Tài liệu Tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy

1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o trêng ®¹i häc vinh NguyÔn ThÞ HiÒn T¬ng ®¼ng orthodox trªn c¸c nöa nhãm chÝnh quy LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Vinh - 2010 2 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o trêng ®¹i häc vinh NguyÔn ThÞ HiÒn T¬ng ®¼ng orthodox trªn c¸c nöa nhãm chÝnh quy LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ngêi híng dÉn khoa häc PGS.TS. Lª Quèc H¸n Vinh – 2010 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu.......................................................................................……………2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................4 1.1 Các quan hệ trên một tập.............................................................................4 1.2 Nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược............................................................7 3 1.3 Tương đẳng trên nửa nhóm ngược............................................................10 Chương 2. Tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy..................15 2.1. Tương đẳng trên các nửa nhóm chính quy...............................................15 2.2. Các tương đẳng orthdox trên một nửa nhóm chính quy và tương đẳng trên các nửa nhóm orthodox.....................................................................18 Kết luận..............................................................................................................30 Tài liệu tham khảo.............................................................................................31 4 LỜI NÓI ĐẦU Tương đẳng là một vấn đề được nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy. Năm1954, G. B. Pretơn đã chứng minh được rằng mỗi tương đẳng trên nửa nhóm ngược S hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập con chứa luỹ đẳng đặc biệt của S mà ông còn gọi là hệ hạt nhân của S. Năm 1986, F. Pastijn and M. Petrich 1986 đã mô tả các tương đẳng trên nửa nhóm chính quy theo hạt nhân và vết của chúng. Dựa trên bài báo “Orthodox Congruences on regular semigroups” của Gracinda M. S. Gomes đăng trên tạp chí Simegroups Forum 37 (1988) kết hợp với các kết quả trên nửa nhóm chính F. Pastijn và M. Petrich (1986), chúng tôi trình bày một cách có hệ thống và chứng minh một số kết quả mô tả tương đẳng orthodox trên nửa nhóm chính quy của orthodox. Từ đó đi sâu vào khảo sát một trường hợp riêng khi bản thân S là một nửa nhóm orthodox. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cở sở về các quan hệ trên một nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược, tương đẳng trên nửa nhóm ngược. Chương 2. Tương đẳng orthodox trên nửa nhóm chính quy và tương đẳng trên nửa nhóm orthodox . Đây là nội dung chính của luận văn Tiết1. Trình bày chi tiết kết quả mô tả tương đẳng trên các nhóm chính quy với một số cải tiến nhỏ. Tiết 2. Tìm hiểu đặc trưng tương đẳng orthodox X trên nửa nhóm chính quy và đặc trưng các tương đẳng tuỳ ý trên nửa nhóm orthodox. