Tài liệu Tối ưu hóa đặt nhà máy công nghiệp

§å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 Lêi nãi ®Çu Trong nh÷ng n¨m qua, viÖc b¶o vÖ m«i trêng ®· trë thµnh mét vÊn ®Ò rÊt quan träng vµ ®ã lµ mét vÊn ®Ò bøc xóc trªn ph¹m vi níc ta nãi riªng vµ trªn ph¹m vi toµn thÕ giíi nãi chung. Sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña c¸c ngµnh c«ng nghiÖp ®· lµm cho møc ®é « nhiÔm m«i trêng t¨ng lªn vµ nã kh«ng chØ ¶nh hëng tíi mét khu vùc nµo ®ã mµ cßn ¶nh hëng tíi c¶ c¸c vïng l©n cËn trªn mét diÖn réng. Trong khi ®ã, c¸c ngµnh c«ng nghiÖp tiÕp tôc ph¸t triÓn kh«ng ngõng vµ mét vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ®Æt c¸c nhµ m¸y c«ng nghiÖp ®ã ë ®©u ®Ó møc ®é « nhiÔm do nhµ m¸y ®ã g©y ra lµ nhá nhÊt ®èi víi m«i trêng xung quanh. Sù ph¸t triÓn c«ng nghiÖp nhanh chãng trªn toµn thÕ giíi ®· ®Æt ra mét bµi to¸n cho toµn bé loµi ngêi ®ã lµ gi¶i quyÕt nguån ®éc h¹i mµ nhµ m¸y c«ng nghiÖp ®ã g©y ra ®èi víi hÖ sinh th¸i vµ ¶nh hëng trùc tiÕp ®Õn con ngêi. HiÖn nay nhiÒu thµnh phè trªn thÕ giíi ®· ë trong t×nh tr¹ng b¸o ®éng vÒ møc ®é « nhiÔm. Vµ cµng ngµy møc ®é ®éc h¹i ®ã cµng t¨ng do ®ã dÉn ®Õn kh«ng khÝ bÞ « nhiÔm vµ søc khoÎ cña con ngêi bÞ ¶nh hëng nghiªm träng. RÊt nhiÒu nhµ khoa häc ®· nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy vµ ®· t×m rÊt nhiÒu c¸c ph¬ng ph¸p tèi u ®Ó ®Æt c¸c nhµ m¸y c«ng nghiÖp sao cho møc ®é ®éc h¹i do nhµ m¸y c«ng nghiÖp ®ã g©y ra cho con ngêi lµ nhá nhÊt. §©y lµ mét bµi to¸n rÊt phøc t¹p vµ khã gi¶i quyÕt. Mét trong nh÷ng c«ng cô to¸n häc h÷u hiÖu nhÊt ®Ó gi¶i bµi to¸n ®ã lµ dïng ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n, ®Æc biÖt lµ ph¬ng tr×nh liªn hîp cña nã. Ngµy nay khi khoa häc ph¸t triÓn rÊt m¹nh mÏ, ®Æc biÖt lµ sù ra ®êi cña m¸y tÝnh ®· hç trî rÊt nhiÒu cho viÖc tÝnh to¸n, ®· gi¶m ®îc rÊt nhiÒu khèi lîng tÝnh to¸n vµ cã ®é chÝnh x¸c cao h¬n. KÕt qu¶ chÝnh trong luËn ¸n lµ c¸ch x¸c ®Þnh tèi u vÞ trÝ ®Æt c¸c nhµ m¸y c«ng nghiÖp dùa trªn c¸c yªu cÇu vÒ m«i trêng. LuËn ¸n bao gåm c¸c phÇn chÝnh nh sau: Tèi u ho¸ -1- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 Ch¬ng I. C¬ së to¸n häc Môc ®Ých chÝnh cña ch¬ng nµy lµ nªu nªn c¬ së to¸n häc thuÇn tuý, cô thÓ lµ ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt trong kh«ng khÝ, ®ång thêi còng ®a ra d¹ng ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n ®ã. Ch¬ng II. M« h×nh x¸c ®Þnh vÞ trÝ tèi u ®Æt nhµ m¸y c«ng nghiÖp Trong ch¬ng nµy nªu nªn c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®Æt nhµ m¸y sao cho tèi u nhÊt theo nghÜa lµ møc ®é ¶nh hëng do nhµ m¸y ®ã g©y ra cho c¸c vïng xung quanh lµ tho¶ m·n yªu cÇu vÒ ®é « nhiÔm m«i trêng cho tríc. Ch¬ng III. Ch¬ng tr×nh vµ kÕt qu¶ thö nghiÖm Ch¬ng nµy ®a ra mét ch¬ng tr×nh minh ho¹ ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n, ch¬ng tr×nh ®îc viÕt b»ng ng«n ng÷ Pascal, ch¬ng tr×nh tÝnh ®îc