LÊ MINH TÂM
CHƯƠNG 01
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC .................................................................................................................... 4
I. ÔN TẬP ........................................................................................................................................................ 4
1.1. Các hệ thức cơ bản. ............................................................................................................................... 4
1.2. Cung liên kết. ......................................................................................................................................... 4
1.3. Công thức cộng. ..................................................................................................................................... 4
1.4. Công thức nhân và hạ bậc. .................................................................................................................. 4
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích.................................................................................................... 5
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng.................................................................................................... 5
1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt. ............................................................................. 5
II. HÀM SỐ y = sinx VÀ HÀM SỐ y = cosx............................................................................................... 5
III. HÀM SỐ y = tanx Và HÀM SỐ y = cotx.............................................................................................. 8
IV. BÀI TẬP................................................................................................................................................... 10
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ...................................................................................................................... 10
Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ. ...................................................................................................................... 13
Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ. .................................................................................................................. 15
Dạng 04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.................................................................. 17
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ....................................................................................... 21
I. PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a.......................................................... 21
II. PHƯƠNG TRÌNH TanX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CotX = a ....................................................... 23
III. BÀI TẬP................................................................................................................................................... 26
§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO HÀM LƯỢNG GIÁC ................................................................... 32
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 32
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 33
§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI HÀM SIN - COS ....................................................................... 43
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 43
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 44
§4. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ........................................................................................................ 54
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 54
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 55
LÊ MINH TÂM
Trang 2
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
§5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ........................................................................................................ 62
I. DẠNG CƠ BẢN. ....................................................................................................................................... 62
II. BÀI TẬP. ................................................................................................................................................... 62
§6. CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH KHÁC ................................................................................................ 68
I. BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG. ........................................................................................................ 68
1.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 68
1.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 68
II. BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH. ....................................................................................................... 70
2.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 70
2.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 70
III. TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP. ................................................................................................. 73
3.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 73
3.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 74
IV. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ĐIỀU KIỆN. .................................................................................................. 75
4.1. Ví dụ minh họa. ................................................................................................................................... 76
4.2. Bài tập rèn luyện................................................................................................................................. 77
§7. TỔNG ÔN CHƯƠNG .......................................................................................................................91
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH. ...................................................................................................................... 91
Dạng 02. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.................................................................. 93
Dạng 03. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ...................................................................................... 96
Dạng 04. TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. ............................................................ 113
Trang 3
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG
§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. ÔN TẬP
1.1. Các hệ thức cơ bản.
tan .cot 1
sin2
cos2
1
1 tan 2
1
cos2
1 cot 2
1
sin 2
1.2. Cung liên kết.
Cung đối nhau
cos
cos
sin sin
tan tan
cot cot
Cung bù nhau
sin
cos
tan
cot
sin
cos
tan
cot
Cung phụ nhau
sin
2
cos
2
cos
sin
tan cot
2
cot tan
2
1.3. Công thức cộng.
sin a b sin a cos b sin b cos a
tan a b
tan a tan b
1 tan a.tan b
Cung hơn kém
sin
cos
tan
cot
sin
cos
tan
cot
cos a b cos a cos b
tan a b
Cung hơn kém
2
sin
2
cos
2
cos
sin
tan cot
2
cot tan
2
sin a sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
1 tan x
1 tan x
Hệ quả: tan x
và tan x
.
4
1 tan x
4
1 tan x
1.4. Công thức nhân và hạ bậc.
Nhân đôi
Hạ bậc
1 cos 2
sin 2
sin 2 2 sin cos
2
2
2
1 cos 2
cos 2 cos sin
cos2
2
2
2
2 cos 1 1 2 sin
2 tan
1 cos 2
tan 2
tan 2
2
1 cos 2
1 tan
LÊ MINH TÂM
Trang 4
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
cot 2 1
2 cot
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích.
