Tài liệu Tài liệu ôn tập toán lớp 11 hàm số lượng giác phương trình lượng giác

1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Chu kỳ của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Chứng minh T0 là chu kì của một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . Dạng 5. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . Dạng 6. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất và tính chất của hàm số lượng giác . Dạng 7. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức đã biết để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 8. Các bài toán sử dụng tính đồng biến nghịch biến . . . . . . . . . . . . . Dạng 9. Các bài toán liên quan đến a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . 1.2.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Kỹ năng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Bài tập Trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Một số dạng cơ bản phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Phương trình thuần nhất đối với sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Phương trình thuần nhất đối với sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC . . . . . . . . . . . . . Dạng 1. Phương pháp đưa về tổng bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 2. Phương pháp đối lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 3. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 5. Phương pháp đưa về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng 6. Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt. . . . . . . . . . . 1.4.1 Phương trình lượng giác có nghiệm trên khoảng, đoạn . . . . . . . . . . . 1.4.2 Dạng toán khác về phương trình lượng giác thường gặp . . . . . . . . . . 1 3 3 3 5 5 8 10 12 15 15 16 16 16 16 26 26 28 28 30 35 37 37 37 40 40 43 43 47 47 47 48 49 49 49 50 51 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Mục lục LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 2 MỤC LỤC Chương 1 1.1 1.1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT a) Hàm số y = sin x. • Tập xác định: D = R. • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R. ã Å π π • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π 2 2 å Ç π 3π và nghịch biến trên mỗi khoảng + k2π; + k2π . 2 2 • Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π. • Đồ thị hàm số y = sin x. y − π2 −π π 2 π x b) Hàm số y = cos x. • Tập xác định: D = R. • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R. • Hàm số y = cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) và đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π). • Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. • Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π. • Đồ thị hàm số y = cos x. Đồ ã số y = cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số Å thị hàm π y = sin x theo véc tơ #» v = − ;0 . 2 3 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 4 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π x π 2 c) Hàm số y = tan x. ™ π • Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 ß LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING • Tập giá trị: R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π. ã Å π π • Hàm đồng biến trên mỗi khoảng − + kπ; + kπ . 2 2 π • Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = + kπ, k ∈ Z làm một đường tiệm cận. 2 • Đồ thị y −π − π2 O π 2 π x d) Hàm số y = cot x. • Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . • Tập giá trị: R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π. • Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) . • Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = kπ, k ∈ Z làm một đường tiệm cận. • Đồ thị 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5 y − 3π 2 1.1.2 3π 2 − π2 O π π 2 x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING −π PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC | Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác • y= • y= f (x) xác định ⇔ g(x) 6= 0. g(x) » 2n f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, trong đó n ∈ N∗ . • y = sin [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định. • y = cos [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định. • y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= π + kπ,k ∈ Z. 2 • y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= kπ,k ∈ Z. π2 . 