Tài liệu Tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC =====o0o===== ĐỖ THỊ HẰNG TÍNH CHẤT HẠT TẢI TẠI LỚP CHUYỂN TIẾP BÁN DẪN DỊ THỂ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC =====o0o===== ĐỖ THỊ HẰNG TÍNH CHẤT HẠT TẢI TẠI LỚP CHUYỂN TIẾP BÁN DẪN DỊ THỂ Chuyên ngành: Lý thuyết chất rắn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Lê Thu Lam Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Qua một thời gian cố gắng, nỗ lực phấn đấu, cuối cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy cô và bạn bè tôi đã hoàn tất khóa luận này. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo ThS. Lê Thu Lam người đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong quá trình học tập và trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo những kinh nghiệm quý báu để tôi hoàn thành tốt khóa luận. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng khoa học công nghệ và hợp tác quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện khóa luận. Tôi xin được gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè, các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Vật Lý, đã động viên, đóng góp ý kiến và tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian làm khóa luận và này. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Sơn La, Tháng 04 năm 2014 Sinh viên Đỗ Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Cơ sở nghiên cứu............................................................................................... 1 2.1. Cơ sở lí luận ................................................................................................... 1 2.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................... 2 3. Mục đích của đề tài ........................................................................................... 2 4. Nhiệm vụ của đề tài........................................................................................... 2 4.1. Khái quát về bán dẫn và các cấu trúc dị thể. .................................................. 2 4.2. Giới thiệu về các hạt tải trong bán dẫn. ......................................................... 2 4.3. Nghiên cứu các tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể. ............. 2 5. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2 6. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2 7. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 2 8. Giả thuyết khoa học........................................................................................... 2 9. Kế hoạch thực hiện đề tài .................................................................................. 3 10. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3 NỘI DUNG........................................................................................................... 4 CHƢƠNG I: BÁN DẪN VÀ CÁC CẤU TRÚC DỊ THỂ ................................ 4 1.1. Cấu trúc tinh thể ............................................................................................. 4 1.1.1. Đối xứng tịnh tiến ....................................................................................... 4 1.1.2. Mạng Bravais .............................................................................................. 5 1.1.3. Ô đơn vị và ô cơ sở ..................................................................................... 6 1.1.4. Các phép đối xứng của mạng tinh thể ......................................................... 7 1.1.5. Phân loại các mạng Bravais ........................................................................ 7 1.1.6. Hệ lập phương ............................................................................................. 7 1.2. Lý thuyết vùng năng lượng ............................................................................ 7 1.2.1. Cấu trúc vùng năng lượng tinh thể .............................................................. 7 1.2.2. Cấu trúc vùng năng lượng bán dẫn ........................................................... 16 1.3. Gần đúng khối lượng hiệu dụng................................................................... 18 1.4. Các cấu trúc dị thể ........................................................................................ 19 CHƢƠNG II: CÁC HẠT TẢI TRONG BÁN DẪN....................................... 21 2.1. Hạt tải: electron, lỗ trống ............................................................................. 