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác giả xin được gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS. TS. Lê Quốc 5 Hán, cùng các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn . Vinh, ngày 2 tháng 11 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1. NHÓM CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP 1.1.1. Định nghĩa. Ta hiểu quan hệ hai ngôi trên một tập X là một tập con  của tích Đềcác X  X của tập X với chính nó. Nếu (a, b)   , trong đó a và b là các phần tử thuộc tập X, thì ta cũng sẽ viết a  b và nói a nằm trong quan hệ  với b. Nếu  và  là các quan hệ trên X, thì cái hợp thành    của chúng được định nghĩa như sau: (a, x)   và ( x, b )   (a, b)     nếu tồn tại phần tử phép toán hai ngôi ( ) x X , sao cho là kết hợp. Thật vậy, nếu  ,  và  là các quan hệ trên X, thì mỗi một trong các điều khẳng định (a, b)  (   )   và (a, b)    ( ) định rằng tồn tại các phần tử ( x, y )  X tương đương với điều khẳng sao cho (a, x)   , ( x, b )   và ( y , b)   . Do đó Bx tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với phép toán ( ) . Ta sẽ ký hiệu t là quan hệ bằng nhau (hoặc đường chéo của tập X  X), cụ thể là ( a, b )  t khi và chỉ khi a  b . Hiển nhiên, t là đơn vị của nửa nhóm Bx. Quan hệ ngược khi và chỉ khi  1 (a, b)   của quan hệ  được định nghĩa như sau: (a, b)   1 . Chú ý rằng (  1 ) 1   , (    ) 1   1  1 . Nói cách khác, ánh xạ    1 là phản đẳng cấu đối hợp của nhóm Bx. Hệ thức    có nghĩa là  là tập con của  . Điều đó tương đương với mệnh đề: a  b kéo theo a  b. Vì Bx gồm tất cả các tập con của tập X  X, nên ta có thể thực hiện trong Bx các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và lấy phần bù. 1.2.1. Định nghĩa. Ta nói quan hệ  là đối xứng nếu là phản xạ nếu t   và là bắc cầu nếu     .    1 (và do đó    1 ), Quan hệ  trên tập X được gọi là quan hệ tương đương, nếu nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Quan hệ tương đương tùy ý trên X là một lũy đẳng của nửa nhóm Bx. 7 Nếu  là một quan hệ tùy ý trên tập X và a  X , thì ta đặt và a   x  X ax a   x  X xa . Nếu  là quan hệ tương đương thì: (1) a  a với mỗi a  X và (2) Từ a  b   suy ra a  b . Như vậy, họ các tập a , trong đó a  X là một phân hoạch của tập X, tức là các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X; ta ký hiệu họ đó là X / . Ta gọi a là lớp tương đương của tập X theo mod  chứa a. Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương đương  mà P = X / , cụ thể a  b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân hoạch P. Ta gọi ánh xạ a  a là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập X lên X / t . Nếu  là một quan hệ tùy ý trên X, thì ta định nghĩa bao đóng bắc cầu của quan hệ  bằng cách đặt   t  U  n    (  )  (  )  ... n 1 Hiển nhiên t là bắc cầu và được chứa trong mỗi quan hệ bắc cầu trên X chứa  . Nếu  là quan hệ tùy ý trên X, thì quan hệ 1    1  t là quan hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X chứa  . Bao đóng bắc cầu   1t của quan hệ 1 là quan hệ tương đương trên X chứa  . Ta gọi  là quan hệ tương đương trên X sinh bởi  . Giao của một tập tùy ý các quan hệ tương đương. Mệnh đề tương đương đối với hợp theo lí thuyết tập không đúng ngay cả trong trường hợp hai quan hệ. Ta định nghĩa hợp    của hai quan hệ tương đương  và  là quan hệ tương đương sinh bởi    , tức là    là bao đóng bắc cầu của quan hệ    . 