CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I.
Phương trình đường thẳng:
• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) với
a12 + a2 2 + a32 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là :
•
II.
x x0 + a1t
=
y0 + a2 t ; ( t ∈ )
y =
=
z z0 + a 2 t
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) sao cho
a1a2a3 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là :
x − x0 y − y0 z − z0
= =
a1
a2
a3
Góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
∆1 có vectơ chỉ phương a1
∆ 2 có vectơ chỉ phương a2
a1.a2
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 . Ta có: cos ϕ =
a1 . a2
2. Góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng:
∆ có vectơ chỉ phương a∆
(α ) có vectơ chỉ phương nα
a∆ .nα
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và (α ) . Ta có: sin ϕ =
a∆ . nα
III.
Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng∆ :
∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a∆
a∆ , M 0 M
d ( M , ∆) =
a∆
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
∆1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1
∆ 2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2
a1 , a2 .MN
d ( ∆1 , ∆ 2 ) =
a1 , a2
IV. Các dạng toán thường gặp:
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A, B .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là AB .
2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M và song song với d .
Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt:
Trang 1/42
•
Nếu
∆
song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là
a∆ = i = (1;0;0 )
•
Nếu
∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là
a∆= j= ( 0;1;0 )
Nếu
∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là
a∆= k= ( 0;1;0 )
Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là a∆ = ad , với ad là vectơ chỉ phương
của d
3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α ) .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = nα , với nα là vectơ pháp tuyến của
•
(α ) .
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng
d1 , d 2 (hai đường thẳng không cùng phương).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = a1 , a2 , với a1 , a2 lần lượt là vectơ
chỉ phương của d1 , d 2 .
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song
song với mặt phẳng (α ) .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = ad , nα , với ad là vectơ chỉ
phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) .
6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng
(α ) , ( β ) ; ( (α ) , ( β ) là hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = nα , nβ , với nα , nβ lần lượt là
vectơ pháp tuyến của (α ) , ( β ) .
7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) .
Cách giải:
• Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.
• Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = nα , nβ , với nα , nβ lần lượt là vectơ
pháp tuyến của (α ) , ( β ) .
8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng
d1 , d 2 ( A ∉ d1 , A ∉ d 2 ) .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = n1 , n2 , với n1 , n2 lần lượt là vectơ
pháp tuyến của mp ( A, d1 ) , mp ( A, d 2 ) .
9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) và cắt hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = AB , với A =
d1 ∩ (α ) , B =
d 2 ∩ (α )
10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d .
Cách giải:
• Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với d1 và cắt d 2 , với
A ∉ d2 .
Cách giải:
Trang 2/42
• Xác định B = ∆ ∩ d 2 .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với
mặt phẳng (α ) .
Cách giải:
• Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) cắt và vuông góc đường
thẳng d .
Cách giải:
• Xác định A= d ∩ (α ) .
•
Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = ad , nα , với ad
là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) .
14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng
(α ) , nằm trong (α ) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α ) ) .
Cách giải:
• Xác định A= d ∩ (α ) .
•
Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = ad , nα , với ad
là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của (α ) .
15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d1 , d 2 .
Cách giải:
AB ⊥ d1
• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho
AB ⊥ d 2
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B .
16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Cách giải:
• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, ad cùng phương, với ad là vectơ chỉ
phương của d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad = a∆ .
17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) và cắt cả hai đường thẳng
d1 , d 2 .
Cách giải:
• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, nα cùng phương, với nα là vectơ
pháp tuyến của (α ) .
•
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad = nα .
18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α ) .
Cách giải : Xác định H ∈ ∆ sao cho AH ⊥ ad ,với ad là vectơ chỉ phương của d .
•
Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α ) .
•
Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β )
19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α ) theo phương
d '.
Trang 3/42
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương ud' .
•
Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và ( β ) .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước
phương trình.
2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.
3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.
4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
x= 2 − 2t
x= 6 + 2t '
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y= 3 − 2t và d’: y= 3 + 2t ' . Xét các mệnh
z = 1 − 3t
z= 7 + 9t '
đề sau:
(I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a ( 2; 2;3)
(II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a ' ( 2; 2;9 )
(III) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’
(IV) Vì a ; a ' . AA ' = 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.
C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.
x= 2 + t
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số y = −3t .
z =−1 + 5t
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
x−2
y
z +1
= =
.
−3
1
5
x + 2 y z −1
x+2
y
z −1
C.
D. = =
= =
.
.
−1
−5
3
1
5
−3
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc
A. x − 2 = y = z + 1.
B.
x − 3 y +1 z
. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là?
= =
2
1
−3
x =−3 + 2t
x =−3 − 2t
x= 3 + 2t
x= 2 + 3t
B. y =−3 − t .
C. y = 1 − 3t .
D. y = 1 + 3t .
A. y =−1 − 3t .
z = t
z = t
z = t
z = t
x + 2 y −1 z − 3
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Đường thẳng d
−1
2
3
đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:
A. M ( 2; −1;3) , ad =
B. M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) .
( −2;1;3) .
C. M ( −2;1;3) , ad =
D. M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) .
( 2; −1;3) .
Trang 4/42
x= t − 2
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y= 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua
z= 1 + t
điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:
A. M ( −2; 2;1) , ad =
B. M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) .
(1;3;1) .