21 2.2. Hạt tải: exction ............................................................................................. 22 CHƢƠNG III: TÍNH CHẤT HẠT TẢI TRONG CẤU TRÚC BÁN DẪN DỊ THỂ..................................................................................................................... 26 3.1. Bài toán hạt tải trong giếng thế sâu vô hạn .................................................. 26 3.2. Bài toán hạt tải trong mặt phẳng tán sắc tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể ...... 30 3.3. Bài toán hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể khi khối lượng hiệu dụng của hạt không thay đổi ........................................................................................ 32 3.4. Bài toán hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể khi khối lượng hiệu dụng của hạt thay đổi ................................................................................................... 38 3.5. Mật độ trạng thái và độ cư trú các vùng con của hạt tải .............................. 41 3.5.1. Mật độ trạng thái ....................................................................................... 41 3.5.2. Độ cư trú các vùng con của hạt tải ............................................................ 45 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cuộc cách mạng khoa học hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu mới cho các ngành mũi nhọn như: Vô tuyến điện, du hành vũ trụ...Vật lý còn là một lĩnh vực khoa học hết sức rộng lớn gồm nhiều bộ môn như: Vật lý bán dẫn, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý các chất sắt điện, sắt từ... Tuy nhiên dù bao gồm nhiều bộ môn khác nhau song vật lý chất rắn vẫn là một khoa học thống nhất. Đó là sự thống nhất trên xu thế chung của vật lý học hiện đại (xu thế đi sâu vào các cấu trúc và cơ chế vi mô trong mạng tinh thể), thống nhất trên những quan điểm cũng như phương pháp và thực nghiệm chung. Ngày nay, sự phát triển rất nhanh của công nghệ micro và nano. Các linh kiện vi điện tử, quang điện tử và quang tử càng ngày càng được giảm thiểu về kích thước và nâng cao hiệu suất. Với việc chế tạo các lớp chuyển tiếp khác nhau chúng ta có thể tạo ra các loại linh kiện quang điện tử khác nhau. Ví dụ, các chất bán dẫn hai hay ba thành phần từ các vật liệu GaP, GaAs, GaInP,…các chuyển tiếp dị thể tạo ra điôt phát quang (LED), laser bán dẫn,… Đặc biệt hơn, tại các lớp chuyển tiếp dị thể trong cấu trúc bán dẫn có những tính chất mới, từ các chuyển tiếp này có thể tạo ra nhiều linh kiện kích thước nhỏ, năng lượng tiêu thụ thấp và hiệu quả cao. Nhất là trong tình hình năng lượng toàn cầu hiện nay việc nghiên cứu chế tạo ra các linh kiện tiêu thụ ít năng lượng, hiệu suất cao, thân thiện môi trường và đặc biệt là tận dụng được nguồn năng lượng dồi dào của mặt trời là hướng đi được ưu tiên hàng đầu. Bằng việc đưa ra đặc điểm về các bài toán hạt tải dựa vào mối liên hệ giữa các bài toán với nhau, từ đó tìm ra những nét đặc trưng, cơ bản nhất để nghiên cứu, tìm kiếm một số tính chất mới của hạt tải trong cấu trúc bán dẫn dị thể, và có những ứng dụng mới vào trong thực tiễn. Để giúp các bạn sinh viên tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn tôi chọn đề tài “Tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể”. 2. Cơ sở nghiên cứu 2.1. Cơ sở lí luận Để hiểu rõ hơn về cấu trúc bán dẫn dị thể, những tính chất mới của hạt tải trong bán dẫn, thông qua việc nghiên cứu những tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể. 1 2.2. Cơ sở thực tiễn Trong thực tế, sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ nano, đòi hỏi phải có nhiều những ứng dụng trong thực tiễn, đặc biệt là ngành vật lý chất rắn nhu cầu cần tạo ra những vật liệu mới là điều không thể thiếu. Vì vậy, việc nghiên cứu những tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể sẽ giúp chúng ta nâng cao được kiến thức, vận dụng sáng tạo giải thích được các tính chất cơ bản của vật rắn. 3. Mục đích của đề tài Từ việc khái quát những đặc điểm về bán dẫn và các cấu trúc dị thể đi đến giới thiệu về các hạt tải của bán dẫn, từ đó nghiên cứu các đặc trưng, tính chất của hạt tải, vận dụng giải thích được bản chất của các vật liệu trong thực tế. 4. Nhiệm vụ của đề tài 4.1. Khái quát về bán dẫn và các