ab
ab
cos a cos b 2 cos
.cos
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 sin
.cos
2
2
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
sin a b
cot a cot b
sin a.sin b
cot 2
cot 2
1 cos 2
1 cos 2
ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
.sin
2
2
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
sin b a
cot a cot b
sin a.sin b
cos a cos b 2 sin
Đặc biệt
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
4
4
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a.cos b cos a b cos a b
2
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
1.7. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Đơn vị
30o
45o
60o
90o
120o
150o
180o
360o
0o
135o
độ
2
3
5
Đơn vị
0
2
radian
3
4
6
6
4
3
2
1
1
2
3
3
2
0
0
0
sin
1
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
1
3
2
2
2
tan
0
3
3
1
3
KXĐ
cot
KXĐ
3
1
3
3
0
0
1
2
2
2
3
2
1
1
3
3
0
0
KXĐ
KXĐ
3
1
3
3
1
3
II. Hàm Số y = sinx Và Hàm Số y = cosx.
Hàm số y sin x
1. Định
nghĩa:
Trang 5
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x
với sin của góc lượng giác có số đo x
rađian được gọi là hàm số sin , kí hiệu
y sin x .
Hàm số y cos x
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x
với cos của góc lượng giác có số đo x
rađian được gọi là hàm số cos , kí hiệu
y cos x .
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2. Tập
xác định:
3. Tập
giá trị:
4. Tính
chất hàm
5. Chu kỳ
6. Đơn
điệu
D
D
1;1
1;1
Là hàm số lẻ.
Là hàm số chẵn.
Chu kì 2 .
Chu kì 2 .
Hàm số
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
k2 ; k2 .
2
2
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng
3
k2 .
k2 ;
2
2
Hàm số
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
k2 ; k2 .
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng
k2 ; k2 .
7. Đồ thị
sin x 1 x
8. Giá trị
đặc biệt
2
sin x 0 x k .
sin x 1 x
2
LÊ MINH TÂM
k2 .
k2 .
cos x 1 x k2 .
cos x 0 x
k .
2
cos x 1 x k2 .
Trang 6
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý:
+) Hàm số y sin u x , y cos u x xác định u x có nghĩa.
+) 1 sin x,cos x 1 ; 0 sin 2 x ,cos 2 x 1 ; 0 sin x , cos x 1.
Ví dụ 01.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y sin 4x .
b. y sin
3x 1
.
x2 1
Lời giải
c. y cos x 2 .
a. y sin 4x .
Hàm số xác định với mọi số thực x nên hàm số có tập xác định D
3x 1
b. y sin 2
.
x 1
Hàm số xác định khi x2 1 0 x 1 .
Tập xác định D \1 .
.
c. y cos x 2 .
Hàm số xác định khi x 2 0 x 2 .
Tập xác định D 2; .
Ví dụ 02.
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y 3cos x sin 2 x .
b. y
1 sin 2 2 x
.
1 cos 3x
Lời giải
a. y 3cos x sin x .
2
Hàm số có tập xác định D .
Lấy x ta có x và y x 3 cos x sin2 x 3 cos x sin2 x y x .
Do đó hàm số là hàm chẵn .
1 sin 2 2 x
b. y
1 cos 3x
Hàm số xác định khi cos 3x 1 3x k 2 x
Tập xác định D
k2
\
3
3
3
k2
3
k .
k .
Ta thấy nếu x D cos 3x 1 mà cos 3x cos 3x cos 3x 1 x D
Khi đó y x
1 sin 2 2x
1 cos 3x
1 sin 2 2x
y x .
1 cos 3x
Do đó hàm số là hàm chẵn .
Ví dụ 03.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
Trang 7
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a. y 4 3 sin 5x .
b. y 2 sin 2 x cos 2 x 1 .
c. y sin x , x ; .
4 4
Lời giải
a. y 4 3 sin 5x .
Hàm số có tập xác định D .
Ta có 1 sin x 1 3 3 sin x 3 3 4 4 3 sin x 3 4 1 y 7 .