nång ®é t¹p chÊt trong mét miÒn G cho tríc. Ch¬ng IV. KÕt luËn. Cuèi cïng lµ phÇn phô lôc cã ®a ra mét sè c¬ së to¸n ®Ó ¸p dông trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n vµ m« h×nh tæng qu¸t. Em xin c¶m ¬n PGS.TS Bïi Minh TrÝ, TS NguyÔn L¬ng B¸ch cïng c¸c b¹n trong nhãm ®· gióp ®ì, gãp ý ®Ó em cã thÓ hoµn thµnh tèt ®å ¸n tèt nghiÖp nµy. Hµ néi 2003 Tèi u ho¸ -2- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 Môc lôc Lêi nãi ®Çu.........................................................................................................1 Môc lôc..............................................................................................................3 Ch¬ng I C¬ së to¸n häc...................................................................................................5 I.1. Ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt...............................5 I.1.1. Ph¬ng tr×nh m« t¶ sù truyÒn t¶i møc ®é « nhiÔm trong kh«ng khÝ. TÝnh duy nhÊt cña nghiÖm.....................................................5 I.1.2. Sù xÊp xØ khuyÕch t¸n vµ tÝnh duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt...................................................8 I.1.3. Ph¬ng tr×nh khuyÕch t¸n ®¬n gi¶n...................................15 I.1.4. Ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n hai chiÒu..............20 I.2. Ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt........................................................................................................22 I.2.1. Ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n ®¬n gi¶n ..........................................................................................22 I.2.2. Ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n hai chiÒu..........................................................................................29 I.2.3. TÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n liªn hîp......................32 I.3. ThuËt to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt trong trêng hîp hai chiÒu...................................34 I.4. TÝnh æn ®Þnh cña lîc ®å sai ph©n vµ tÝnh kh«ng ©m cña nghiÖm bµi to¸n........................................................................................................36 I.4.1. TÝnh æn ®Þnh cña lîc ®å sai ph©n.....................................36 I.4.2. TÝnh kh«ng ©m cña nghiÖm bµi to¸n ................................38 Ch¬ng II M« h×nh x¸c ®Þnh ®Æt nhµ m¸y c«ng nghiÖp ..................................................40 II.