C. M ( 2; −2; −1) , ad =
D. M (1; 2;1) , a=
(1;3;1) .
( 2; −3;1) .
d
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của
đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương =
a (1; −2; 2 ) ?
x= 2 + t
A. y =−3 − 2t .
z =−1 + 2t
x = 1 + 2t
B. y =−2 − 3t .
z= 2 − t
x = 1 − 2t
C. y =−2 + 3t .
z= 2 + t
x =−2 + t
D. y= 3 − 2t .
z = 1 + 2t
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của
đường thẳng đi qua hai điểm A (1; −2;5) và B ( 3;1;1) ?
x −3
x −1 y + 2 z − 5
A. = =
B. =
.
1
2
3
−4
x −1
x +1 y − 2 z + 5
C. = =
D. =
.
3
2
3
−4
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC
y −1 z −1
=
.
−2
5
y + 2 z −5
=
.
1
1
có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) .
Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
x −1 y + 3 z + 2
x −1 y + 3 z + 2
A. = =
B. = =
.
.
−2
−1
4
2
1
−4
x − 2 y + 4 z +1
x +1 y − 3 z − 2
C. = =
D. = =
.
.
1
−1
3
2
1
−4
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) .
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A
x = 1
x = 1
A. y= 4 + t .
B. y= 4 + t .
C.
z =−1 + 2t
z = 1 + 2t
Câu 10.
và song song với BC là
x = 1
x = 1
D. y= 4 − t .
y= 4 + t .
z =−1 + 2t
z =−1 − 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M (1;3;4 ) và song song với trục hoành là.
x= 1+ t
A. y = 3 .
y = 4
Câu 11.
x = 1
B. y= 3 + t .
y = 4
x = 1
C. y = 3 .
y= 4 − t
x = 1
D. y = 3 .
y= 4 + t
x = 1 − 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t
. Phương trình
z =−3 + 2t
chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và song song với d là
x + 3 y +1 z −1
A. = =
.
−2
1
2
x + 2 y −1 z − 2
C. = =
.
3
1
−1
x − 3 y −1 z +1
B. = =
.
−2
1
2
x − 2 y +1 z + 2
D. = =
.
3
1
−1
Trang 5/42
x − 2 y −1 z − 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Phương trình tham số
2
3
−1
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và song song với d là
x= 2 + t
A. y =−1 + 3t .
z= 3 − 4t
x =−1 + 2t
B. y =−3 − t .
z= 4 + 3t
x =−1 + 2t
C. y =−3 − t .
z= 4 + 3t
x = 1 + 2t
D. y= 3 − t .
z =−4 + 3t
0 . Phương trình chính tắc của
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 3 =
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và vuông góc với ( P ) là
x − 2 y −1 z −1
x + 2 y −1 z −1
A. = =
B. = =
.
.
−1
2
1
2
1
−1
x + 2 y −1 z −1
x + 2 y −1 z −1
C. = =
D. = =
.
.
2
−1
−1
2
1
1
0 .Phương trình tham số của
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z − 3 =
đường thẳng d đi qua A ( 2;1; −5) và vuông góc với (α ) là
x =−2 + t
A. y =−1 − 2t .
z= 5 + 2t
x =−2 − t
B. y =−1 + 2t .
z= 5 − 2t
x= 2 + t
C. y = 1 − 2t .
z =−5 + 2t
x = 1 + 2t
D. y =−2 + t .
z= 2 − 5t
x = 2
B. y = 1 + t .
z = 3
x = 2
C. y =−1 + t .
z = 3
x= 2 + t
D y = −1 .
z= 3 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và vuông góc
với mặt phẳng ( Oxz ) là.
x = 2
A. y = 1 − t .
z = 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) . Phương
trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) là
x= 2 + t
A. y =−1 − 2t .
z = −2t
x =−2 + t
B. y =−1 − 2t .
z = −2t
x= 2 + t
C. y = 1 − 2t .
z = −2t
x= 2 + t
D. y = 1 + 2t .
z = 2t
(ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) và B ( −1;2;4 ) . Phương trình
d đi qua trọng tâm của ∆OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là
x y+2 z+2
x y−2 z−2
A.
B.
= =
.
= =
.
2
1
−1
2
−1
1
x y+2 z+2
x y−2 z−2
C.
D.
= =
.
= =
.
2
1
1
2
1
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) .
Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình nào sau đây
không phải là phương trình của đường thẳng d .
x =−2 − t
x =−2 + t
x =−2 − 6t
A. y =−1 − 3t .
B. y =−1 + 3t .
C. y =−1 − 18t .
z =−2 + 2t
z =−2 − 2t
z =−2 + 12t
x =−2 − t
D. y =−1 − 3t .
z =−2 − 2t
Trang 6/42
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , đồng thời
vuông góc với hai vectơ a = (1;0;1) và
=
b ( 4;1; −1) là
x + 2 y +1 z − 5
x − 2 y −1 z + 5
A. = =
B. = =
.
.
5
1
5
1
−1
−1
x +1 y − 5 z −1
x + 2 y +1 z − 5
C. = =
D. = =
.
.