2x − 1 Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y = sin Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 3 cot(2x + 3). πã Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số y = tan x − . 6 Å Ç 2 Ví dụ 4. Tìm tập xác định của hàm số y = cot å 2π − 3x . 3 Å tan 2x πã Ví dụ 5. Tìm tập xác định của hàm số y = + cot 3x + . sin x + 1 6 (5) 6 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ 6. Tìm tập xác định của hàm số y = Ví dụ 7. Tìm tập xác định của hàm số y = Ví dụ 8. Tìm tập xác định của hàm số y = tan 5x . sin 4x − cos 3x √ (6) 3 − 2 cos x. (7) sin x . sin x − cos2 x 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Điều kiện xác định của hàm số y = π A. x 6= + kπ, k ∈ Z. 2 kπ C. x 6= , k ∈ Z. 2 Å 1 − 3 cos x là sin x B. x 6= k2π, k ∈ Z. Câu 2. Tập xác định của hàm số y = tan 2x − ™ π π +k |k ∈Z . A. D = R \ 6 2 ß ™ π C. D = R \ + kπ | k ∈ Z . 2 ß D. x 6= kπ, k ∈ Z. πã là 3 ® ´ 5π B. D = R \ + kπ | k ∈ Z . ® 12 ´ 5π π D. D = R \ +k |k ∈Z . 12 2 3 Câu 3. Tập xác định của hàm số y = là 2 sin x − cos2 x ß ™ ß ™ π π A. D = R \ + kπ | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ | k ∈ Z . ®2 ´ ß4 ™ π 3π π C. D = R \ +k |k ∈Z . D. D = R \ + k2π | k ∈ Z . 4 2 4 cot x là Câu 4. Tập xác định của hàm số y = cos x − 1 ß ™ ß ™ π π A. D = R \ k | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ | k ∈ Z . 2 2 C. D = R \ {kπ | k ∈ Z}. D. D = R. 2 sin x + 1 Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = là 1 − cos x π A. x 6= k2π. B. x 6= kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= 2 Å πã Câu 6. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π A. x 6= + k . B. x 6= + kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= 6 2 12 2 Câu 7. Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là A. D = R. ß B. D ™ π C. D = R \ + kπ | k ∈ Z . D. D 2 2x Câu 8. Tập xác định của hàm số y = là 1 − sin2 x ß ™ π A. D = R \ + k2π | k ∈ Z . B. D ™ ß2 π C. D = R \ + kπ | k ∈ Z . D. D 4 π + k2π. 2 5π π +k . 12 2 = R \ {kπ | k ∈ Z}.™ ß π =R\ k |k ∈Z . 2 ™ π =R\ + kπ | k ∈ Z . ß2 ™ π =R\ + k2π | k ∈ Z . 4 ß 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7 1 √ là cot x − 3 ™ ß ™ π + k2π | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ ; lπ | k,l ∈ Z . ®6 ´ ™ π 2π π + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z . D. D = R \ + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z . 2 3 2 Câu 9. Tập xác định của hàm số y = π ß6 π C. D = R \ 3 A. D = R \ ß s ® ´ π 2π A. D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z . 6 3 ® ´ π 2π C. D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z . 6 5 Câu 11. Tìm tập ß ™ ß xác định D của™ hàm số y = tan 2x. π π π B. D = R \ + kπ | k ∈ Z . A. D = R \ − + k | k ∈ Z . 2 ® 4 ´ ß2 ™ π kπ π C. D = R \ + |k∈Z . D. D = R \ + kπ | k ∈ Z . 4 2 4 1 − sin x Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = . sin x + 1 ß ™ π + k2π | k ∈ Z . B. D = R \ {k2π | k ∈ Z}. A. D = R \ ®2 ´ 3π C. D = R \ + k2π | k ∈ Z . D. D = R \ {π + k2π | k ∈ Z}. 2 cot x Câu 13. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = là cos x π π A. x 6= + kπ. B. x 6= k2π. C. x 6= kπ. D. x 6= k . 2 2 2 Câu 14. Tập xác định của hàm số y = √ là 2 − sin 6x A. D = R \ {kπ | k ∈ Z}. ™ B. D = R. ß ß ™ π π C. D = R \ + kπ | k ∈ Z . D. D = R \ + k2π | k ∈ Z . 4 4 √ Câu 15. Hàm số y = cos x − 1 + 1 − cos2 x xác định khi và chỉ khi π A. x 6= + kπ, k ∈ Z. B. x = 0. 2 C. x 6= kπ, k ∈ Z. D. x = k2π, k ∈ Z. tan 2x Câu 16. Tìm tập xác định D của hàm số y = √ . 3 sin 2x − cosß2x ß ™ ™ π π π π π π π π A. D = R \ +k ; + l | k,l ∈ Z . B. D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z . 2 12 2 2 5 2 ß4 ™ ß3 ™ π π π π π π π π C. D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z . D. D = R \ +k ; + l | k,l ∈ Z . 4 2 3 2 3 2 12 2 Å ã   π 1 + cos x Câu 17. Tập xác định của hàm số y = cot x + + là 6 1 − cos ® x ´ ß ™ π 7π A. D = R \ − + k2π | k ∈ Z . B. D = R \ + kπ,k2π | k ∈ Z . 6 ß 6 ™ π C. D = R \ {k2π | k ∈ Z}. D. D = R \ − + kπ | k ∈ Z . 6   1 − cos 3x Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 1 + sin 4x ® ´ ß ™ π π 3π π A. D = R \ − + k | k ∈ Z . B. D = R \ − +k |k ∈Z . 2 2 ß 8 ™ ß 8 ™ π π π π C. D = R \ − + k | k ∈ Z . D. D = R \ − + k | k ∈ Z . 4 2 6 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 + cot2 x . 1 − sin 3x ® ´ π π 2π B. D = R \ k ; + n | k,n ∈ Z . 6 3 ® 3 ´ π 2π D. D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z . 