Do đó: max y 7 sin x 1 x
min y 1 sin x 1 x
2
k2
2
k2
k .
k
2
1
b. y 2 sin 2x cos 2x 1 3
sin 2x
cos 2x 1
3
3
Đặt sin
1
3
; cos
2
3
0; ta có
y 3 cos sin 2x sin cos 2x 1 3 sin 2x
Ta có:
1 sin 2x
1
3 3 sin 2x
Do đó: max y 1 3 đạt được khi sin 2x
min y 1 3 đạt được khi sin 2x
1
3 3 1 3 sin 2x
1
3 1
1
1 .
c. y sin x , x ;
4 4
Hàm số y sin x đồng biến trên khoảng ;
nên
2
2
y
Với x ; sin sin x sin
.
2
2
4 4
4
4
Do đó max y
2
2
đạt được khi x ; min y
đạt được khi x .
2
2
4
4
III. Hàm Số y = tanx Và Hàm Số y = cotx.
1. Định
nghĩa:
2. Tập
xác
định:
3. Tập
giá trị:
Hàm số y tan x
Hàm số y cot x
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi
sin x
công thức y
cos x 0 , ký hiệu
cos x
y tan x .
Hàm số côtang là hàm số được xác định
cos x
bởi công thức y
sin x 0 , ký
sin x
hiệu y cot x .
D
\ k , k
2
1;1
LÊ MINH TÂM
D
\k , k
1;1
Trang 8
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4. Tính
chất
hàm
5. Chu
kỳ
6. Đơn
điệu
Là hàm số lẻ.
Chu kì
Là hàm số lẻ.
.
Chu kì
.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
3
k ; k .
k .
k ;
2
2
7. Đồ
thị
Chú ý:
- Hàm số y tan u x xác định khi và chỉ khi cosu x 0 .
- Hàm số y cot u x xác định khi và chỉ khi sin u x 0 .
Ví dụ 04.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y tan x .
4
b. y cot x .
3
Lời giải
Trang 9
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a. y tan x .
4
Hàm số xác định khi cos x 0 x k x k
4
4 2
4
Do đó hàm số có tập xác định D \ k k .
4
k
b. y cot x
3
Hàm số xác định khi sin x 0 x k x k
3
3
3
Do đó hàm số có tập xác định D \ k k .
3
k
IV. BÀI TẬP.
Dạng 01. TẬP XÁC ĐỊNH.
Phương pháp giải:
1.
f x xác định f x 0 ;
1
xác định f x 0 .
f x
3. y cos f x xác định f x xác định.
4. y tan f x xác định f x k k .
2
5. y cot f x xác định f x k k .
2. y sin f x xác định f x xác định.
Bài 01.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
1. y
2 cos x 3
3. y
2. y 1 sin x
4 cos x
4 sin 2 x 1
4. y
1 cos x
cos 2 x
Lời giải
1. y
1
2 cos x 3
3
x k2 , k
2
6
Tập xác định của hàm số là D \ k 2 , k .
6
Điều kiện: cos x
2. y 1 sin x
Điều kiện: 1 sin x 0 sin x 1 x
LÊ MINH TÂM
Trang 10
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tập xác định của hàm số là D
4 cos x
3. y
4 sin 2 x 1
.
x 6 k2
x 5 k2
1
6
,k .
Điều kiện: 4 sin 2 x 1 0 sin x
2
x k2
6
7
x
k2
6
5
7
k2 , k .
Tập xác định của hàm số là D \ k 2 , k 2 , k 2 ,
6
6
6
6
4. y
1 cos x
cos 2 x
Điều kiện:
1 cos x 0
1 cos x
0
x k ,k
2
cos
x
0
2
cos x
Tập xác định của hàm số là D
\ k , k .
2
Bài 02.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1 cos x
1. y
cot x 3
3. y cot 2 x
3
2. y
2 sin x
3 tan x 1
4. y tan 2 x
4
6. y 1 tan2 x
5. y tan x cot x
Lời giải
1. y
2. y
1 cos x
cot x 3
cot x 3
x k
Điều kiện:
,k
6
sin x 0
x k
Tập xác định của hàm số là D \ k , k , k .
6
2 sin x
3 tan x 1
1
x 6 k
tan x
,k
Điều kiện:
3
cos x 0
x k
2
Trang 11
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tập xác định của hàm số là D
\ k , k , k .
2
6
3. y cot 2 x
3
k
,k
Điều kiện: sin 2 x 0 2x k x
3
6 2
3
k
,k .
