NGUYỄN ĐỨC THẮNG
Tuyển tập những bài
PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
MỘT THỜI ĐỂ NHỚ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
LỜI NÓI ĐẦU
Những bài phương trình, hệ phương trình đẹp và hay là niềm đam mê một thời cûa nhiều học
sinh cçp 2 và cçp 3. File này mình tuyển chọn và trình bày läi những bài phương trình, hệ
phương trình mà mình câm thçy hay !
Mình lçy các đề toán và lời giâi từ nhiều nguồn:
Về đề bài:
Các bài toán trong Nhóm Toán, Nhóm LIKE, Nhóm Giao lưu Toán (Diễn đàn Toán
học BoxMath), Nhóm Học tập, ...
Các bài toán trong các file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, ...
Các bài toán trong sách Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ – tác giâ Lê Văn Đoàn;
Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –
tác giâ Đặng Thành Nam; ...
Các bài toán trong đề thi thử THPTQG
Về lời giải:
Các lời giâi cûa thæy Trung Nguyentien, thæy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu,
Phùng Quyết Thắng, Phong Hong, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Chau Thanh
Hai, ...
Các lời giâi cûa bän Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngô Văn Tiệp, Nguyễn Nam,
Træn Lương, Dinh De Tai, Peter Thái Học, ...
Một vài bài là lời giâi cûa mình
Chúc các bän học tốt !
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 2
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 1: Giâi hệ phương trình
2
2
x y x y 12
2
2
y x y 12
Cách 1:
Thế
x 2 y 2 12 x y từ phương trình thứ nhçt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
y 12 x y 12 hay x y
12
y 2 12 y 12
12
(1)
y
y
Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
2
y 2 12 y 12
2
y
y 12 (nhận thçy y 0 không là nghiệm cûa phương trình)
y
x 5
144 y 2 12 y 12
2
2
y 3
2
4
2
y y 12 y 12 y 144 y y 4 y 3 0
y
y
x 5
y 4
2
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x; y 5;3 ; 5;4
Cách 2:
Trường hợp 1: x y 0
Đặt
2
b ab 12
x y b thì ta có hệ 2 2
b a ab 24
x y a và
Nhận thçy phương trình thứ hai có bậc 4 và phương trình thứ nhçt có bậc 2 nên ta bình phương
hai vế phương trình thứ nhçt để thế vào phương trình thứ hai
Hệ suy ra b2 ab 6ab b2 a 2 0 b b 3a b 2a b a 0
2
Từ đó dễ dàng suy ra nghiệm x; y
Trường hợp 2: y x
Đặt
y x a và
ab b 2 12
x y b thì ta có hệ
2
2
ab a b 12
Thực hiện tương tự trường hợp 1 đã xét.
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 3
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Cách 3:
y 2 12 y 72
Phương trình thứ nhçt cûa hệ suy ra x y 12 x y x y 12 x y x
y 12
2
2
2
2
2
(2) (sau khi xét y 12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên)
Từ (2) có thể kết hợp với (1) để tìm y .