1
−5
−1
2
1
−5
(ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) và đường thẳng
x +1 y − 2 z − 3
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm
=
=
−2
1
3
hai đường thẳng AB và ∆ là
x−7 y−2 z −4
x −1 y +1
A. = =
B. = =
.
1
−1
1
7
2
x +1 y −1 z +1
x +1 y −1
C. = =
D. = =
.
7
4
7
2
−2
∆:
A , đồng thời vuông góc với
z −1
.
4
z +1
.
4
x= 1 + t
x − 2 y z +1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
và d 2 : y= 3 − 2t .
= =
2
3
−1
z= 5 − 2t
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2
là
x =−8 + 2t
A. y = 1 + 3t .
z =−7 − t
x= 2 − 8t
B. y= 3 + 3t .
z =−1 − 7t
x =−2 − 8t
C. y =−3 + t .
z = 1 − 7t
( P ) : 2 x + y + 2 z − 1 =0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
x +1 y z − 3
= = . Phương trình đường thẳng d
2
−1
3
và vuông góc với ∆ là
x − 2 y +1 z − 5
A. = =
B.
.
−5
2
4
x + 2 y −1 z + 5
C. = =
D.
.
5
−2
−4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
∆:
x =−1 + 14t
B. y= 3 + 8t .
z =−1 + t
và đường thẳng
đi qua điểm B ( 2; −1;5) song song với ( P )
x + 2 y −1 z + 5
.
= =
2
4
−5
x −5 y + 2 z + 4
= =
.
−1
2
5
0 và
mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z + 3 =
( β ) : 3x − 5 y − 2 z − 1 =0 . Phương trình đường thẳng
hai mặt phẳng (α ) , ( β ) là
x = 1 + 14t
A. y= 3 + 8t .
z =−1 + t
x =−2 + 8t
D. y =−3 − t .
z = 1 + 7t
d đi qua điểm M (1;3; −1) , song song với
x =−1 + t
C. y= 3 + 8t .
z = 1+ t
x =−1 + t
D. y= 3 − t .
z = 1+ t
0 . Phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 3 =
d đi qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng (α ) , (Oyz ) là.
x= 2 − t
A. y = −3 .
z =−1 + t
x = 2
B. y =−3 + 2t .
z =−1 + t
x = 2
C. y =−3 − 2t .
z =−1 + t
x = 2t
D. y= 2 − 3 t.
z = 1− t
Trang 7/42
0 và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 3 y + z =
( β ) : x + y − z + 4 = 0 = 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d
là
x= 2 − t
x= 2 + t
x= 2 + t
x =−2 + t
A. y = t
B. y = t
C. y = −t
D. y = t
.
.
.
.
z =−2 − 2t
z= 2 + 2t
z =−2 + 2t
z= 2 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α ) : x − 2 y − z + 1 =0
0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
và ( β ) : 2 x + 2 y − 3z − 4 =
M (1; −1;0) và song song với đường thẳng ∆ là
x −1 y −1 z
x +1 y −1 z
A. = = .
B. = = .
8
1
6
8
1
6
x −1 y +1 z
x − 8 y −1 z
C. = = .
D. = = .
8
1
6
1
1
6
x −1 y + 3 z
. Phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
2
1
−2
∆ đi qua điểm A ( 2; −1; −3) , vuông góc với trục Oz và d là
x= 2 − t
A. y =−1 + 2t .
y = −3
x = −2t
x= 2 − t
C. y = 1 − 2t .
D. y =−1 + 2t .
y = 3
y = −3
0 . Phương trình đường
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5z − 4 =
x =−2 − t
B. y = 1 + 2t .
y = 3
thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vuông góc với trục tung là
x =−2 + 5t
.
A. y = 1
y =−3 + 2t
x =−2 + 5t
x =−2 − 5t
x =−2 + 5t
.
.
B. y = 1
C. y = 1 − t .
D. y = 1
y =−3 + 2t
y =−3 + 2t
y =−3 − 2t
2
2
2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
9 . Phương trình
0 và vuông
đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu ( S ) , song song với (α ) : 2 x + 2 y − z − 4 =
góc với đường thẳng ∆ :
x +1 y − 6 z − 2
là.
=
=
3
−1
1
x= 1− t
A. y =−2 + 5t .
z= 3 − 8t
x =−1 + t
B. y= 2 − 5t .
z =−3 − 8t
x= 1− t
C. y =−2 − 5t .
z= 3 − 8t
x= 1− t
D. y =−2 + 5t .
z= 3 + 8t
x = 1 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =−1 + t . Hình chiếu vuông góc của d lên
z= 2 + t
mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là.
x = 1 + 2t
A. y =−1 + t .
z = 0
x =−1 + 2t
B. y =−1 + t .
z = 0
x =−1 + 2t
C. y = 1 + t .
z = 0
x = 0
D. y =−1 − t .
z = 0
Trang 8/42
x = 1 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =−2 + 3t . Hình chiếu vuông góc của d lên
z= 3 + t
mặt phẳng (Oxz ) có phương trình là.
x =−1 + 2t
.
A. y = 0
z= 3 + t
x = 0
B. y = 0 .
z= 3 + t
x = 1 + 2t
C. y = 0 .
z= 3 + t
x = 1 + 2t
.
