Tài liệu Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ----------------  --------------- ĐỖ THỊ PHƯƠNG VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận TS. Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 1 Möc löc Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1. Gi£i t‰ch ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 1.1.1. T‰ch ph¥n ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. ⁄o h m ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø . . . 11 1.3. B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n câ tr„ vîi b“c nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Mºt sŁ bŒ • bŒ træ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 18 Ch÷ìng 2 B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ 19 2.1. Ph¡t bi”u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Mºt ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ . . . . . . . . . . . 2.3. Mºt v‰ dö sŁ minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 27 2 L˝I N´I U Mæ h…nh m⁄ng nì ron mæ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n vîi ⁄o h m b“c nguy¶n ÷æc nghi¶n cøu ƒu ti¶n bði L.O. Chua v L. Yang v o n«m 1988 [6, 7]. Mæ h…nh n y ¢ nh“n ÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu cıa nhi•u nh khoa håc trong nhœng n«m gƒn ¥y do nhœng øng döng rºng lîn cıa nâ trong xß l‰ t‰n hi»u, xß l‰ h…nh £nh, tŁi ÷u hâa v c¡c l¾nh vüc kh¡c [7, 18]. N«m 2008, trong mºt nghi¶n cøu cıa m…nh, A. Boroomand v M.B. Menhaj [3] lƒn ƒu ti¶n mæ h…nh hâa m⁄ng nì ron bði h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø (Caputo ho°c Riemann Liouville). So vîi m⁄ng nì ron mæ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n vîi ⁄o h m b“c nguy¶n, m⁄ng nì ron mæ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø (Caputo ho°c Riemann Liouville) câ th” mæ t£ c¡c °c t‰nh v t‰nh ch§t cıa m⁄ng nì ron mºt c¡ch ch‰nh x¡c hìn [3, 18]. Do â h» ph÷ìng tr…nh m⁄ng nì ron ph¥n thø ¢ nh“n ÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu cıa nhi•u nh khoa håc. Nhi•u k‚t qu£ hay v thó và v• h» ph÷ìng tr…nh m⁄ng nì ron ph¥n thø ¢ ÷æc cæng bŁ trong nhœng n«m gƒn ¥y. Tł quan i”m cıa kÿ thu“t, ng÷íi ta mong muŁn thi‚t k‚ c¡c h» thŁng i•u khi”n khæng ch¿ Œn ành ti»m c“n m cÆn câ th” £m b£o møc hi»u su§t h» thŁng phò hæp. N«m 1972, hai nh khoa håc Chang v Peng [5] ÷a ra v nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» ºng lüc ÷æc mæ t£ bði h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n th÷íng. Sau â b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n câ tr„ vîi b“c nguy¶n ¢ nh“n ÷æc sü quan t¥m cıa nhi•u nh khoa håc. Łi vîi h» nì ron thƒn kinh vîi b“c nguy¶n, ¢ câ mºt sŁ k‚t qu£ thó và v s¥u s›c ÷æc cæng bŁ trong nhœng n«m gƒn ¥y (xem [10, 11, 12] v c¡c t i li»u tham kh£o trong â). N«m 2019, Thu“n v H÷îng [20] nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt 3 lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„. Lu“n v«n t“p trung tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph ‰ i•u khi”n cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ düa tr¶n cì sð åc hi”u v tŒng hæp b i b¡o ¢ ÷æc cæng bŁ trong nhœng n«m gƒn ¥y (xem [20]). Lu“n v«n gçm câ 2 ch÷ìng gçm nhœng nºi dung ch‰nh nh÷ sau: Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v• gi£i t‰ch ph¥n thø nh÷ t‰ch ph¥n v ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville, t‰ch ph¥n v ⁄o h m ph¥n thø Caputo. Sau â, chóng tæi tr…nh b y mºt ành lþ Razumikhin cho h» ph¥n thø câ tr„. Ti‚p theo, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ v• b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n vîi b“c nguy¶n. CuŁi ch÷ìng, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ bŒ • bŒ træ. Nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng n y ÷æc tham kh£o chı y‚u tł c¡c t i li»u [8, 14, 15, 17, 21]. Trong ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„. Ngo i ra, chóng tæi ÷a ra mºt v‰ dö sŁ minh håa cho k‚t qu£ lþ thuy‚t. Lu“n v«n n y ÷æc thüc hi»n t⁄i tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa Ti‚n s¾ Mai Vi‚t Thu“n. Tæi xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c tîi ng÷íi h÷îng d¤n khoa håc cıa m…nh. Ng÷íi ¢ °t v§n • nghi¶n cøu, d nh nhi•u thíi gian h÷îng d¤n, t“n t…nh d…u d›t v ch¿ b£o tæi trong suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn BGH tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n Tin còng c¡c gi£ng vi¶n ¢ tham gia gi£ng d⁄y, ¢ t⁄o måi i•u ki»n tŁt nh§t ” tæi håc t“p v nghi¶n cøu. çng thíi tæi xin gßi líi c£m ìn tîi gia …nh th¥n y¶u,c£m ìn nhœng ng÷íi b⁄n th¥n thi‚t ¢ ch«m sâc ºng vi¶n kh‰ch l» tæi trong suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøu. Sau còng tæi xin k‰nh chóc to n th” quþ thƒy cæ tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n th“t dçi d o søc khäe, ni•m tin ” ti‚p töc thüc hi»n sø m»nh cao µp cıa m…nh l truy•n ⁄t tri thøc cho th‚ h» mai sau. Xin ch¥n th nh c£m ìn. 4 5 Danh möc kþ hi»u R n khæng gian vec tì thüc Euclide n chi•u ma tr“n chuy”n và cıa ma tr“n A AT I (A) ma tr“n ìn và t“p hæp t§t c£ gi¡ trà ri¶ng cıa ma tr“n A max(A) = maxfRe : 2 (A)g min(A) = minfRe : 2 (A)g kAk chu'n phŒ cıa ma tr“n A; kAk = A 0 max(A tøc l > Rn A) h Ax; x i 0; 82 A B ma tr“n A nßa x¡c ành d÷ìng, ngh¾a l A B 0 A>0 ma tr“n A x¡c ành d÷ìng, tøc l LM Is kxk b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh (Linear matrix inequalities) Rn > n khæng gian c¡c ma tr“n thüc cï (n r) r n m AC [a; b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n[a; b] nh“n gi¡ trà trong R khæng gian c¡c h m li¶n töc tuy»t Łi c§p m tr¶n[a; b] to¡n tß t‰ch ph¥n ph¥n thø Riemann - Liouville c§p t0 It RLD to¡n tß ⁄o h m ph¥n thø Riemann - Liouville c§p t t0 C D ;D t t x) E n hAx; xi > 0; 8x 2 R ; x 6= 0 chu'n Euclide cıa v†c tì x = (x1; x2; :::; xn) 2 R C([a; b]; R ) t0 p x to¡n tß ⁄o h m ph¥n thø Caputo c§p h m Gamma h m Mittag-Leffler hai tham sŁ ; de sŁ nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b‹ng 