Tài liệu Tài liệu học tập môn toán lớp 12

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN Năm học 2022-2023 TOÁN 12 TOÁN TÀI LIỆU HỌC TẬP HỌC KỲ II Tóm tắt lý thuyết Ví dụ minh họa Bài tập tự luận Bài tập trắc nghiệm 1 2 3 4 Họ và tên: .............................. Lớp: ................................. π π π π π π π π π π π π π π π π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ π π π π Muåc luåc Phần I GIẢI TÍCH Chương 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 Chủ đề 1. Nguyên hàm 2 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 1.Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dạng 2.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dạng 3.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chủ đề 2. Tích phân 30 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Dạng 2.Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối Zb | f ( x)| d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a Dạng 4.Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dạng 5.Phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chủ đề 3. Ứng dụng tích phân 76 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận . 78 Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Dạng 3.Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Dạng 4.Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Dạng 5.Bài toán thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TÀI LIỆU HỌC TẬP Chương 4. NĂM HỌC 2022-2023 SỐ PHỨC 123 Chủ đề 1. Số phức 123 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 2.Xác định mô-đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Dạng 3.Hai số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Dạng 5.Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Chủ đề 2. Cộng, trừ và nhân số phức 146 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Dạng 1.Cộng trừ hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Dạng 2.Phép nhân hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Chủ đề 3. Phép chia số phức 163 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dạng 2.Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Dạng 3.Một số bài toán xác định môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Chủ đề 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực 183 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Phần II Chương 3. C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN 200 MỤC LỤC ii TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian 200 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Dạng 1.Các phép toán về tọa độ của vectơ và điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Dạng 2.Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. 208 Dạng 3.Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Chủ đề 2. Phương trình mặt phẳng 232 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Dạng 1.Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Dạng 2.Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Dạng 3.Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Dạng 4.Thể tích khối hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Dạng 5.Tính khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Dạng 6.Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Dạng 7.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Dạng 8.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Dạng 9.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Dạng 10.Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Dạng 11.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Dạng 12.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Dạng 13.Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Dạng 14.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Dạng 15.Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Dạng 16.Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Dạng 17.Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước 257 iii MỤC LỤC TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Dạng 18.Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Chủ đề 3. Phương trình đường thẳng trong không gian 287 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Dạng 1.Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơ chỉ phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Dạng 2.Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước . . . . . . . 291 Dạng 3.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Dạng 4.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Dạng 5.Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P ) và (Q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Dạng 6.Đường thẳng d qua M song song với mp(P ) và vuông góc với d ′ (d ′ không vuông góc với ∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Dạng 7.Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Dạng 8.Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Dạng 9.Vị trí tương đối giữa đường và mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Dạng 10.Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Dạng 11.Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Dạng 12.Tọa độ hình chiếu của điểm lên đường-mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 MỤC LỤC iv PHẦN I GIẢI TÍCH TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 3 Chûúng NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Chuã àïì A . 1 NGUYÊN HÀM Tóm tắt lí thuyết c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F ′ ( x) = f ( x) với mọi x ∈ K . c Định lí 1.1. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . c Định lí 1.2. Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số. c Định lí 1.3. Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 1. Tính chất của nguyên hàm Z f ′ ( x) d x = f ( x) + C Z Z c Tính chất 1.2. k f ( x) d x = k. f ( x) d x ( k là một hằng số khác 0). Z Z Z c Tính chất 1.3. [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x) d x ± g( x) d x c Tính chất 1.1. 2. Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1. Phương pháp đổi biến số Z c Định lí 1.4. Nếu f (u) d u = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f ( u( x)) u′ ( x) d x = F ( u( x)) + C. 2.2. Phương pháp từng phần c Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z ′ u( x).v x() d x = u( x)v( x) − Z u′ ( x)v( x) d x. 2 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Lưu ý: Vì u′ ( x) d x = dv, u′ ( x) d x = d u nên đẳng thức Z Z trên còn được viết ở dạng u d u = uv − v d v. Z Để tính nguyên hàm f ( x) d x bằng từng phần ta làm như sau: ○ Bước 1. Chọn u, v sao cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v ( x) d x). Sau đó tính v = ′ d u = u ′ · d x. ○ Bước 2. Thay vào công thức (∗) và tính Z Z vd u . Lưu ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân dễ tính hơn Z u d v. Ta thường gặp các dạng sau: Dạng 1. I = · Z P ( x) sin x cos x ¸ d x. Với dạng này, ta đặt   u = P·( x) ¸ sin x  dv = dx cos x Dạng 2. I = Z P ( x) e ax+b d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( u = P ( x) dv = e ax+b d x Dạng 3. I = P ( x) ln (mx + n) d x, trong đó P ( x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ( u = ln ( mx + n) ¸ Z · d v = P ( x) d x . sin x x Dạng 4. I = e d x. Với dạng này, ta đặt cos x · ¸  sin x  u= cos x  dv = e x d x Z BẢNG NGUYÊN HÀM Z Z dx = x + C 1 x n+1 +C n+1 Z dx 1 5 = − +C x x2 Z dx 7 = ln | x| + C x Z 9 ex d x = ex + C Z ax 11 a x d x = +C ln a Z 13 cos xd x = sin x + C Z 3 3 dv và kd x = kx + C 2 Z xn dx = 4 Z 6 Z 8 Z 10 Z 12 Z 14 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 (ax + b)n+1 +C a n+1 dx 1 1 =− . +C 2 a ax + b (ax + b) dx 1 = ln |ax + b| + C ax + b a 1 eax+b d x = eax+b + C a 1 aα x+β aα x+β d x = +C α ln a 1 cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a (ax + b)n d x = Z v du TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Z sin xd x = − cos x + C 15 16 dx = tan x + C cos2 x Z dx = − cot x + C sin2 x Z tan xd x = − ln |cos x| + C Z cot xd x = ln |sin x| + C Z ¯x−a¯ 1 1 ¯ ¯ d x = ln ¯ ¯+C 2 2 2a x+a x −a Z 17 19 21 23 25 B 1 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a Z 1 dx = tan(ax + b) + C 2 cos (ax + b) a Z 1 dx = − cot(ax + b) + C 2 a sin (ax + b) Z 1 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a Z 1 cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a Z 1 x 1 d x = arctan + C 2 2 a a x +a Z 18 20 22 24 26 Các dạng toán Dạng 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải: Phương pháp 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−−−−→ khai triển. Phương pháp 2 Tích các hàm mũ −−−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. Phương pháp 3 Chứa căn −−−−−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. Phương pháp 4 Tích lượng giác bậc một của sin và cos −−−−−−−−−−→ sử dụng công thức tích thành tổng. 1 2 1 ○ sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 ○ cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 ○ sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] Phương pháp 5 Bậc chẵn của sin, cos −−−−−−−−−−→ hạ bậc. ○ sin2 a = 1 1 − cos 2a 2 2 ○ cos2 a = Z 6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ 1 1 + cos 2a 2 2 P ( x) d x với P ( x), Q ( x) là các đa thức. Q ( x) Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P ( x) ≥ bậc của mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ chia đa thức. Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P ( x) < bậc của mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về tổng của phân số Bx + C A + 2 , với ∆ = b2 − 4ac. x − m ax + bx + c ( x − m) 1 A B C D ✓ = + + + . ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 ( x − b) ( x − b)2 ✓ 1 ¡ ax2 + bx + c ¢= 1. NGUYÊN HÀM 4 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên hàm của hàm số sau: 1 3 a) f ( x) = 3 x2 + x. BÀI GIẢI b) f ( x) = x2 − 3 x ( x + 1). ¡ ¢ ¶ Z µ 1 x2 2 a) Ta có: F ( x) = 3 x + x d x = x3 + + C . 