1.1.3. Bổ đề. Nếu  và  là các quan hệ tương đương trên tập X và    , thì  cũng là quan hệ tương đương trên X và      . Chứng minh. Vì hiển nhiên  được chứa trong    nên chỉ còn phải chứng tỏ rằng  là quan hệ tương đương. Từ bao hàm thức t     suy ra rằng quan hệ  là phản xạ, còn đẳng thức 8 (  ) 1   1 1     chứng tỏ  đối xứng, cuối cùng (    ) (    )                     tức là   bắc cầu. 1.1.4. Chú ý. Nếu  là một quan hệ trên X sao cho x  1 với mỗi x  X , thì ta có thể đồng nhất các tập x gồm một phần tử với phần tử duy nhất của nó và coi  như phép biến đổi x  x của tập X. Nếu  là một quan hệ khác thuộc loại đó trên X thì   cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra   trùng với cái hợp thành của  và  coi như các phép biến đổi của tập X. Trong trường hợp đó   bằng cái hợp thành của  và  . Như vậy Bx chứa Zx như một nửa nhóm * con và cũng chứa nửa nhóm con  x phản đẳng cấu với Zx. Giả sử  là ánh xạ từ tập X vào tập X'. Thế thì  có thể coi như quan hệ x  X' ta có trên tập X  X ' . Với mỗi x '  1   x  X x  x ' . Cái hợp thành   1 được chứa trong X  X, thành thử nó có thể coi như một quan hệ trên X và ta thấy ( x, y )    1 khi và chỉ khi x  y . Từ đó rõ ràng rằng   1 là một quan hệ tương đương, và  cảm sinh một cách hiển nhiên một ánh xạ mộtmột từ X /   1 lên X . Ta gọi   1 là quan hệ tương đương trên X được cảm sinh một cách tự nhiên bởi  . 1.2. NỬA NHÓM CHÍNH QUY, NỬA NHÓM NGƯỢC 1.2.1. Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính quy nếu a  aSa hay nói cách khác: a  axa với x  S . Nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu với mỗi phần tử của nó là chính quy. Nếu axa  a thì e  ax là một lũy đẳng, hơn nữa ea  a . Thật vậy: e 2  ( ax )(ax )  (axa) x  e và ea  axa  a . Tương tự f = xa cũng là một lũy đẳng của S và af = a. Ta cũng có chú ý rằng nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì iđean chính phải aS 1  a  aS sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a  aS. Tương tự S 1a  Sa . 9 1.2.2. Bổ đề. Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng nào đó, tức là aS1=eS1 (S1a=S1e). Chứng minh. Nếu a là chính quy thì axa = a với x nào đó thuộc S và e = ax là phần tử lũy đẳng của S mà ea = a. Do đó aS1 = eS1. Đảo lại, giả thiết rằng aS 1 = eS1 và e2 = e. Khi đó e = ex với x nào đó thuộc S, vì vậy ea = e2x = ex = a, e = ay với y nào đó thuộc S 1, nên a = ea = aya. Nếu y=1 thì a = a2 với a = aaa. Do đó mọi trường hợp a  aSa . Tức là a chính quy. 1.2.3. Định nghĩa. (i) Hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S được gọi là ngược nhau nếu aba = a và bab = b, (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của nó có một phần tử ngược duy nhất. Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửa nhóm S, (đặc biệt khi S là một nhóm ) thì a, b là ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm với nghĩa thông thường. Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngược với nó thì a là chính quy. 1.2.4. Bổ đề. Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa=a với x  S , thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax. Chứng minh. Giả sử b = xax, thế thì: aba = a (xax) a = ax (axa) x = xax = b. Do đó b ngược với a. 1.2.5. Bổ đề. Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau. Chứng minh. Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán với nhau thuộc một nửa nhóm S và e = ab (= ba). Khi đó e là lũy đẳng, hơn nữa ea = ae = a và eb = be = b. Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e. Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm He. Mệnh đề đảo là hiển nhiên. Một phần tử chính quy có thể có một số phần tử ngược với nó. Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó có mỗi phần tử ngược duy nhất. Hiện nay các nửa 10 nhóm ngược hợp thành lớp các nửa nhóm có nhiều triển vọng nhất cho việc nghiên cứu vì chúng khá gần các nhóm. 1.2.6. Bổ đề. Nếu fe e, f , ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và ngược nhau. Chứng minh. Ta có: (ef )( fe )(ef )  ef 2 e 2 f  effe  (ef ) 2  ef ( fe )( fe )( fe)  fe . Tương tự . 1.2.7. Định lý. Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là tương đương: (i) S là chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau; (ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất; (iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất). Chứng minh. (i)  (ii) Theo Bổ đề 1.2.2, mỗi iđêan chính phải của S có ít nhất phần tử sinh lũy đẳng. Giả thiết rằng e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức là eS = fs. Khi đó ef = f và fe = e. Nhưng theo (i), ef = fe nên e = f. (ii)  (iii) Theo Bổ đề 1.2.2, nửa nhóm S chính quy. Chỉ cần chứng minh sự duy nhất của phần tử ngược. Giả sử b và c ngược với a. Khi đó aba = a, bab = b, aca = a, cac = c. Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca = Sa = Sca nên ab = ac và ba = ac (theo (ii)). Do đó b = bab = bac = cac = c. (iii)  (i) Rõ ràng một nửa nhóm ngược thì chính quy. Chỉ còn phải chứng tỏ rằng hai lũy đẳng bất kỳ giao hoán với nhau. Trước hết ta phải chứng minh tích ef của hai lũy đẳng e và (af) a (ef) = a. Đặt d = ae. Thế thì: (ef) b (ef) = efae2f = efaef = ef. b(ef)b = ae2fae = aefae = ae = b. Do đó e cũng là phần tử ngược của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a. Tương tự có thể chứng minh rằng f a = a. Do đó a2 = (ae) (fa) = a (ef)a= a. Nhưng một lũy đẳng là phần tử ngược với chính nó và lại dùng điều kiện (iii). Ta kết luận a = ef. Như vậy ef là lũy đẳng. Bây giờ giả sử e và f là hai lũy 11 đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef và fe cũng lũy đẳng. Theo Bổ đề 1.2.6 chúng ngược nhau. Vậy ef và fe đều ngược ef, do đó ef = fe. 1.2.8. Bổ đề. Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngược S có các hệ thức (a-1)-1= a và (ab)-1=a-1b-1. Chứng minh. Hệ thức thứ nhất là hiển nhiên, ta chứng minh hệ thức thứ hai. Ta có (ab) (b-1a-1) (ab) = a (b b-1) (a-1 a) (b b-1) b = a (a-1 a) (b-1 b) b = ab, (b-1a-1) (ab) (b-1a-1) = b-1(a-1 a) (bb-1) a-1 = b-1 (bb-1) (a-1 a) a-1 = b-1 a-1. Do đó b-1a-1 ngược với ab. 1.2.9. Bổ đề. Nếu e và là các lũy đẳng của nửa nhóm ngược S thì f Se  Sf  Sef (  Sfe) . Chứng minh. Nếu a  Se  Sf thì ae = af = a nên aef = af = a. Vì vậy a  Sef . a  Sef (  Sfe) Đảo lại, nếu a  Sef (  Sfe) thì aef  afe  a thì aef = afe = a từ đó ae = af = a, tức là từ đó ae  af  a , tức là a  Se  Sf . 