Bài 2: Giâi phương trình:
3x 2 1 3 2 x3
3
x 1
2
Cách 1:
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
3
x
2
3
2 3 2 x3
3
0 x
2
3
3
x 1 3 2 x3 1 3 2
2
2
x2
2
3
2
3 2. 3 2 x3
3
0 x0
2
2 x3
Phương trình tương đương
3x 2 1 3 2 x3
3
x 1
2
4 3 2 x3 x 5 4 3x 2 1 7 x 1 0
16
x 1 63x 2 78x 3
3
2 x
x 1
16
3
4 x 5
2
3
2 x x 5
3
2
x 1 x 15
4 3x 2 1 7 x 1
63x 2 78 x 3
3
2 x3
4 x 5
2
3
2 x3 x 5
0
0
4 3x 2 1 7 x 1
x 15
2
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Cách 2:
Xét x 2 thì
3x 2 1
3
3
5
x 1 3 2 x3 2 x x 2 6 x 0 (vô lý)
2
2
4
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 4
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
3x 2 5
2
3
x
1
4
Xét x 2 , ta có các đánh giá
3
3 2 x3 4 x
3
3
3x 2 5 4 x3
3
2
3
Suy ra x 1 3x 1 2 x
x 1
2
4
3
Do x 1 nên suy ra
3x 2 1
2
3
3x 1
3 x 1 0 x 1
x 1 3 x3 2
2
2
Bài 3: Giâi phương trình:
x2 2 x 8
x 1
x2 2x 3
x2 2
Điều kiện xác định: x 2
Khi đó phương trình tương đương
x 2 x 4
x2 2 x 3
x2 2
x 1
x2 2
x22
x 2x 3
2
x 4 x 1
x 2 2 x 4
x2 2
x2 2
x2 2
x 2 2 x 4
x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 0
x 2 2 x 4
x 2 x 1 x 1
x2 2
x2 2x 3
x 1 0
x 2 2 x 4 x 1 x 2 2 x 3 0
x 2 x 1
x 2 x 1 0
x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 0
Chú ý: x 1 x 2 x x 3
2
x2
3
2
1 11
x 2 x 0x 2
2
4
x 2 2 0
Vậy phương trình tương đương
x 2 x 1 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 5
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 4: Giâi phương trình:
5x 16
x 1
x 2 x 20 5 5 x 9
Điều kiện xác định: x 5
5 x 16
16
(sau khi đã xét x
không là nghiệm cûa phương trình)
5
5x 9 5
5x 9 5
Chú ý:
Phương trình trên suy ra
x 1
5x 9 5
x 2 x 20
x 1 5x 9 5
x 1
x 2 x 20
x 1 5 x 9 5 x 1 x 2 x 20
2
2 x2 5x 2 5 x 1 x 2 x 20
2 x 2 4 x 5 3 x 4 5 x 4 x 2 4 x 5
x2 4 x 5 x 4 2 x2 4 x 5 3 x 4 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 5: Giâi phương trình:
2 x 2 5 x 2 x 1 x 2 5 7 x 5
Điều kiện xác định: 5 x 5
Phương trình tương đương
2 x 2
5 x 2 2 x 1
2 x 2 1 x x 1
5 x2 2
x2 5 3 0
x 1 x 2 x 2 0
2 x 1
x 2 x 1
2
5 x 2
x2 5 3
0
x2 5 3
x2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 6
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
x 2
x 1
2
2
x 2 5 x 2 x 1 x 5 2 x 5
Xét x 2 5 x 2 2 x 1 x 2 5 2 x 5 kết hợp với phương trình ban đæu ta có hệ
x 2 5 x 2 2 x 1 x 2 5 2 x 5
2 x 2 5 x 2 x 1 x 2 5 7 x 5
Xem
5 x 2 và
x 2 5 là hai èn cûa hệ phương trình bậc nhçt hai èn
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 6: Giâi phương trình:
3
x2 x 1 3 2x2 x 1 6x2 2
Để ý thçy x2 x 1 0 và 2 x2 x 1 0 với mọi x
nên ta áp dụng bçt đẳng thức AM GM
như sau
6x 2 x x 1 2x
2
3
2
3
2
x
x 1
2
x 1 1 1
3
2x
2
x 1 1 1
3
x2 2
Từ đó suy ra 6 x2 2 x2 2 hay x 0
Bài 7: Giâi phương trình:
4 x x 2 x 1 x 2 5x 1
x
2
x 1 2 x 4 4
2
4 x x 2 x 1 x 2 5 x 1 0
Điều kiện xác định:
2
2
x x 1 2 x 4 0
Chú ý: 4 x x2 x 1 x 2 5x 1 0 suy ra x
1
2
Ta bình phương hai vế cûa phương trình để được
x4 2 x3 2 x 9 x 8 8 4 x x 2 x 1 x 2 5x 1
x x3 2 x 2 2 x 7
8x 4 x 2 x 5
4 x x 2 x 1 x 2 5 x 1 2 x 1
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
0
Page 7
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
8 4 x 2 x 5
3
2
0
x x 2x 2x 7
2
2
4 x x x 1 x 5 x 1 2 x 1
Chú ý: x3 2 x2 2 x 7 0 ; 4 x2 x 5 0 và
4 x x 2 x 1 x 2 5x 1 2 x 1 0 với mọi x 1
2
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x 0
Bài 8: Giâi hệ phương trình:
xy x 2 x 2 x 4 x 0
xy x 2 2 x xy 2 3
xy x 2 0
Điều kiện xác định: xy 2 0
x 0
2
y 1
x
Nhận thçy x 0 không là nghiệm cûa hệ nên hệ tương đương
y 2 x
x
Đặt y
x 1 4
2
x y 3
x
a 1 b 1 4
2
và
hệ
tương
đương
s
x
b
a
x
a b ab 3
a b 2 a 1 b 1 14 (*)
a b ab 3
Thế a b ab 3 lên phương trình thứ nhçt cûa (*) suy ra 2 ab ab 4 11 ab
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Câu 9: Giâi hệ phương trình:
4 x 12 y 2 16 y 4 9
2
4
x 1
x y 1 y
x 1 y 2 1 0
Điều kiện xác định: x 0
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 8
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
Đặt:
(sưu tầm và trình bày)
2
4a 12b 16b 9
x a và y b thì hệ tương đương 2
2
a b 1 b a 1 a 1 b 1 0
2
16b2 12b 9
Từ phương trình thứ nhçt cûa hệ ta được a
thế xuống phương trình thứ hai để được
4
256b5 192b4 32b3 148b2 139b 29 0 (*)
2
3
Chú ý: (*) tương đương 256b b 4b3 148b2 139b 29 0b 0
8
3
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
Bài 10: Giâi phương trình:
2 x2 4 x 4 2 x2 x 1 3
Phương trình tương đương
x2 x 2 x2 x2 x 1 3
2
Chú ý:
x2 x 2 x2 x2 x 1 x 2 1 x x 2 1 x 3
2
Vậy x 0 là nghiệm cûa phương trình
Bài 11: Giâi phương trình:
3
x3 5 x 2 14 x 9 x 2
x2 2x 1 1
x3 5 x 2 14 x 9 0
Điều kiện: 2
x 2 x 1 0
3
x3 5 x 2 14 x 9 x 2
x2 2x 1 1
x 2 3 x3 5x 2 14 x 9 2 x 2 2 x 1
x2 2x 1
x 2 x 2 3 x3 5x2 14 x 9 3 x3 5x 2 14 x 9
2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
2
2 x2 2 x 1 0
Page 9
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
x2 2 x 1
x2 2x 1
2
x 2 x 2 3 x3 5 x 2 14 x 9
3
x 3 5 x 2 14 x 9
2
(sưu tầm và trình bày)
2 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 12: Giâi hệ phương trình:
78 y
x
20
2
x y2
y 78 x 15
x2 y2
x3 xy 2 78 y 20 x 2 y 2
Hệ tương đương: 3 2
2
2
y x y 78 x 15 x y
Xét x 0 hoặc y 0 đều không thôa mãn hệ
x 4 x 2 y 2 78 xy 20 x x 2 y 2
Nhån phương trình đæu với x và phương trình hai với y để có hệ 4
2 2
2
2
y x y 78 xy 15 y x y
Trừ vế theo vế:
x 4 y 4 20 15 y x 2 y 2 x 2 y 2 20 x 15 y x 2 y 2 0 x
3
xy 2 20 x2 15xy 0
3
2
2
x xy 20 x 15 xy 0
Ta có hệ: 3
2
2
2
x xy 78 y 20 x y
Lçy phương trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình thứ nhçt, ta được
2 xy 2 15xy 78 y 20 y 2
Hay
2 xy 15x 78 20 y
2 xy 15 x 78 20 y 0
Vậy cuối cùng ta có hệ:
2
2
x y 20 x 15 y 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 13: Giâi phương trình:
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 10
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
1
x 1
(sưu tầm và trình bày)
2 x2 2 x 1 x 1 x x
Phương trình tương đương
1
x 1
2 x2 2 x 1 x 1 x x
x
2 x2 2 x 1 x 1
2x2 2x 1 x 1 x x
x 1 1
x 1 1
2 x 2 2 x 1 x x 1 x 1 x 0
x 2 3x 1
x 2 3x 1
0
2 x 2 2 x 1 x x 1 x 1 x
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 14: Giâi phương trình:
4 x 6 2 x2 3 x3 7 x2 12 x 6
x3 7 x 2 12 x 6 0
Điều kiện:
4 x 6 0
Phương trình tương đương
4 x 6 2 x2 3 x3 7 x2 12 x 6
x2 2
2
x 2
x 2
3
x3 7 x 2 12 x 6 4 x 6 0
0
2
3 3
3
2
2
x 7 x 12 x 6 x 7 x 12 x 6 4 x 6 4 x 6
x3 7 x 2 12 x 6
2
3
3
x3 7 x 2 12 x 6
x
2
2
4x 6
3
2 x 4 14 x3 75 x 2 144 x 90
3 x3 7 x 2 12 x 6 4 x 6 4 x 6 x3 7 x 2 12 x 6
3
4x 6
0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 15: Giâi phương trình:
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 11
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
x 2 4 x 5 5 x3 x 2 x 1 0
Điều kiện: x3 x2 x 1 0 hay x 1
Phương trình tương đương
x 2 4 x 5 5 x3 x 2 x 1 0
x 2 x 5 x 1 x3 x 2 x 1 0
x x
2
5 x 1 x2 x
x 1
x2 1
0
5 x 1
x 2 x 1
0
2
x
1
x
1
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 16: Giâi phương trình:
4
x 4 x3 6 4 x x3 3 2 4 x 2
x 4 x3 6 0
3
Điều kiện: x x 3 0
x 2 0
Đặt
4
x 4 x3 6 a 0 và
4
x x3 3 b 0
Phương trình tương đương
a b 24
4b 4 a 4
4
3 a b 16 4b4 a 4
3
a b 19a3 31a 2b 49ab2 61 0
Vậy a b
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 17: Giâi phương trình:
3
Điều kiện: x
2 x 1 2 x 1 4 4 x2 1 8x
1
2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 12
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
Đặt
(sưu tầm và trình bày)
2 x 1 2 x 1 a 2 suy ra 2a2 4 4 x2 1 8x
Phương trình tương đương 3a 2a 2
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 18: Giâi hệ phương trình:
x
2 6 y y x 2 y
x x 2 y x 3y 2
x 2 y 0
Điều kiện:
x x 2 y 0
Xét y 0 không là nghiệm cûa hệ
Trường hợp 1: y 0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương
2
x
6 2
y
y
x 2
x 2
2
2
y
y
y
y
x 2
6 0
y2 y
2
x
6 2
y
y
x 2
x 2
2
2
y
y
y
y
x 2
6 0
y2 y
Trường hợp 2: y 0
Phương trình thứ nhçt cûa hệ trương đương
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 19: Giâi phương trình:
8 x 1 x 2
1 x
2 2
2 2 x x 3
2 2
1 x2
Phương trình tương đương
8 x 1 x 2
1 x
2 2
2 2 x x 3
2 2
1 x2
2 2 x 4 8 6 2 x3 4 x 2 6 2 8 x 2 2 0
x 1 2 x3 3 2 x 2 5 4 2 x 2 1 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 13
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 20: Giâi phương trình:
x 1
1
2 x 1 2 x 3 2x 2
x 1
Điều kiện: x 1
Cách 1:
Phương trình tương đương
x 1
1
2 x 1 2 x 3 2x 2
x 1
x 1
1
x 1 1
x 1 x 2 3 2x 2 0
x 1
x 1
1
x 2
3 2x 2 0
x 1
