Mô tả:
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT)
ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính
đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những
khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để
cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài
này.
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số:
Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n .
• Gặp hằng số : C 1010 ,C 10 20 …. đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10).
10
ví dụ -5 10 ( đọc là âm vô cực ghi )
• Gặp hằng số C 10 12 đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ).
ví dụ: 15 10 12 đọc là 0
A. Dãy có giới hạn là 0
• Ví dụ 1: lim
1n máy ghi : 1x calc x ? nhập 1010
n5
x5
11
Kq : 9.99999995 10 ta đọc là 0
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)RQ)+5
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 1
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Kq : 9.99999995 10 11 ta đọc là 0
Vậy lim
1n
n5
0
(1) n cos n
(1) x cos x
• Ví dụ 2: lim
nếu nhập
calc như trên máy sẽ
n2 1
x2 1
Math ERROR
-
Vận dụng định lý 1 Nếu u n v n với mọi n và lim vn 0 thì lim u n 0 .
-
Ta chỉ cần ghi
Vậy lim
1
calc x ? nhập 1010 kết quả 1 10 20 đọc là 0
x 1
2
(1) n cos n
0
n2 1
• Ví dụ 3: lim
1n máy ghi
n
2 1
(1) x
calc x ? 100 kq: 3.84430 ...26 x10 31
2x 1
đọc là 0
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)R2^$Q)+1
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 2
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 100=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy lim
1x
2x 1
0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn
( 1) n
2. lim
2n 1
(n 1)
1. lim
n2
B.Giới hạn hữu hạn :
1n
3. lim
sin n
n5
4. lim
cos 2n
n3 1
1n
• Ví dụ 1: lim 2
máy ghi: 2
n2
n2
calc x ? nhập 1010 kq là 2
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 3
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:
1n
vậy lim 2
=2
n2
• Ví dụ 2: lim
1
sin 3n 1
sin 3n
mà lim 0 khi đó lim (-1)=-1
1 1 vì
n
4n
n
4n
sin 3n
nên lim
1 1
4n
• Ví dụ 3 lim
n 2 3n 5
2 n 2 1
Cách bấm máy:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 4
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Nhập vào máy tính:
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
vậy lim
n 2 3n 5
= 0.5
2 n 2 1
Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
2n 3 4n 2 3n 3
2n 3 4n 2 3n 3
máy
ghi
n 3 5n 7
n 3 5n 7
calc x ? nhập 1015 Kq là – 2
• Ví dụ 4 : lim
2n 3 4n 2 3n 3
2
Vậy lim
n 3 5n 7
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 5
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
2 X 1 3 X 11
1
calc x=100 kq
X 2
X 3
9
3
2
4
n 1
n
2 3 11 1
Vậy : lim n 2 n 3
9
3 2 4
• Ví dụ 5: máy ghi lim
• Ví dụ 6: lim
13 3 X 15
13.3 n 15
máy
ghi
calc X ? nhập 100
3 2 X 4.5 X
3 .2 n 4 . 5 n
3.19755 ...x10 17 đọc là 0 .
