Tài liệu Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán học Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Toán học Cán bộ hướng dẫn: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính đã luôn tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt thời gian qua. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Mặc dù có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện khóa luận em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015. Sinh viên Tăng Thị Nga 1 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các khái niệm cơ bản về ổn định . . . . . . . . . . . . . 2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment của phương trình tựa tuyến tính . . . . . . . . . . 2.3 Phương pháp sử dụng Martingale và các bất đẳng thức . 2.3.1 Dáng điệu đuôi của phân phối xác suất. . . . . . 2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắc chắn. . . . . . . . . . 2.3.3 Không ổn định hầu chắc chắn. . . . . . . . . . . . 5 5 12 14 14 19 36 36 40 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 2 Mở đầu Nghiên cứu tính ổn định của một hệ động lực là một bài toán hết sức quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1892, nhà toán học nổi tiếng A.M. Lyapunov, trong bản luận án tiến sỹ của mình, đã đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình vi phân. Đó là phương pháp số mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12]. Từ đó đến nay, bài toán này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả sâu sắc về cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Chúng ta có thể kể đến các nhà toán học có nhiều đóng góp trong lĩnh vực này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al. (1989) [10, 11] và nhiều nhà toán học khác như X. Mao [18]; L. Arnol [2].... Trong các hệ động lực, hệ được mô tả bởi các phương trình sai phân đóng vai trò hết sức quan trọng. Chúng ta có thể thấy sự xuất hiện nó trong nhiều bài toán thực tế như là mô hình tăng trưởng của quần thể kiểu Leslie, mô hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief hoặc là khi ta rời rạc hóa để tính toán nghiệm của một phương trình vi phân, trong phân tích hệ thống dữ liệu mẫu của thống kê... Việc phân tích dữ liệu trong cơ khí, điện, kĩ thuật điều khiển và các vấn đề thực tế khác cũng phải cần đến các nghiên cứu của phương trình sai phân ngẫu nhiên. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định đối với nghiệm của phương trình sai phân là bài toán được rất nhiều người quan tâm và phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu bài toán này. Cũng như hệ động lực khả vi, các phương pháp Lyapunov cũng được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định. Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây dựng một phiếm hàm (gọi là hàm Lyapunov). Phiếm hàm này đóng vai trò như là một "chuẩn" hay như "phiếm hàm năng lượng" và các quỹ 3 đạo dọc theo hàm này sẽ giảm hoặc tăng. Điều đó cho phép chúng ta biết được hệ sẽ ổn định hoặc không ổn định. Nhược điểm chính của phương pháp này là các điều kiện đưa ra phụ thuộc vào hàm được chọn nên nói chung chỉ là điều kiện đủ. Phương pháp thứ hai được sử dụng là phương pháp so sánh. Ở đây ta so sánh các quỹ đạo của hệ với các quỹ đạo của hệ một chiều. Ưu điểm của phương pháp này chúng ta có thể dễ dàng biết hệ 1 chiều có ổn định hay không thông qua các tiêu chuẩn đơn giản. Tuy nhiên việc so sách này không phải lúc nào cũng thực hiện được vì các quỹ đạo của hệ nhiều chiều nói chung là rất phức tạp. Phương pháp tiếp theo là sử dụng các định lý giới hạn đã có trong lý thuyết hội tụ của các quá trình ngẫu nhiên (chủ yếu là các định lý giới hạn trong lý thuyết martingale). Với phương pháp này người ta phân tích quá trình thành tổng của một quá trình tăng (hoặc giảm) với một martingale. Từ đó ta có thể đưa ra kết luận hệ hội tụ hay không. Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương. Trong chương 1 chúng tôi đưa vào các kiến thức tối thiểu để sử dụng về sau. Chương 2 là nội dung chính của bản Luận văn. Phần 2.1 của chương này đề cập đến sử dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định. Trong đó chúng tôi trình bày các điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov là ổn định. Trong mục 2.2 chúng tôi sử dụng phương pháp so sánh với hệ 1 chiều. Đây là một tổng quát hóa của định lý so sánh của Ma và Caughey’s [14] và sử dụng định lý này để nghiên cứu các định lý ổn định chung của phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến. Mục 2.3 chúng tôi tái lập lại các ý tưởng cơ bản từ các lý thuyết của martingale cùng với các kết quả về tập hội tụ. Nội dung chính của phần này là hai kết quả về ổn định tiệm cận hầu chắc chắn. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều nên trong khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn! 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo. Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi là độ đo xác suất trên F nếu (i) P(A) > 0 với ∀A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá); (iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i 6= j) thì P∞ P(∪∞ n=1 An ) = n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được). Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất. Bộ ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất. Định nghĩa 1.1. Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì X −1 (B) ∈ F1 . Mệnh đề 1.1. 1. Giả sử F1 , G1 là hai σ-đại số các tập con của Ω1 , F2 , G2 là hai σ-đại số các tập con của Ω2 . Khi đó, nếu F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 và X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được thì X là ánh xạ G1 /G2 đo được. 2. Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh xạ F2 /F3 đo được. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1 /F3 đo được. 3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1 /F2 đo được khi và chỉ khi X −1 (C) ∈ F1 với mọi C ∈ C. 5 Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ- đại số con của σ- đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ G). Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ−trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ−trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn: (i) Y là biến ngẫu nhiên G−đo được; (ii) Với mỗi A ∈ G, ta có Z Z Y dP = A XdP. A Ký hiệu Y = E(X|G). Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta xét một không gian xác suất đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P). Định nghĩa 1.4. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là (Fn )−martingale nếu (i) X = (Xn ) ∈ N là quá trình (Fn )−phù hợp; (ii) E|Xn | < ∞ với mọi n ∈ N; (iii) Với mọi m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c. Martingale X = (Xn ) ∈ N được gọi là martingale bình phương khả tích nếu E(|xn |2 ) < ∞; ∀ n ∈ N. Ký hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2 . Định nghĩa 1.5. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn ) ∈ N được gọi là (Fn )−martingale dưới nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c. Định nghĩa 1.6. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là (Fn )−martingale trên nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c. 6 Định nghĩa 1.7. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là (Fn )−hiệu martingale nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = 0 h.c.c. Bổ đề 1.1. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale, và xác định ξn = Xn − Xn−1 . Khi đó {ξn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale. Bổ đề 1.2. Giả sử {ξn }n∈N , n ∈ N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N. Định nghĩa P Zn = ni=1 ξi . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale và {ξn }n∈N , n ∈ N là một Fn -hiệu-martingale. Bổ đề 1.3. Giả sử {ξn }n∈N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N và (Fn )n∈N là bộ lọc được sinh ra bởi {ξn }n∈N . Giả sử {yn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn P đo được. Đặt Zn+1 = ni=0 yi ξi+1 . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale Bổ đề 1.4. Giả sử {Xn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Q Fn -đo được. Nếu EXn = 1 và Zn = ni=1 Xi , với mỗi n ∈ N. Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale. Bổ đề 1.5. Giả sử {ξn }n∈N là một hiệu-martingale, bình phương khả tích. Khi đó tồn tại một dãy {µn }n∈N của Fn -hiệu-martingale và một dãy ngẫu nhiên dương Fn−1 -đo được {ηn }n∈N sao cho với mỗi n = 1, 2, ... hầu chắc chắn.     ξn2 = µn + ηn , trong đó ηn = E ξn2 /Fn−1 , µn = ξn2 − E ξn2 /Fn−1 . Bổ đề 1.6. Nếu {Xn }n∈N là một dãy ngẫu nhiên tăng với E |Xn | < ∞ với ∀n ∈ N thì {Xn }n∈N là một martingale dưới. Bổ đề 1.7. Nếu {Xn }n∈N là một Fn -martingale không âm, thì limn→∞ Xn tồn tại, h.c.c. Định lý 1.1. Giả sử rằng {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới. Khi đó tồn tại một Fn -martingale {Mn }n∈N và một dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1 -đo được {An }n∈N sao cho với ∀n = 1, 2, ... Xn = Mn + An , hầu chắc chắn. 7 (1.1) Định lý 1.2. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới không âm với khai triển Doob’s (1.1). Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} . Trong đó {Xn →} là tập tất cả các ω ∈ Ω mà lim Xn (ω) tồn tại và hữu hạn. n→∞ Bổ đề 1.8. Giả sử {Zn }n∈N là một quá trình Fn -đo được không âm, với E |Zn | < ∞ với mỗi n ∈ N và Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1 , n = 0, 1, 2, ..., trong đó {ςn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale, {un }n∈N , {υn }n∈N là các quá trình Fn -đo được không âm và E |un | , E |υn | < ∞ với mỗi n ∈ N. Khi đó ( ) ( ) ∞ ∞ X X ω: un < ∞ ⊆ ω : υn < ∞ ∩ {Zn →} . n=1 n=1 Ở đây {Zn →} là tập các ω ∈ Ω trong đó limn→∞ Zn tồn tại và hữu hạn. Chứng minh. Ta có Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − vn + ςn+1 ) = Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1 , (1.2) trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là một quá trình Fn+1 -đo Pn được. Vì dãy Zn = i=1 wi là dãy tăng và Fn -đo được với E |Zn | ≤ Pn i=1 E |wi | < ∞ với mọi n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn }n∈N là một Fn -martingale dưới. Do đó, theo Định lý 1.1 chúng ta có biểu diễn (1) Zn+1 = Cn + Mn+1 , trong đó n (1) Mn+1 o n∈N là một Fn -martingale và {Cn }n∈N quá trình tăng Fn -đo được. Kết hợp với (1.2) ta thu được (1) Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn ) + (Mn+1 − Mn+1 ), (1.3) P P P trong đó Un = ni=1 ui , Vn = ni=1 υi , Mn = ni=1 ςi . Chúng ta định nghĩa (1) M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un . Khi đó đó theo phương trình (1.3) với mọi n ∈ N thì Zn+1 + (Vn + Cn ) = U n + M n+1 = Yn+1 . 