cấu trúc dị thể. 4.2. Giới thiệu về các hạt tải trong bán dẫn. 4.3. Nghiên cứu các tính chất hạt tải tại lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể. 5. Đối tƣợng nghiên cứu Các hạt tải và bán dẫn dị thể. 6. Phạm vi nghiên cứu Các hạt tải trong lớp chuyển tiếp bán dẫn dị thể. 7. Cấu trúc của đề tài Mở đầu. Nội dung. Chương I: Bán dẫn và các cấu trúc dị thể. Chương II: Các hạt tải trong bán dẫn. Chương III: Tính chất hạt tải trong cấu trúc bán dẫn dị thể. Kết luận. 8. Giả thuyết khoa học Việc nghiên cứu, trình bày rõ ràng, cụ thể các hạt tải trong cấu trúc bán dẫn giúp chúng ta hiểu rõ các tính chất của hạt tải tại lớp bán dẫn chuyển tiếp dị thể, từ đó có những ứng dụng trong ngành khoa học nói chung, cũng như sự phát triển của các thiết bị quang điện tử nói riêng. 2 9. Kế hoạch thực hiện đề tài - Từ tháng 09/2013 đến tháng 11/2013: Sưu tầm tài liệu, dịch tài liệu và hoàn thành đề cương của đề tài. - Từ tháng 11/2013 đến tháng 01/2014: Chắt lọc và phân tích tài liệu, hoàn thành đề cương chi tiết của đề tài. - Từ tháng 01/2014 đến tháng 03/2014: Viết đề tài. - Từ tháng 03/2014 đến tháng 04/2014: Chỉnh sửa đề tài. - Tháng 05/2014: Hoàn thành, in và nộp đề tài. 10. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sưu tầm và dịch tài liệu. - Tập hợp và xử lí dữ liệu. - Lấy ý kiến chuyên gia. 3 NỘI DUNG CHƢƠNG I BÁN DẪN VÀ CÁC CẤU TRÚC DỊ THỂ 1.1. Cấu trúc tinh thể Như đã biết, các tinh thể là các hệ nguyên tử hoặc phân tử được sắp xếp theo một trật tự nhất định nào đó. Khi trật tự này tuân theo một cách tuyệt đối trong toàn bộ tinh thể thì ta có (đơn) tinh thể hoàn hảo. Tính chất đặc trưng của tinh thể là trong cấu trúc của tinh thể có sự lặp đi lặp lại theo chu kì trong không gian, tính chất này thường được gọi là đối xứng tịnh tịnh tiến hoặc tuần hoàn tịnh tiến. Đối xứng tịnh tiến có ảnh hưởng mang tính chất quyết định đến mọi tính chất vật lí khác của tinh thể cũng như các hiện tượng xảy ra trong tinh thể, nó làm cho trong tinh thể các tính chất và các hiện tượng này trở nên có đặc thù riêng. Đa số các chất rắn trong tự nhiên có cấu trúc tinh thể. Một cấu trúc tinh thể gồm có một ô đơn vị và rất nhiều các nguyên tử sắp xếp theo một cách đặc biệt; vị trí của chúng được lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian ba chiều theo một mạng Bravais. Kích thước của ô đơn vị theo các chiều khác nhau được gọi là r các thông số mạng hay hằng số mạng. Tùy thuộc vào tính chất đối xứng của ô đơn vị mà tinh thể đó thuộc vào một trong các nhóm không gian khác nhau. Cấu trúc và tính đối xứng của tinh thể có vai trò rất quan trọng với các tính chất liên kết, tính chất điện, tính chất quang,…của tinh thể. 1.1.1. Đối xứng tịnh tiến Phép tịnh tiến T( r ) là một phép biến đổi mà sau đó mỗi một điểm có tọa độ r1 bất kỳ nào đó đều được tịnh tiến đi một vectơ để trở thành có tọa độ là r1 + r , tức là: T( r ): r 1  r 1+ r , đối với mọi r 1 Xét tinh thể lí tưởng, tức là tinh thể hoàn hảo và vô tận. Một tinh thể như vậy sẽ được gọi là có đối xứng tịnh tiến với một phép tịnh tiến T( r ) nào đó nếu sau phép tịnh tiến này nó bất biến, hay nói cụ thể hơn: mỗi nguyên tử của tinh thể dịch chuyển đến vị trí của nguyên tử cùng loại và toàn tinh thể chuyển sang một vị trí mới trùng khít với chính nó ở vị trí cũ. 4 Đối với một tinh thể thì đối xứng tịnh tiến chỉ có thể có mặt khi phép tịnh tiến không phải là tịnh tiến đi một vectơ r bất kỳ mà tịnh tiến đi một vectơ r đáp ứng một số điều kiện nhất định. Vì tinh thể là gián đoạn nên có thể thấy rằng, nếu xét theo một hướng x nào đó của tinh thể thì trên hướng này nhất định sẽ phải có một vectơ ngắn nhất a x (gọi là vectơ tịnh tiến cơ sở hoặc vectơ cơ sở trên hướng x) mà tinh thể sẽ bất biến khi và chỉ khi ta tịnh tiến nó đi một đoạn bằng số nguyên lần ax, tức là tinh thể sẽ bất biến (đối xứng) khi và chỉ khi ta thực hiện phép tịnh tiến T(n a x ), với n là các số nguyên. Vì tọa độ của một điểm bất kỳ trong không gian ba chiều được biểu diễn thông qua ba tọa độ của nó trên ba trục tọa độ chọn không cùng nằm trên một mặt phẳng, do đó đối với tinh thể ba chiều có thể nói rằng khi đã chọn được ba hướng x, y, z phù hợp với nhau làm ba trục tọa độ thì tất cả các vectơ tịnh tiến R được biểu diễn như sau: R  n1 a x  n 2 a y  n 3 a z (*) Tuy nhiên, không phải chỉ có duy nhất một cách chọn ba hướng tọa độ x, y, z thông qua các