1.3.TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC 1.3.1.Tính di truyền của ảnh 1.3.1.1. Bổ đề. Giả sử S là nột nửa nhóm ngược và  : S  P là một đồng cấu nửa nhóm. Thế thì  ( S ) là một nửa nhóm con ngược của P. Chứng minh. Vì  ( x) =  ( xx 1 x )   ( x) ( x 1 ) ( x) nên  ( S ) là một nửa nhóm chính quy. Giả sử g , h  E ( S ) . Khi đó tồn tại e, f  E ( S ) sao cho g   ( E ) và h   ( f ) . Khi đó tồn tại e, f  E ( S ) sao cho g   (E) và h  ( f ) . Do đó gh   (e) ( f )   (ef )   ( fe)  hg theo luỹ đẳng của  ( S ) giao hoán . Từ đó  ( S ) là nửa nhóm con ngược của P. 1.3.1.2. Hệ quả. Nếu  là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S thì S  là một nửa nhóm ngược. 1.3.1.3. Hệ quả. (i Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược. Thế thì: 1 xy  x 1  y  x, y  S  , (ii Giả sử  : S  P cấu đồng cấu từ nửa nhóm ngược S lên nửa nhóm ngược P. Thế thì:  ( x )    x  , xS 1 1 12 ker( ) :  x  S x e . Một nửa nhóm con T của nửa nhóm ngược S gọi là một nửa nhóm con ngược nếu đối với mọi x T, có x 1 T trong đó x 1 là phần tử ngược của x trong S. Chú ý rằng không phải là nửa nhóm con của một nửa nhóm ngược đều là nửa nhóm con ngược. 1.3.1.4. Bổ đề. Giả sử A là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S. Thế thì A là một nửa nhóm con ngược của S nếu và chỉ nếu x 1  A với mọi x A. 1.3.1.5. Hệ quả. Giả sử  : S  P là một đồng cấu từ nửa nhóm ngược S vào nửa nhóm P. Nếu e  E(P) thì  1 (e) là một nửa nhóm con ngược của S. Chứng minh. Nếu  ( x)  e   ( y ) thì  ( xy )   ( x) ( y )  e.e  e 2  e nên xy  1 (e) . Vậy  1 (e) là một nửa nhóm con của S. 1 Nếu x   1 (e) thì  ( x)  e nên  ( x )    x   e 2  e . Do đó  1 (e) là nửa 1 nhóm con ngược của S. Với mỗi iđêan I của nửa nhóm S, kí hiệu S  I là thương Rees và S được gọi là một mở rộng iđêan của I bởi S  I. 1.3.1.6 Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S. Khi đó S là một thương Rees và S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu I và S  I là các nửa nhóm ngược. 1.3.2. Hạt nhân và vết Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S chứa luỹ đẳng. Khi đó ta định nghĩa hạt nhân của  là tập: Ker () =  xS x  e với eE(S) nào đó  và vết của  là tập tr () =  (e ,f)  e, f  E(S) . 1.3.2.1. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm ngược ,  và  là các tương đẳng trên S. Thế thì      e  E(S): e  e. Chứng minh. Một chiều khẳng định là hiển nhiên. 13 Giả sử e  e ,  e  E(S). Thế thì: x  y  xx  yx 1  xx 1  yx 1  x  x 1 x x  y  x 1 x  x 1 y  x 1 xy  x 1 y  yx 1 x 1 y và do đó x  y  x yx 1 (1) mặt khác x  y  x 1  y 1  x 1 y  y 1 y  yx 1 y  y (2). Từ (1), (2) có x  y . Từ đó    . 1.3.2.2. Hệ quả. Giả sử  và  là các tương đẳng trên nửa nhóm ngược S. Thế thì:  =    e  E (S) : e  = e  . 1.3.2.3. Định lý. (Định lý Vagner). Giả sử  và  là các tương đẳng trên nửa nhóm ngược S. Thế thì : =  ker () = ker ()  tr () = tr () Nói cách khác, nếu  : S  P và  : S  T và các toàn cấu của nửa nhóm ngược S thì ker() = ker() nếu và chỉ nếu với mọi x S, e, f  E ( S ) có: (x)  E(P)  (x)  E(T),  ( e)   ( f )   ( e)   ( f ) . . Chứng minh. Một chiều khẳng định là hiển nhiên Giả sử ker() = ker() và tr() = tr() . Nếu e  E (S) có: e  x   f  E(S) : f  xe x  f x 1 = f x x 1 . Như vậy e  f và f  x đúng, nên e  x do đó e   e  .Tương tự e  = e . Từ đó  =  theo Hệ quả 1.3.2.2.  1.3.3.1. Bổ đề. Giả sử S là nửa nhóm ngược , x S và eE(S) .Thế thì x 1ex  E ( S ) . Với mỗi tương đẳng  trên nửa nhóm ngược S , chúng ta thu được một tương đẳng  bằng cách min Định nghĩa: x min y   e  E(S) :x e = y e , x 1 x  e và y 1 y e . 