13.3 n 15
0 ( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm )
Vậy lim n
3.2 4.5 n
C. Giới hạn vô cực :
n 3 3n 5
n 3 3n 5
máy
ghi
2n 2 11
2n 2 11
calc x ? nhập 1015 kq 5 1014 đọc là âm vô cực
• Ví dụ 1: lim
vậy lim
n 3 3n 5
2n 2 11
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 6
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
vậy lim
n 3 3n 5
2n 2 11
• Ví dụ 2 : lim 5n 2 3n 1 máy ghi : 5n 2 3n 1
calc x ? nhập 1015 kq là 5 10 30 (Đọc là dương vô cực )
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
5Q)dp3Q)+1
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 7
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Vậy lim
n 3 3n 5
2n 2 11
• Ví dụ 3: lim 3n 4 5n 2 n 1
máy ghi : 3n 4 5n 2 n 1
calc x ? nhập 1015 kq : 1.73205 ...08 10 30 ( đọc là dương vô cực )
Vậy : lim 3n 4 5n 2 n 1
(Nhập tương tự ví dụ 2)
*Nếu
f n
với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng
g n
chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n)
2n 3
2n 3 3n 2
máy
ghi
calc x ? nhập 1015
2
2
3n
3n 5
14
6.66666667 10 (đọc là âm vô cực )
• Ví dụ 1: lim
kq:
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
az2Q)^3R3Q)d
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số
khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 8
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy lim
2n 3 3n 2
3n 2 5
Tương tự cho các ví dụ bên dưới
• Ví dụ 2: lim
n 6 7 n 3 5n 8
máy ghi
n 12
n6
n
calc x ? nhập 1015 kq 1 10 30
( đọc là dương vô cực )
Vậy lim
n 6 7 n 3 5n 8
n 12
• Ví dụ 3: lim
3n 1
2n 1
máy
3x 1
calc x ? 100 4065611 ..x1017 đọc là .
2x 1
*CHÚ Ý : Gặp a n nhập n = 100
Vậy lim
3n 1
2n 1
n 2 4n 5
3n 3 n 2 7
n 2 4n 5
0
vậy lim 3 2
3n n 7
• Ví dụ 4 : lim
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
máy ghi
n2
3n 3
calc x ? nhập 1015 kq :0
Trang 9
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
2n 4 3n 2
2n 4
máy
ghi
calc x ? nhập 1015
2n 2
2n 2 n 3
• Ví dụ 5: lim
kq:
2
2
Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước
khi áp dụng dạng trên .
• Ví dụ 1: lim n 2 n 1 n ta có
2
n n
2
Vậy lim n 2 n 1 n
n 1
2
n 1 n
máy
1
2
1
2
1
• Ví dụ 2: lim
n
n 1 n
calc x ? nhập 1015 kq:
n
ghi
n
n 2 n 1
ta có
1
n 2 n 1
n 2 n 1 2 n
Mà lim n
Vậy : lim
1
n 2 n 1
1
• Ví dụ 3: lim
kq: 0
máy ghi
1
calc x ? nhập 1015
3n 2n
3n 2 2n 1
1
0 ( các hệ số trước n lệch nhau không
vậy: lim
3n 2 2n 1
cần nhân lượng liên hợp.
• Ví dụ 4: lim
kq:
n2 1 n 1
3n 2
n2 n
calc x ? nhập 1015
3n
máy ghi :
1
3
Bài tập rèn luyện :
Tìm các giới hạn sau:
4n 2 n 1
1. lim
(KQ :2)
3 2n 2
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
2. lim
3n 2 5 n
1 2n 2
(KQ: 0 )
Trang 10
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
3. lim n 2
2
(KQ: )
n 1
2n 3n 3 1
5. lim
(KQ: -3)
n3 n2
7. lim
n 2 n 1 4n 2 2
(KQ: -1 )
n3
6. lim
2 3n 3 n 1
1 4n
5
2
(KQ:
• Ví dụ 1: lim x 3 5 x 2 10 x máy viết :
𝑥→2
27
)
4
3n 4 n 1
8. lim
(KQ: -1)
2.4 n 2 n
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
Lim 𝑓(𝑥)
Nếu f x xác định tại x0 viết f x calc ? x0
𝑥→𝑥0
1
)
2
4. lim n 2 n n 2 1 (KQ:
x
3
5 x 2 10 x
f x0
calc X ? 2
48
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
Q)^3$+5Q)d+10Q)
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 2=
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 11
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy lim x2 x 3 5 x 2 10 x 48
Tương tự cho ví dụ 2
• Ví dụ 2: lim x1
x 2 5x 6
2 f 1
x2
2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
2.1 Dạng
f x
0
Khi tìm lim x x0
mà f x0 0 và g x0 0
g x
0
• Ví dụ 3 : lim x2
x2 4
x 2 3x 2
máy ghi
x2 4
calc X ? nhập
x 2 3x 2
2,000001 ( lớn hơn 2 một tí ti ) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4
hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ hơn 2 một tí ti ) 4
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
aQdp4RQ)dp3Q)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 12
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Ta nhập tiếp: 2.000001=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy lim x2
x2 4
4
x 2 3x 2
Tương tự cho các ví dụ tiếp theo
x 3 3x 2
x 3 3x 2
máy
ghi
calc X ?