x 1 1
x 1
1
x 2
1
x 1
x 1 1
2x 3
x 2
x 1 x 1 1
3
0
2
3
2 x 2 3 2 x 2 1
2x 3
1
x 2 2 x 3
x 1 x 1 1
2x 2 1 0
x 2
0
2
3
3
x 3
2 x 2 2 x 2 1
2
1
Cách 2:
Phương trình
x 1
1
3 2 x 2 0 sau khi liên hợp læn thứ nhçt ở cách 1 còn có hướng
x 1 1
x 1
xử lý sau
Phương trình tương đương
x 1
1
3 2x 2 0
x 1 1
x 1
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 14
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
x 1
1
3 2x 2 0
x
1
x
1
x
1
2 x 1 1
1
1
1
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1
x 1
2 x 3 x 1
2x 3
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1
3
2x 2 1 0
2x 3
3
2x 2
2
2x 2 1
0
3
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 21: Giâi phương trình:
2 3 3 x 3 21 2 x 2
2
x 3
2
x2 3
Phương trình tương đương
2 3 3 x 3 21 2 x 2
2
x 3
2
x2 3
x 3 x 2 3 2 x 2 21 2 3 3 x 3
2
2
x 3 x 3 3 x 2 3 x 1 2 x 2 2 3 3 x 3 3
2
Nhận thçy x 3 không là nghiệm nên phương trình tương đương
x 1
3
2 x 1
3
3
23
x 1
x3
x3
3
3
3
x x 2 2 0
x3
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 22: Giâi phương trình:
1 2 x2 9 x 18 x x2 14 x 53
x 6
Điều kiện:
x 3
Phương trình tương đương
1 2 x2 9 x 18 x x2 14 x 53 (1)
x 1
x 2 14 x 53 2 x 2 9 x 18 0
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 15
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
x 1 1
Xét 1
(sưu tầm và trình bày)
0
x 2 14 x 53 2 x 2 9 x 18
19 3x
19 3x
x 14 x 53 2 x 9 x 18
2
2
0 x2 14 x 53 2 x2 9 x 18 19 3x 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) để giâi ...
Bài 23: Giâi phương trình:
x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x2 1
Điều kiện: x 1
Chú ý:
x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1
x2 x3
x 2 1 5 x 1
x2 1
Vậy, x 1
Bài 24: Giâi phương trình:
2 x3 x2 4 x 1 x2 3x2 2 x 15x2 2 x
Điều kiện có nghiệm: 2 x3 x2 4 x 1 0 x
1
4
Phương trình tương đương
2 x3 x2 4 x 1 x2 3x2 2 x 15x2 2 x
x2
3x 2 2 x x 1
15 x 2 2 x 4 x 1 0
x2
1
x 2 6 x 1
0
2
15 x 2 2 x 4 x 1
3x 2 x x 1
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 25: Giâi hệ phương trình:
3 x 3 y 3 3 y x
x
y
y
x
xy xy 1
2
3 y 1 2 x 1 1 x 2 y x 1 2 x 2
Phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 16
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
3
xy 3
x y
xy xy 1
x y
3xy 3 xy
x y
x y
(sưu tầm và trình bày)
xy
x y
xy
xy 1
Xét 3xy 3 xy x y xy xy 1 tương đương
xy
xy 1 2 x
y 1 xy
xy 2
Chú ý 1 xy xy 2 xy xy 1 2 x y xy xy 1 2 2 4 xy
Suy ra 1 t 4 t 2 2 t 4 t 2 1 2 2t với t
4
xy
Hay t t 12 2t 2 t 2 0 (vô lý) t 1
x 1
, nếu xy 1 thì x y 1
0 y 1
x 1 2 y 0
x 1
Điều kiện rút ra từ phương trình thứ hai:
2
(không thôa mãn)
Vậy x y thế xuống ta được
3x 1
2x 1 1 x
1 x 2 x 1 2 x 2
2 x 1 3x 1 x 2 x 1 2 x 1 1 1 x 0
2x 1
1 x 2x 1
2x 1 1 1 x 2 x 1 1 1 x 0
2 x 1 1 1 x 2 x 2
1 x 2 x 1 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 26: Giâi phương trình:
x2 2 x 5 4 2 x 4 x 1
Điều kiện:
Chú ý:
5
1
x 2 . Điều kiện có nghiệm thì x 2
2
4
2x 5 4 2x
2 x 5 4 2 x 3
Suy ra 4 x 1 x2 3 hay x 2 0 x 2
2
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 17
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 27: Giâi phương trình:
3x 1
Điều kiện: x
2 x 2 5 x 7 3x 2 2 x 4 4 x 3 0
3
4
Đặt f x 3x 1 2 x 2 5x 7 3x 2 2 x 4 4 x 3
Xét x 4 thì f x 0
Xét 2 x 4 thì f x 3x 1 2 x 2 6 2 4 x 4 x 3 7 6 6 16 0
3x 2 5
2x 2
3
3
Xét x 2 . Ta có các bçt đẳng thức sau
4
4 x 3 4 3x 2 1
3
3x 2 5
4 3x 2 1
5 x 7 3x 2 2 x 4
0 x 1
3
3
Suy ra f x 3x 1
Bài 28: Giâi phương trình:
x2 x 6 2 x 3. 3 x 5
Điều kiện: x
3
2
Phương trình tương đương
x2 x 6 2 x 3. 3 x 5
x 2 x 6 x 1 2 x 3
1
2
2x 3
3
x 5 x 1
2 x 3 3 x 5 x 1 2 x 3
x 3 x 5 x 1
2
2x 3 3
2 x 3
x 3 x 2 2
3
x 5 x 1 3 x 5 x 1
2
x 3 x 2 2
3
2x 3
2x 3
x 5 x 1 x 5 x 1
2
3
2
2
0
0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 18
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 29: Giâi hệ phương trình:
2 2 x y 3 x y 1
5
4
x 10 y 21 3 y 2 3
Đặt
2a 3b 1
5
4
x y b , hệ tương đương
3
2
2
a 2 2b 2 2
3a 7b 21
2x y a và
Thế a
8
10
3b 1
3
xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta được
b3 b9
2
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Bài 30: Giâi hệ phương trình:
x 2 x y 3 y 2 2 0
4
3
2
x
x x 3x 4 6 x 4
1
2 2
y
y4
y y
y
Xét y 0 không phâi là nghiệm cûa hệ, phương trình thứ nhçt cûa hệ tương đương
2
x
x 2
3x
2 1 2
y y
y
y
Hệ tương đương
2
x
x 2
3x
2 1 2
y
y y
y
4
3
2
x x 3x 4 6 x 4
x
1
2
y
y2
y4
y y
4
3
2
Thế phương trình thứ nhçt xuống ta được x 2 x 2 x x 6 x 4 4 22 0 (*)
y
y
y
y
y
y
2
Đặt x x a và
y
y
2
1 b thì (*) trở thành
y2
a 2 ab 2b2 0
Đến đåy bän đọc tự giâi ...
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 19
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY
(sưu tầm và trình bày)
Bài 31: Giâi hệ phương trình:
9 1
4
4
x2 y 2 2 y x
3x y 2 x 4 y 4
9 1
4
4
x2 y 2 2 y x
Hệ tương đương
3x y 2 x 4 y 4
2 x
2 x4
4
4
4
9x 2 2x4 y 4 x4
9
x
2
x
y
x
y
y2
9 x 2 y 2 4 y x 2 y 4 4 x 4 y 4
3x y 2 x 4 y 4
4
Trừ vế theo vế để được
2
2
x4
2x4 y 4 x4 y 2 4 y x2 y 4 4 x4 y 4
2
y
2
Hay x 4 y 4 1 32 x 4 y 2 4 y 2 x 4 y 4 4 y 2 0 x 4 y 4 2 y 3 1 36 x 4 y 2 0
x 4 y 4 0
Trường hợp 1:
hay x y 0 (vô lý)
4
4
3
x
y
2
x
y
3
2
2 y 1 6 x y 0
Trường hợp 2:
4
4
3x y 2 x y
2 y 1 6 x y 0
3
2
4
4
3x y 2 y 6 x y 2 x y
3
2
3
2 1
x
2 y 1 6 x y 0
2 y 6 x y 1
2
3
2 2
4
2
3
3x 6 x y 2 x
2 x 6 xy 3
y 2 1
2
3
2
3
2
3
2
2 y 3 1 6 x 2 y 0
2 y 6 x y 1
Trường hợp 3:
3
4
4
2
2 x 6 xy 3
3x y 2 x y
Đặt z x yi , ta suy ra x3 3xy 2 3x 2 y y 3 i z 3
3 i
2 2
i
3
Ta có: 3 i 10
10 cos i sin với 2 ;0
10
10
z3
10
5
k 2
k 2
i sin
cos i sin z 6 cos
với k 0,1, 2
2
2
3
3
Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
25 
59 
73 