14 1.3.3.2. Định lý. Đối với mỗi tương đẳng  trên nửa nhóm ngược S, min là tương đẳng bé nhất có vết bằng tr (). Chứng minh. Thật vậy giả sử x min y và e  E(S). Sao cho xe=ye. Khi đó x S có z 1ez : f  E ( S ) theo Bổ đề 1.3.3.1 và xzf  xzz 1ez  xezz 1 z  yezz 1 z  yf . Hơn nữa ( xz ) 1 xz = z 1 x 1 xzp z 1 ezp z 1 y 1 yz nên xz  min yz. Mặt khác xe = ye kéo theo e 1 1 x 1 =e y . Bằng cách nghịch đảo cả hai vế, và sử dụng điều đó có ( xz ) xz = x 1 z 1 xz = x 1 x x 1 xze x 1 z 1 xz; ( yz )1 zy = y 1 z 1 zy = y 1 y y 1 z 1 zy y 1 ye y 1 z 1 zye = e x 1 z 1 zex e x 1 z 1 zx x 1 x = e x 1 z 1 zx điều đó chỉ ra rằng zx  min zy, vì e x 1 z 1 zx là một luỹ đẳng trên S. Do đó min là một tương đẳng trên S. Ta chứng minh tr ( min ) = tr (). Giả sử g , f  E(S), f min g   eE: fe = ge, f e, g  e  f  g. Mặt khác giả thiết f  g. Khi đó, đối với e = fg có fe = ffg = fg = fgg = gfg = ge, và rõ ràng f  e, g  e. Do đó f min g nên tr ( min ) = tr () . Cuối cùng cần chứng tỏ rằng min là tương đẳng bé nhất có tính chất trên. Thật vậy, giả sử  là một tương đẳng tuỳ ý trên S với tr( min ) = tr(). Khi đó, x, y  S mà x min y,  e  E(S): xe = ye và x x 1  e, y 1 y e. Khi đó x 1 x e, y 1 y e  x  y và dó đó  min  . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Nói riêng, ta có min với mọi tương đẳng  trên S. 1.3.3.3. Định nghĩa. Tập A =  Ai  I  được gọi là hệ hạt nhân chuẩn của một nửa nhóm ngược S nếu ( k1 ) Mỗi Ai là một nửa nhóm con ngược của S, ( k2 ) Ai  Aj =  khi i  j, ( k3 ) Mỗi luỹ đẳng của S chứa trong Ai nào đó thuộc A, ( k4 ) Đối với bất kỳ a S và iI tồn tại j I sao cho a Ai a  Aj , ( k5 ) Nếu a, ab ,b b 1  Ai . 15 Giả sử  là đồng cấu của nửa nhóm S. Tập các luỹ đẳng của nửa nhóm S được gọi là hạt nhân của đồng cấu  và của tương đẳng , trong đó  là tương đẳng hạt nhân của  được xác định bởi (a, b)    ( a )  ( b ) (a ,b) S. 1.3.3.4. Bổ đề. Giả sử  là một tương đẳng của nửa nhóm S. Thế thì hạt nhân của tương đẳng  là hệ hạt nhân chuẩn của nửa nhóm S. Chứng minh. Giả sử A =  Ai  i I là tập các luỹ đẳng của S nghĩa là A là hạt nhân của tương đẳng . Ta cần chứng minh A thoả mãn k1 - k5 . Ta thấy ngay điều kiện k2 thoả mãn suy từ điều kiện 1.3.1.5. Ký hiệu  là ánh xạ tự nhiên từ S lên S. Mỗi luỹ đẳng thuộc S qua ánh xạ  được biến thành một luỹ đẳng của S từ đó suy ra điều kiện k3 . Điều kiện k4 là hiển nhiên. Ta còn thử điều kiện k5 . Giả sử a, ab, a b 1  Ai với i I nào đó. Thế thì  (a) =  (a)  (b) = b 1  (b)  ( b 1 ) = Ai . Là một luỹ đẳng của S nên 1 Bổ đề 1.3.1.1 có  ( b 1 ) =  (b)  . Từ đó suy ra  (b) =  (b) (  (b)) 1  (b)   =  (a)  (b) = Ai . Như vậy b  Ai . Điều đó chứng tỏ rằng điều kiện k5 , cũng được thoả mãn.  16 CHƯƠNG 2 TƯƠNG ĐẲNG ORTHODOX TRÊN CÁC NỬA NHÓM CHÍNH QUY 2.1. Tương đẳng trên các nửa nhóm chính quy Trong [6] Partijn và Petrich đã mô tả được trên một nửa nhóm chính quy S dựa trên khái niệm hạt nhân và vết của chúng. Các cận của họ được hiểu rõ ràng ngắn gọn: mỗi tương đẳng ( K ,t ) trên S được xác định bởi cặp tương đẳng nào đó. 2.1.1. Ký hiệu. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy và E = E(S) là tập các lũy đẳng của S. Theo Bổ đề 1.1.3, E  . Giả sử a  S. Ký hiệu: V(a) = x S axa = a, xax = a là tập hợp tất cả các phần tử ngược của a. Nếu S chính quy thì V(a)   với mọi aS. 2.1.2. Ký hiệu. Nếu nửa nhóm chính quy và e, f  S chúng ta quan tâm đến đặc trưng sau đây của tập đệm S (e, f ) được định nghĩa bởi: Se ,f   gS ge = g = fg, egf = ef . Trong tiết này chúng tôi sẽ sử dụng kết quả sau đây: 2.1.3. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy, a, b  S và a Va , b Vb , g Saa,bb). Khi đó bgaV(ab). 2.1.4. Định nghĩa. Nếu S là một nửa nhóm chính quy và A là một lớp của nhóm chính quy, chúng ta nói rằng một tương đẳng  trên S là A - tương đẳng trên S nếu S là một A - nửa nhóm. 17 2.1.5. Định nghĩa. Giả sử  là một tương đẳng trên một nửa nhóm chính quy S. Tập hợp con: a S : a f E(S) của S được gọi là hạt nhân của  và được ký hiệu là ker(). Thu hẹp của S trên S được gọi là vết của  và được kí hiệu là tr ( ) . Thu hẹp của  trên nửa nhóm con E(S) sinh bởi các lũy đẳng của S được gọi là siêu vết của  và được kí hiệu là htr ( ) . Chú ý rằng vì E(S) là một nửa nhóm con của S nên quan hệ hai ngôi htr ( ) là một tương đẳng trên E(S) (nửa nhóm con E(S) thường được biết đến như lõi của S). Theo Bổ đề Lallement xem [2], với mỗi tương đẳng  trên nửa nhóm chính quy S, ta có: Ker()   a S : (  eS a,e . Kết quả sau đây của Pastijn và Petrich [6,2.6 và 2.10]. 2.1.6. Bổ đề. Nếu S là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S, thế thì (a, b)   nếu và chỉ nếu ( a  V( a )) ( b  V(b)), a b  Ker(), ( aa ,bb)  trong S/  , (aa ,bb)   trong S/  . 2.1.7. Nhận xét. Trong bổ đề trên chúng ta có thể thay "tồn tại" bởi "với mọi" và " a ' b  ker( ) " bởi ab' ker( ) . Từ đây về sau, S là nửa nhóm chính quy trừ khi có phát biểu khác. Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ rằng Bổ đề 2.1.6 có thể được đơn giản hóa để đưa đến một cách diễn đạt ngắn hơn đối với  . 2.1.8. Bổ đề . Giả sử  là một tương đẳng trên S. Giả sử a, b  S và giả thiết rằng (  a  V(a) ) (  b  V(b) ) sao cho a b  Ker() và hoặc (aa ,bb aa)   hoặc (bb,aabb )   thế thì b a  Ker(). Chứng minh. Giả sử rằng a, b  S và ab  Ker() đối với a V(a) nào đó. Nếu (aa ,bbaa)   đối với bV(b) nào đó thì ( ba,babbaa ) và do đó 18 ( ( ba )  ) 2 = ( baba )  = ( babbaa. babbaa )  = ( babba . ab. ab. baa )  = ( babba .ab .baa )  = ( ba aa )  = ( ba ) . Vì (ab)   E( S  và ( aa ' , bb' aa ' )   . Do đó ba ' ker( ) . Nếu bây giờ chúng ta giả sử rằng ( bb, aabb    với b V(b) nào đó thì ( ba,aaba    và do đó ( ( ba ) ) 2 = ( baba )  = ( aaba. aaba )  = ( a. abab. a )  = ( aaba)  = ( ba )  và do đó b a Ker (  ). 2.1.9. Mệnh đề. Nếu  là một tương đẳng trên S thế thì đối với mọi a, b  S có (a, b)   nếu và chỉ nếu (  a V(a) ) ( b V(b) ab  Ker ( ), ( aa,bbaa )   , ( bb, bbaa )   . Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 2.1.6. Đảo lại, giả sử a, b  S sao cho đối với  a V( a ) ,  b V(b) nào đó có ab  Ker () , ( aa,bbaa )   và ( bb,bbaa )   . Thế thì a = b . b .a , b = (ba)  . a trong đó (ba)   E(S). Theo Bổ đề 2.1.8 Giả sử t  S ((ba ' ) , ( aa ' ) ) . (*) Thế thì x = a .t .(ba)   V(b). Thế thì do (*) có b x a = (ba) t (ba) aaa = (ba) a = b. Cũng vậy b b = b. x b b vì x là phần tử ngược của b . Do đó a = b b a = b b b b a = b x a = b. là điều đòi hỏi. 2.1.10. Chú ý. Trong mệnh đề 2.1.9, chúng ta có thể thay thế "tồn tại" bởi "đối với mọi". 