5 3 8 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 19. Tìm tất cả giá trị m để hàm số y = sin x + m có tập xác định D = R. A. m > 1. B. m < −1. C. −1 6 m 6 1. D. m > 1. 2 − sin 2x Câu 20. Hàm số y = √ có tập xác định D = R khi và chỉ khi m cos x + 1 A. m > 0. B. 0 < m < 1. C. m 6= −1. D. −1 < m < 1. | Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp giải Ta thực hiện các bước sau:Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING • Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực hiện bước 2. • Nếu D là không tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà −x ∈ / D), ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ. Xác định f (−x), khi đó: • Nếu f (−x) = f (x) kết luận hàm số là hàm chẵn. • Nếu f (−x) = −f (x) kết luận hàm số là hàm lẻ. • Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ Chú ý: a) Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. b) Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. c) Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. d) Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. Ví dụ 9. Xét tính chẵn lẻ của hàm số Ç 9π a) y = f (x) = sin 2x + 2 å b) y = f (x) = tan x + cot x Ví dụ 10. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x sin 5x. MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Cho 2 hàm số f (x) = sin 4x và g (x) = tan |2x| , khi đó: A. f (x) là hàm số chẵn và g (x) là hàm số lẻ. B. f (x) và g là 2 hàm số lẻ. C. f (x) là hàm số lẻ và g (x) là hàm số chẵn. D. f (x) và g (x) là 2 hàm số chẵn. Câu 2. Cho 2 hàm số f (x) = sin 2x và g (x) = cos 2x . A. f (x) và g (x) là 2 hàm số chẵn. B. f (x) và g (x) là 2 hàm số lẻ. C. f (x) là hàm số chẵn và g (x) là hàm số lẻ. D. f (x) là hàm số lẻ và g (x) là hàm số chẵn. 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 9 πã . Khi đó: Câu 3. Cho 2 hàm số f (x) = tan 4x và g (x) = sin x + 2 A. f (x) và g (x) là 2 hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số chẵn và g (x) là hàm số lẻ. C. f (x) và g (x) là 2 hàm số chẵn. D. f (x) là hàm số lẻ và g (x) là hàm số chẵn. Å Câu 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn. A. y = sin |2016x| + cos 2017x. B. y = cot 2015x − 2016 sin x. C. y = tan 2016x + cot 2017x. D. y = 2016 cos x + 2017 sin x. Câu 6. Tìm hàm số chẵn A. y = sin x. B. y = cot x. C. y = cos x. D. y = tan x. Câu 7. Cho hàm số f (x) = cos 2x và g(x) = tan 3x. chọn mệnh đề đúng A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn. B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ. C. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn. D. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Câu 8. Hàm Åsố nào ãlà hàm số chẵn? π A. y = sin x + . 2 C. y = sin 2x. πã . 2 D. y = tan x − sin 2x. Câu 9. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. y = tan 3x cos x. C. y = sin2 x + sin x. B. y = sin2 x + cos x. D. y = sin2 x + tan x. Å B. y = cos x + Câu 10. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. y = sin 3x. B. y = x cos x. C. y = cos x tan 2x. D. y = tan x . sin x Câu 11. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = − sin x. B. y = cos x − sin x. C. y = cos x + sin2 x. D. y = cos x sin x. Câu 12. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = sin 2x. B. y = cos 3x. C. y = cot 4x. D. y = tan 5x. Câu 13. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = sin 2x. B. y = x cos x. C. y = cos x cot x. D. y = Câu 14. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua tung? Å trục ã π A. y = sin x cos 2x. B. y = sin3 x cos x − . 2 tan x C. y = . D. y = cos xsin3 x. tan2 x + 1 Câu 15. Cho hàm số f (x) = sin 2x và g (x) = tan2 x. Chọn mệnh đề đúng A. f (x) là hàm số chẵn, g (x) là hàm số lẻ. B. f (x) là hàm số lẻ, g (x) là hàm số chẵn. C. f (x) là hàm số chẵn, g (x) là hàm số chẵn. D. f (x) và g (x) đều là hàm số lẻ. tan x . sin x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 4. Cho hàm số y = 2 sin x + 9 . Hàm số này là: A. Hàm số không chẵn không lẻ. B. Hàm số lẻ và có tập xác định là. C. Hàm số chẵn. D. Hàm số lẻ. 10 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 16. Cho hai hàm số f (x) = đây là đúng? A. f (x) lẻ và g (x) chẵn. C. f (x) chẵn, g (x) lẻ. |sin 2x| − cos 3x cos 2x và g (x) = . Mệnh đề nào sau 2 2 + tan2 x 1 + sin 3x B. f (x) và g (x) chẵn. D. f (x) và g (x) lẻ. LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng quaãgốc tọa độ? Å 1 π A. y = B. y = sin x + . 3 . 