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n .........................................................................40 II.2. Trêng hîp chØ cã mét nhµ m¸y cÇn ®Æt trong miÒn G ................42 Tèi u ho¸ -3- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 II.1.1. §Æt bµi to¸n .....................................................................42 II.2.1 ChuyÓn bµi to¸n tèi u vÒ d¹ng liªn hîp ..........................46 II.3. C¸c më réng kh¸c..........................................................................49 II.3.1. Trêng hîp cÇn ®Æt nhiÒu nhµ m¸y c«ng nghiÖp trong miÒn G...................................................................................................49 II.3.2. §¸nh gi¸ sù mÊt c©n b»ng sinh th¸i do c¸c t¸c ®éng cña chÊt th¶i c«ng nghiÖp.............................................................................56 Ch¬ng III Ch¬ng tr×nh vµ KÕt qu¶ thö nghiÖm...............................................................60 III.1. Ch¬ng tr×nh minh häa ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt..............................................................................60 III.2. KÕt qu¶ thö nghiÖm .....................................................................64 Ch¬ng IV. KÕt luËn........................................................................................71 Phô lôc.............................................................................................................72 Tµi liÖu tham kh¶o ..........................................................................................77 Tèi u ho¸ -4- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 CH¬ng I. C¬ së to¸n häc I.1. Ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt Sù « nhiÔm vËt chÊt ®ang lan trong kh«ng gian theo søc giã bao gåm mét sè sù thay ®æi nhÊt ®Þnh. Sù thay ®æi trung b×nh cña vËt chÊt ®· lµm cho dßng ®èi lu thay ®æi, vµ sù thay ®æi trung b×nh cña nã cã thÓ ®îc xÐt nh lµ sù khuyÕch t¸n trë l¹i mÆt ®Êt cña dßng khÝ. VÊn ®Ò cña chóng ta lµ xÐt ®Õn nh÷ng m« h×nh tham biÕn cho sù truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt. C¬ së to¸n häc m« t¶ qu¸ tr×nh nµy lµ ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt. I.1.1. Ph¬ng tr×nh m« t¶ sù truyÒn t¶i møc ®é « nhiÔm trong kh«ng khÝ. TÝnh duy nhÊt cña nghiÖm. Cho φ(x,y,z,t) lµ nång ®é t¹p chÊt trong kh«ng khÝ. XÐt bµi to¸n trong mét miÒn h×nh trô G víi biªn S cã tiÕt diÖn mÆt bªn h×nh trô lµ Γ, tiÕt diÖn ®¸y lµ Γ0 (t¹i z=0), vµ tiÕt diÖn mÆt trªn lµ ΓH (t¹i z=H). Chóng ta viÕt vect¬ dßng ch¶y theo mét híng nhÊt ®Þnh, ®©y lµ mét hµm cña x,y,z,t, lµ (víi → → → → → i → → u = u i +v j + w k , j , k lµ vect¬ ®¬n vÞ cña c¸c trôc x,y,z t¬ng øng). Sù truyÒn t¶i vËt chÊt ®îc m« t¶ bëi ph¬ng tr×nh sau: ∂φ =0 ∂t D¹ng khai triÓn cña ph¬ng tr×nh nµy lµ: ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ +u +v +w =0 ∂t ∂x ∂y ∂z (1.1.1) Ph¬ng tr×nh ®Ó ®¶m b¶o tÝnh tr¬n sau: ∂φ ∂φ ∂φ + + =0 ∂x ∂y ∂z (1.1.2) Tõ ®ã chóng ta cã ph¬ng tr×nh: ∂φ → +div u φ=0 ∂t Tèi u ho¸ (1.1.3) -5- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 → Díi ®©y chóng ta xÐt div u =0, sau ®ã gi¶ sö r»ng: w=0, t¹i z=0, z=H (1.1.4) Tõ (1.1.3) sö dông ®ång nhÊt thøc