vectơ cơ sở a x , a y , a z , của chúng biểu diễn được tất cả các vectơ tịnh tiến theo công thức mà có thể có nhiều cách chọn khác nhau. 1.1.2. Mạng Bravais Tập hợp tất cả những điểm có bán kính vectơ R được xác định theo công thức (*) khi a x , a y , a z là các vectơ cơ sở trên ba hướng được chọn thích hợp tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais. Mạng Bravais chỉ mới biểu diễn được tính chất tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể, bằng trực giác vật lý, ta thấy rằng mạng Bravais không phải là mạng tinh thể thực. Mạng tinh thể thực phải được mô tả bằng cách chỉ ra mạng Bravais của nó đi kèm với chỉ ra nền tinh thể, trong đó khái niệm nền tinh thể để chỉ cấu hình nguyên tử tương ứng với mỗi nút mạng Bravais, tức là: Cấu trúc tinh thể = Mạng Bravais + Nền tinh thể. Có các nhận xét về mạng Bravais sau đây: Một là, mạng Bavais phải biểu diễn được tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể, do đó các nút mạng Bravais không nhất thiết phải trùng với nút mạng tinh thể thực (có nguyên tử nằm ở đó). Hai là, nếu tinh thể được cấu tạo nên từ nhiều loại nguyên tử, hoặc nói cách khác số nguyên tử của nền tinh thể là hai hoặc lớn hơn, thì có thể coi là mỗi một 5 loại nguyên tử tạo nên mỗi một mạng Bravais của riêng mình (mạng con) và khi đó mạng tinh thể sẽ gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào nhau. Một tinh thể chỉ gồm một mạng Bravais có thể gọi là tinh thể đơn giản, trong khi một tinh thể gồm nhiều mạng Bravais giống nhau lồng vào nhau thường được gọi là tinh thể phức tạp. Với cách xét, coi mỗi một loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais để tiện cho việc xét vấn đề người ta thường coi là các nguyên tử nằm ở ngay chính các nút của các mạng Bravais. 1.1.3. Ô đơn vị và ô cơ sở Đối xứng tịnh tiến đã bao hàm ý là lặp đi lặp lại một “thể tích nào đó” thì sẽ cho ra toàn tinh thể. “Thể tích nào đó” này thường được gọi là ô đơn vị. Ô đơn vị có thể tích nhỏ nhất được gọi là ô đơn vị cơ sở, nó cũng còn gọi là ô đơn vị tối giản hoặc sơ đẳng. Có nhiều cách để kiến tạo ô cơ sở, trong đó cách phổ biến nhất là lấy luôn hình hộp không gian do 3 vectơ cơ sở a x , a y , a z của ba hướng x, y, z thích hợp tạo ra làm ô cơ sở. Có hai điểm đáng chú ý ở đây: Một là, nếu a x , a y , a z là các vectơ cơ sở của ba hướng x, y, z không thích hợp thì hình hộp không gian do chúng tạo ra sẽ chỉ là một ô đơn vị chứ không phải là ô cơ sở. Hai là, trong trường hợp a x , a y , a z là các vectơ cơ sở của ba hướng x, y, z thích hợp thì vì ở đây không phải chỉ có một cách chọn một bộ hướng x, y, z thích hợp duy nhất mà có nhiều cách chọn khác nhau, nên nếu dùng hình hộp không gian do a x , a y , a z tạo ra làm ô cơ sở với các hình dạng khác nhau, nhưng chúng có một điểm chung là có cùng thể tích như nhau. Một cách đặc biệt để tạo ra ô cơ sở là cách làm của Wigner-Seitz: Lấy một nút trên mạng Bravais, vẽ các mặt phẳng vuông góc đi qua điểm giữa các đoạn thẳng nối nút mạng với tất cả các nút mạng lân cận với nó, khi đó hình không gian nằm trong tất cả các mặt phẳng này là ô cơ sở. Có thể nói một cách tổng quát là ô cơ sở Wigner-Seitz là vùng không gian gần điểm đã chọn của mạng Bravais hơn bất cứ một điểm nào khác của mạng. Và có thể dùng ô WignerSeitz để đại diện cho mạng Bravais. Như vậy, các loại ô cơ sở khác nhau đều có một tính chất chung là có thể tích như nhau và cùng chứa số nguyên tử của nền tinh thể. 6 1.1.4. Các phép đối xứng của mạng tinh thể Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến, ngoài ra tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có thể có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong tinh thể nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là các phép sau: Tịnh tiến, quay quanh một trục, phản xạ gương (qua một mặt phẳng) và các tổ hợp khác nhau của chúng. Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể. Có tất cả 230 nhóm không gian, tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau. 1.1.5. Phân loại các mạng Bravais Dựa vào các tính chất đối xứng (bất biến) đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được phân ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo thành một hệ. Căn cứ vào tính đối xứng đối với các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais được chia làm các hệ sau: hệ lập phương, hệ tứ giác, hệ trực giao, hệ hình thoi, hệ một nghiêng, hệ ba nghiêng, hệ lục giác. Các hệ tinh thể được phân loại theo ô đơn vị chứ không phải theo ô cơ sở, vì ô cơ sở chỉ cho thấy đối xứng tịnh tiến, trong khi hệ tinh thể là phân loại tinh thể theo đối xứng đối với nhóm điểm. 1.1.6. Hệ lập phương Hệ lập phương bao gồm các mạng Bravais sau đây: Lập phương đơn, lập phương tâm khối (tâm thể), lập phương tâm mặt (tâm diện). Đây là những hệ hết sức quan trọng, nhất là mạng lập phương tâm khối và lập phương tâm mặt. Chú ý rằng, mỗi một nút của một mạng Bravais đều có số nút lân cận gần nhất như nhau. Số này được gọi là số phối vị. 1.2. Lý thuyết vùng năng lƣợng 1.2.1. Cấu trúc vùng năng lượng tinh thể 7 Năng lượng của điện tử là thông số quan trọng nhất, nó quyết định hầu như mọi tính chất khác của điện tử vì thế, nên có thể nói rằng phần lý thuyết vùng năng lượng là một trong những đặc trưng của chất rắn tinh thể. Đặc tính cơ bản của tinh thể là cấu trúc của nó có tính chất tuần hoàn tịnh tiến (lặp đi lặp lại theo chu kì trong không gian). Tính chất này có ảnh hưởng quyết định đến tất cả các tính chất vật lí khác của tinh thể, cụ thể là ta xét ảnh hưởng của tính chất tuần hoàn tịnh tiến lên các loại chuyển động khác nhau xảy ra trong tinh thể. Biểu hiện rõ nhất là: Do cấu trúc của tinh thể tuần hoàn tịnh tiến, các chuyển động xảy ra trong tinh thể cũng trở nên tuần hoàn tịnh tiến, nhưng trong không gian đảo. Một là, nguyên lý hình thành các vùng năng lượng. Có hai cách tiếp cận để xét trạng thái năng lượng của điện tử trong chất rắn, đó là: Thứ nhất là, coi các điện tử liên kết chặt với các nguyên tử mẹ của chúng và nghiên cứu sự thay đổi các trạng thái của các điện tử này khi một số lượng lớn các nguyên tử kết hợp lại với nhau để tạo thành một vật rắn. Cách tiếp cận này thường được gọi là phép gần đúng điện tử liên kết chặt. Thứ hai là, xem xét điều gì xảy ra khi điện tử chuyển từ trạng thài hoàn toàn tự do sang trạng thái nằm trong trường thế tuần hoàn do các ion của mạng tinh thể sinh ra. Cách tiếp cận này thường được gọi là phép gần đúng điện tử gần tự do. Cách tiếp cận thứ nhất đơn giản, dễ hiểu nên rất hay được dùng để minh họa hình thành các vùng năng lượng. Ngoài ra cách này còn nói lên rằng chỉ cần sự ảnh hưởng lên nhau giữa các nguyên tử lân cận nhau (trật tự gần) là đã đủ để làm sinh ra bức tranh vùng năng lượng chứ không phải chỉ có tính tuần hoàn của trường tinh thể (trật tự xa) mới làm sinh ra được các vùng năng lượng. Từ đây có thể nói rằng một số chất rắn không có cấu trúc tinh thể vẫn có thể có các vùng năng lượng. Cách tiếp cận thứ nhất chỉ cho thấy sự phụ thuộc của bức tranh năng lượng của điện tử vào khoảng cách mà không cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng này vào véctơ sóng k , mà chỉ có cách tiếp cận thứ hai mới cho ta thấy rõ điều ấy. Vùng năng lượng - hệ quả của sự phủ hàm sóng. Nguyên nhân tạo ra các vùng năng lượng là do các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau có các hàm sóng chồng lấn (phủ) lên nhau. Khi các nguyên tử cách xa nhau đến mức có thể coi chúng là hoàn toàn độc lập đối với nhau thì vị trí của các mức năng lượng của chúng hoàn toàn trùng nhau. Còn khi các nguyên tử tiến lại gần nhau đến 8 khoảng cách cỡ Å (10-10m) thì các hàm sóng của các điện tử của chúng bắt đầu phủ lên nhau và chúng không còn độc lập nữa, các mức năng lượng nguyên tử không trùng chập nhau nữa mà tách ra thành các vùng năng lượng. Mỗi mức tách ra thành một vùng. Mỗi vùng gồm N mức nằm gần nhau đến mức có thể coi chúng phân bố như liên tục theo năng lượng. Và như vậy trong một số trường hợp có thể nói về bức tranh vùng năng lượng rất phức tạp do có sự chồng lấn giữa các vùng với nhau, sự tách của một vùng ra thành các vùng con. Sự tách một mức năng lượng nguyên tử ra thành một vùng năng lượng rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự phủ hàm sóng giữa các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau với nhau là nhiều hay ít. Khi giữa các điện tử nằm trên các lớp ngoài của nguyên tử, nhất là các điện tử hóa trị, thì có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng lúc này rộng. Khi các điện tử nằm trên các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì sự phủ hàm sóng càng yếu đi bấy nhiêu (do bị các điện tử bên ngoài che chắn), và vùng năng lượng đối với các lớp càng nằm sâu bên trong càng hẹp lại. Khi xen