Tập xác định của hàm số là D \
6 2
4. y tan 2 x
4
k
,k
Điều kiện: cos 2 x 0 2 x k x
4
4 2
8 2
k
,k .
Tập xác định của hàm số là D \
8 2
5. y tan x cot x
cos x 0
k
sin 2x 0 2x k x
,k
Điều kiện:
2
sin x 0
k
Tập xác định của hàm số là D \ , k .
2
6. y 1 tan2 x
Điều kiện: cos x 0 x
2
k ,k
Tập xác định của hàm số là D
LÊ MINH TÂM
.
\ k , k .
2
Trang 12
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 02. TÍNH CHẴN LẺ.
Phương pháp giải:
1. Tập xác định D : x D x D ..
2. Xét f x và f x .
– Nếu f x f x , x D thì hàm số chẵn trên D .
– Nếu f x f x , x D thì hàm số lẻ trên D .
Bài tập.
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
1. y sin4 x ;
sin x.cos x
;
tan x cot x
5. y cos x ;
4
2. y
cos 4 x 1
4. y
;
sin 3 x
7. y sin x 2 tan x ;
3. y
sin x tan x
;
sin x cot x
6. y tan x ;
8. y
cos x
.
1 sin 2 x
Lời giải
1. y sin x
4
Tập xác định D , x D x D .
Đặt y f x sin4 x .
Ta có: f x sin 4 x sin x sin 4 x f x .
4
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
sin x.cos x
2. y
tan x cot x
Tập xác định D \ k , k , x D x D .
2
Đặt y f x
Ta có: f x
sin x.cos x
.
tan x cot x
sin x .cos x
tan x cot x
sin x.cos x
sin x.cos x
f x .
tan x cot x tan x cot x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
sin x tan x
3. y
sin x cot x
1 5
Tập xác định D \ k , arccos
m2 , k , m , x D x D .
2
2
sin x tan x
Đặt y f x
.
sin x cot x
sin x tan x sin x tan x sin x tan x
Ta có: f x
f x .
sin x cot x sin x cot x sin x cot x
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Trang 13
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4. y
cos 4 x 1
sin 3 x
Tập xác định D
Đặt y f x
Ta có: f x
\k , k
cos 4 x 1
.
sin3 x
cos4 x 1
sin3 x
, x D x D .
cos4 x 1
f x .
sin3 x
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
5. y cos x
4
Tập xác định D
, x D x D .
Đặt y f x cos x .
4
Ta có: f x cos x cos x .
4
4
Ta thấy f x f x , f x f x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn, không lẻ.
6. y tan x
\ k , x D x D .
2
Đặt y f x tan x .
Tập xác định D
Ta có: f x tan x tan x f x .
Ta thấy f x f x , f x f x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
7. y sin x 2 tan x
\ k , x D x D .
2
Đặt y f x sin x 2 tan x .
Tập xác định D
Ta có: f x sin x 2 tan x sin x 2 tan x sin x 2 tan x f x .
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
cos x
8. y
1 sin 2 x
Tập xác định D , x D x D .
cos x
Đặt y f x
. Ta có:
1 sin 2 x
cos x
cos x
f x
f x . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
2
1 sin x 1 sin 2 x
LÊ MINH TÂM
Trang 14
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 03. CHU KỲ HÀM SỐ.
Phương pháp giải:
Định nghĩa: Hàm số y f x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao
cho với mọi x D ta có x T D và f x T f x .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn
với chu kì T .
Lưu ý:
. Hàm số f x a sin ux b cos vx c ( với u, v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2
( u , v
u , v
là ước chung lớn nhất).
Hàm số f x a.tan ux b.cot vx c
(với u, v ) là hàm tuần hoàn với chu kì T
u , v
.
y f1 x có chu kỳ T1 ; y f2 x có chu kỳ T2
Thì hàm số y f1 x f2 x có chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .
y sin x : Tập xác định
D R ; tập giá trị T 1;1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 2 .