2l 6 L = diagfl1; l2; l3g 0 0 3 1 7 L = 6 0 l2 0 7 4 0 0 l3 5 6 7 n 6 Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v• gi£i t‰ch ph¥n thø, ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø, b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n vîi b“c nguy¶n. Chóng tæi công tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ bŒ træ s‡ ÷æc sß döng trong chøng minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n v«n cho c¡c ch÷ìng sau. Ki‚n thøc sß döng ð ch÷ìng n y ÷æc tham kh£o ð [8, 14, 15, 17, 21]. 1.1. Gi£i t‰ch ph¥n thø 1.1.1. T‰ch ph¥n ph¥n thø Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y sì l÷æc v• kh¡i ni»m t‰ch ph¥n ph¥n thø. Kh¡i ni»m t‰ch ph¥n ph¥n thø l mºt mð rºng tü nhi¶n cıa kh¡i ni»m t‰ch ph¥n l°p thæng th÷íng. ành ngh¾a 1.1. ([15]) Cho > 0 v [a; b] R, t‰ch ph¥n ph¥n thø Liouville c§p cıa h m x : [a; b]! t0 It x(t) := Riemann-R ÷æc cho bði 1 Z t (t s) ) t0 1 t 2 (a; b]; x(s)ds; +1 trong â :) l h m Gamma x¡c ành bði )= R0 t 1 t e dt; > 0: Trong ành ngh¾a 1.1 khi = 0, chóng ta quy ÷îc t0 It := I vîi I l to¡n tß çng nh§t. Sü tçn t⁄i cıa t‰ch ph¥n ph¥n thø Riemann Liouville c§p vîi 0 < < 1 ÷æc cho bði ành lþ sau 7 ành lþ 1.1. ([15]) Gi£ sß x : [a; b]! R l mºt h m kh£ t‰ch tr¶n [a; b]. Khi â, t‰ch ph¥n t0 It x(t) tçn t⁄i vîi hƒu h‚t t 2 [a; b]. Hìn nœa, t0 It x công l mºt h m kh£ t‰ch. V‰ dö sau ¥y cho ta t‰ch ph¥n ph¥n thø cıa mºt sŁ h m cì b£n. V‰ dö 1.1. ([15]) (i) Cho x(t) = (t a) , ð ¥y > 1 v t0 It t > a. Vîi b§t k… > 0, chóng ta câ + 1) (t a) + ; t > a: + +1) x(t) = t (ii) Cho x(t) = e ; > 0. Vîi b§t k… > 0, chóng ta câ +1 ( t) +j ; t > 0: Xj t0 It x(t) = =0 1.1.2. + j + 1) ⁄o h m ph¥n thø Möc n y tr…nh b y mºt c¡ch ng›n gån v• ⁄o h m Riemann Liouville v ⁄o h m Caputo. ¥y l hai lo⁄i ⁄o h m ÷æc sß döng rºng r¢i trong nhi•u l¾nh vüc. ành ngh¾a 1.2. ([15]) Cho tr÷îc mºt sŁ thüc d÷ìng v mºt kho£ng [a; b] R. ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville c§p cıa h m x : [a; b]! R ÷æc cho bði t RL 0 n Dt x(t) := d n dt t0 It n x(t) = t n n d Z (t s) n ) dtn t0 1 1 x(s)ds; n sŁ nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b‹ng v trong â n := d e l h m thæng th÷íng c§p n. d dt n l ⁄o V‰ dö 1.2. Cho h m b÷îc ìn và (unit-step function) 8 > 1; n‚u t f(t) = 0 < > 0; n‚u t < 0: : B‹ng c¡ch sß döng ành ngh¾a 1.2, ta t‰nh ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville c§p cıa h m f(t) l RL t D f(t) = 0t ) : 8 Tr÷îc khi tr…nh b y i•u ki»n cho sü tçn t⁄i cıa ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ sau. Cho [a; b] l mºt kho£ng hœu h⁄n trong R: AC[a; b] l khæng gian c¡c h m tuy»t Łi li¶n töc tr¶n [a; b]: Kolmogorov v Fomin ¢ ch¿ ra mŁi li¶n h» giœa c¡c h m tuy»t Łi li¶n töc v c¡c h m kh£ t‰ch Lebesgue nh÷ sau: Zt f(t) 2 AC[a; b] , f(t) = c + do â mºt h m tuy»t tr¶n [a; b]: a Łi li¶n töc f(t) câ ’(s)ds (’(s) 2 L(a; b)); 0 ⁄o h m f (t) = ’(t) hƒu kh›p nìi n Vîi n 2 N; ta ành ngh¾a lîp h m AC [a; b] nh÷ sau: n d n 1 AC [a; b] = ff : [a; b]! R; (D g: D = dt f)(t) 2 AC[a; b] n M»nh • sau ¥y cho ta mºt sŁ °c t‰nh cıa lîp h m AC [a; b]. M»nh • 1.1. ([15]) Khæng gian ACn[a; b] chøa t§t c£ c¡c h m f(t) câ d⁄ng nh÷ sau: n 1X f(t) = t 0 I ’(t) + t k k ck(t t0) ; =0 trong â ’(t) 2 L(a; b); ck(k = 0; 1; : : : ; n 1) l c¡c h‹ng sŁ tòy þ v n1 1 Z t s) ’(s)ds: t0 It ’(t) = t0 (t (n 1)! Ngo i ra, tł c¡c i•u ki»n tr¶n ta câ (n) = ’(s) = f (s); ck (k) f (t0) (k = 0; 1; : : : ; n 1): k! ành lþ sau ¥y cho ta mºt ti¶u chu'n cho sü tçn t⁄i cıa ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville. 0; n = d e: N‚u f(t) 2 ACn[a; b]; khi â ⁄o tçn t⁄i hƒu kh›p nìi tr¶n [a; b] v câ th” ÷æc bi”u ành lþ 1.2. ([15]) Cho h m ph¥n thø RL D f(t) t0 t di„n d÷îi d⁄ng sau n 1 RL t 0Dt k=0 f(t) = X K‚t qu£ sau ¥y + f (k)(t0) k t 1 (t t0)k + ) ÷æc suy ra trüc ti‚p tł n ) ành lþ 1.2 Z t0 (t s) n+1 (n) f (s)ds : 9 H» qu£ 1.1. ([15]) N‚u 0 < < 1 v f(t) 2 AC[a; b] th… t RL 0 1 Dt f(t) = Z t f0(s)ds + f(t0) ) (t t0) t0 : (t s) M»nh • sau khflng ành to¡n tß ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh. M»nh • 1.2. ([14]) Cho tr÷îc mºt sŁ thüc d÷ìng . Khi â ⁄o h m ph¥n thø Riemann Liouville c§p l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh, tøc l RL trong â ; t 0 Dt RL t0Dt [ f(t) + g(t)] = RL t0Dt f(t) + g(t) n 2 R; f(t); g(t) 2 AC [a; b]: Chøng minh. Ta câ RL Dt [ f(t) + g(t)] n 1 d Z t = n n n ) dt t0 (t s) t0 = = RL d n t 0 Dt ) dt f(t) + n n 1 [ f(s) + g(s)] ds t d Z t0 (t s)n RL t 0 Dt 1 f(s)ds + n ) dt n n t Z t0 n 1 (t s) g(s)ds g(t): ành ngh¾a 1.3. ([14]) Cho tr÷îc mºt sŁ thüc d÷ìng v mºt kho£ng [a; b] R. ⁄o h m ph¥n thø Caputo c§p cıa h m x : [a; b]! R ÷æc cho bði C t0 Dt x(t) := t0 It n n D x(t); n trong â n := d e l sŁ nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b‹ng v D = dn l n dx ⁄o h m thæng th÷íng c§p n. T ⁄o h m ph¥n thø Łi vîi mºt h m v†c tì x(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xd(t)) C t0 Dt x(t) := C t0 C C Dt x1(t); t0 Dt x2(t); : : : ; t0 Dt xd(t) T : ành lþ sau ¥y cho ta mºt i•u ki»n ı cho sü tçn t⁄i o h m Caputo ph¥n thø c§p . 10 n ành lþ 1.3. ([15]) Cho 0; n = [ ] + 1: N‚u f(t) 2 AC [a; b]; khi â ⁄o C h m ph¥n thø Caputo t0 Dt f(t) tçn t⁄i hƒu kh›p nìi tr¶n [a; b]. Hìn nœa, ta câ (i) N‚u 62N th… Ct0 Dt x(t) bi”u di„n d÷îi d⁄ng sau: t (n) 1 f (s)ds C : t 0 Dt f(t) = n ) Zt (t s) 0 n+1 °c bi»t, khi 0 < < 1 v f(t) 2 AC[a; b]; ta câ: C t 0 f (s)ds ) Zt Dt f(t) = C (ii) N‚u t 0 1 (t s) 0 : n = n 2 N th… t0 Dt f(t) bi”u di„n d÷îi d⁄ng sau: C t0 n (n) Dt f(t) = f (t): °c bi»t, C t0 0 Dt f(t) = f(t): M»nh • sau khflng ành to¡n tß ⁄o h m ph¥n thø Caputo l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh. M»nh • 1.3. ([14]) Cho tr÷îc mºt sŁ thüc d÷ìng . Khi â ⁄o h m ph¥n thø Caputo c§p l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh, tøc l C t0 C C Dt [ f(t) + g(t)] = t0 Dt f(t) + t0 Dt g(t); n trong â ; 2 R; f(t); g(t) 2 AC [a; b]: Chøng minh. T÷ìng tü nh÷ chøng minh M»nh • 1.2. Ta d„ d