8 (1.4) Dãy ngẫu nhiên {Yn }n∈N được định nghĩa bởi (1.4) là một Fn -martingale dưới không âm, và nó có thể được phân tích duy nhất thành tổng của  Fn -martingale dưới {Mn }n∈N và một dãy tăng Fn -đo được U n n∈N , đó là Yn+1 = U n + M n+1 . Theo định lý (1.2) chúng ta kết luận rằng  Ω1 = U ∞ < ∞ ⊆ {Yn →} . (1.5) Điều này có nghĩa là limn→∞ Yn tồn tại hầu chắc chắn trên Ω1 và dó đó Yn+1 bị chặn trên Ω1 hầu chắc chắn. Theo vế trái của (1.4) chúng ta có khai triển khác của Yn+1 , cụ thể là Yn+1 = Zn+1 + (Vn + Cn ). (1.6) Vì Yn+1 bị chặn hầu chắc chắn trên Ω1 và quá trình Zn+1 là không âm, quá trình Vn + Cn cũng bị chặn trên Ω1 hầu chắc chắn. Vì Vn và Cn tăng, có giới hạn hữu hạn hầu chắc chắn limn→∞ Vn và limn→∞ Cn trên Ω1 . Do đó giới hạn limn→∞ Zn cũng tồn tại trên Ω1 . Giả thiết 1.1. {ξn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn -đo được, trong đó E [ξn /Fn−1 ] = 0, Eξn2 = 1, và E|ξn |3 bị chặn đều, (1.7) và mỗi ξn có hàm phân phối pn thỏa mãn lim x3 pn (x) = 0. (1.8) |x|→∞ Định lý 1.3. Xét φ : E → E sao cho tồn tại δ > 0, và φe : E → E thỏa mãn (i) φe ≡ φ trên Uδ = [1− δ, 1 + δ] ,  000  (ii) φe ∈ C 3 (E), φe (x) ≤ M với M bất kỳ và với mọi x ∈ E,  R   (iii) φ − φe dx < ∞. E Giả sử fn và gn là các biến ngẫu nhiên bị chặn đều Fn -đo được. Và {ξn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết 1.1. Khi đó h i √ E φ(1 + fn h + gn hξn+1 )/Fn 00 (1.9) = φ(1) + φ0 (1)f h + φ (1) g 2 h + hf O(h) n 2 +hgn2 O(h), 9 n n trong đó O(h) → 0 hội tụ đều theo n khi h → 0. Chứng minh. Để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ giả sử fn và gn là hằng số tương ứng và sử dụng kỳ vọng không có điều kiện, chứng minh trong trường hợp tổng quát được thực hiện tương tự. Chứng minh bao gồm h i hai phần chính, đầu tiên chúng tôi đưa ra công thức (1.9) đối với E φe . Sau đó, chúng tôi sẽ chứng minh rằng φe là một xấp xỉ tốt của φ. Chính e = xác hơn, chúng ta chứng minh ước lượng sau đây cho sai số E[φ − φ] hg 2 O(h). Theo công thức Taylo mở rộng φe00 2 φe000 (θ) 3 0 e e e φ(1 + x) = φ(1) + φ (1)x + x + x, 2 6 √ với θ nằm giữa 0 và x. Thay x = f h + g hξ và lấy kỳ vọng. Sử dụng tính chất của {ξn }n∈N ta thu được E(x) = fn h, Ex2 = f 2 h2 + g 2 h và do đó 3 e00 e00 e000 e + x) = φ(1) e + φe0 (1)f g + φ g 2 h + φ f 2 h2 + E[φ (θ)x ] . Eφ(1 2 2 6 Vì φe000 (θ) bị chặn đều chúng ta có thể ước lượng,    E[φe000 (θ)x3 ]  M E x3  √ √   ≤ f h2 O(f h) + g 2 hO(g h) + g 2 hO(f h). ≤    6 6 √ Tiếp theo chúng ta kí hiệu c = 1 + hf , c = hg và tìm một ước lượng 1 2 i h e 1 + c2 ξ) , ta có cho sai số ∆ = E φ(c1 + c2 ξ) − φ(c Z   e ∆= φ(c1 + c2 ξ) − φ(c1 + c2 ξ) p(ξ)dξ E Z = r − c1 dr e ) (φ(r) − φ(r))p( c2 |c2 | E Z = r − c1 dr e (φ(r) − φ(r))p( ) , c2 |c2 | E/Uδ 10 trong đó, biến r = c1 + c2 ξ và bỏ đi Uδ trên cận lấy tích phân bởi vì e = 0 trên Uδ . Bây giờ chúng ta ước lượng φ(r) − φ(r)  Z     1 r − c1   e |∆| ≤ sup p φ(r) − φ(r) dr c2 |c2 | r∈U / δ E ) (   1 r − c 1 ≤ |c2 |2 C sup p c2 |c2 |3 r∈U / δ ) ( 3 p(y)y = hg 2 C sup , 3 (r − 1 − hf ) r∈U / δ √ trong đó y = (r − 1 − hf )/ hg. Nếu hoặc h bị chặn, và f, g → 0 hoặc |f | , |g| bị chặn và h → 0, dễ thấy y → ∞ đều trên r ∈ E/Uδ . Do đó theo điều kiện (r − 1 − hf )3 bị chặn bởi 0, giả thiết p(y)y 3 → 0 suy ra n o 3 3 sup p(y)y /(r − 1 − hf ) = O(h), r∈U / δ do đó, |∆| ≤ hg 2 O(h). Định nghĩa 1.8. Giả sử {X, Xn , n > 1} là họ biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Ta nói: • Dãy {Xn , n > 1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n → ∞ nếu tồn tại tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞ với mọi ω ∈ Ω\N . h. c. c. Ký hiệu Xn → X h. c. c. hoặc Xn −−−→ X khi n → ∞. • Dãy {Xn , n > 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì ∞ X P(|Xn − X| > ε) < ∞. n=1 c − X khi n → ∞. Ký hiệu Xn → • Dãy {Xn , n > 1} hội tụ theo xác suất đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì lim P(|Xn − X| > ε) = 0. n→∞ P Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞. 