Tài liệu Về điểm bất động của ánh xạ có tính lipschitz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- VŨ THỊ THƠM VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CÓ TÍNH LIPSCHITZ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz 4 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Phép chiếu metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Điểm bất động của ánh xạ giả co, giả co mạnh . . . . . . . . . . . 19 2 Các phương pháp lặp tìm điểm bất động 2.1 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . 2.3 Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ giả co . . . . . . 23 23 24 30 3 Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach giải bất đẳng thức biến phân 34 34 34 35 37 . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 1 MỞ ĐẦU Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích là lý thuyết điểm bất động. Các định lý điểm bất động liên quan đến các điều kiện về sự tồn tại của một điểm x∗ trong C sao cho T x∗ = x∗ với T : C → C . Điểm x∗ như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T. Một số định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải kể đến định lý điểm bất động Brouwer (1912) và định lý ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: Lý thuyết điểm bất động. Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, xấp xỉ điểm bất động và ứng dụng của chúng. Mục đích của luận văn này nhằm trình bày các định lý về tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz, về xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co trong không gian metric, không gian Hilbert và áp dụng định lý ánh xạ co Banach để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Lê Dũng Mưu, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài "Về điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz". Luận văn được chia làm ba chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz. • Chương 2: Các phương pháp lặp tìm điểm bất động. • Chương 3: Áp dụng giải bất đẳng thức biến phân. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian Hilbert, phép chiếu metric. Các định nghĩa về ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh. Các định lý về sự tồn tại điểm bất 2 MỞ ĐẦU động của ánh xạ co mà trọng tâm là định lý ánh xạ co Banach, định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co, giả co mạnh trong không gian metric và không gian Hilbert. Trong chương 2, chúng tôi trình bày các khái niệm về dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp Halpern. Các phương pháp lặp như phương pháp lặp Mann - Halpern, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động của ánh xạ giả co trong không gian Hilbert. Trong chương 3, chúng tôi trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân, định lý Brouwer về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Áp dụng định lý ánh xạ co Banach để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh. Qua luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu ( Viện Toán học Việt Nam), người Thầy đã truyền cho tôi có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học khóa 2013 -2015 đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và trong cuộc sống. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè trong lớp cao học khóa 2013 -2015, lãnh đạo và đồng nghiệp trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Thơm 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian metric, không gian Hilbert, phép chiếu metric, nhằm trang bị những kiến thức cần thiết cho việc trình bày về điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ giả co và giả co mạnh. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [7] và [8]. 1.1 1.1.1 Kiến thức chuẩn bị Không gian metric Định nghĩa 1.1. Một hàm d có giá trị thực được xác định với mọi cặp phần tử x, y của một tập hợp X , được gọi là metric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau ( mọi x, y, z thuộc X ) 1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ; 2. d(x, y) = d(y, x); 3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, x) ( bất đẳng thức tam giác). Một tập X cùng với metric xác định như trên được gọi là một không gian metric và d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa x và y . Các phần tử của không gian metric (X, d) được gọi là điểm. Định nghĩa 1.2. Giả sử x1 , x2 , ..., xn , ... là dãy các điểm trong không gian metric (X, d). Dãy {xn } được gọi là hội tụ đến điểm x thuộc X nếu: lim d(xn , x) = 0 n→∞ 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Ta kí hiệu lim xn = x. n→∞ Định nghĩa 1.3. Cho hai không gian metric (X, d) và (Y, ρ). Một ánh xạ T từ X vào Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ kéo theo ρ(T x, T x0 ) < ε. Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Định nghĩa 1.4. Ta nói dãy {xn } là dãy Cauchy hay dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0, tồn tại nε sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi n, m ≥ nε . Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.5. Dãy hình cầu {Bn } với bán kính tương ứng {rn } được gọi là thắt dần nếu {Bn+1 } ⊆ {Bn }, với mọi n ≥ 1 và limn→∞ r(n) = 0. Nguyên lý Cantor. Trong không gian metric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T : (X, d) → (Y, ρ) của các không gian metric thỏa mãn: ρ(T x, T z) ≤ M d(x, z) với một hằng số cố định M nào đó và mọi x, z thuộc X được gọi là ánh xạ Lipschitz. Số nhỏ nhất trong các số M như thế được gọi là hằng số Lipschitz của ánh xạ T và kí hiệu là L(T ). 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.7. Cho H là không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trên H là một ánh xạ, kí hiệu h., .i : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau: 1. hx, xi > 0, ∀x 6= 0, hx, xi = 0 ⇔ x = 0; 2. hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H; 3. hαx, yi = α hx, yi , ∀x, y ∈ H, α ∈ R; 4. hx + y, xi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa 1.8. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz 1.1.3 Phép chiếu metric Định nghĩa 1.9. Cho C khác rỗng và y là vectơ bất kỳ không thuộc C , đặt dC (y) = inf ||x − y||; x∈C Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C . Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = ||π − y|| thì ta nói π là hình chiếu của y trên C . Ta ký hiệu hình chiếu của y trên C là PC (y) . Thông thường sẽ ký hiệu π = PC (y) hoặc đơn giản hơn là P (y) nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C . Chú ý rằng, nếu y ∈ C thì dC (y) = 0. Nếu C 6= ∅ thì dC (y) hữu hạn vì 0 ≤ dC (y) ≤ ||y − x|| với mọi x thuộc C . Định nghĩa 1.10. Cho C là tập con, khác rỗng của không gian Hilbert H , ánh xạ P : H → C . Với mọi x ∈ H , tồn tại duy nhất phần tử P x ∈ C sao cho ||x − P x|| = d(x, C); Ánh xạ P như vậy được gọi là phép chiếu metric trên C . Định nghĩa 1.11. Một tập C ⊆ H được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C; Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi. Định nghĩa 1.12. Cho x ∈ C , nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC (x), được xác định bởi công thức NC (x) := {ω ∈ H/ hω, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} . Mệnh đề 1.1. (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu metric từ H lên C . Khi đó những điều kiện sau thỏa mãn 1. PC (x) = PC (PC (x)), với ∀x ∈ H ; 2. PC là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là hx − y, PC (x) − PC (y)i ≤ ||PC (x) − PC (y)||2 , ∀x, y ∈ H; 3. PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ H; 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz 4. PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là hPC (x) − PC (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H. Mệnh đề 1.2. (xem [1], Chương 5, Mệnh đề 5.1).Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó với mọi y ∈ H , hình chiếu PC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất. 1.2 Điểm bất động của ánh xạ co Định nghĩa 1.13. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y); với mọi x, y thuộc X , (k là hệ số co). Định lý điểm bất động được sử dụng rộng rãi nhất đó là định lý ánh xạ co Banach (1922). Định lý chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ. Định lý ánh xạ co Banach (xem [2], Chương 1) .Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co với hằng số Lipschitz k ∈ (0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ . Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞. Chứng minh. Lấy x0 là điểm tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n ∈ N. Ta có d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0 , x1 ); d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ k 2 d(x0 , x1 ). Bằng quy nạp ta được d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ kd(xn−1 , xn ) ≤ k 2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ ... ≤ k n d(x0 , x1 ). Lấy m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm ) ≤ (k n + k n+1 + ... + k m−1 )d(x0 , x1 ) ≤ k n (1 + k + ... + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) km = d (x0 , x1 ) . 1−k 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Do đó {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ và xn → x∗ ∈ X . Với mỗi n ta có 0 ≤ d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , T x∗) ≤ d(x∗ , xn ) + kd(xn−1 , x∗ ). Cho n → ∞ và do tính liên tục của T ta được d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức là T x∗ = x∗ . Giả sử còn có y ∗ ∈ X mà T y ∗ = y ∗ thì ta có d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗ , y ∗ ). Vì 0 ≤ k < 1 nên d(x∗ , y ∗ ) = 0 và x∗ = y ∗ . Vậy điểm bất động là duy nhất. Định lý 1.1. (xem [8], Chương 1, Định lý 1.3). Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} trong đó x0 ∈ X và r > 0. Giả sử rằng T : B(x0 , r) → X là ánh xạ co (nghĩa là, d(T (x), T (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ B(x0 , r), với 0 ≤ L < 1 ) và d(T (x0 ), x0 ) < (1 − L)r Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong B(x0 , r). Chứng minh. Giả sử tồn tại r0 thỏa mãn 0 ≤ r0 < r, khi đó d(T (x0 ), x0 ) < (1 − L)r0 . Ta sẽ chỉ ra T : B(x0 , r0 ) → B(x0 , r0 ). Để hiều điều này, ta chú ý rằng nếu x ∈ B(x0 , r0 ) thì d(T (x), x0 ) ≤ d(T (x), T (x0 )) + d(T (x0 ), x0 ) ≤ Ld(x, x0 ) + (1 − L)r0 ≤ r0 . Áp dụng định lý ánh xạ co Banach ta suy ra rằng T có duy nhất điểm bất động trong B(x0 , r0 ) ⊂ B(x0 , r). Khi đó T cũng có duy nhất điểm bất động trong B(x0 , r). Nhiều tác giả đã tổng quát hóa định lý ánh xạ co Banach và phát biểu với nội dung dưới đây. Định lý 1.2. (xem [8], Chương 1, Định lý 1.5) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ (không nhất thiết liên tục). Với mỗi ε > 0, 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz tồn tại δ(ε) > 0 sao cho nếu d(x, T (x)) < δ(ε), thì T (B(x, ε)) ⊆ B(x, ε), trong đó B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}; Nếu với mỗi u ∈ X , ta có
n n+1 lim T (u) , T n→∞ (u) = 0 thì dãy {T n (u)} hội tụ tới một điểm bất động của T . Chứng minh. Với mỗi u ∈ X , ta lấy un = T n (u). Ta chứng minh {un } là dãy Cauchy. Với ε > 0 cho trước, chọn δ(ε) > 0 như trên. Ta chọn N đủ lớn sao cho d(un , un+1 ) < δ(ε), ∀n ≥ N . Từ đó d(uN , T (uN )) < δ(ε) và T (B(uN , ε)) ⊆ B(uN , ε). Vì T (uN ) = uN +1 ∈ B(uN , ε), T k (uN ) = uN +k ∈ B(uN , ε), ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}; Do đó d(uk , ul ) ≤ d(uk , uN ) + d(uN , ul ) < 2ε, ∀k, l ≥ N. Do vậy un là dãy Cauchy. Hơn nữa, tồn tại y ∈ X sao cho lim un = y . n→∞ Ta đi chứng minh tiếp y là điểm bất động của T.Giả sử ngược lại, khi đó d(y, T (y)) = γ > 0. Chọn và cố định un ∈ B(y, γ/3) sao cho d(un , un+1 ) < δ(γ/3). Từ điều kiện định lý ta có T (B(un , γ/3) ⊆ B(un , γ/3). Do đó T (y) ∈ B(un , γ/3). Điều này mâu thuẫn d(T (y), un ) ≥ d(T (y), y) − d(un , y) > γ − γ/3 = 2γ/3. Vì vậy d(y, T (y)) = 0. Định lý 1.3. (xem [8], Chương 1, Định lý 1.6).Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và d(T (x), T (y)) ≤ φ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X trong đó φ : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm đơn điệu, không giảm, lim φn (t) = 0, ∀t > 0 n→∞ cố định bất kỳ. Khi đó T có duy nhất điểm bất động lim T n (x) = x∗ , ∀x ∈ X. n→∞ 9 x∗ ∈ X sao cho Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Chứng minh. Giả sử t ≤ φ(t), t > 0. Khi đó φ(t) ≤ φ(φ(t)) và do đó t ≤ φ2 (t). Theo quy nạp, ta có t ≤ φn (t), ∀n ∈ {1, 2, ...}. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó φ(t) < t, ∀t > 0. Hơn nữa, d(T n (x), T n+1 (x)) ≤ φn (d(x, T (x))), x ∈ X, Do đó lim d T n (x), T n+1 (x) = 0, x ∈ X.
n→∞ Lấy ε > 0 và chọn δ(ε) = ε − φ(ε). Nếu d(x, T (x)) < δ(ε), thì với mọi z ∈ B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}, ta có d(T (z), x) ≤ d(T (z), T (x)) + d(T (x), x) ≤ φ(d(z, x)) + d(T (x), x) < φ(d(z, x)) + δ(ε) ≤ φ(ε) + (ε − φ(ε)) = ε, Do đó T (z) ∈ B(x, ε). Theo Định lý 1.2 thì T có điểm bất động sao cho lim T n (x) = x∗ với ∀x ∈ X . n→∞ Cuối cùng dễ thấy rằng T chỉ có một điểm bất động trong X . Ví dụ 1.1. Cho X = [a, b] và T : X → X là khả vi và thỏa mãn |T 0 (x)| ≤ k < 1 với mọi x ∈ (a, b). Khi đó nếu x, y thuộc X , tồn tại ξ nằm giữa x và y sao cho T x − T y = T 0 (ξ)(x − y) Suy ra |T x − T y| = |T 0 (ξ)||x − y| ≤ k|x − y| Do đó T là ánh xạ co và có duy nhất điểm bất động. Định lý ánh xạ co được dùng để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân với điều kiện ban đầu. dx (t) = T (t, x (t)) (t ∈ R) với điều kiện dt ban đầu x(to ) = xo , trong đó to , xo là hai số cho trước, và T (t, u) là hàm liên tục Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân cho trước của hai biến t, u với (t, u) ∈ R. Giả thiết rằng hàm T (t, u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u, theo nghĩa sau đây: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi t ∈ [−n, n] ta đều có |T (t, u1 ) − T (t, u2 )| ≤ Lku1 − u2 k. 