2
y sin ax b có chu kỳ T0
a
y sin f x xác định f x xác định.
y cos x : Tập xác định
D R ; Tập giá trị T 1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 2 .
2
y cos x có chu kỳ T0
a
y cos f x xác định f x xác định.
y tan x : Tập xác định D
y tan ax b có chu kỳ T0
\ k , k Z ; tập giá trị T
2
, hàm lẻ, chu kỳ T0
.
a
y tan f x xác định f x
y cot x : Tập xác định D
y cot ax b có chu kỳ T0
k k
2
\k , k Z ; tập giá trị T
, hàm lẻ, chu kỳ T0
.
a
y cot f x xác định f x k
k .
Phương pháp chứng minh.
x T D
Tập xác định hàm số D , x D
.
x T D
1 Chứng minh: f x T f x , x D .
Trang 15
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
x T D
thỏa
vô lý.
f
x
T
f
x
,
x
D
Vậy hàm số f x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T .
2 Giả sử có số T sao cho 0 T T
Bài 01.
Chứng minh rằng y sin 2x tuần hoàn có chu kỳ
.
Lời giải
Hàm số y f x sin 2x có tập xác định . Chọn số L 0
Ta có: x
x
và f x L sin 2 x
Vậy hàm số f x là hàm số tuần hoàn.
sin 2x 2 sin 2x f x .
Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là .
Thật vậy, giả sử hàm số f x sin 2x có chu kỳ A mà 0 A , khi đó ta có:
sin 2 x A sin 2 x , x
thì sin 2 A sin sin 2 A 1
2
4
2
4
cos 2A 1 : vô lý, vì 0 2A 2
Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số y sin 2x là .
Cho x
Bài 02.
Chứng minh rằng y tan x tuần hoàn có chu kỳ .
4
Lời giải
Hàm số y f x tan x có tập xác định D
4
\ k , k .
4
Chọn số L 0
và f x L tan x tan x f x .
4
4
Vậy hàm số f x là hàm số tuần hoàn.
Ta có: x
x
Ta sẽ chứng minh chu kỳ của nó là .
Thật vậy, giả sử hàm số y tan x có chu kỳ A mà 0 A , khi đó ta có:
4
tan x tan x , x D
4
4
Cho x 0 thì tan A 1 vô lý vì 0 A .
4
Vậy chu kì tuần hoàn của hàm số y tan x là
4
LÊ MINH TÂM
.
Trang 16
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 04. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất 1 sin x 1 và 1 cos x 1 .
Bài tập.
Tìm GTNN và GTLN của các hàm số:
2. y cos2 x 6 sin x 3 ;
1. y 2 cos x 3 4 ;
3. y
2
;
cos x 4 cos x 5
4. y sin4 x 2 cos2 x 5 ;
2
5. y sin 2 x 2 sin x 5 ;
1
6. y
;
2 sin x 3
1
8. y
;
2
sin x 2 cos x 5
10. y sin 4 x cos4 x .
7. y cos4 x 2 sin 2 x 1 ;
9. y 2 cos 2 x ;
Lời giải
1. y 2 cos x 3 4 .
Điều kiện xác định: 2 cos x 3 0 cos x
3
x
2
.
Ta có: 1 cos x 1
2 2 cos x 2 1 2 cos x 3 5 1 2 cos x 3 5 3 2 cos x 3 4 5 4
Vậy GTLN của hàm số là
GTNN của hàm số là 3 khi cos x 1 x k 2
2. y cos2 x 6 sin x 3 .
k ,
k .
5 4 khi cos x 1 x k 2
Ta có: y cos 2 x 6 sin x 3 1 sin 2 x 6 sin x 3 sin 2 x 6 sin x 4 .
Đặt t sin x, t 1;1 . Khi đó: y f t t 2 6t 4 xác định với t 1;1
Bảng biến thiên f t :
Vậy GTLN của hàm số là 9 khi t sin x 1 x
GTNN của hàm số là 3 khi t sin x 1 x
3. y
2
k2
2
k2
k ,
k .
