2
2
� �A B 3B A B
C 3B & B 0
�
�
1
�
��
��
3B
C
(4
A
B
)
�
�
C 3B & A
�
3
�
�
4
�
�
1
2
2
�A B 4 A B A B
�
3
�
�
�
Khi đó ta được hai tiếp tuyến chung:
(d1 ) : Ax 0 � ( d1 ) : x 0
- Xem thêm -
.DOC 
26 
6586 
78 