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Ta sẽ chỉ ra rằng phương trình vi phân với điều kiện ban đầu có một và chỉ một nghiệm x(t) xác định và liên tục trên đường thẳng thực. Thật vậy, vì hàm T liên tục nên phương trình vi phân với điều kiện ban đầu tương đương với phương trình vi phân Zt x(t) = x0 + T (s, x (s)) ds. to Lấy một số nguyên dương n khá lớn sao cho t0 ∈ [−n, n] và gọi Cn = C[−n, n] là không gian các hàm x(t) xác định và liên tục trên đoạn[−n, n]. Với λ > 1 là một số cố định tùy ý, ta hãy đặt dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)|; x, y ∈ Cn . Lúc đó dn là một metric trong không gian Cn . Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ Cn ta có, 1. dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)| ≥ 0 dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)| = 0 ⇔ |x(t) − y(t)| = 0 ⇔ x = y; 2. dn (x, y) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)| = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |y(t) − x(t)| = dn (y, x); 3. dn (x, z) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − z(t)| dn (x, z) = max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t) + y(t) − z(t)| ≤ max|t|≤n e−λL|t−t0 | |x(t) − y(t)| + max|t|≤n e−λL|t−t0 | |y(t) − z(t)| = dn (x, y) + dn (y, z). Do đó dn là một không gian metric trong Cn . Mặt khác, ta có d(x, y) = max|t|≤n |x(t) − y(t)| với x, y ∈ Cn thì e−λLA d(x, y) ≤ dn (x, y) ≤ d (x, y) ; với A = max {n − t0 , n + t0 }. Tức là các không gian metric d và dn là tương đương đều với nhau, mà (Cn , d) cũng là một không gian metric đầy đủ. Vậy (Cn , dn ) là một không gian metric 11 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz đầy đủ. Xét ánh xạ F : Cn → Cn xác định bởi công thức Zt (F (x)) (t) = x0 + T (s, x (s)) ds. t0 Ta sẽ chứng tỏ rằng F là một ánh xạ co đối với metric dn . Thật vậy, với x, y thuộc Cn , ta có   t  Z   −λL|t−t0 |   [T (s, x (s)) − T (s, y (s))] ds dn (F (x) , F (y)) = max e   |t|≤n   to Z ≤ max e−λL|t−t0 | L |x (s) − y (s)| ds. |t|≤n It Với It là đoạn [t0 , t] nếu t > t0 , hay là đoạn [t, t0 ] nếu t < t0 . Từ định nghĩa của metric dn , ta có   |x (s) − y (s)| = eλL|s−t0 | − e−λL|s−t0 | |x (s) − y (s)| ≤ eλL|s−t0 | dn (x, y) . Vậy Z Z |x (s) − y (s)| ds ≤ dn (x, y) eλL|s−t0 | ds It It −1 = dn (x, y) (λL)  e λL|t−t0 |  −1 < dn (x, y) (λL)−1 eλt|s−t0 | . Từ đó ta suy ra dn (F (x) , F (y)) ≤ λ−1 dn (x, y) . Áp dụng định lý ánh xạ co, ta suy ra xn = xn (t) là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân được xác định trên [−n, n]. Như vậy, với mỗi số nguyên dương n sao cho |t0 | ≤ n, phương trình vi phân có một nghiệm duy nhất xn = xn (t) xác định trên đoạn [−n, n]. Nếu n và m là hai số nguyên dương sao cho |t0 | ≤ n < m, thì từ tính duy nhất của xn , suy ra rằng xm (t) = xn (t) khi |t| ≤ n. Vì vậy hàm x(t) = xn (t) khi |t| ≤ n được xác