11 • Dãy {Xn , n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p > 0 đến X khi n → ∞ nếu X, Xn (n > 1) khả tích bậc p và lim E|Xn − X|p = 0. n→∞ Lp Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞. • Dãy {Xn , n > 1} hội tụ theo phân phối (hội tụ yếu) đến X khi n → ∞ nếu với mọi x ∈ C(F ). lim Fn (x) = F (x) n→∞ Trong đó Fn (x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên Xn và X, C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục. d Ký hiệu Xn → − X. Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1, hội tụ theo trung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong Lp . 1.2 Các khái niệm cơ bản về ổn định Lấy (Ω, F, Fn , P) là không gian xác suất đầy đủ với bộ lọc {Fn }. Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên  xk+1 = F (k, xk ) + G(k, xk )ξk , k ∈ Z (1.10) x 0 = ϕ0 . trong đó F : N × Rd → Rd , 0, G(i, 0) = 0. G : N × Rd → Rd thỏa mãn F (i, 0) = Định nghĩa 1.9. (i) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định ngẫu nhiên hay ổn định theo xác suất nếu với mỗi cặp  ∈ (0; 1) và r > 0 tồn tại δ = δ(, r, n0 ) > 0 sao cho P{|xn | < r với mọi n ≥ n0 } ≥ 1 −  khi |x0 | < δ. Ngược lại, nghiệm của phương trình được gọi là không ổn định. (ii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nếu nó ổn định ngẫu nhiên và với mọi  ∈ (0; 1) tồn 12 tại δ = δ(, n0 ) > 0 sao cho P{ lim xn = 0} ≥ 1 −  n→∞ khi |x0 | < δ. (iii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định hầu chắc chắn nếu nó ổn định ngẫu nhiên và với mọi x0 ∈ Rd thì P{ lim xn = 0} = 1. n→∞ Định nghĩa 1.10. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu lim sup n→∞ 1 log |xn | < 0 h.c.c n Định nghĩa 1.11. (i) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định moment cấp p với p > 0 nếu với ε ∈ (0; 1) tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho E|xk |p < ε, ∀k ∈ N. khi E|xk |p < δ. (ii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tựa tiệm cận moment cấp p với p > 0 nếu tồn tại δ0 > 0 sao cho E|xk |p → 0 khi k → ∞. khi E|xk |p < δ0 ; (iii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tiệm cận moment cấp p với p > 0 nếu nó ổn định moment cấp p và ổn định tựa tiệm cận moment cấp p. 13 Chương 2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov Cho {Xn } là một xích Markov thuần nhất trong một không gian Balan X , và V : X → R+ là một hàm đo được được hiểu như là một "chuẩn", một “hàm Lyapunov” hoặc "hàm năng lượng". Trong các định lý ở mục này, chúng ta giả thiết rằng supx V (x) = ∞. Chúng tôi sử dụng các kí hiệu chuẩn tắc Px (A) = P (A/X0 = x) và Ex Y để chỉ xác suất có điều kiện của biến cố A hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y theo độ đo xác suất Px . Độ dịch chuyển (drift) của hàm V trên xích Markov X sau n đơn vị thời gian là hàm x 7→ Ex [V (Xn ) − V (X0 )]. Dễ dàng thấy rằng nếu P (n, x, ·) là xác suất chuyển của quá trình Markov R Xn thì Ex [V (Xn ) − V (X0 )] = X V (y)P (n, x, dy) − V (x). Giả sử rằng g : X → N là một hàm đo được khác. Ta hiểu g(x) như là hàm thời gian phụ thuộc trạng thái x. Độ dịch chuyển của V sau g(x) bước là hàm   x 7→ Ex V (Xg(x) ) − V (X0 ) . Cho h : X → R là hàm đo được thứ ba sao cho −h được xem như ước lượng độ lớn của hàm độ dời sau thời gian g(x) bước. Giả sử rằng: • (L1) h bị chặn dưới: infx∈X h(x) > −∞. • (L2) h đến cuối cùng dương: limV (x)→∞ h(x) > 0. • (L3) g bị chặn trên địa phương: supv(x)≤N g(x)/h(x) < ∞,∀N > 0 14 • (L4) g đến cuối cùng bị chặn bởi h: limv(x)→∞ g(x)/h(x) < ∞. Đối với một tập đo được B ⊂ X bất kỳ ta định nghĩa: τB = inf {n > 0 : Xn ∈ B} . τB được hiểu là lần trở lại đầu tiên đến B của quá trình