ng chøng minh ÷æc t‰nh ch§t sau cıa ⁄o h m ph¥n thø Caputo. M»nh C t0 • 1.4. ([14]) Cho tr÷îc mºt sŁ thüc d÷ìng . N‚u l h‹ng sŁ th… Dt = 0: GiŁng vîi ph†p t‰nh vi t‰ch ph¥n cŒ i”n, ⁄o h m ph¥n thø Caputo l nghàch £o tr¡i cıa to¡n tß t‰ch ph¥n ph¥n thø. ành lþ 1.4. ([15]) Cho > 0 v f(t) 2 C[a; b]: Khi â ta câ C t0 Dt ( t0 It f(t)) = f(t): 11 Tuy nhi¶n, ⁄o h m ph¥n thø Caputo nâi chung khæng l to¡n tß nghàch £o ph£i cıa t‰ch ph¥n ph¥n thø. i•u n y ÷æc ch¿ rª trong ành lþ d÷îi ¥y n ành lþ 1.5. ([15]) Cho t0 It > 0; n = [ ] + 1: N‚u f(t) 2 AC [a; b] th… t C 0 Dt f(t) = f(t) n 1 (k) Xk =0 °c bi»t, n‚u 0 <1 v k f (t0) (t t0) : k! f(t) 2 AC[a; b] th… t0 It t C 0 Dt f(t) = f(t) f(t0): ành lþ sau ¥y cho ta mŁi quan h» giœa ⁄o h m ph¥n thø Caputo v ⁄o h m ph¥n thø Riemann-Liouville. ành lþ 1.6. [15] Cho > 0 v ta °t n = d e . Vîi b§t k… x 2 ACn[a; b], chóng câ: x(t) n 1 (t t0)j ! (j) 0 x (t ) ; C RL t0 Dt x(t) = t 0 Dt Xj j! =0 vîi hƒu h‚t t 2 [a; b]: ành lþ d÷îi ¥y câ vai trÆ quan trång trong vi»c nghi¶n cøu t‰nh thö ºng cho mºt sŁ m⁄ng nì ron ph¥n thø. ành lþ 1.7. (BŒ • 2.3, trang 73 trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa A.A. Kilbas v c¡c çng t¡c gi£ [15]) Cho c¡c sŁ d÷ìng > 0; > 0. Gi£ sß r‹ng f(t) l mºt h m li¶n töc. Khi â ta câ flng thøc sau ¥y t0 It 1.2. t0 I t f(t) = t0 It ( t0 It f(t)) = t0 It + f(t); 8t t0 0: ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Trong möc n y chóng tæi tr…nh b y ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„. Tr÷îc h‚t, chóng tæi nh›c l⁄i ành ngh¾a v• h m Mittag-Leffler. 12 +1 X E (z) = k=0 ÷æc gåi l h m Mittag-Leffler mºt tham sŁ. Nh“n x†t 1.1. Trong ành ngh¾a 1.4, n‚u cho = 1; ta câ ành ngh¾a 1.4. [14] Cho 2 C; mºt h m E : C! C x¡c ành bði k z k+ ; 1) +1 k z X E1(z) = +1 Xk k=0 k + 1) = zk z =e: =0 k! Do â h m Mittag-Leffler ch‰nh l mð rºng cıa kh¡i ni»m h m mô. ành ngh¾a 1.5. [14] Cho ; 2 C; mºt h m E ; : C! C x¡c k +1 Xk E ; (z) = =0 ành bði z k + ); ÷æc gåi l h m Mittag-Leffler hai tham sŁ. C¡c h m Mittag-Leffler nh“n gi¡ trà ma tr“n ÷æc ành ngh¾a ho n to n t÷ìng tü, tøc l +1 A k Xk E ; (A)= =0 k+ ) n n ; 8A 2 R : C¡c t‰nh ch§t cıa h m Mittag-Leffler mºt tham sŁ, hai tham sŁ ¢ ÷æc tr…nh b y chi ti‚t trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa A.A. Kilbas [15]. X†t h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„ sau ¥y 8 tC0 Dt x(t) = f(t; xt); t t0; (1.1) trong â [t0; +1) C([t0 > x(t) = (t); t 2 [t > (0; 1) x t = x(t + ) 2 C([t0 : < 2 n n ; t ]; 0 0 ; t0]; R n ); ; t0]; R ) ! R l mºt h m li¶n töc tłng khóc theo t v 0; f : thäa n ; t0]; R ) m¢n i•u ki»n Lipschitz àa ph÷ìng tr¶n [t0; +1); xt0 = 2 C([t0 l i•u ki»n ban ƒu. ành ngh¾a 1.6. ([13]) H» (1.1) ÷æc gåi l Œn ành Mittag Leffler n‚u b§t flng thøc sau ¥y ÷æc thäa m¢n )]b ; kx(t)k [m(x0)E ( (t t0) ð â > 0; b > 0 v h m m(x) 0 (m(0) = 0) thäa m¢n i•u ki»n Lipschitz àa ph÷ìng n theo x 2 R vîi h‹ng sŁ Lipschitz m0. 