kẽ giữa các vùng năng lượng được phép là các vùng cấm, thì nói chung là không có các điện tử có các giá trị năng lượng nằm trong các vùng cấm này. Theo nguyên lý vùng năng lượng tối thiểu thì trong nguyên tử các mức năng lượng thấp hơn bao giờ cũng được lấp đầy trước. Do đó các vùng năng lượng tương ứng với các mức năng lượng của các điện tử nằm bên trong nguyên tử (có năng lượng thấp hơn) bao giờ cũng được lấp đầy trước, chỉ còn vùng ngoài cùng (vùng hóa trị) là có thể chưa được lấp đầy hoàn toàn. Từ đây, dựa trên cơ sở vùng hóa trị này được lấp đầy bao nhiêu, người ta phân loại các chất rắn thành kim loại, bán dẫn, và điện môi như hình 1.1. Nếu vùng hóa trị được các điện tử lấp đầy hoàn toàn và nằm cách xa vùng năng lượng được phép tiếp theo, thì ta có chất điện môi tức là chất cách điện. Còn nếu vùng hóa trị mới chỉ được các điện tử lấp đầy một phần, hoặc vùng hóa trị đã được lấp đầy hoàn toàn nhưng lại chồng lên hoặc liền nhau với vùng năng lượng tiếp theo (thường được gọi vùng dẫn), thì ta có chất dẫn điện, hay cũng còn gọi là kim loại hoặc bán kim loại. Trong trường hợp tuy vùng hóa trị cũng đã được các điện tử lấp đầy hoàn toàn nhưng vùng này lại khá gần với vùng dẫn, chỉ cách vùng dẫn bằng một vùng tương đối hẹp để sao cho về nguyên tắc các kích thích nhiệt cũng có thể kích điện tử từ vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn (  Eg » 0,3 ÷ 3 eV) thì ta có chất bán dẫn. 9 . Hình 1.1: Phân loại các chất rắn theo sự lấp đầy của vùng hóa trị. a.điện môi b.bán dẫn c.Kim loại Các chất rắn về mật độ dẫn điện được phân loại như trên do hiện tượng chất rắn xảy ra như sau: Sự dẫn điện về bản chất là chuyển động của các điện tử trong tinh thể. Nếu xét theo bức tranh vùng năng lượng thì đó hiện tượng điện tử nhảy mức năng lượng thấp lên mức cao hơn. Vì vùng bên trong đều đã bị lấp đầy nên trong các vùng này các điện tử không thể nhảy lên các mức cao hơn được. Do đó chỉ có vùng ngoài cùng (vùng hóa trị) là quan trọng nhất nếu xét về tính chất dẫn điện. Vùng năng lượng - hệ quả của tuần hoàn tịnh tiến. Từ sự sắp xếp rất trật tự, có tính tuần hoàn của các nguyên tử trong tinh thể, ta có thể nhận xét rằng nói chung thì điện tử chuyển động hầu như hoàn toàn tự do trong tinh thể mà không hề gặp bất kỳ một trở ngại nào, không va chạm một hạt nào, cứ như là chúng chuyển động trong chân không. Đây chính là cơ sở vật lý để người ta đưa ra gần đúng điện tử gần tự do. Nói như vậy nhưng không có nghĩa là cấu trúc tinh thể hoàn toàn không ảnh hưởng gì đến chuyển động của điện tử. Ảnh hưởng này biểu hiện ở chỗ trong một số trường hợp nhất định điện tử không thể di chuyển trong tinh thể được. Đó là trường hợp khi điện tử chuyển động với vectơ sóng k đáp ứng điều kiện phản xạ Bragg ( k - k = G i , với G i là một véctơ bất kì của mạng đảo). Như vậy, một điện tử có vectơ sóng k như trên sẽ bị cả họ một mặt phẳng tinh thể vuông góc với G i phản xạ đi phản xạ lại tạo thành sóng đứng, và kết quả là nó không thể di chuyển được. Để phân tích sâu hơn ta xét chi tiết về đặc điểm vùng năng lượng này. 10 Điện tử hoàn toàn tự do: Khi điện tử hoàn toàn tự do, nếu ta coi đó là hạt thì nó chuyển động với vận tốc cố định (v = const ); còn nếu coi nó là sóng thì nó có vectơ sóng k cố định (k = const ). Hơn nữa, trong trường hợp này năng lượng của điện tử chỉ thuần là động năng và do đó quan hệ giữa năng lượng và xung lượng có điện tử có dạng: Hạt : mv 2 p 2 E= = 2 2m 2 k2 p  Sóng –hạt: E = 2m 2 k2 Gần đúng điện tử gần tự do trong tinh thể. Nói một cách chính xác thì trong tinh thể điện tử sẽ có cả động năng (K) và thế năng (U), hay là năng lượng tổng cộng E của nó bằng: E=U+K Như đã phân tích ở trên, ta có thể coi một cách gần đúng rằng (đây là dạng đơn giản nhất của gần đúng điện tử gần tự do). Bình thường, khi điện tử không bị phản xạ Bragg thì nó chuyển động hoàn toàn tự do trong tinh thể, tức là nó không có thế năng mà chỉ có động năng, do đó ở đây E = K. Ngược lại, khi bị phản xạ Bragg thì điện tử không di chuyển được trong tinh thể, tức là lúc này nó chỉ có động năng mà không có thế năng: E = U. Ta có thể biểu diễn bằng công thức như sau: 2 2 k    k   k , Gi  U E  K+U = [1    k   k , Gi  ] 2m trong đó:   k- k,Gi  là kí hiệu Kronecker: 0 khi k- k  G i 1 khi k- k = G i   k- k,Gi  =  Ngoài ra, khi điện tử chỉ có thế năng thì cần nhớ rằng thế năng là một đại lượng phụ thuộc