Xn . Tập B được gọi là tập hồi quy nếu Px (τB < ∞) = 1 với ∀x ∈ B. Nó được gọi là hồi quy dương nếu supx∈B Ex τB < ∞. Định lý 2.1. Giả sử rằng độ dịch chuyển của V sau g(x) bước thỏa mãn "điều kiện dịch chuyển"   Ex V (Xg(x) ) − V (X0 ) ≤ −h(x). Trong đó V , g, h thỏa mãn (L1)-(L4). Đặt τ ≡ τN = inf {n > 0 : V (Xn ) ≤ N } . Khi đó tồn tại N0 > 0, ∀N > N0 và x ∈ X bất kì, chúng ta có Ex τ < ∞. Ngoài ra supV (x)≤N Ex τ < ∞. Chứng minh. Hiển nhiên từ điều kiện dịch chuyển ta suy ra V (x) − h(x) ≥ 0 với mọi x. Chúng ta chọn N0 sao cho inf h(x) > 0 và V (x)>N sup g(x)/h(x) < ∞ với mọi N ≥ N0 . Với mỗi N > N0 đặt V (x)>N d = sup g(x)/h(x). V (x)>N Từ điều kiện (L2) và (L4) ta suy ra 0 < d < ∞. Đặt −H = infx∈X h(x). Khi đó từ giả thiết (L1) ta có H < ∞. Chúng ta định nghĩa một dãy tăng tn các thời điểm dừng xây dựng bằng phương pháp đệ quy như sau t0 = 0, tn = tn−1 + g(Xtn−1 ), n ≥ 1. Do Xn là xích Markov mạnh nên các biến ngẫu nhiên Yn = Xtn , 15 cũng tạo thành một xích Markov (có thể không thuần nhất). Bằng quy nạp theo n dễ dàng chứng minh được rằng Ex V (Yn+1 ) ≤ Ex V (Yn ) + H và Ex V (Yn ) < ∞ với mọi n và x. Ta định nghĩa thời điểm dừng γ = inf {n ≥ 1 : V (Yn ) ≤ N } ≤ ∞. Rõ ràng γ ≤ tγ , h.c.c. Giả sử Fn là σ đại số sinh bởi Y0 , ..., Yn . Lưu ý rằng γ là thời điểm dừng dự báo được, tức là 1{γ≥i} ∈ Fi−1 với mọi i. Chúng ta định nghĩa "năng lượng tích lũy" giữa 0 và γ ∧ n bởi En = γ∧n X V (Yi ) = i=0 n X V (Yi )1{γ N . Nếu i < γ thì theo định nghĩa của γ ta có V (Yi ) > N . Như vây từ định nghĩa của d ta nhận được h(Yi ) ≥ d−1 g(Yi ) > 0, i < γ. (2.2) Cũng theo định nghĩa của H ta có h(Yi ) ≥ −H, ∀i. (2.3) Sử dụng các ước lượng (2.2) và (2.3) vào (2.1) chúng ta có: V (x) ≥Ex n X h(Yi )1{γ≥i} + Ex n X i=0 h(Yi )1{γ=i} i=0 (γ−1)∧n −1 ≥d Ex X g(Yi ) − HPx (γ ≤ n). i=0 Lưu ý rằng g(Y0 ) + ... + g(Yk ) = tk+1 , suy ra: V (x) ≥ d−1 Ex tγ∧(n+1) − HPx (γ ≤ n). Lấy giới hạn khi n → ∞ (cả hai dãy tương ứng đang tăng theo n) và thu được Ex tγ ≤ d(V (x) + H). Do τ ≤ tγ nên ta suy ra Ex τ < ∞. Ta xét trường hợp V (x) ≤ N . Lấy kỳ vọng có điều kiện theo biến Y1 chúng ta có Ex τ ≤ g(x) + Ex (Ex Y1 τ 1(V (Y1 > N )) ≤ g(x) + Ex (d(V (Y1 ) + H)1(V (Y1 ) > N )) ≤ g(x) + dH + d(V (x) + H). Do đó, sup Ex τ ≤ sup g(x) + d(2H + N ). V (x)≤N v(x)≤N Theo giả thiết (L3), vế phải là một hằng số hữu hạn. Do vậy sup Ex τ < ∞. V (x) C2 và supV (x)≤C2 Ex V (X1 ) < ∞. Trong trường hợp g(x) = [V (x)] (ký hiệu [y] là phần nguyên của y) và h(x) = V (x) − C1 1{V (x)≤C2 } ta nhận được tiêu chuẩn Meyn-Tweedie [17]. Chúng ta cũng có thể tham khảo các kết quả này trong tài liệu tham khảo của Fayolle, Malyshev và Menshikovnov. Chúng ta chú ý rằng ở đây chúng ta không đòi hỏi rằng tập hợp phải "nhỏ" theo nghĩa nó hữu hạn hay có tính compact. Tất nhiên nếu ta quan tâm đến tính ổn định, chúng ta cần chứng minh rằng các tập compact là hồi quy dương. Định lý trên đảm bảo cho chúng ta ngay cả tập không compact cũng hồi quy dương. Ta cũng chú ý rằng điều kiện (L4) không chỉ có tính chất kỹ thuật mà còn đóng vai trò quan trọng. Chúng ta xét thí dụ Ví dụ 2.1. Cho X = N và xét quá trình Markov (Xn ), nhận giá trị trên X , có xác suất chuyển p1,1 = 1, pk,k+1 ≡ pk , pk,1 = 1 − pk ≡ qk , k = 2, 3, ..., trong đó 0 < pk < 1, ∀k ≥ 2 và pk → 1, khi k → ∞. Như vậy bước nhảy của quá trình có kích thước +1 ; hoặc có bước nhảy −k nếu từ trạng thái k ngay lập tức chuyển đến trạng thái 1. Ta giả sử qk = 1/k, k ≥ 2. Khi đó, bắt đầu với X0 = 2, chúng ta có P (τ = n) = 1/(n + 1)n, n = 1, 2, ... Vì vậy ∞ X n Ex τ = = ∞. n(n + 1) n=1 Do đó chuỗi Markov không thể hồi quy dương. Đặt V (k) = log(1 ∨ log k), 18 g(k) = k 2 .