19 2.2. CÁC TƯƠNG ĐẲNG ORTHODOX TRÊN CÁC NỬA NHÓM CHÍNH QUY VÀ TƯƠNG ĐẲNG TRÊN CÁC NỬA NHÓM ORTHODOX Trong Mệnh đề 2.1.9, chúng tôi đã trình bày lại kết quả một tương đẳng  trên nửa nhóm chính quy S bởi hạt nhân và siêu vết của nó, các kết quả có thể trình bày như sau: Nếu  là một tương đẳng trên S , thế thì đối với mọi a, b  S , a, b   nếu và chỉ nếu: ( a  V(a)) ( b  V(b)) ab  Ker(), ( aa ,bbaa )  htr () và ( bb, bb aa )  htr (). Sau đây chúng tôi sẽ chứng minh chi tiết kết quả : một tương đẳng orthodox trên S hoàn toàn được xác định bởi một cặp tương đẳng orthodox duy nhất đối với S, (  , K) gồm một nửa nhóm con K của S và một tương đẳng  trên E(S) thỏa mãn các tính chất nào đó. Trước hết ta có các định nghĩa sau: 2.2.1. Định nghĩa. (i Nửa nhóm chính quy S được gọi là nửa nhóm orthodox nếu tập tất cả các lũy đẳng của S tạo thành một nửa nhóm con của S. (ii Tương đẳng  trên nửa nhóm chính quy S được gọi là tương đẳng orthodox nếu nửa nhóm thương S là nửa nhóm chính quy. 2.2.2. Định nghĩa. Một tập con K của S được gọi là nửa nhóm con chuẩn tắc của S nếu nó là nửa nhóm con chính quy của S sao cho E(S)  K (nghĩa là K là đầy), và đối với mọi a S và a  V(a) có aKa '  K (nghĩa là K là tự liên hợp). Năm 1982, LaTorre đã chứng minh được rằng: một nửa nhóm con chuẩn tắc K của S luôn luôn là nửa nhóm chính quy hoàn toàn, nghĩa là đối với mọi aK , có V(a)  K. 2.2.3. Định nghĩa. Một tương đẳng  trên nửa nhóm con E(S) của S được gọi là chuẩn tắc nếu đối với mọi x, y  E(S), a S và a V(a) có ( x, y )    (a ' xa, a ' ya )   trong trường hợp axa, aya  E(S). 20 2.2.4. Định nghĩa. Một cặp (  , K) gồm một tương đẳng chuẩn tắc  trên E(S) sao cho E(S)   là một băng và một nửa nhóm con chuẩn tắc K của S được gọi là một cặp tương đẳng orthodox đối với S nếu đối với mọi a, b  S, a  V(a) , x  E(S) và f  E(S), có (A) xa  K, (x, aa)    a K, (B) ab  K, (aa, bb aa)    axb  K, (C) a  K, (aa ,f)    (fxf, faxaf)   hễ khi nào faxaf  E(S). 2.2.5. Ký hiệu. a Cho trước một cặp (  , K) chúng ta xác định một quan hệ hai ngôi  ( , K ) trên S bởi ( a, b)   ( , K ) nếu và chỉ nếu (  a  V(a) ) (  b  V(b) ) ab K, ( aa, ba aa )   , ( bb, bbaa )  . b Chúng ta biểu diễn tập hợp tất cả các tương đẳng orthodox trên S bởi OC(S) và tập hợp các cặp tương đẳng trên S bởi OCP(S). Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này. 2.2.6. Định lý. Giả sử S là nửa nhóm chính quy. Nếu (  , K) thuộc OCP(S) thì  ( , K )  OC ( S ) và có siêu vết là  và hạt nhân là K. Đảo lại, nếu   OC(S) thì ( htr(), Ker() )  OCP(S) và  = ( htr(), Ker() ). Trước khi chứng minh Định lý 2.2.6 chúng ta sẽ chứng minh các Bổ đề như những nội dung nhỏ của Định lý. Đầu tiên sẽ chứng tỏ rằng điều kiện "tồn tại" trong Định nghĩa 2.2.4 có thể thay thế bởi điều kiện "với mọi". Để đơn giản ký hiệu, cho một cặp (  , K)  OCP(S), giả sử  =  ( , K ) trừ trường hợp phát biểu ngược lại. 2.2.7. Bổ đề. Giả sử (  ,K)  OCP(S), a, b  S sao cho (a, b) . Thế thì đối với mọi a *b  K , (aa * , bb * aa * )   và (b *b, b *ba * a )   . Chứng minh. Giả sử a, b  S sao cho (a, b) .. Thế thì tồn tại a V(a), b V(b) sao cho abK , ( aa, bb aa )  và ( bb, bba )  . Giả sử a* và b* là