vào vị trí. Đối với trường hợp điện tử trong tinh thể thì có thể xét để thấy rằng có không phải một mà là hai vị trí mà điện tử nó có thể nằm ở đó khi nó bị cố định, cụ thể như sau: Trong mạng tinh thể mỗi một ion dương sẽ tạo ra xung quanh mình một hố thế năng (chú ý là thế năng của điện tử trong điện trường của các ion dương là âm, tương ứng với việc nó bị hút bởi các ion dương này). Do sự sắp xếp có trật tự của các nguyên tử trong mạng tinh thể nên các hố thế năng sắp xếp một cách tuần hoàn. Từ sự bố trí có tính chất tuần hoàn của các hố thế năng nói trên, bằng các nhận xét về đối xứng có thể thấy rằng có hai vị trí tương đương nhau mà điện tử có thể nằm ở đó khi nó bị cố định không 11 di chuyển được, đó là khi ở ngay tại vị trí chính các nút mạng (vị trí các ion dương), tại đây điện tử có thế năng âm nhất (U1). Và khi vị trí giữa các nút mạng, tại đây điện tử có thế năng bớt âm hơn (U2). Khi điện tử cố định trong tinh thể thì nó có hai (chứ không phải một) và chỉ có hai (chứ không phải là nhiều hơn) giá trị năng lượng (là thế năng) U1 và U2 khác nhau tức là không có điện tử có năng lượng nằm trong khoảng  E = U2 - U1 , hay nói cách khác là có sự gián đoạn trong thang năng lượng của điện tử trong tinh thể. Khoảng năng lượng  E = U2 - U1 , thường được gọi là khe năng lượng hoặc vùng cấm. Như vậy, tính chất tuần hoàn tịnh tiến của cấu trúc tinh thể làm cho năng lượng của các điện tử chuyển động trong tinh thể có cấu trúc theo vùng, các vùng được phép xen kẽ (cài răng lược) với các vùng cấm và là lí do xuất hiện các vùng cấm là phản xạ Bragg. Hai là, gần đúng một điện tử. Bài toán tìm ra các trạng thái năng lượng của các điện tử trong tinh thể là một bài toán phức tạp, vì số lượng điện tử trong tinh thể rất lớn. Do đó người ta dùng phương pháp gần đúng để giải nó. Và phương pháp hay được dùng nhất đó là gần đúng một điện tử. Đây là phương pháp mà trong đó tác động của tất cả các hạt nhân và các điện tử khác trong tinh thể lên điện tử đang xét bằng một tác động trung bình (hoặc hiệu dụng) do đó ta chỉ cần xét các trạng thái năng lượng của một điện tử có thể đại diện cho tất cả các điện tử trong tinh thể. Tổng quát lại, gần đúng một điện tử là cách phân chia: tinh thể = một điện tử + phần còn lại. Dựa vào tính chất tuần hoàn tịnh tiến của cấu trúc tinh thể, ta thấy thế năng V( r ) mô tả tác dụng trung bình của tất cả các hạt nhân và điện tử khác của mạng tinh thể được gọi là trường tinh thể. Và chúng phải thỏa mãn điều kiện tuần hoàn tịnh tiến: V(r  R)  V(r) Theo quan điểm về cơ học lượng tử, bài toán về các trạng thái của điện tử trong tinh thể lý tưởng trở thành bài toán đơn giản giải phương trình Schrodinger: 2 2m 2r(r)  V(r)(r)  E(r) trong đó: V( r ) thỏa mãn điều kiện: V(r  R)  V(r) 12 Để giải phương trình này ta phải xác định được trường thế V( r ). Thông thường, người ta dùng phương pháp gần đúng tự hòa hợp Hartree - Fox để giải: Chọn hàm sóng ban đầu  0 (r) nào đó (gần bậc 0 của V( r )). Thay hàm sóng  0 (r) vào phương trình Schrodinger để tìmV0( r ). Áp dụng V0( r )vào phương trình Schrodinger để tìm ψ1( r ). Đặt ψ1( r )vào phương trình Schrodinger để tìm ra V1 (gần đúng bậc 1 của V( r )). Thực hiện các phép toán liên tục nối tiếp nhau ta sẽ thu được kết quả chính xác hơn về V( r ) và ψ( r ). Ba là, hàm Bloch. Giải phương trình Schrodinger cho bài toán một hạt chuyển động trong trường thế tuần hoàn : V(r  R)  V(r) Biểu diễn hàm sóng dưới dạng : V(r  R)  V(r)  (r  R)  eikR (r) Từ đây suy ra được:  k (r)  u k (r)eik r trong đó: u k (r  R)  u k (r) Tức là hàm sóng của điện tử chuyển động trong tinh thể trong gần đúng một điện tử có dạng: Là một sóng phẳng ( eik r ); nhưng với biên độ uk( r ) không phải là cố định mà thay đổi tuần hoàn theo chu kỳ của mạng tinh thể u k (r  R)  u k (r) . Một hàm như vậy được gọi là hàm Bloch. Hàm Bloch là dạng chung của hàm sóng điện tử trong tinh thể ở gần đúng một điện tử, nó là hệ quả trực tiếp của tính tuần hoàn của tinh thể. Do đó dùng phương pháp gần đúng nào để giải bài toán một điện tử thì bao giờ lời giải của bài toán này cũng đều phải có dạng Bloch. Xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí nào đó trong tinh thể là như nhau trong toàn tinh thể - điện tử không định xứ tại một nút mạng cụ thể nào. * (r) (r)  u *k (r)u k (r)  u k (r) trong đó: (r) có dạng hàm Bloch. u k (r) là hàm tuần hoàn. 13 2 