x 4 4x 3
x 4 4x 3
x 3 3x 2 1
1
Nhập 0,9999999 Vậy lim x1 4
2
x 4x 3 2
x 4 x 2 72
x 4 x 2 72
• Ví dụ 5: lim x3 2
máy ghi
calc X ? nhập
x 2x 3
x 2 2x 3
• Ví dụ 4: lim x1
3,0000001 kq :25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999
kq : 25,49999993 đọc là 25,5
x 4 x 2 72 51
Vậy lim x3 2
2
x 2x 3
1
2
1
2
• Ví dụ 6: lim x1 2
calc X ? nhập
máy ghi 2
x 1 x 1
x 1 x 1
1
1,000000001
KQ :
2
1
3
1
3
• Ví dụ 7 : lim x1
máy ghi
calc X ? nhập
3
3
1 x 1 x
1 x 1 x
1,000000001 -1 KQ: -1
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 13
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
x4 a4
x4 a4
máy ghi
calc
xa
xa
chọn a = 0 khi đó x 0 kq: 0
chọn a =1 khi đó x 1 kq :4= 4 13
chọn a = 2 khi đó x 2 kq:32= 4 2 3
chọn a = 3 khi đó x 3 kq :108 = 4 33
x4 a4
4a 3
Vậy lim xa
xa
• Ví dụ 8: lim xa
Nhận xét bài nầy thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn !
Bảng chia Hoc ne
Hệ số của 1
0
0
0
a4
x
a 1
a
0
a2
a3
lim x a
x a x 3 ax2 a 2 x a 3 lim
2.2 DẠNG:
xa
xa
x
3
ax2 a 2 x a 3 4a 3
f x
Thường gặp khi x nếu dạng
không chứa căn bậc
g x
chẳn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x nhập
1010
3x 3 2 x 2
3
máy ghi
calc X ? 10 20 KQ:
3
2
2
2x 2x 1
• Ví dụ 1: lim x
3x 3 2 x 2
2x3 2x 2 1
• Ví dụ 2: lim x
x 4 3x 2 1
x 4 3x 2 1
máy
ghi:
calc X ? 1010 KQ:
x3 2x 2
x3 2x 2
x 4 3x 2 1
x 4 3x 2 1
máy
ghi:
calc X ? 1010 KQ:
3
3
x 2x 2
x 2x 2
• Ví dụ 3: lim x
1 10 20 (đọc là trừ vô cực )
• Ví dụ 4 : lim x
x 2 3x 2 x
máy ghi
3x 1
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
x 2 3x 2 x
1
calc X ? 10 20 KQ :
3x 1
3
Trang 14
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
4x 2 2x 1 2 x
• Ví dụ 5: lim X
TH1: lim X
TH2: lim X
9 x 2 3x 2 x
4x 2 2x 1 2 x
9 x 2 3x 2 x
4x 2 2x 1 2 x
9 x 3x 2 x
2
CALC X ? 10 20 (trong căn) KQ:
1
5
CALC X ? 10 20 KQ: 3
• Ví dụ 6: lim X ( x 2 x 1 x) dạng
Máy ghi
x 1
x2 x 1 x
CALC X? 10 20
KQ
1
2
• Ví dụ 7: lim X ( x 2 x 1 x) Khi đó không phải dạng . nên không
cần nhân lượng liên hợp
Máy ghi : ( x 2 x 1 x) CALC 10 20 KQ 2 10 20 đọc là .
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép
Trang 15
- Xem thêm -