4 sin x Å ã √ √ π . D. y = sin 2x. C. y = 2 cos x − 4 Câu 18. TrongÅcác hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? Å Å πã πã πã A. y = 2 cos x + + sin (π − 2x). B. y = sin x − + sin x + . 4 4 Å 2 ã √ √ √ π C. y = 2 sin x + − sin x. D. y = sin x + cos x. 4 | Dạng 3. Chu kỳ của hàm số lượng giác Phương pháp giải 1. Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó. 2. Sử dụng các kết quả sau. 2π . |a| 2π . • Hàm số y = α. cos(ax+b) (α.a 6= 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T = |a| • Hàm số y = α. sin(ax+b) (α.a 6= 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T = • Hàm số y = α. tan(ax + b) (α.a 6= 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì π T = . |a| π • Hàm số y = α. cot(ax+b) (α.a 6= 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T = . |a| • Nếu hàm số y = f (x) chỉ chứa các hàm số lượng giác có chu kì lần lượt là T1 , T2 ,..., Tn thì hàm số f có chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T1 , T2 ,..., Tn . • Nếu hàm số y = f (x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = f (x) + c (c là hằng số) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kì T . Một số dấu hiệu nhận biết hàm số y = f (x) không phải là hàm tuần hoàn: Hàm số y = f (x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm • Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn. • Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a. • Phương trình f (x) = k có nghiệm nhưng số nghiệm hữu hạn. • Phương trình f (x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự. ... < xn < xn+1 < ... mà |xn − xn+1 | → 0 hay ∞. Ví dụ 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y = cos2 x − 1. 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 11 Ç å 2 Ví dụ 12. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau y = sin x · 5 Ç å 2 cos x . 5 Ví dụ 14. Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: 1 . y= sin x Ví dụ 15. Cho a,b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số f (x) = a sin cx + c b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi là số hữu tỉ. d Ví dụ 16. Cho hàm số y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần T1 lượt là T1 ,T2 . Chứng minh rằng nếu là số hữu tỉ thì các hàm số f (x) ± g(x); f (x).g(x) T2 là những hàm số tuần hoàn. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 19. Hàm số y = cos2 x − 1 tuần hoàn với chu kì π A. π. B. 2π. C. . 2 Câu 20. Hàm số y = 2 sin x. cos 3x tuần hoàn với chu kì π π B. 2π. C. . A. . 3 2 Câu 21. Hàm số y = cos2 x + sin2 x tuần hoàn với chu kì 3π A. 2π. B. π. C. . 2 D. 3π . 2 D. π. D. Không có chu kì. Câu 22. Hàm số y = 2 cos2 x + 3 cos3 x + 8 cos4 x tuần hoàn với chu kì A. π. B. 2π. C. 3π. D. 4π. Câu 23. Hàm số y = 2 sin2 x + 4 cos2 x + 6 sin x cos x tuần hoàn với chu kì π 3π A. . B. 2π. C. π. D. . 2 2 Câu 24. Hàm số y = A. 2π. cos2 x − sin2 x tuần hoàn với chu kì cos2 x − 2 sin2 x B. 4π 2 . C. 3π. D. π. LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Ví dụ √ 13. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số sau: y = cos x + cos( 3.x) 12 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Dạng 4. Chứng minh T0 là chu kì của một hàm số lượng giác Phương pháp giải Chứng minh T0 là chu kì của một hàm số lượng giác y = f (x) tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất trong các số T thỏa mãn: “ ∀x ∈ D ta có: x + T ∈ D, x − T ∈ D và f (x + T ) = f (x) ”. Ta cần chứng minh: Bước 1: ∀x ∈ D, f (x + T ) = f (x). LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Bước 2: Giả sử có số a: 0 < a < T sao cho: f (x + a) = f (x),∀x ∈ D. Chọn giá trị x = x0 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 13 thích hợp sao cho f (x0 + a) = f (a) và từ f (a) = f (x0 ) tìm ra mâu thuẫn nào đó để chứng tỏ rằng không có số a như trên. Ví dụ 17. Chứng minh rằng hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. πã π Ví dụ 18. Chứng minh rằng hàm số y = tan 2x + tuần hoàn với chu kì . 4 2 Å Å x πã + tuần hoàn với chu kì 4π. 2 7 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 25. Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số? A. Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π. B. Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn chu kì π. C. Hàm số y = tan x là hàm số tuần hoàn chu kì π. D. Hàm số y = cot x là hàm số tuần hoàn chu kì π. Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = x cos B. y = √ x − tan x. √ x. C. y = − 2 tan x + 1. D. y = x2 + 1. Câu 27. Trong các hàm √ số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn: B. y = sin 5x + 3 cos A. y = sin x + sin(x 2). √ 7x. 2 C. y = tan 2x + 1. D. y = 3 sin 2x − 2. Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn? A. y = x cos2 x. B. y = cos2 x. C. y = x2 − cos2 x. D. y = x2 . Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sin x − x. B. y = −2 cos 3x + 1. C. y = x sin 3x.. D. y = x4 − 2x2 + 3. Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sin 2x + 3x. B. y = (3 − x) tan x. √ C. y = cos 3x(1 + cos x). D. y = cos x. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số lượng giác sau: a) y = cos 3x x . cos . 2 2 Å b) y = cot 2x − πã 4 Bài 2. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đầu tuần hoàn với chu kì π. a) y = − cos2 x. b) y = 3 tan2 x + 1. Bài 3. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số lượng giác sau: a) y = sin x2 . LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Ví dụ 19. Chứng minh rằng hàm số y = cos 14 b) y = CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin 3x . 1 + sin x Bài 4. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 . a) y = sin x, T0 = 2π. b) y = tan 2x, T0 = π . 2 Bài 5. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 . 2π 3 π b) y = |cos 2x|, T0 = 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING a) y = sin 3x, T0 = ĐÁP ÁN 1 D 6 D 11 C 16 A 1 C 6 C 11 C 16 A 21 D 26 C 2 D 7 D 12 C 17 B 2 D 7 D 12 B 17 A 22 B 27 A 3 C 8 B 13 D 18 A 3 D 8 A 13 D 18 C 23 B 28 B 4 C 9 B 14 B 19 D 4 A 9 B 14 B 19 A 24 D 29 B 5 A 10 A 15 D 20 D 5 A 10 D 15 B 20 D 25 B 30 C 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 15 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC L Hàm số y = sin x : ã Å π π + k2π , k ∈ Z. • Đồng biến trên các khoảng − + k2π; 2 Ç2 å π 3π • Nghịch biến trên các khoảng + k2π; + k2π , k ∈ Z. 2 2 L Hàm số y = cos x : • Đồng biến trên các khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z. • Nghịch biến trên các khoảng (k2π; π + k2π) , kÅ∈ Z. ã π π L Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z. 2 2 L Hàm số y = cot x nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z. các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định ! Với nghĩa. Phương pháp giải ­ Vẽ vòng tròn lượng giác. ­ Biểu diễn các cung lượng giác trên vòng tròn lượng giác. ­ Dựa vào định nghĩa của các hàm số lượng giác để xét các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác. Ví dụ 20. Xét tính tăng giảm và lập bảng biến thiên của các hàm số lượng giác sau ñ ô a) y = 2 sin x trên (0; π); πã π 5π c) y = cos x − trên − ; ; 3 6 6 ï π πò ; b) y = sin 2x trên − ; 2 2 d) y = tan x − Å Å ï πò πã trên 0; . 4 2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC | Dạng 6. Sử dụng phép biến đổi đồng nhất và tính chất của hàm số lượng giác Ví dụ 21. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = 4 sin x cos x + 1 b) y = 4 − 3 sin2 2x Ví dụ 22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau y = sin x− 1 trong khoảng 0 < x < π. sin x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING | Dạng 5. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác 16 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC | Dạng 7. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức đã biết để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất   Ví dụ 23. y = 1+ 1 1√ cos2 x + 5 + 2 sin2 x. 2 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Å 1 1 πã Ví dụ 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = + với x ∈ 0; . 2 − cos x 1 + cos x 2 | Dạng 8. Các bài toán sử dụng tính đồng biến nghịch biến Ví dụ 25. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. a) y = 6 cos2 x + cos2 2x. b) y = (4 sin x − 3 cos x)2 − 4(4 sin x − 3 cos x) + 1. | Dạng 9. Các bài toán liên quan đến a sin x + b cos x = c 2 Ví √ dụ 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos x − 2 3 sin x cos x + 1. Ví dụ 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1.1.3 sin x + 2 cos x + 1 . sin x + cos x + 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số y = sin x Å ã π A. đồng biến trên mỗi khoảng + k2π; π + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 (π + k2π; k2π) với k ∈ Z. Ç å 3π 5π B. đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 Å ã π π − + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 Ç å π 3π C. đồng biến trên mỗi khoảng + k2π; + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 Å ã π π − + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 17 ã π π D. đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 Ç å π 3π + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 Å A. đồng biến trên mỗi khoảng Å ã π + k2π; π + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 (π + k2π; k2π) với k ∈ Z. B. đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z. Ç å π 3π C. đồng biến trên mỗi khoảng + k2π; + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 Å ã π π − + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 D. đồng biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π + k2π; 3π + k2π) với k ∈ Z. √ Câu 3. Hàm số y = 3 + 2 cos Ç x tăng å trên khoảng Ç å Å Å π πã π 3π 7π π πã A. − ; . B. ; . C. ; 2π . D. ; . 6 2 2 2 6 6 2 Å π πã ? Câu 4. Hàm số nào đồng biến trên khoảng − ; 3 6 A. y = cos x. B. y = cot 2x. C. y = sin x. D. y = cos 2x. Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y B. Hàm số y C. Hàm số y D. Hàm số y πã = sin x tăng trong khoảng 0; . Å 2 ã π . = cot x giảm trong khoảng 0; Å 2ã π . = tan x tăng trong khoảng 0; Å 2ã π = cos x tăng trong khoảng 0; . 2 Å Câu 6. Hàm số y = sin x đồng biến trên A. khoảng (0; π) . Å ã π π B. các khoảng − + k2π; + k2π , k ∈ Z. 4 Å 4 ã π C. các khoảng + k2π; π + k2π , k ∈ Z. 2å Ç π 3π D. khoảng ; . 2 2 Câu 7. Hàm số y = cos x A. tăng trong[0; π]. C. nghịch biến [0; π]. ï πò π ò và giảm trong ;π . 2 2 D. các khẳng định trên đều sai. ï B. tăng trong 0; Câu 8.ï Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây? πò A. 0; . B. [π; 2π]. C. [−π; π]. 2 D. [0; π]. πã Câu 9. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; khác với các hàm số còn 2 lại? A. y = sin x. B. y = cos x. C. y = tan x. D. y = − cot x. Å Câu 10. Hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng Ç å Å πã 3π . B. (π; 2π]. C. 0; . A. 0; 2 2 Ç D. å 3π π − ; . 2 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 2. Hàm sốy = cos x 18 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 11. Khẳng định nào sau đây đúng? LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Ç å π 3π A. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ; . Ç4 4 å π 3π B. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng ; . Ç4 4 å 3π π C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng − ; − . 4å Ç 4 3π π D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng − ; − . 4 4 Å πã Câu 12. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0; ? 2 A. y = sin x. B. y = cos x. C. y = tan x. Ç å π 3π Câu 13. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; . 2 2 A. y = sin x. B. y = cos x. C. y = cot x. D. y = − cot x. D. y = tan x. Câu 14. Xét hàm số y = sin x trên đoạn Å[−π; 0]. Khẳng sau đây là đúng? Å định nào πã π ã A. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π; − và − ; 0 . 2ã 2 Å Å π ã π B. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π; − ; nghịch biến trên khoảng − ; 0 . 2 ã Å Å 2 ã π π C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π; − ; đồng biến trên khoảng − ; 0 . 2 2 Å Å πã π ã và − ; 0 . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π; − 2 2 Câu 15. Xét hàm số y = cos x trên đoạn [−π; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−π; 0) và (0; π). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−π; 0) và đồng biến trên khoảng (0; π). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−π; 0) và (0; π). Câu 16. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Å Å π πã πã và ; . A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 4 2 Å 4ã Å π π πã và nghich biến trên khoảng ; . B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 4Å 4 2 ã π . C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; ã2 Å Å π πã π và đồng biến trên khoảng ; . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 4 4 2 Câu 17. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? Å π ã A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; 0 . Å 2ã π B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; . 2ã Å π C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;π . 2Ç å π 3π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 Câu 18. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x − cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Ç å π 3π A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; . Ç 4 4å 3π 7π B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 4 4 1.1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 19 C. Hàm số đã cho có tập giá trị [−1; 1]. Ç å π 7π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; . 