2
.
cos x 4 cos x 5
2
Trang 17
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Đặt t cos x, t 1;1 . Khi đó: cos2 x 4 cos x 5 t 2 4t 5 f t xác định với t 1;1
Bảng biến thiên f t :
2
1
cos x 4 cos x 5 5
Vậy GTLN của hàm số là 1 khi f t 2 t 1 cos x 1 x k 2
Suy ra: 2 cos2 x 4 cos x 5 10 1
GTNN của hàm số là
4. y sin4 x 2 cos2 x 5 .
2
1
khi f t 10 t 1 cos x 1 x k 2
5
k ,
k .
Ta có: y sin 4 x 2 cos 2 x 5 sin 4 x 2 1 sin 2 x 5 sin 4 x 2 sin 2 x 3 .
Đặt t sin2 x , t 0;1 . Khi đó: y f t t 2 2t 3 xác định với t 0;1 .
Bảng biến thiên f t :
k k
2
GTNN của hàm số là 3 khi sin2 x 0 sin x 0 x k k .
Vậy GTLN của hàm số là 6 khi sin 2 x 1 cos x 0 x
,
5. y sin 2 x 2 sin x 5 .
Đặt t sin x, t 1;1 . Khi đó: y f t t 2 2t 5 xác định với t 1;1 .
Bảng biến thiên f t :
Vậy GTLN của hàm số là 8 khi sin x 1 x
LÊ MINH TÂM
2
k2
k ,
Trang 18
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GTNN của hàm số là 4 khi sin x 1 x
2
k2
k .
1
6. y
.
2 sin x 3
Điều kiện xác định: sin x 3 0 sin x 3 x .
Ta có: 1 sin x 1
1
1
1
1
1
1
2 sin x 3 4 2 sin x 3 2
2
sin x 3 2
2 2 2 sin x 3 4
1
Vậy GTLN của hàm số là
khi sin x 1 x k 2 k ,
2
2 2
1
GTNN của hàm số là
khi sin x 1 x k 2 k .
2
4
4
2
7. y cos x 2 sin x 1 .
Ta có: y cos 4 x 2 sin 2 x 1 cos 4 x 2 1 cos 2 x 1 cos 4 x 2 cos 2 x 1 .
Đặt t cos2 x, t 0;1 . Khi đó: y f t t 2 2t 1 xác định với t 0;1 .
Bảng biến thiên f t :
Vậy GTLN của hàm số là 2 khi cos2 x 1 sin x 0 x k
GTNN của hàm số là 1 khi cos2 x 0 cos x 0 x
8. y
2
k ,
k
k .
1
.
sin x 2 cos x 5
Ta có: y sin 2 x 2 cos x 5 1 cos 2 x 2 cos x 5 cos 2 x 2 cos x 6 .
2
Đặt t cos x, t 1;1 . Khi đó: y f t t 2 2t 6 xác định với t 1;1 .
Bảng biến thiên f t :
Suy ra: 3 cos2 x 2 cos x 6 7
Trang 19
1
1
1
2
3 cos x 2 cos x 6 7
LÊ MINH TÂM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Vậy GTLN của hàm số là
GTNN của hàm số là
k ,
1
khi cos x 1 x k 2
3
1
khi cos x 1 x k 2
7
k .
9. y 2 cos 2 x .
Ta có: 1 cos 2x 1 1 2 cos 2x 3 1 2 cos 2x 3
Vậy GTLN của hàm số là
3 khi cos 2x 1 2x k 2
GTNN của hàm số là 1 khi cos 2x 1 2x k 2
k x k k ,
k x 2 k k .
10. y sin 4 x cos4 x .
2
1
y sin2 x cos2 x 2 sin2 x.cos2 x y 1 sin2 2x
2
1
1
1
1
Ta có: 0 sin 2 2x 1 0 sin 2 2x 1 1 sin 2 2x
2
2
2
2
Vậy GTLN của hàm số là 1 khi sin 2 2x 0 sin 2x 0 2x k x k
GTNN của hàm số là
2
,k
,
1
khi sin 2 2x 1 cos 2x 0 2x k x k , k
2
4
2
2
.
------------------HẾT------------------
LÊ MINH TÂM
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
124 
1 
55 