Vectơ sóng của điện tử k biểu diễn trạng thái của điện tử trong tinh thể nó quyết định độ lệch pha của hàm sóng. Bốn là, vùng năng lượng trong gần đúng điện tử liên kết chặt. Việc chọn hàm sóng ban đầu (ở gần đúng bậc 0) cho phương trình Schrodinger của gần đúng một điện tử được chọn từ các suy luận sau. Trong phép gần đúng điện tử gần tự do, hàm sóng được chọn là hàm sóng của điện tử tự do, sau đó ta bổ chính cho nó bằng cách coi trường tinh thể tuần hoàn V( r ) mà điện tử chuyển động trong đó chỉ là một nhiễu loạn nhỏ tác động lên chuyển động tự do của điện tử. Ngoài ra ta còn dùng để giải bài toán tại biên vùng Brillouin, khi mà nhiễu loạn trên đây không thể coi là nhỏ nữa. Sử dụng phương pháp gần đúng điện tử gần tự do, ta thấy V( r ) chỉ là một nhiễu loạn nhỏ tác động lên chuyển động tự do của điện tử, vì vậy nó chỉ áp dụng được khi động năng của điện tử lớn hơn rất nhiều so với sự biến thiên trong không gian của thế năng V( r ). Trong thực tế trường hợp xảy ra khi ta chiếu vào tinh thể chùm điện tử có năng lượng ít vài trăm eV, còn bình thường thì điện tử trong tinh thể chỉ có động năng cùng bậc với sự biến thiên trong không gian của V( r ), do đó không thể áp dụng gần đúng điện tử gần tự do. Nếu ta chọn, hàm sóng ban đầu là các hàm sóng riêng của các điện tử nằm trong các điện tử riêng biệt (hay còn gọi là hàm sóng nguyên tử), sau đó bổ chính cho chúng bằng cách cho rằng khi các nguyên tử riêng biệt tiến lại gần nhau để tạo nên tinh thể thì các nguyên tử cũng chỉ tương tác yếu với nhau và do đó các điện tử vẫn liên kết chặt với các nguyên tử mẹ của chúng làm cho các hàm sóng nguyên tử chỉ bị thay đổi đi chút ít (tức là chỉ bị nhiễu loạn nhỏ). Bình thường khi các nguyên tử còn cách xa nhau thì các hàm sóng nguyên tử hoàn toàn không chồng lấn lên nhau, tức là chúng trực giao nhau. Khi các nguyên tử nằm đủ gần nhau sẽ xảy ra hiện tượng chồng lấn (phủ) của hàm sóng này làm cho chúng không còn trực giao nhau nữa. Do đó điều kiện tương tác giữa các nguyên tử, các hàm sóng của các điện tử trong phép gần đúng liên kết mạnh gần như trực giao nhau. Như vậy ta thấy gần đúng liên kết chặt sẽ càng đúng nếu điện tử càng nằm sâu trong nguyên tử và nó sẽ không áp dụng được đối với các điện tử hóa trị. Tuy nhiên với cách chọn hàm sóng ban đầu là cách chọn hàm sóng nguyên tử là mỗi một nút mạng bao giờ cũng phải gắn liền với một số điện tử nhất định nào đó (điện tử phải trung hòa về điện) làm cho ở đây rất khó xét các trạng thái phân 14 cực. Việc chọn các hàm sóng ban đầu cho phương trình Schrodinger bên cạnh những mặt được thì cũng có những mặt chưa được, ta thấy cả hai phép gần đúng điện tử gần tự do và điện tử liên kết mạnh đều không đủ khả năng mô tả một cách định lượng trạng thái của các điện tử hóa trị của tinh thể. Tuy nhiên các phép gần đúng này đã minh họa rất tốt các định luật chung về các trạng thái năng lượng của các điện tử trong tinh thể và đó chính là giá trị của chúng. Giải bài toán gần đúng điện tử liên kết chặt, ta thu được giá trị riêng của năng lượng của điện tử nằm trong trạng thái ψ( r )có dạng: E  Eo  C   n eik R n (**) n trong đó: C   *o (r)V(r)o (r)d n   *o (r)V(r  R n ) o (r  R n )d ξn được gọi là tích phân chồng lấn (có được do sự chồng lấn của các hàm sóng nguyên tử). Công thức (**) là công thức quan trọng nhất của lí thuyết vùng năng lượng trong phép gần đúng điện tử liên kết chặt và chúng có hai ý nghĩa như sau: Một mức năng lượng biến thành một vùng năng lượng. Công thức cho thấy khi xét vấn đề từ quan điểm tinh thể được tạo nên từ các nguyên tử riêng biệt, một mức năng lượng E0 của điện tử trong nguyên tử riêng biệt do kết quả của sự tương tác giữa các nguyên tử lân cận nên bị dịch chuyển lên một đại lượng là C và tách ra thành một vùng năng lượng (do thành phần chứa ξn). Công thức cũng cho thấy rằng độ rộng của vùng năng lượng (được phép) tỉ lệ thuận với giá trị của đại lượng ξn, chủ yếu được quyết định bởi độ chống lấn giữa các nguyên tử cạnh nhau. Do đó, đối với các điện tử hóa trị sự chồng lấn của các hàm sóng là quá lớn làm cho độ rộng của vùng năng lượng lên đến vài eV, lớn hơn cả khoảng cách giữa hai mức năng lượng nguyên tử, vì vậy không thể áp dụng gần đúng liên kết mạnh trong trường hợp này. Đối với các điện tử nằm trên các lớp điện tử bên trong thì độ rộng của vùng năng lượng là khá nhỏ, khi đó có thể áp dụng gần đúng này. 15