4 4 Câu 19. Chọn câu đúng. A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng. B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định. C. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (π + k2π; 2π + k2π). D. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (k2π; π + k2π). Câu 20. Xét hai mệnh đề sau: å 3π 1 (I): ∀x ∈ π; , hàm số y = giảm. 2 sin x Ç å 3π 1 (II): ∀x ∈ π; , hàm số y = giảm. 2 cos x Mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. Chỉ (I) đúng. C. Cả (I) và (II) sai. B. Chỉ (II) đúng. D. Cả (I) và (II) đúng. Câu 21. Khẳng định nào sau đây là đúng? ï π πò A. y = |tan x| đồng biến trên đoạn − ; . 2 2 ß  ™  π B. y = |tan x| là hàm số chẵn trên D = R \ + kπ  k ∈ Z . 2 C. y = |tan x| có đồ thị đối xứng quaÅgốc tọaãđộ. π π . D. y = |tan x| nghịch biến trên đoạn − ; 2 2 Câu 22. số y = cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây ï Hàm πò A. 0; . B. [π; 2π]. C. [−π; π]. 2 D. [0; π]. πã khác với các hàm số còn Câu 23. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; 2 lại? A. y = sin x. B. y = cos x. C. y = tan x. D. y = − cot x. Å Câu 24. Hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng Ç å Å πã 3π A. 0; . B. (π; 2π]. C. 0; . 2 2 Ç D. å 3π π − ; . 2 2 Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? Ç å π 3π A. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ; . Ç4 4 å π 3π B. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng ; . Ç4 4 å 3π π C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng − ; − . 4å Ç 4 3π π D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng − ; − . 4 4 Å πã Câu 26. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0; ? 2 A. y = sin x. B. y = cos x. C. y = tan x. Ç D. y = − cot x. å π 3π ; . 2 2 C. y = cot x. Câu 27. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng A. y = sin x. B. y = cos x. D. y = tan x. LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Ç LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 20 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 28. Xét hàm số y = sin x trên đoạn Å[−π; 0]. Khẳng sau đây là đúng? Å định nào πã π ã A. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π; − và − ; 0 . 2ã 2 Å Å π ã π B. Hàm số đồng biến trên các khoảng −π; − ; nghịch biến trên khoảng − ; 0 . 2 ã Å Å 2 ã π π C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π; − ; đồng biến trên khoảng − ; 0 . 2 2 Å Å πã π ã D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng −π; − và − ; 0 . 2 2 Câu 29. Xét hàm số y = cos x trên đoạn [−π; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−π; 0) và (0; π). B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−π; 0) và đồng biến trên khoảng (0; π). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−π; 0) và (0; π). Câu 30. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Å Å πã π πã và ; . A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 4 2 Å 4ã Å π π πã B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; và nghich biến trên khoảng ; . 4Å 4 2 ã π C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0; . ã2 Å Å π πã π và đồng biến trên khoảng . ; D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 4 4 2 Câu 31. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? Å π ã A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; 0 . Å 2ã π . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 2ã Å π C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;π . 2Ç å π 3π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 Câu 32. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x − cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Ç å π 3π . A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; Ç 4 4å 3π 7π B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; . 4 4 C. Hàm số đã cho có tập giá trị [−1; 1]. Ç å π 7π D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng − ; . 4 4 Câu 33. Chọn câu đúng. A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng. B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định. C. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (π + k2π; 2π + k2π). D. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (k2π; π + k2π). Câu 34. Xét hâi mệnh đề sau: Ç å 3π 1 (I): ∀x ∈ π; , hàm số y = giảm. 2 sin x Ç å 3π 1 (II): ∀x ∈ π; , hàm số y = giảm. 2 cos x