sÏ ®îc: u → → ∂φ ∂φ ∂φ +v +w = div u φ −φdiv u ∂x ∂y ∂z (1.1.5) → ®iÒu nµy lµ hîp lý nÕu hµm φ vµ u lµ kh¸c nhau. Víi c¸c gi¶ thiÕt trªn ta cã thÓ ®a (1.1.5) trë thµnh: u → ∂φ ∂φ ∂φ +v +w = div u φ ∂x ∂y ∂z (1.1.5’) §©y lµ mét mèi t¬ng quan rÊt quan träng vµ nã sÏ ®îc sö dông thêng xuyªn trong c¸c phÇn sau. Ph¬ng tr×nh (1.1.3) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu lµ: φ=φ0 t¹i t=0 (1.1.6) vµ ®iÒu kiÖn trªn biªn S cña miÒn G lµ: φ=φS trªn S víi un<0 (1.1.7) víi φ0 vµ φS lµ hµm ®· cho vµ un lµ h×nh chiÕu cña vect¬ vËn tèc dßng ch¶y trªn vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña biªn S. §iÒu kiÖn (1.1.7) ®Þnh nghÜa møc ®é « nhiÔm trong miÒn G. NghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n ®îc cho bëi ph¬ng tr×nh (1.1.3) lµ x¸c ®Þnh ®îc nÕu hµm u,v,w lµ biÕt ®îc trong kh«ng gian vµ thêi gian. Ph¬ng tr×nh (1.1.3) cã thÓ ®îc tæng qu¸t ho¸. VÝ dô, nÕu hÖ sè ph©n huû, l¾ng ®äng σ≥0 trong miÒn G, khi ®ã ph¬ng tr×nh sÏ trë thµnh: ∂φ → +div u φ+σφ=0 ∂t (1.1.8) NghiÖm nµy sÏ ®îc cô thÓ nÕu u=v=w=0 trong ph¬ng tr×nh (1.1.8). B©y giê ta xÐt ph¬ng tr×nh ∂φ +σφ=0, vµ nghiÖm cña nã lµ ∂t φ=φ0exp(-σt) nghiÖm cã d¹ng hµm mò, cßn φ0 lµ gi¸ trÞ ban ®Çu. Tèi u ho¸ -6- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 NÕu miÒn nghiÖm chøa nguån th¶i ®îc m« t¶ bëi hµm f(x,y,z,t), khi ®ã ph¬ng tr×nh (1.1.8) trë thµnh: ∂φ → +div u φ+σφ=f ∂t (1.1.9) B©y giê chóng ta trë l¹i nghiªn cøu bµi to¸n ®· ph¸t biÓu ë trªn vµ ®iÒu kiÖn ®Ó dÉn tíi (1.1.9). B»ng c¸ch nh©n (1.1.9) víi φ vµ lÊy tÝch ph©n trªn toµn miÒn x¸c ®Þnh [0,T] vµ G ta ®îc: ∫ G φ2 2 dG | t =T −∫ G φ2 2 uφ 2 +∫ dt ∫ div dG + σ ∫ dt ∫φ 2 dG = ∫ dt ∫ fφdG 2 0 G 0 G 0 G T dG |t =0 T T (1.1.10) ¸p dông c«ng thøc Ostrogradsky-Gauss nh sau: ∫ div G u φ2 uφ 2 dG = ∫ − n dS 2 2 S (1.1.11) Víi tÝnh chÊt (1.1.4) un sÏ triÖt tiªu khi z=0, z=H, do ®ã tÝch ph©n trªn S trong (1.1.11) cã thÓ ®îc thay thÕ bëi tÝch ph©n trªn bÒ mÆt h×nh trô Γ, cã ®Ó ý ®Õn ®iÒu kiÖn (1.1.4). §iÒu kiÖn ®Çu vµ ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n b©y giê trë thµnh: φ=φ0 t¹i t=0 φ=φS trªn S cho un<0 (1.1.12) trong ®ã φ0 vµ φS lµ cho tríc, tõ ph¬ng tr×nh (1.1.10) chóng ta cã ®îc ∫ G T T T u n+φS2 φ02 u n−φS2 2 dG + ∫ dt ∫ dS + σ ∫ dt ∫φ dG = ∫ dG − ∫ dt ∫ dS +∫ dt ∫ fφdG 2 2 2 2 0 G 0 G G 0 G 0 G φT2 T (1.1.13) víi u n+ ={un,nÕu un>0, hoÆc 0 nÕu un<0} u n− =un- u n+ §¼ng thøc (1.1.13) lµ c¬ së ®Ó chøng minh tÝnh duy nhÊt cña nghiÖm bµi to¸n ®îc m« t¶ bëi ph¬ng tr×nh (1.1.9) vµ (1.1.12). Thùc vËy, gi¶ sö chóng ta cã hai nghiÖm kh¸c nhau gäi lµ φ1 vµ φ2 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (1.1.9) vµ ®iÒu kiÖn (1.1.12). Khi ®ã bµi to¸n cho ®é lÖch ω=φ1-φ2 lµ: Tèi u ho¸ -7- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 ∂ω → +div u ω+σω=0 ∂t (1.1.14) ω=0 t¹i t=0, ω=0 trªn S nÕu un<0 (1.1.15) Ph¬ng tr×nh (1.1.13) cho hµm ω sÏ cã