D. y = 0
z =−3 + t
x − 12 y − 9 z − 1
, và mặt thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
4
3
1
( P ) : 3x + 5 y − z − 2 =0 . Gọi d ' là hình chiếu của d
x = −62t
A. y = 25t .
z= 2 − 61t
x = 62t
B. y = −25t .
z= 2 + 61t
lên ( P ) . Phương trình tham số của d ' là
x = 62t
C. y = −25t .
z =−2 + 61t
x = 62t
D. y = −25t .
z= 2 + 61t
x = 1 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =−2 + 4t . Hình chiếu song song của d lên
z= 3 + t
mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :
x= 3 + 2t
.
A. y = 0
z = 1 − 4t
x +1 y − 6 z − 2
có phương trình là:
=
=
−1
−1
1
x= 3 + t
B. y = 0 .
z = 1 + 2t
x =−1 − 2t
.
C. y = 0
z= 5 − 4t
x= 3 − 2t
.
D. y = 0
z = 1+ t
x = 1 − 3t
x − 2 y −1 z −1
và d 2 : y =−2 + t .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
−1
3
2
z =−1 − t
0 và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 là:
Phương trình đường thẳng nằm trong (α ) : x + 2 y − 3z − 2 =
x + 3 y − 2 z −1
.
A. = =
−1
5
1
x − 3 y + 2 z +1
.
C. = =
−5
1
−1
x + 3 y − 2 z −1
.
B. = =
1
−5
−1
x +8 y −3 z
.
D. = =
1
3
−4
x+2 y−2 z
=
=
(ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
và mặt
1
1
−1
0 . Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong ( P ) , cắt
phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 4 =
và vuông góc đường thẳng ∆ là:
x =−3 + 2t
x = 1 − 3t
A. y =−2 + 3t .
B. y = 1 − t .
z = 1+ t
z =−1 + t
x =−3 − 3t
C. y = 1 + 2t .
z = 1+ t
x =−3 + t
D. y = 1 − 2t .
z= 1 − t
x−2 y +2 z−3
(ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
và
2
−1
1
x −1 y −1 z +1
d2 : = =
. Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A (1;2;3) vuông góc với d1
−1
2
1
và cắt d 2 là:
Trang 9/42
x −1 y + 2 z + 3
.
B. = =
1
−3
−5
x −1 y + 3 z + 5
.
D. = =
1
−2
−3
x =−3 + 2t
(ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = 1 − t
. Phương trình
z =−1 + 4t
x −1 y − 2 z − 3
.
A. = =
1
−3
−5
x +1 y + 2 z + 3
.
C. = =
−1
3
5
chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt và vuông góc với d là:
x − 3 y − 2 z +1
A. = =
4
−4
−2
x−4 y−2 z+4
C. = =
−3
−2
1
x−4 y−2 z+4
B. = =
3
2
−1
x+4 y+2 z−4
D. = =
3
2
−1
x −1 y + 3 z − 3
(ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
và mặt
−1
2
1
0 . Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Phương trình tham số của
phẳng ( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 =
đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , đi qua điểm A và vuông góc với d là:
x = 1
A. y =−1 + t .
z =−4 + t
x = t
B. y = −1.
z = t
x = t
C. y = −1 .
z= 4 + t
x= 1 + t
D. y = 1 .
z = t
x−3 y −3 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) và đường thẳng d : = =
.
1
3
2
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng
(Q ) : x + y − z + 3 =0 là:
x −1 y − 2 z +1
.
A. = =
−2
−1
1
x +1 y + 2 z −1
.
C. = =
−1
2
1
x +1 y + 2 z −1
.
B. = =
1
2
1
x −1 y − 2 z +1
.
D. = =
1
2
−1
x +1 y − 2 z −1
=
=
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :
và
3
1
2
x = 3
x −1 y z +1
∆2 :
=
= . Phương trình đường thẳng song song với d : y =−1 + t và cắt hai
1
2
3
z= 4 + t
đường thẳng ∆1; ∆ 2 là:
x = 2
A. y= 3 − t .
z= 3 − t
x = −2
B. y =−3 − t .
z =−3 − t
x = −2
C. y =−3 + t .
z =−3 + t
x = 2
D. y =−3 + t .
z= 3 + t
x y −1 z + 2
=
(ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d=
và
1:
2
−1
1
x =−1 + 2t
0 và cắt hai
d 2 : y = 1 + t . Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : 7 x + y − 4 z =
z = 3
đường thẳng d1 , d 2 là:
Trang 10/42
x−7 y z+4
= =
.
2
1
1
x + 2 y z −1
.
= =
C.
−7
−1
4
x − 2 y z +1
= =
.
7
1
−4
x − 2 y z +1
= =
.
D.
7
1
4
x −1 y − 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Viết phương trình đường
−1
1
2
thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng
A.
B.
(α ) : x + y + z − 1 =0 bằng 2
3.
x−3 y −6 z+2
.
A. = =
1
3
−1
x−7 y z+4
.
= =
B.
2
1
1
x −3 y −6 z + 2
.
C. = =
2
−2
−3
x+3 y+6 z−2
x−3 y −6 z+2
.
D. = =
và = =
−5
−9
5
1
3
−1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục
tung tại B sao cho OB = 2OA.
x y+6 z
x y −6 z
= =
= =
.