định với mọi t ∈ R, và là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân trên toàn bộ đường thẳng thực. 12 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Nhận xét 1.1. Như vậy, ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục. Có nhiều tác giả đã chứng minh được rằng định lý ánh xạ co vẫn còn đúng nếu ta thay hằng số k < 1 bằng một hàm số với biến là d(x, y), nhận giá trị trong [0, 1) và thỏa mãn một điều kiện nào đó. Kết quả mạnh nhất theo hướng này thuộc về Meir và Keeler mà chúng tôi giới thiệu sau đây, nhưng trước hết chúng ta nghiên cứu định nghĩa sau Định nghĩa 1.14. Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được gọi là (ε, δ) - co nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho: nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T x, T y) < ε. Ta có thể kiểm tra rằng lớp ánh xạ (ε, δ) -co chứa lớp ánh xạ co vì chỉ cần chọn ε(1 − k) . Tuy nhiên mọi ánh xạ (ε, δ) -co đều thỏa mãn điều kiện: nếu x 6= y k thì d(T x, T y) < d(x, y) δ= Thật vậy, nếu x 6= y thì đặt ε = d(x, y) > 0 Khi đó ta có ε = d(x, y) < ε + δ . Từ đó suy ra d(T x, T y) < ε = d(x, y). Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) < d(x, y) thường được gọi là "co yếu". Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất. Định lý 1.4 (Meir - Keeler, 1969). (xem [2], Chương 1). Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)-co trong X . Khi đó, T có điểm bất động duy nhất x∗ và với mọi x0 ∈ X , ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, đặt xn+1 = T xn và cn = d(xn , xn+1 ) , n = 0,1,2,... Có thể giả thiết cn > 0. Vì T là ánh xạ co yếu nên cn là dãy không âm và giảm, do dó cn → ε ≤ 0. Nếu ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T x, T y) < ε. Chọn k ∈ N sao cho nếu n ≤ k thì cn < ε + δ . Do đó ta có cn+1 < ε là điều vô lý. Vậy ε = 0, tức là cn → 0. Ta sẽ chứng minh xn là dãy Cauchy bằng phản chứng. Giả sử có ε > 0 sao cho với mọi k ∈ N, tồn tại n, m ≤ k mà d(xn , xm ) ≤ 2ε. Chọn k sao cho nếu i ≥ k thì α ci < với α = min {δ, ε}. Chọn m > n ≥ k để cho d(xn , xm ) ≥ 2ε và xét các số 4 13 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz d(xn , xn+1 ), d(xn , xn+2 ), ..., d(xn , xm ). Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là |d(xn , xi ) − d(xn , xi+1 )| ≤ d(xi , xi+1 ) = ci < α . 4 α ε ≤ , còn d(xn , xm ) ≥ 2ε nên tồn tại j ∈ {n, n + 1, ..., m} 4 4 α 3α sao cho ε + ≤ d (xn , xj ) < ε + . 2 4 Vì ε ≤ d(xn , xj ) < ε + δ nên ta có Vì d (xn , xn+1 ) = cn < d(T xn , T xj ) = d(xn+1 , xj+1 ) < ε. Từ đây ta có d(xn , xj ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xj+1 ) + d(xj+1 , xj ) α α α ≤ +ε+ =ε+ . 4 4 2 α Điều này mâu thuẫn với d(xn .xj ) ≥ ε+ . Vậy {xn } là dãy Cauchy và xn → x∗ ∈ X . 2 Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có d(x∗ , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn+1 ) + d(xn+1 , T x∗ ) = d(x∗ , xn+1 ) + d(T xn , T x∗ ) ≤ d(x∗ , xn+1 ) + d(xn , x∗ ). Cho n → ∞ ta được d(x∗ , T x∗ ) = 0, tức là x∗ = T x∗ . Vì T là ánh xạ co yếu nên x∗ là điểm bất động duy nhất. 1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.15. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (z, ρ) được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ X ta có ρ(T x, T y) ≤ d(x, y). Nhận xét 1.2. Như vậy, ánh xạ co là ánh xạ không giãn. Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất. Ánh xạ không giãn không nhất thiết phải có điểm bất động. Ví dụ 1.3. Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong C0 (không gian của các dãy hội tụ đến 0 với chuẩn sup ). Với mỗi x = (x1 , x2 , ...) ∈ B ta đặt T x = (1, x1 , x2 , ...). Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B . Tuy nhiên T không có điểm bất động. Thật vậy, nếu có x∗ = T x∗ thì ta có (x∗1 , x∗2 , x∗3 , ...) = (1, x∗1 , x∗2 , ...). 14 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Nhưng khi đó ta có x∗i = 1 với mọi i, nên x∗ không thuộc Co . Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất ( Chẳng hạn xét ánh xạ đồng nhất). Định lý 1.5. (xem [8], Chương 2, Định lý 2.3). Cho H là không gian Hilbert, với u, v ∈ H , cho r, R là các hằng số với 0 ≤ r ≤ R. Nếu tồn tại x ∈ H với u+v ||u − x|| ≤ R, ||v − x|| ≤ R và || − x|| ≥ r thì 2 p ||u − v|| ≤ 2 R2 − r 2 . Chứng minh. Theo đẳng thức hình bình hành ta có ||u − v||2 = 2||u − x||2 + 2||v − x||2 − ||(u − x) + (v − x)||2 u+v ≤ 2R2 + 2R2 − 4|| − x||2 2 ≤ 4(R2 − r2 ). Định lý 1.6. (xem [8], Chương 2, Định lý 2.4). Cho H là không gian Hilbert, C ⊆ H là tập bị chặn và T : C → C là ánh xạ không giãn. Giả sử x ∈ C, y ∈ C x+y và a = ∈ C . Kí hiệu δ(C) là đường kính của C và cho ε ≤ δ(C) sao cho 2 ||x − T (x)|| ≤ ε và ||y − T (y)|| ≤ ε. Khi đó √ p ||a − T (a)|| ≤ 2 ε 2δ(C). Chứng minh. Ta có ||x − y|| ≤ ||x − a + T (a) a + T (a) || + ||y − ||. 2 2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng ||x − Do a + T (a) 1 || ≥ ||x − y||. 2 2 1 ||a − x|| = ||x − y|| 2 Ta có ||T (a) − x|| ≤ ||T (a) − T (x)|| + ||T (x) − x|| ≤ ||a − x|| + ε 1 = ||x − y|| + ε. 2 15 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz 1 2 1 2 Từ Định lý 1.5 với r = ||x − y||, R = ||x − y|| + ε, u = a và v = T (a) ta có r ||a − T (a) ≤ 2 1 1 ( ||x − y|| + ε)2 − ( ||x − y||)2 2 2 p = 2 ||x − y||ε + ε2 √ p = 2 ε ||x − y|| + ε √ p ≤ 2 ε 2δ(C). Định lý 1.7. (Định lý Brouwer - Gohde -Kirk)(xem [8], Chương 2, Định lý 2.2). Cho C là tập bị chặn, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H, T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 0 ∈ C , T (0) 6= 0, với mỗi n = 2, 3, ... ta đặt Tn := (1 − 1 )T : C → C n là ánh xạ co, nên theo định lý Banach, tồn tại duy nhất xn ∈ C với xn = Tn (xn ) = (1 − Do đó k|xn − T (xn )|| = 1 )T (xn ). n 1 1 ||T (xn )|| ≤ δ(C) n n trong đó δ(C) là kí hiệu đường kính của C. Với mỗi n ∈ {2, 3, ...}, ta có n o 1 Qn = x ∈ C : ||x − T (x)|| ≤ n δ(C) thì Q2 ⊇ Q3 ⊇ ...Qn ⊇ ... là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Đặt dn = inf {||x|| : x ∈ Qn } . Từ Qn s là giảm nên ta có d2 ≤ d3 ≤ ... ≤ dn ≤ ..., di ≤ δ(C) với mỗi i ∈ {2, 3, ...}. Do đó, dn ↑ d với d ≤ δ(C). Tiếp theo, ta có An = Q8n2 ∩ B(0, d + 1/n) 16 (1.1) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz trong đó n B(0, d + 1/n) = x ∈ H : ||x|| < d + 1 . n o Ta có An là dãy giảm của tập đóng, khác rỗng. Bây giờ ta chỉ ra rằng lim δ (An ) = 0. n→∞ Lấy u, v ∈ An , khi đó 1 1 ; ||v − 0|| ≤ d + . n n k|u − 0|| ≤ d + (1.2) Với u, v ∈ Q8n2 , ta có ||u − T (u)|| ≤ 1 1 δ(C); ||v − T (v)|| ≤ 2 δ(C). 2 8n 8n Từ Định lý 1.6 ta suy ra rằng: r p u+v u+v − T( )|| ≤ 2 2δ(C) || 2 2 Vì thế 1 1 δ(C) = δ(C). 2 8n n u+v u+v ∈ Qn ; || − 0|| ≥ dn . 