d¹ng ∫ G ωT2 2 T T u n+ωS2 dS + σ ∫ dt ∫ω 2 dG = 0 2 G 0 G dG + ∫ dt ∫ 0 (1.1.16) NÕu ω≠0, th× tÊt c¶ c¸c tÝch ph©n bªn vÕ tr¸i ®Òu d¬ng, do ®ã ®¼ng thøc nµy x¶y ra khi vµ chØ khi ω=0, tøc lµ φ1=φ2. V× vËy bµi to¸n cã nghiÖm duy nhÊt. Trong trêng hîp c¸c thµnh phÇn cña vect¬ híng giã lµ c¸c hµm kh¸c nhau th× chóng ta còng chøng minh t¬ng tù ®îc nã cã duy nhÊt nghiÖm vµ nghiÖm ®ã lu«n lu«n tån t¹i. Tõ ®ã ta ®i tíi bµi to¸n nh sau: ∂φ → +div u φ+σφ=f ∂t (1.1.17) φ=φ0 t¹i t=0 φ=φS trªn biªn S víi un<0 (1.1.18) bµi to¸n nµy còng nã cã nghiÖm duy nhÊt. I.1.2. XÊp xØ sù khuyÕch t¸n vµ tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt Nh÷ng m« h×nh cho sù truyÒn t¶i c¸c chÊt g©y « nhiÔm trong kh«ng gian tõ nguån chÊt th¶i ®îc xÐt ®Õn ë ®©y kh«ng ®Ó ý ®Õn c¸c yÕu tè t¸c ®éng bªn ngoµi nh søc giã, nguån « nhiÔm tõ bªn ngoµi..., c¸c m« h×nh ®ã chØ míi xÐt ®Õn trêng hîp u=v=w=0, do ®ã bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n h¬n. Khi ®ã bµi to¸n truyÒn t¶i vËt chÊt trë thµnh: Tèi u ho¸ -8- §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 ∂φ +σφ=f ∂t (1.2.1) φ=φ0 t¹i t=0 NÕu f kh«ng phô thuéc vµo t, nghiÖm sÏ lµ f φ=φ0e-σt+ σ (1 − e −σt ) (1.2.2) nÕu t ®ñ lín th× bµi to¸n sÏ ®îc xÊp xØ thµnh σφ=f, tøc lµ φ=f/σ. §©y còng lµ nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n (1.2.1). M« h×nh ®¬n gi¶n nµy kh«ng m« t¶ ®îc tÝnh chÊt chÝnh cña sù truyÒn t¶i vËt chÊt trong kh«ng gian cña hµm nguån f. Trªn thùc tÕ, chóng ta chØ biÕt ®îc sù « nhiÔm trong kh«ng khÝ nÕu nã ®ang ph©n t¸n trong ph¹m vi l©n cËn cña nguån th¶i f. XÐt trêng hîp ®¬n gi¶n nh sau: Gi¶ ®Þnh r»ng chóng ta chia hµm a thµnh tæng cña hai thµnh phÇn lµ gi¸ − − trÞ trung b×nh a vµ thµnh phÇn sai sè a’, tøc lµ a= a +a’, víi − a’<< a (1.2.3) ®iÒu nµy cã nghÜa r»ng sù sai sè cña a lµ rÊt nhá. Ta l¹i gi¶ sö r»ng gi¸ trÞ trung b×nh cña a ®îc tÝnh theo c«ng thøc sau − 1 a=T t +T ∫adt (1.2.4) t vµ 1 a' = T − t +T ∫ a' dt = 0 (1.2.5) t NÕu nh qu¸ tr×nh xö lý tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.2.3)-(1.2.5), chóng ta cã thÓ ¸p dông ph¬ng ph¸p díi ®©y ®Ó x¸c ®Þnh ®îc sù truyÒn t¶i vËt chÊt trong kh«ng gian trong c¸c trêng hîp kh¸c nhau. LÊy tÝch ph©n cña ph¬ng tr×nh (1.1.8) trªn kho¶ng t≤τ≤t+T φ(t + T ) − φ(t ) T Tèi u ho¸ + div t +T → ∫ t t +T u φdt + σ ∫φdt =0 t -9- (1.2.6) §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 Gi¶ sö r»ng φ= φ+φ' vµ → → → u = u + u' , nh trong ph¬ng tr×nh (1.2.4), chóng ta nhËn ®îc tõ (1.2.6) nh sau φ (t + T ) − φ(t ) T → → → → (1.2.7) + div u φ + div u 'φ'+σφ = 0 hoÆc t¬ng ®¬ng víi φ(t + T ) −φ(t ) T + div uφ + div u 'φ'+σφ = − φ' (t + T ) −φ' (t ) (1.2.8) T TiÕp theo ta viÕt c¸c hµm nång ®é nh sau: φ =Λφ, φ’=aφ’. Víi gi¶ sö r»ng φ’≤ φ , thÕ th× a<<Λ vµ cã a/Λ=ε<<1. Do ®ã ph¬ng tr×nh (1.2.8) ®îc viÕt l¹i lµ φ(t +T ) −φ(t ) T → → + div u φ +εdiv u 'φ'+σφ = ε T o(1) (1.2.9) víi o(1) sai