.
A.
B.
−8
−1
2
−1
2
4
x+3 y+6 z−2
x
x y −6 z
.
=
= =
C. = =
D.
và
−5
−9
3
2
2
4
−1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
x − 2 y − 3 z +1
thẳng d : = =
tại C
−2
1
1
x −1 y −1 z − 2
.
A. = =
−2
−1
3
x y −6 z
= =
.
B.
−1
2
4
x −1 y −1 z − 2
x −1
và =
C. = =
−2
−1
3
31
x −1 y −1 z − 2
.
D. = =
31
78
−109
y+6 z
=
.
−8
−1
B (1;1;2 ) cắt đường
sao cho tam giác OBC có diện tích bằng
83
.
2
y −1 z − 2
=
.
78
−109
x = t
x − 2 y −1 z − 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
và d 2 : y = 3
.
1
−1
−1
z =−2 + t
Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 là.
x= 2 + t
A. y = 1 + 2t .
z= 2 − t
x= 3 + t
B. y= 3 − 2t .
z = 1− t
x= 2 + 3t
C. y = 1 − 2t .
z= 2 − 5t
x= 3 + t
D. y = 3 .
z = 1− t
x +1 y z − 2
= =
, mặt phẳng
2
1
1
( P ) : x + y − 2 z + 5 =0 và A (1; −1; 2 ) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( P ) lần lượt tại M và N sao
(ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là.
Trang 11/42
x +1 y −1 z + 2
.
B. = =
2
3
2
x −2 y −3 z −2
.
D. = =
1
−1
2
x − 2 y −1 z −1
, mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
1
2
−1
x −1 y +1 z − 2
.
A. = =
2
3
2
x +1 y + 4 z + 2
.
C. = =
−2
3
2
( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1)
2
2
2
=
29 và A (1; −2;1) . Đường thẳng ∆ cắt d và ( S ) lần lượt tại
M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Phương trình đường thẳng ∆ là
x −1 y + 2 z −1
x +1 y − 2
A. = =
và = =
2
5
−1
7
11
x +1 y − 2 z +1
x −1 y + 2
B. = =
và = =
2
5
−1
7
11
x −1 y + 2 z −1
x −1 y + 2
C. = =
và = =
2
5
−1
7
11
x +1 y − 2 z +1
x +1 y − 2
D. = =
và = =
2
5
−1
7
11
(ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
z +1
.
−10
z −1
.
−10
z −1
.
−10
z +1
.
−10
0 và hai điểm
cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 =
A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ) , đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
x − 2 y +1 z − 3
x + 3 y z −1
.
= =
.
A.
B. = =
26
11
−2
26 11 −2
x + 2 y −1 z + 3
x − 3 y z +1
.
.
= =
C.
D. = =
26
11
−2
26 11 −2
x − 3 y + 2 z +1
, mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
2
1
−1
( P ) : x + y + z + 2 =0 . Gọi M là giao điểm của d và ( P ) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong
( P ) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x −5
A. =
2
x −5
B. =
2
x+3
C. =
2
x+3
D. =
2
y+2
=
−3
y+2
=
−3
y+4
=
−3
y+4
=
3
x +3 y + 4 z −5
z+5
.
và = =
1
−3
2
1
z +5
.
1
z −5
.
1
x +3 y + 4 z −5
z −5
.
và = =
1
2
3
1
x= 3 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 : y =−1 + 2t và
z = 4
x+2 y z−2
=
= . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng
1
1
2
∆1 , ∆ 2 là.
∆2 :
x −1 y −1 z − 2
.
A. = =
−1
1
1
x = 1 + 2t
B. y = 1 − t .
z= 2 + t
Trang 12/42
x = 1 + 2t
D. y = 1 + t .
z= 2 + t
x −1 y −1 z − 2
.
C. = =
1
1
−1
x −1 y +1 z
x −1 y − 2 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
, d2 : = =
2
1
1
1
2
1
và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 3 =
0 . Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) và cắt d1 , d 2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = 29 . Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là
x =−1 + 2t
x= 3 + 4t
A. ∆ : y = 2t hoặc ∆ : y =−2 + 4t .
z =−1 + 3t
z = 1 + 3t
x= 3 + 4t
C. ∆ : y = −2t .
z = 1 + 3t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x= 3 + 4t
B. ∆ : y = 2t .
z = 1 + 3t
x =−1 + 2t
D. ∆ : y =−2 + 4t .
z =−1 + 3t
cho hai đường thẳng d1 :
x −1 y z + 2
= =
2
1
−1
và
x −1 y + 2 z − 2
d2 : = =
0 và cắt
. Gọi ∆ là đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − 7 =
−2
1
3
d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là.
x 12 − t
=
A. y = 5
.
z =−9 + t
x = 6
5
C. y=
−t .
2
9
z =− 2 + t
x= 6 − t
5
B. y =
.
2
9
z =− 2 + t
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz,
cho hai đường thẳng
x= 6 − 2t
5
D. y=
+t .
2
9
z =− 2 + t
x +1 y + 2 z
∆1 :
=
=
1
2
1
và
x − 2 y −1 z −1
=
= . Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − 2 z + 5 =
0 và cắt hai
2
1
1
đường thẳng ∆1; ∆ 2 lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
∆2 :
x −1 y − 2 z − 2
.