13 Nh“n x†t 1.2. ([13]) N‚u h» (1.1) Œn ành Mittag Leffler th… h» Œn ành ti»m c“n, tøc l lim kx(t) k = 0: t + 1 ! Ti‚p theo, chóng tæi tr…nh b y ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„. Łi vîi lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„, S. Liu còng c¡c cºng sü [13] ¢ ÷a ra mºt phi¶n b£n mîi cıa ành lþ Razumikhin cho h» ph¥n thø câ tr„. Theo nh÷ sü hi”u bi‚t cıa chóng tæi, ¥y l mºt trong nhœng ph÷ìng ph¡p quan trång ” nghi¶n cøu t‰nh Œn ành v mºt sŁ t‰nh ch§t li¶n quan cıa h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„. ành lþ 1.8. [13] X†t h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„ (1.1). Gi£ sß tçn t⁄i ba h‹ng sŁ d÷ìng a1; a2; a3 v mºt h m kh£ vi V : R n R ! R thäa m¢n 2 (i) a1kxk v (ii) V (x) 2 a2kxk , ⁄o h m ph¥n thø c§p C t0 Dt V (x(t)) cıa h m V (:) thäa m¢n 2 a3kxk khi m V (x(t + s)) V (x(t)); s 2 [ ; 0], vîi > 1 n o â. Khi â h» Œn ành ti»m c“n. 1.3. B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n câ tr„ vîi b“c nguy¶n Nh÷ ¢ ph¥n t‰ch trong phƒn mð ƒu. B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho c¡c h» ºng lüc ÷æc nghi¶n cøu ƒu ti¶n bði hai nh to¡n håc S.S.L. Chang v T.K.C. Peng v o n«m 1972 (xem [5]). Trong b i to¡n n y, ngo i vi»c thi‚t k‚ mºt bº i•u khi”n ” £m b£o cho h» thŁng i•u khi”n khæng nhœng Œn ành m cÆn £m b£o r‹ng mºt h m chi ph‰ to n ph÷ìng li¶n h» vîi h» ºng lüc â câ gi¡ trà hœu h⁄n v gi¡ trà â c ng nhä c ng tŁt. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh ætænæm 8 > x(t) = Ax(t) + Bu(t); t < > : x(0) = x0 2 Rn; u(t) 2 Rm; 0; (1.2) 14 vîi h m chi ph‰ to n ph÷ìng (hay cÆn gåi l h m möc ti¶u d⁄ng to n ph÷ìng) Z +1 T T (1.3) J(u) = [x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt; 0 trong â Q 2 R nn ;R2R mm l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng cho tr÷îc. n n i•u khi”n u(t) 2 U ; R : Trong â U = fu(t) 2 L2([0; 1); R ); u(t) 2 hƒu kh›p tr¶n [0; 1)g: B i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u cho h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh (1.2) hay cÆn gåi l b i to¡n tŁi ÷u to n ph÷ìng l t…m i•u khi”n ch§p nh“n ÷æc u(:) 2 U sao cho vîi i•u khi”n n y gi¡ trà cıa h m chi ph‰ to n ph÷ìng ⁄t gi¡ trà nhä nh§t, tøc l J(u) ! min: B‹ng c¡ch dòng nguy¶n lþ cüc ⁄i Pontriagin, trong [19, 22] ¢ ÷a ra mºt líi gi£i cho b i to¡n n y. Kh¡c vîi b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u, b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.2) l t…m mºt i•u khi”n u(t) ch§p nh“n ÷æc n o â sao cho vîi i•u khi”n n y h» (1.2) l Œn ành ti»m c“n v gi¡ trà cıa h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.3) l khæng v÷æt qu¡ mºt gi¡ trà hœu h⁄n J n o â. Nh÷ v“y, ta câ th” ph¡t bi”u ành ngh¾a b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho lîp h» (1.2) v• m°t to¡n håc nh÷ sau: ành ngh¾a 1.7. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh (1.2) v h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.3), n‚u tçn t⁄i mºt lu“t i•u khi”n ng÷æc u (t) = Kx(t); K 2 R sŁ d÷ìng J sao cho h» âng 8 x(t) = [A + BK]x(t); > < > mn v mºt (1.4) x(0) = x0 : l Œn ành ti»m c“n v gi¡ trà cıa h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.3) thäa m¢n J ; th… J ÷æc gåi l gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.2) v u J (t) ÷æc gåi l lu“t i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.2). T 1 B‹ng c¡ch chån h m Lyapunov Krasovskii V (x(t)) = x (t)P x(t); vîi P 2 nn R l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng, ta d„ d ng chøng minh ÷æc k‚t qu£ sau: nn mm ành lþ 1.9. Cho Q 2 R ; R 2 R l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh ætænæm (1.2) vîi h m chi ph‰ to n ph÷ìng 15 t÷ìng øng (1.3). Gi£ sß tçn t⁄i mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng P 2 R n n; mºt ma tr“n Y câ sŁ chi•u th‰ch hæp sao cho b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t ‰nh sau ÷æc thäa m¢n: 2 T T T T 3 (AP + PA + BY + Y B ) PQ Y R 6 Q 0 7 < 0: 6 R 7 4 5 6 7 1 Khi â u(t) = Y P x(t) l lu“t i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» tuy‚n t‰nh ætænæm (1.2) v gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» l J = T 1 x 0 P x0: Nh÷ v“y, thæng qua c¡c ành ngh¾a tr¶n ta th§y v• cì b£n b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n kh¡c vîi b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u. Ngo i ra, n‚u ma tr“n A v ma tr“n B bà "nhi„u" th nh A + D 1 (t)E1 v B + D1 (t)E1; trong â D1; E1 l c¡c ma tr“n cho tr÷îc câ sŁ chi•u th‰ch hæp, (t) l ma tr“n khæng bi‚t tr÷îc nh÷ng thäa m¢n i•u ki»n T (t) (t) I; th… b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u cho b i to¡n tr¶n r§t khâ gi£i nh÷ng b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho b i to¡n â ¢ ÷æc hai nh to¡n håc I.R. Petersen v D.C. McFarlane gi£i quy‚t khæng m§y khâ kh«n (xem [17]). Ti‚p theo, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ ành ngh¾a v k‚t qu£ v• b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n câ tr„ vîi b“c nguy¶n. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh khæng ch›c ch›n câ tr„ 8 x(t) = [A + A]x(t) + [A1 + A1]x(t d) + [B + B]u(t); (1.5) > x(t) = (t); t [ d; 0]; > 2 Rn < : vîi x (t) 2 Rm 2 l l v†ctì i•u khi”n. C¡c ma v†ctì tr⁄ng th¡i, u(t) c¡c ma tr“n thüc h‹ng cho tr÷îc câ sŁ chi•u th‰ch hæp. CÆn tr“n A; A1; B l c¡c ma tr“n khæng bi‚t tr÷îc nh÷ng thäa m¢n i•u ki»n A; A1; B l [ A B c¡c ma A1] = DF (t)[E1 E2 Ed]; trong â D; E1; E2; Ed l tr“n thüc h‹ng cho tr÷îc câ sŁ chi•u th‰ch hæp v tr÷îc nh÷ng thäa m¢n i•u ki»n F T (t)F (t) ma tr“n F (t) l khæng bi‚t I; (t) l h m i•u ki»n ban ƒu 16 cıa h». Li¶n k‚t vîi h» (1.5), ta x†t h m chi ph‰ to n ph÷ìng sau Z +1 T T J(u) = [x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt; (1.6) 0 n n trong â Q 2 R ; R 2 R tr÷îc. i•u khi”n u(t) 2 U ; m m l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng cho n R : ành ngh¾a 1.8. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh khæng ch›c ch›n câ tr„ (1.5) v h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.6), n‚u tçn t⁄i mºt lu“t i•u khi”n ng÷æc u (t) = Kx(t); K 2 R m n v mºt sŁ d÷ìng J sao cho vîi º tr„ d; h» âng 8 x(t) = [A + A + BK + BK]x(t) + [A1 + A1]x(t d); (1.7) > x(t) = (t); t [ d; 0]; > 2 : l Œn ành ti»m c“n v gi¡ trà cıa h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.6) thäa m¢n < J ; th… J ÷æc gåi l gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.5) v u J (t) ÷æc gåi l lu“t i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.5). Trong [21], c¡c t¡c gi£ L. Yu v J. Chu ¢ ÷a ra mºt i•u ki»n ı cho sü tçn t⁄i mºt i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» (1.5) nh÷ sau. ành lþ 1.10. ([21]) Cho Q 2 R nn ;R2R mm l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng. X†t h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh khæng ch›c ch›n câ tr„ (1.5) vîi h m chi ph‰ to n ph÷ìng t÷ìng øng (1.6). Gi£ sß tçn t⁄i c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng X; V 2 R n n ; mºt ma tr“n W 2 R m n mºt sŁ d÷ìng sao cho v b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh sau ÷æc thäa m¢n: 2 2 A1V (E1X + T E 6 V W) V Ed 6 T I 6 Q 6 6 6 W X 0 0 1 R1 0 0 X 7 0 0 7 < 0: 0 0 6 7 7 7 7 7 6 6 4 7 V 7 5 6 7 â u (t) = W X 1x(t) l khi”n cho h» (1.5) v T (0)X 1 (0) + R 0d 0 7 6 Khi 3 T lu“t i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» l T ( )V 1 ( )d : J = 17 B¥y gií, ta ÷a ra ành ngh¾a tŒng qu¡t v• b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» i•u khi”n câ tr„ vîi b“c nguy¶n. X†t h» i•u khi”n câ tr„ 8 > x(t) = (t); < Rn 2 t [ h; 0]; > 2 Rm 2 : trong â x(t) l v†c tì tr⁄ng th¡i, u(t) n h 0 l h‹ng sŁ tr„, 2 C := C([ h; 0]; R ) l v f: R + (1.8) x(t) = f(t; xt; u(t)); t 0; C R m l v†c tì i•u khi”n; h m i•u ki»n ban ƒu n ! R l h m v†ctì cho tr÷îc thäa m¢n i•u ki»n, f(t; 0; 0) = 0; t 0: Li¶n k‚t vîi h» i•u khi”n câ tr„ (1.8), ta x†t h m chi ph‰ to n ph÷ìng sau. Z +1 J(u) = 0 trong â Q 2 R nn ;R2R mm T T (1.9) [x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt; l c¡c ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng cho tr÷îc. n i•u khi”n u(t) 2 U ; R : Ta câ ành ngh¾a sau. ành ngh¾a 1.9. X†t h» i•u khi”n câ tr„ (1.8) v h m chi ph‰ to n ph÷ìng n m (1.9), n‚u tçn t⁄i mºt lu“t i•u khi”n ng÷æc u (t) = g(x(t)); g : R ! R v mºt sŁ d÷ìng J sao cho h» âng 8 x(t) = f(t; xt; g(x(t))); t 0; > < > v l Œn ành ti»m c“n J : (1.10) x(t) = (t); t [ h; 0]; 2 gi¡ trà cıa h m chi ph‰ to n ph÷ìng (1.9) thäa m¢n J ; th… J ÷æc gåi l gi¡ trà £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» i•u khi”n câ tr„ (1.8) v u (t) ÷æc gåi l lu“t i•u khi”n ng÷æc £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» i•u khi”n câ tr„ (1.8). V… ⁄o h m ph¥n thø v t‰ch ph¥n thø câ nhi•u t‰nh ch§t kh¡c bi»t so vîi ⁄o h m v t‰ch ph¥n cŒ i”n n¶n vi»c nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø câ nhi•u th¡ch thøc. N«m 2019, Thuan v Huong [20] nghi¶n cøu b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lîp h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø câ tr„ bi‚n thi¶n b‹ng c¡ch sß