ph©n bËc mét cña φ’. Khi ®ã vÕ ph¶i cña (1.2.9) lµ nhá bëi v× cã tham biÕn ε/T, vµ cã thÓ bá qua. KÕt qu¶ sÏ thu ®îc lµ φ(t +T ) −φ(t ) T → → (1.2.10) + div uφ +εdiv u 'φ'+σφ = 0 NÕu hµm φ (t) biÕn thiªn nhá trong kho¶ng thêi gian T, chóng ta cã thÓ thay φ (t + T ) − φ (t ) ∂φ b»ng vi ph©n tõ ®ã ®i tíi ph¬ng tr×nh cho c¸c thµnh ∂t T phÇn trung b×nh nh sau → → ∂φ + div u φ +εdiv u 'φ'+σφ = 0 ∂t (1.2.11) → ph¬ng tr×nh nµy kh¸c víi (1.1.8) lµ cã sù xuÊt hiÖn cña div u 'φ ' . NÕu c¸c thµnh phÇn cña vect¬ dßng ch¶y cã d¹ng sau th× nghiÖm cña bµi to¸n ®îc x¸c ®Þnh: u 'φ' = −µ ∂φ ∂φ , v'φ' =−µ ∂y ∂x , w'φ' = −ν ∂φ ∂z (1.2.12) ë ®©y µ≥0 vµ ν≥0 lµ hÖ sè khuyÕch t¸n theo chiÒu ngang vµ chiÒu ®øng t¬ng øng, c¸c hÖ sè nµy lµ x¸c ®Þnh. Tèi u ho¸ - 10 - §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 ThÕ (1.2.12) vµo (1.2.11), chóng ta cã thÓ xÊp xØ sù khuyÕch t¸n cña c¸c chÊt g©y « nhiÔm trong kh«ng khÝ lµ ∂φ + divuφ +σφ = Dφ ∂t (1.2.13) víi Dφ = ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ µ + µ + ν ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (1.2.14) TÊt nhiªn ph¬ng tr×nh (1.2.13) cÇn ph¶i cã ®iÒu kiÖn tr¬n sau div → u =0 (1.2.15) vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu sau t¹i t=0 φ = φ0 (1.2.16) víi nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn cho tríc th× bµi to¸n trªn cã nghiÖm duy nhÊt. Chóng ta nh©n (1.3.13) víi hµm φ råi lÊy tÝch ph©n trong kho¶ng 0≤t≤T vµ miÒn G: 2 2 2    φ u nφ φ 2  µ   ∂ φ  +  ∂ φ   + ν  ∂ φ   dG + dG − dG + dt dS + σ dt φ dG = − dt ∫G 2 G∫ 2 ∫0 ∫S 2 ∫0 G∫ ∫0 G∫    ∂ x   ∂ y    ∂ z       2 0 2 T T 2 T T  ∂φ  ∂φ  ∂ φ + ∫ dt  µ ∫ φ dΓ + ν  ∫ φ dΓ − ∫ φ dΓ    Γ ∂z ∑ ∂z  ∂n 0  Γ 0 H  T (1.2.17) ë ®©y φT=φ(T), φ0=φ(0), ∂φ lµ ®¹o hµm riªng theo híng vect¬ ph¸p tuyÕn ∂n cña bÒ mÆt ∑. Gäi l¹i r»ng S lµ tæng sè bÒ mÆt cña miÕn G, Γ lµ bÒ mÆt h×nh trô, ΓH lµ phÇn mÆt c¾t ngang h×nh trô khi z=H, Γ0 lµ phÇn mÆt c¾t ngang cña h×nh trô khi z=0. Ph¬ng tr×nh (1.2.17) ®îc viÕt thµnh: Tèi u ho¸ - 11 - §å ¸n tèt nghiÖp ∫ G Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 2 2 2 T  u n+φ 2  ∂φ     ∂φ    ∂φ    dG + ∫ dt ∫ dS + ∫ dt ∫ µ + ν   +   dG +   2 2 ∂x  ∂y   ∂z      0 S 0 G      T T 2 − 2 φ u φ + σ ∫ dt ∫φ 2 dG = ∫ 0 dG − ∫ dt ∫ n dS + 2 2 0 G G 0 S φT2 T T    ∂φ ∂φ ∂φ + ∫ dt µ∫φ dΓ +ν  ∫φ dΓ − ∫ φ dΓ  Γ ∂z  ∂n ∂z  0 Γ0  H   Γ (1.2.18) XÐt ®iÒu kiÖn biªn díi ®©y: φ=φS trªn Γ khi un<0 ∂φ =0 trªn Γ khi un≥0 ∂n ∂φ = αφ ∂z trªn Γ0, ∂φ =0 ∂z trªn ΓH (1.2.19) ë ®©y α≥0 lµ hµm ®Þnh nghÜa sù t¸c ®éng cña chÊt « nhiÔm díi líp bÒ mÆt. Ngoµi ra ta cßn cã: w=0 t¹i z=0, z=H (1.2.20) Sö dông c¸c ®iÒu kiÖn (1.2.19), (1.2.20) vµ ®iÒu kiÖn ®Çu (1.2.16) ta thu ®îc mèi t¬ng quan sau: ∫ G 2 2 2 T  u n+φ 2  ∂φ     ∂φ    ∂φ    dG + ∫ dt ∫ dΓ + ∫ dt ∫ µ + ν   +   dG +  ∂y  2 2 ∂ x ∂ z          0 Γ 0 G     φT2 T T T +σ ∫ dt ∫φ 2 dG +ν ∫ dt ∫αφ 2 dΓ = ∫ 0 G 0 Γ0 G φ02 