B. = =
2
1
1
x +1 y + 2 z + 2
.
C. x + 1 = y + 2 = z + 2.
D. = =
2
1
1
x−2 y z+2
= =
, mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
2
1
1
( P ) : 2 x − y − z + 5 =0 và M (1; −1;0 ) . Đường thẳng ∆ đi qua điểm M , cắt d và tạo với ( P )
A. x − 1 = y − 2 = z − 2.
một góc 300 . Phương trình đường thẳng ∆ là.
x+2 y z−2
x+4 y+3 z +5
= =
A.
và = =
.
1
1
−2
5
2
5
x−2 y z+2
x −4 y −3 z −5
= =
B.
và = =
.
−2
1
1
5
2
5
x −1 y +1 z
x −1 y +1 z
.
C. = =
và = =
1
1
−2
23
14
−1
Trang 13/42
x+2
=
1
Trong không gian
D.
y z−2
x −4 y −3 z −5
=
và = =
.
1
−2
5
2
5
với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( 3; −1;1) , nằm trong mặt phẳng
x
1
( P ) : x − y + z − 5 =0 , đồng thời tạo với ∆ : =
thẳng d là
x= 3 + 7t
A. y =−1 − 8t .
z =−1 − 15t
x= 3 + 7t
C. y =−1 − 8t .
z = 1 − 15t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
y−2 z
=
một góc 450 . Phương trình đường
2
2
x= 3 + t
B. y =−1 − t .
z = 1
x= 3 + 7t
x= 3 + t
D. y =−1 − t và y =−1 − 8t .
z = 1 − 15t
z = 1
gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với
( P ) : 2 x − y − z + 3 =0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :
x +1 y −1 z
=
= một góc lớn nhất.
1
2
−2
Phương trình đường thẳng d là.
x −1 y +1 z − 2
.
A. = =
1
7
−5
x −1 y +1 z − 2
.
C. = =
4
5
7
x −1 y +1 z + 2
.
B. = =
4
−5
7
x −1 y +1 z − 2
.
D. = =
1
−5
−7
x −1 y − 2 z + 2
=
=
, sao cho
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 :
−1
2
1
x−3 y −2 z+3
=
=
góc giữa d và ∆ 2 :
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
−1
2
2
x +1 y z +1
x +1 y z +1
x +1 y z +1
x +1 y z +1
= =
.
= =
. D.
.
. C. = =
= =
A.
B.
2
2
1
−1
4
−5 −2
2
2
4
5 −2
x = t
x y−2 z
d=
=
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 : y= 4 − t
và
2 :
1
−3
−3
z =−1 + 2t
x +1 y −1 z +1
d2 : = =
. Gọi ∆ là đường thẳng cắt d1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao
5
2
1
cho AB = BC . Phương trình đường thẳng ∆ là
x−2 y−2 z
x y−2 z
x y − 3 z −1
x y − 3 z −1
= =
.
= =
. D.
= = .
B.
C.
A. = = .
1
1
1
1
−1
1
1
1
−1
1
1
1
Trang 14/42
D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
x= 2 − 2t
x= 6 + 2t '
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y= 3 − 2t và d’: y= 3 + 2t ' . Xét các mệnh đề sau:
z = 1 − 3t
z= 7 + 9t '
(V) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a ( 2; 2;3)
(VI) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a ' ( 2; 2;9 )
(VII) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’
(VIII)
Vì a ; a ' . AA ' = 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau
Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận:
A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai.
B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai.
C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai.
D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng.
x= 2 + t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số y = −3t . Phương
z =−1 + 5t
trình chính tắc của đường thẳng d là?
A. x − 2 = y = z + 1.
x−2
y
z +1
= =
.
−3
1
5
x+2
y
z −1
D. = =
.
1
5
−3
B.
x + 2 y z −1
= =
.
−1
−5
3
Hướng dẫn giải
Cách 1:
d đi qua điểm A ( 2;0; −1) và có vectơ chỉ phương a=
d
C.
Vậy phương trình chính tắc của d là
Cách 2:
x − 2 =
t
x= 2 + t
y
−3t ⇔ =
t
y =
−
3
z =−1 + 5t
z +1
5 = t
Vậy phương trình chính tắc của d là
(1; −3;5)
x−2
y
z +1
= =
1
−3
5
x−2
y
z +1
= =
1
−3
5
x − 3 y +1 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình chính tắc = =
.
2
−3
1
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là?
Trang 15/42
x= 2 + 3t
x =−3 + 2t
x= 3 + 2t
A. y =−1 − 3t .
B. y =−3 − t .
C. y = 1 − 3t .
z = t
z = t
z = t
Hướng dẫn giải
Cách 1:
∆ đi qua điểm A ( 3; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương a=
( 2; −3;1)
∆
x =−3 − 2t
D. y = 1 + 3t .
z = t
x= 3 + 2t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y =−1 − 3t
z = t
Cách 2:
x−3
2 =t
x − 3 y +1 z
y +1
==
=
t⇔
=
t
2
−3
1
−3
z
1 = t
x= 3 + 2t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y =−1 − 3t
z = t
x + 2 y −1 z − 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Đường thẳng d đi qua
2
−1
3
điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:
A. M ( 2; −1;3) , ad =
B. M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) .
( −2;1;3) .