2 2 Từ (1.2),(1.3) và Định lý 1.5 ta suy ra r ||u − v|| ≤ 2 Do đó r δ(An ) ≤ 2 (d + (1.3) 1 2 ) − d2n . n 2d 1 + 2 + (d2 − d2n ). n n Vì vậy lim δ (An ) = 0 . n→∞ ∞ Theo Định lý Cantor, tồn tại x0 ∈ ∩ An . n=2 Từ ∞ x0 ∈ ∩ Q8n2 . n=2 Ta có ||x0 − T (x0 ) ≤ δ(C) , ∀n ∈ {2, 3, ...} . 8n2 Do đó ||x0 − T (x0 )|| = 0. Bổ đề 1.1. (xem [8], Chương 2, Bài tập 2.1). Cho H là không gian Hilbert, Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} là hình cầu đóng. Định nghĩa ánh xạ r : H → Br xác định bởi ( r (x) = x, x r , ||x|| 17 ||x|| ≤ r ||x|| > r Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Khi đó r : H → Br là ánh xạ không giãn. Chứng minh. Ta có, với ∀u, v 6= 0, thì (u − r(u), r(v) − r(u)) ≤ 0. Điều này đúng với ||u|| ≤ r, r(u) = u, và nếu ||u|| ≥ r, ta có   r   [(u, v) − r||u||] ,  1− ||u||     (u − r (u) , r(v) − r(u)) = r (u, v)   r − r||u|| ,  1− ||u|| ||v|| ≤ r ||v|| ||v|| > r Ta có x − y = r(x) − r(y) + x − r(x) + r(y) − y ≡ r(x) − r(y) + a. Suy ra ||x − y||2 = ||r(x) − r(y)||2 + ||a||2 + 2(a, r(x) − r(y)). Do (a, r(x) − r(y)) = −(x − r(x), r(y) − r(x)) − (y − r(y), r(x) − r(y)) ≥ 0 nên ||x − y||2 ≥ ||r(x) − r(y)||2 . Định lý 1.8. (xem [8], Chương 2, Định lý 2.5). Cho H là không gian Hilbert thực và Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0. Mỗi ánh xạ không giãn T : Br → H có ít nhất một trong hai tính chất sau đây 1. T có điểm bất động trong Br 2. Tồn tại x ∈ δ(Br ) và λ ∈ C sao cho x = λT (x) Chứng minh. Xác định ánh xạ r : H → Br bởi: ( r (x) = x, x r , ||x|| ||x|| ≤ r ||x|| > r Theo Bổ đề 1.1 thì ánh xạ r : H → Br là ánh xạ không giãn. Do đó r◦T : Br → Br cũng là ánh xạ không giãn. Theo Định lý 1.6, tồn tại x ∈ Br , với r(T (x)) = x. Nếu T (x) ∈ Br thì x = r(T (x)) = T (x). Tức là T có một điểm bất động, nghĩa là (1) thỏa mãn. T (x) r = λT (x) với λ = <1 ||T (x)|| ||T (x)|| Nghĩa là tồn tại x ∈ δ(Br ) và λ ∈ C sao cho x = λT (x). Nếu T (x) ∈ / Br thì x = r(T (x)) = r 18 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và điểm bất động của ánh xạ có tính Lipschitz Định lý 1.9. (xem [8], Chương 2, Định lý 2.6). Cho H là không gian Hilbert thực, Br = {x ∈ H : ||x|| ≤ r} với r ≥ 0. Ánh xạ không giãn T : Br → H . Giả sử ∀x ∈ Br , một trong bốn điều kiện thỏa mãn 1. ||T (x)|| ≤ ||x||, 2. ||T (x)|| ≤ ||x − T (x)||, 3. ||T (x)||2 ≤ ||x||2 + ||x − T (x)||2 , 4. hx, T (x)i ≤ ||x||2 . Khi đó T có điểm bất động trên Br . Chứng minh. Chúng ta chứng minh định lý với điều kiện (2). Nếu T không có điểm bất động, thì theo Định lý 1.8, tồn tại z ∈ Br và λ ∈ (0, 1), sao cho z = λT (z). Giả sử T (z) 6= 0 và ||T (z)|| = ||T (λT (z))|| ≤ ||λT (z) − T (λT (z))|| nghĩa là ||T (z)|| ≤ (1 − λ)||T (z)||. Do đó 1 ≤ 1 − λ. Điều này mâu thuẫn. 1.4 Điểm bất động của ánh xạ giả co, giả co mạnh Định nghĩa 1.16. Cho H là không gian Hilbert, ánh xạ T với miền xác định D(T ) và miền giá trị R(T ) trong H được gọi là ánh xạ giả co nếu tồn tại một hằng số k dương thỏa mãn ||x − y|| ≤ ||(1 + t)(x − y) − kt(T x − T y)|| với mọi x, y ∈ D(T ) và t > 0. Với k = 1 thì ánh xạ T trên là ánh xạ giả co mạnh. Chú ý 1.1. Ánh xạ không giãn (co) là ánh xạ giả co (giả co mạnh ). Nhưng ngược lại không đúng. Chúng tôi đưa ra ví dụ sau chứng tỏ ánh xạ giả co không là ánh xạ không giãn Ví dụ 1.4. Cho H = R2 là không gian Hilbert. Nếu x = (a, b) ∈ H , ta định nghĩa x⊥ = (b, −a) ∈ H . Ta có ⊥ ⊥ x, x = 0, ||x || = ||x||. 19