2 T 0 T + ∫ dtµ∫φ 0 u n−φS2 dΓ + 2 Γ dG − ∫ dt ∫ Γ ∂φ dΓ ∂n (1.2.21) ë ®©y S ®îc thay b»ng Γ . B©y giê chóng ta chøng minh r»ng nghiÖm cña nã lµ duy nhÊt. B»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng, gi¶ sö r»ng cã hai nghiÖm φ1 vµ φ2 kh¸c nhau tho¶ m·n (1.2.13), ®iÒu kiÖn ban ®Çu (1.2.16), ®iÒu kiÖn biªn (1.2.19) vµ c¸c ®iÒu kiÖn kh¸c. Do ®ã hµm ®é lÖch ω=φ1-φ2 ®îc viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh nh sau: Tèi u ho¸ - 12 - §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 ∂ω → +div u ω+σω=Dω ∂t (1.2.22) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ω=0 t¹i t=0 (1.2.23) vµ ®iÒu kiÖn biªn ω=0 trªn ∑ khi un<0, ∂ω =0 ∂n trªn ∑ khi un≥0 ∂ω = αω ∂z ∂ω =0 ∂z (1.2.24) trªn ∑0 trªn ∑H Víi bµi to¸n nµy th× (1.2.21) ®îc viÕt l¹i thµnh T T    ∂ ω  2  ∂ ω  2   ∂ ω  2  u n+ ω 2 ω T2 ∫G 2 dG + ∫0 dt ∑∫ 2 d ∑ + ∫0 dt G∫  µ   ∂ x  +  ∂ y   + ν  ∂ z   dG +     T T + σ ∫ dt ∫ ω dG + ν ∫ dt ∫ α ω 2 d ∑ = 0 2 0 G 0 ∑0 (1.2.25) V× c¸c gi¸ trÞ u n+ , µ, ν, σ, α trong ph¬ng tr×nh (1.2.25) lµ kh«ng ©m, nªn chØ cã trêng hîp ω=0 tøc lµ φ1=φ2 th× ®¼ng thøc trªn míi x¶y ra. Do ®ã nghiÖm cña bµi to¸n lµ duy nhÊt. §Ó cho ®¬n gi¶n, cã thÓ gi¶ sö r»ng ë ®©y hµm f=0. Khi ®ã sù ¶nh hëng cña mét nguån th¶i sÏ ®îc tÝnh nh trong phÇn trªn. Khi c«ng xuÊt nguån th¶i kh¸c 0, bµi to¸n ®îc xÐt còng cã nghiÖm duy nhÊt trong sù xÊp xØ khuyÕch t¸n, miÔn lµ c¸c d÷ liÖu ®Çu vµo ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ tr¬n. Khi ®ã bµi to¸n cã d¹ng nh sau: → ∂φ + div u φ + σφ = Dφ + f ∂t φ=φ0 t¹i t=0 Tèi u ho¸ - 13 - §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 φ=φS trªn ∑ khi un<0 ∂φ =0 trªn ∑ khi un≥0 ∂n ∂φ = αφ ∂z trªn ∑0, ∂φ =0 ∂z trªn ∑H (1.2.26) Gi¶ sö r»ng vect¬ vËn tèc kh«ng thay ®æi trong mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh tøc lµ → div u =0 vµ w=0 t¹i z=0, z=H Trong trêng hîp nh vËy th× bµi to¸n (1.2.26) cã d¹ng ®¬n gi¶n h¬n, vµ bµi to¸n nµy ®«i khi ®îc sö dông ®Ó tÝnh to¸n, bµi to¸n nµy còng cã nghiÖm duy nhÊt. D¹ng to¸n häc nh sau: → ∂φ + div u φ + σφ = Dφ + f ∂t φ=φ0 t¹i t=0 φ=φS trªn ∑ ∂φ = αφ ∂z trªn ∑0, ∂φ =0 ∂z trªn ∑H (1.2.27) §Ó lµm râ h¬n chóng ta biÓu diÔn to¸n tö D (®· ®îc ®Þnh nghÜa trong ph¬ng tr×nh (1.2.14)) thµnh hai thµnh phÇn nh sau  ∂2 ∂2  ∂ ∂ ∂ ∂ + + ν = µ∆ + ν 2 2  ∂z ∂z ∂y  ∂z ∂z ∂x D= µ §Ó dÔ dµng cho viÖc ph©n tÝch vµ tÝnh to¸n, chóng ta gi¶ sö r»ng hÖ sè khuyÕch t¸n µ kh«ng phô thuéc vµo c¶ kh«ng gian vµ thêi gian. B©y giê ta cã thÓ xÐt bµi to¸n ba chiÒu tæng qu¸t, nhng cã nhiÒu trêng hîp mµ hai chiÒu (x,y) ®îc xÊp xØ phï hîp víi ph¬ng tr×nh (1.2.26) hoÆc (1.2.27). VÝ dô, ®èi víi ph¬ng tr×nh (1.2.27) khi ta lÊy tÝch ph©n däc theo chiÒu cao, ta cã Tèi u ho¸ - 14 - §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 → ∂ ∂ ∂φ φdz + ∫ div u φdz + σ ∫φdz = ∫ ν dz + µ∆∫φdz + ∫ fdz ∫ ∂t 0 ∂z ∂z 0 0 0 0 0 H H H H H H (1.2.28) Gi¶ sö