C. M ( −2;1;3) , ad =
D. M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) .
( 2; −1;3) .
Hướng dẫn giải
d đi qua điểm M ( −2;1;3) và có vectơ chỉ phương a=
( 2; −1;3)
d
x= t − 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y= 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua điểm M
z= 1 + t
và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là:
A. M ( −2; 2;1) , ad =
B. M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) .
(1;3;1) .
C. M ( 2; −2; −1) , ad =
D. M (1; 2;1) , a=
(1;3;1) .
( 2; −3;1) .
d
Hướng dẫn giải
d đi qua M ( −2;2;1) và có vectơ chỉ phương ad = (1;3;1)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường
thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương =
a (1; −2; 2 ) ?
x= 2 + t
A. y =−3 − 2t .
z =−1 + 2t
x = 1 + 2t
B. y =−2 − 3t .
z= 2 − t
x = 1 − 2t
C. y =−2 + 3t .
z= 2 + t
x =−2 + t
D. y= 3 − 2t .
z = 1 + 2t
Hướng dẫn giải
Trang 16/42
Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) và có vectơ chỉ phương
=
a
x =−2 + t
(1; −2; 2 ) là y= 3 − 2t
z = 1 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc ∆ của đường
thẳng đi qua hai điểm A (1; −2;5) và B ( 3;1;1) ?
x −1 y + 2 z − 5
x − 3 y −1 z −1
B. = =
A. = =
.
.
2
3
−4
1
−2
5
x +1 y − 2 z + 5
x −1 y + 2 z − 5
C. = =
D. = =
.
.
2
3
−4
3
1
1
Hướng dẫn giải
∆ đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương =
AB ( 2;3; −4 )
x −1 y + 2 z − 5
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−4
2
3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) . Phương
trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
x −1 y + 3 z + 2
x −1 y + 3 z + 2
B. = =
A. = =
.
.
2
−4
1
4
−2
−1
x +1 y − 3 z − 2
x − 2 y + 4 z +1
C. = =
D. = =
.
.
2
1
−4
1
3
−1
Hướng dẫn giải
M là trung điểm BC ⇒ M (1; −1;3)
AM đi qua điểm A ( −1;3;2 ) và có vectơ chỉ phương AM
= ( 2; −4;1)
x +1 y − 3 z − 2
Vậy phương trình chính tắc của AM là = =
2
−4
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) . Phương
trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là
x = 1
x = 1
x = 1
x = 1
A. y= 4 + t .
B. y= 4 + t .
C. y= 4 + t .
D. y= 4 − t .
z =−1 + 2t
z =−1 − 2t
z =−1 + 2t
z = 1 + 2t
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
BC =( 0; −2; −4 ) =−2 ( 0;1;2 )
Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương ad = ( 0;1;2 )
d qua A (1;4; −1) và có vectơ chỉ phương ad
x = 1
Vậy phương trình tham số của d là y= 4 + t
z =−1 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (1;3;4 ) và
song song với trục hoành là.
x = 1
x= 1+ t
A. y = 3 .
B. y= 3 + t .
y = 4
y = 4
x = 1
C. y = 3 .
y= 4 − t
x = 1
D. y = 3 .
y= 4 + t
Trang 17/42
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương ad = i =
d đi qua M (1;3;4 ) và có vectơ chỉ phương ad
(1;0;0)
x= 1 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = 3
y = 4
x = 1 − 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t
. Phương trình chính tắc của
z =−3 + 2t
đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và song song với d là
x + 3 y +1 z −1
A. = =
.
−2
1
2
x + 2 y −1 z − 2
C. = =
.
3
1
−1
Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương ad =
x − 3 y −1 z +1
B. = =
.
−2
1
2
x − 2 y +1 z + 2
D. = =
.
3
1
−1
( −2;1; 2 )
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ad = ( −2;1; 2 )
∆ đi qua điểm A ( 3;1; −1) và có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1; 2 )
x − 3 y −1 z +1
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−2
1
2
x − 2 y −1 z − 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
. Phương trình tham số
−1
2
3
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và song song với d là
x= 2 + t
A. y =−1 + 3t .
z= 3 − 4t
x =−1 + 2t
B. y =−3 − t .
z= 4 + 3t
Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương a=
d
x =−1 + 2t
C. y =−3 − t .
z= 4 + 3t
x = 1 + 2t
D. y= 3 − t .
z =−4 + 3t
( 2; −1;3)
Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ chỉ phương a=
a=
∆
d
∆ đi qua điểm M (1;3; −4 ) và có vectơ chỉ phương a∆
( 2; −1;3)
x = 1 + 2t
Vậy phương trình tham số của ∆ là y= 3 − t
z =−4 + 3t
0 . Phương trình chính tắc của
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 3 =
của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và vuông góc với ( P ) là
x + 2 y −1 z −1
A. = =
.
2
−1
1
x + 2 y −1 z −1
C. = =
.
2
1
1
Hướng dẫn giải
( P ) có vectơ pháp tuyến n=
P
x − 2 y −1 z −1
B. = =
.
2
−1
1
x + 2 y −1 z −1
D. = =
.
2
−1
−1
( 2; −1;1)
Vì ∆ vuông góc với ( P ) nên d có vectơ chỉ phương a=
n=
∆
P
( 2; −1;1)
Trang 18/42
∆ đi qua điểm M ( −2;1;1) và có vectơ chỉ phương a∆
x + 2 y −1 z −1
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
2
−1
1
0 .Phương trình tham số của
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z − 3 =
đường thẳng d đi qua A ( 2;1; −5) và vuông góc với (α ) là
x =−2 + t
A. y =−1 − 2t .
z= 5 + 2t
x =−2 − t
B. y =−1 + 2t .
z= 5 − 2t
Hướng dẫn giải
(α ) có vectơ pháp tuyến n=
α
x= 2 + t
C. y = 1 − 2t .
z =−5 + 2t
x = 1 + 2t
D. y =−2 + t .
z= 2 − 5t
(1; −2; 2 )
Vì d vuông góc với (α ) nên d có vectơ chỉ phương a=
n=
d
α
d đi qua A ( 2;1; −5) và có vectơ chỉ phương a=
(1; −2; 2 )
d
(1; −2; 2 )
x= 2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y = 1 − 2t
z =−5 + 2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và vuông góc
với mặt phẳng ( Oxz ) là.
x = 2
A. y = 1 − t .
z = 3
x = 2
B. y = 1 + t .
z = 3
x= 2 + t
D y = −1 .
z= 3 + t
x = 2
C. y =−1 + t .
z = 3
Hướng dẫn giải
(Oxz ) có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1;0)
Vì ∆ vuông góc với (Oxz ) nên ∆ có vectơ chỉ phương a∆= j=
∆ đi qua điểm A ( 2; −1;3) và có vectơ chỉ phương a∆
( 0;1;0)
x = 2
Vậy phương trình tham số của ∆ là y =−1 + t
z = 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) . Phương
trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) là
x= 2 + t
A. y =−1 − 2t .
z = −2t
x =−2 + t
B. y =−1 − 2t .
z = −2t
x= 2 + t
C. y = 1 − 2t .
z = −2t
x= 2 + t
D. y = 1 + 2t .
z = 2t
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ∆ABC , ta có G ( 2; −1;0 )
Gọi ad là vectơ chỉ phương của d
AB
= ( 2; −2;3)
AC =( −2; −4;3)
d ⊥ AB ad ⊥ AB
d ⊥ ( ABC ) ⇒
⇒ ⇒ ad = AB, AC =
d
⊥
AC
ad ⊥ AC
( 6; −12; −12 ) =
6 (1; −2; −2 )
Trang 19/42
d đi qua G ( 2; −1;0 ) và có vectơ chỉ phương là ad = (1; −2; −2 )
x= 2 + t
Vậy phương trình tham số của d là y =−1 − 2t
z = −2 t
(ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) và B ( −1;2;4 ) . Phương trình
d đi qua trọng tâm của ∆OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) là
x y−2 z−2
A.
.
= =
2
1
−1
x y−2 z−2
C.
= =
.
2
1
1
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ∆OAB , ta có G (0;2;2)
OA = (1;4;2 )
OB = ( −1;2;4 )
x y+2 z+2
B.
= =
.
2
−1
1
x y+2 z+2
D.
.
= =
2
1
1
Gọi ad là vectơ chỉ phương của d
d ⊥ OA ad ⊥ OA
d ⊥ (OAB ) ⇒
⇒ ⇒ ad = OA, OB = (12; −6;6 ) = 6 ( 2; −1;1)
d ⊥ OB ad ⊥ OB
x y−2 z−2
Vậy phương trình của d =
là
=
−1
2
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) .
Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình nào sau đây
không phải là phương trình của đường thẳng d .
x =−2 − t
x =−2 + t
x =−2 − 6t
A. y =−1 − 3t .
B. y =−1 + 3t .
C. y =−1 − 18t .
z =−2 + 2t
z =−2 − 2t
z =−2 + 12t
Hướng
dẫn giải
AB =( −2; −2; −4 )
AC = ( 2; −4; −5)
x =−2 − t
D. y =−1 − 3t .
z =−2 − 2t
Đường thẳng d đi qua điểm B ( −2; −1; −2 ) và có vectơ chỉ phương là
ad = AB, AC =−
( 6; −18;12 ) =−6(1;3; −2)
Đáp án sai là câu A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , đồng thời
vuông góc với hai vectơ a = (1;0;1) và
=
b ( 4;1; −1) là
x − 2 y −1 z + 5
x+2
A. = =
B. =
.
−1
−1
5
1
x + 2 y +1 z − 5
x +1
C. = =
D. =
.
1
−5
−1
2
Hướng dẫn giải
∆ đi qua điểm M ( 2;1; −5) , và có vectơ chỉ phương a∆ =
x − 2 y −1 z + 5
Vậy phương trình chính tắc của ∆ là = =
−1
5
1
y +1 z − 5
=
.
5
1
y − 5 z −1
=
.
1
−5
a, b =
( −1;5;1)
Trang 20/42
- Xem thêm -
.PDF 
40 
36 
85 