c¸c thµnh phÇn theo chiÒu ngang u, v cña vect¬ dßng ch¶y kh«ng phô thuéc vµo ®é cao ®èi víi sù truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt, chóng ta cã H → ∫ div u φdz = 0 H  ∂  H  ∂   u ∫ φdz  +  v ∫ φdz  + wφ | zz ==0H     ∂x  0  ∂y  0  (1.2.29) V× w triÖt tiªu t¹i z=0 vµ z=H, nªn H → ∫ div u φdz = 0 H  ∂  H  ∂   u ∫ φdz  +  v ∫φdz   ∂y   ∂x  0   0  (1.2.30) Khi ®ã chóng ta ®i tíi ph¬ng tr×nh c©n b»ng nh sau H ∂ ∂φ ∂φ ∫ ∂z ν ∂z dz =ν ∂z | zz ==0H = −ν 0 ∂φ | z =0 ∂z (1.2.31) ∂φ = αφ ∂z Khi sö dông ®iÒu kiÖn biªn t¹i z=0 th× ph¬ng tr×nh trªn cã thÓ viÕt gän l¹i thµnh H ∂ ∂φ ∫ ∂z ν ∂z dz = −ανφ | z =0 0 NÕu xÊp xØ nång ®é t¹p chÊt t¹i z=0 b»ng 1 φ | z =0 = H H ∫φdz 0 Th× sÏ thu ®îc kÕt qu¶ cuèi cïng nh sau ∂ ∂φ 1 ∫0 ∂z ν ∂z dz = −αν H H H ∫φdz 0 (1.2.32) BiÓu diÔn ®é « nhiÔm kh«ng khÝ vµ hµm nguån qua tÝch ph©n mang tÝnh ph©n phèi nh sau Tèi u ho¸ - 15 - §å ¸n tèt nghiÖp Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 H H 0 0 φ = ∫φdz , f = ∫ fdz Khi ®ã thay vµo ph¬ng tr×nh (1.2.28) ta thu ®îc ∂φ ∂uφ ∂vφ + + +σφ = µ∆φ + f dt dx dy (1.2.33) αν víi σ = σ + H . ë ®©y σ φ lµ tæng ®é l¾ng ®äng cña chÊt g©y « nhiÔm trong kh«ng khÝ, cßn ( αν φ ) lµ ®é l¾ng ®äng trªn bÒ mÆt tr¸i ®Êt. H I.1.3. Ph¬ng tr×nh khuyÕch t¸n ®¬n gi¶n Ta xÐt bµi to¸n ®¬n gi¶n nhÊt cña ph¬ng tr×nh truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt ®ã lµ bµi to¸n mét chiÒu ®îc m« t¶ to¸n häc nh sau σφ = µ d 2φ + Qδ ( x − x0 ) dx 2 (1.3.1) víi -∞0) vµ ®æi híng ngîc l¹i víi gi¸ trÞ ©m u2<0. Khi ®ã ta sÏ cã hai nghiÖm sau     exp −     Q    φ 1 ( x) =  2 4σ µ + u1     exp −     Tèi u ho¸ σ u12 | u1 |   + 2 − ( x − x0 ) , x ≥ x 0 µ 4µ 2µ    σ u12 | u1 |   + 2 + ( x0 − x) , x ≤ x 0 µ 4µ 2µ    - 19 - (1.3.15) §å ¸n tèt nghiÖp     exp −   Q    φ 2 ( x) =  2 4σ µ + u2     exp −     Chu Minh D¬ng To¸n Tin K43 σ u22 | u2 |   + 2 + ( x − x0 ) , x ≥ x 0 µ 4µ 2µ    (1.3.16) σ u22 | u2 |   + 2 − ( x0 − x) , x ≤ x 0 µ 4µ 2µ    NÕu chu k× d¬ng lµ ∆t1 ngµy, cßn chu k× ©m lµ ∆t2 ngµy, khi ®ã nång ®é ®îc tÝnh theo c«ng thøc φ ( x) = ∆t1 ∆t 2 φ1 ( x) + φ 2 ( x) ∆t1 + ∆t 2 ∆t1 + ∆t 2 (1.3.17) NghiÖm (1.3.17) ®îc minh ho¹ trªn h×nh díi ®©y y φ(x) 0 x0 x H×nh 3. §å thÞ m« t¶ nghiÖm trong tr­êng hîp vect¬ h­íng giã thay ®æi ng­îc chiÒu nhau trong mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh Cuèi cïng xÐt m« h×nh thèng kª trong ®ã vect¬ vËn tèc dßng ch¶y ®îc x¸c ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p thèng kª. Cho vect¬ vËn tèc dßng ch¶y lµ u(ξ)= u p(ξ) (1.3.18) víi ξ lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn trong kho¶ng [0,1], vµ p(ξ) lµ mËt ®é ph©n phèi 1 chuÈn, tøc lµ ∫ p(ξ)dξ =1 . NÕu dßng ch¶y kh«ng khÝ chÞu ¶nh hëng cña híng 0 giã th× nghiÖm cña bµi to¸n (1.3.9) víi ®iÒu kiÖn (1.3.18) ®îc biÓu diÔn díi d¹ng tÝch ph©n cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn sau Tèi u ho¸ - 20 -