3 6 Z Z ¡ 2 ¢ ¡ 3 ¢ x4 2 x3 3 x2 b) Ta có: F ( x) = x − 3 x ( x + 1)d x = x − 2 x2 − 3 x d x = − − + C. 4 3 2 L Nguyên hàm hữu tỷ Z Nguyên hàm của hàm hữu tỷ P ( x) d x. Q ( x) VÍ DỤ 2 Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = BÀI GIẢI 2 x2 − 3 x + 1 x b) f ( x) = 2x + 1 x+1 c) f ( x) = 2x − 1 x2 − x − 2 2 x2 − 3 x + 1 dx = x ¶ Z µ 1 a) F ( x) = 2 x − 3 + d x = x2 − 3 x + ln | x| + C x b) Thực hiện chia đa thức 2 x + 1 cho x + 1 ta được. 2x + 1 1 f ( x) = = 2− . ¶x + 1 µ1 Zx + 1 F ( x) = d x = 2 x − ln | x + 1| + C 2− x+1 Z (Sắp xếp phép chia đa thức hình bên) 2x − 1 A B ( A + B) x − 2 A + B = + = ( x +( 1)( x − 2) x + 1 x(− 2 ( x − 2)( x + 1) A+B =2 A=1 Đồng nhất thức 2 vế ta được: ⇔ − 2 A + B = −1 B=1 2x − 1 1 1 = + . Ta viết lại: f ( x) = 2 µ 1 x−2 ¶ Z ( x − x − 2) Zx + 2x − 1 1 1 Khi đó: F ( x) = dx = + d x = ln | x + 1| + ln | x − 2| + C 2 x+1 x−2 x − x−2 c) Ta viết f ( x) = L 2x − 1 ( x2 − x − 2) = Tìm một nguyên hàm Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k. VÍ DỤ 3 Tìm một nguyên hàm F ( x) của các hàm số sau: a) f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x thỏa mãn F (1) = 1. b) f ( x) = f ( x) = c) f ′ ( x) = 5 1 thỏa mãn F (1) = 2 ln 3. 2x − 5 2 , biết f (0) = 2 và f (2) = 4. Tính giá trị P = f (−2) + f (5). x−1 BÀI GIẢI CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 x4 a) Ta có F ( x) = − x + 3 x − 2 x d x = − + x3 − x2 + C . 4 14 5 3 Theo giả thiết: F (1) = 1 ⇔ − + 1 − 12 + C = 1 ⇔ C = 4 4 5 x4 Vậy F ( x) = − + x3 − x2 + 4 4 Z 1 1 b) Ta có: F ( x) = d x = . ln |2 x − 5| + C 2x − 5 2 1 1 Theo giả thiết: F (1) = 2 ln 3 ⇔ . ln |2.1 − 5| + C = 2 ln 3 ⇔ ln 3 + C = 2 ln 3 2 2 3 ⇔ C = ln 3. 2 1 3 Vậy F ( x) = ln |2 x − 5| + ln 3 . 2 2 Z Z 2 ′ c) Ta có: f ( x)d x = f ( x) + C ⇔ f ( x) = d x − C = 2 ln | x − 1| − C . x − 1( ( ( ( f (0) = 2 2. ln |0 − 1| − C 1 = 2 C 1 = −2 f ( x) = 2 ln | x − 1| + 2 Ta có ⇔ ⇔ ⇒ . f (2) = 4 2. ln |2 − 1| − C 2 = 4 C 2 = −4 f ( x) = 2 ln | x − 1| + 4 Ta có: P = f (−2) + f (5) = (2 ln 3 + 2) + (2 ln 4 + 4) = ln 144 + 6. Z ¡ 3 2 ¢ 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 2 x3 − 5 x2 − 4 x + 7 b) f ( x) = 6 x5 − 12 x3 + x2 − 8 c) f ( x) = ( x − 1) x2 + 2 d) f ( x) = x x2 + 1 ¡ ¢ ¡ ¢2 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 4 1 − 2+ 4 3 x x x 1 1 c) f ( x) = + x (2 − x)2 a) f ( x) = 2 (2 x − 1)3 6 9 d) f ( x) = − 2 3x − 1 (3 x − 1) b) f ( x) = Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 6 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Bài 3. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: p p c) f ( x) = 1 − x p 3 1 p a) f ( x) = x + 3 x b) f ( x) = x − p 4 (2 x − 1)2 d) f ( x) = p 3 x 1 (1 + 2 x)4 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 4. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 2 +1− . 3 − 2x cos2 x 2 c) f ( x) = 3 x − e3x + . sin2 4 x b) f ( x) = a) f ( x) = ³π ´ 2 + 2 x + cos − 3x . x 6 d) f ( x) = 2 − 31−4x + sin 2 x. Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 5. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 2 1 + cos2 2 x. 2 a) f ( x) = sin2 x + . b) f ( x) = c) f ( x) = cos 2 x. cos x + 1. d) f ( x) = cos x. cos 3 x + sin2 2x . Lời giải. 7 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 6. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU HỌC TẬP ¡ a) f ( x) = x2 − 1 NĂM HỌC 2022-2023 ¢2 x2 p p p b) f ( x) = x + 3 x + 4 x. . p c) f ( x) = (1 − 3 x)5 . d) f ( x) = 3 1 − 4 x + p 5 1 1 + 2x Lời giải. . ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 7. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 4 x2 + 1 . 2x x3 + 2 . x+2 2x − 1 e) f ( x) = 2 . 2x − x − 1 b) f ( x) = x−1 . 2x + 3 2 . x2 + x − 2 3 f) f ( x) = . x( x + 3) d) f ( x) = c) f ( x) = Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 8. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa điều kiện cho trước: a) f ( x) = x3 − 4 x + 1; F (1) = 3. c) f ( x) = b) f ( x) = 3 − cos x; F (π) = 2. 3 − 5 x2 ; F (e) = 1. x d) f ( x) = x2 + 1 3 ; F (1) = . x 2 Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 8 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 9. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) thỏa điều kiện cho trước: 1 ; F (0) = 2. Tính F (e). 2x + 1 1 d) f ′ ( x) = , biết f (0) = 1 và f (1) = 2. Tính 2x − 1 giá trị P = f (−1) + f (5). 5 ; F (2) = 3 ln 2. 2 − 10 x 1 c) f ′ ( x) = và f (1) = 1. Tính f (5). 2x − 1 a) f ( x) = b) f ( x) = Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... LUYỆN TẬP 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 5 x a) f ( x) = 3 x3 − 2 + . b) f ( x) = (3 x − 1)(2 x2 + 1). c) f ( x) = x(3 x − 1)2 . d) f ( x) = (2 x2 − 1)2 . e) f ( x) = (3 x − 1)5 . f) f ( x) = LUYỆN TẬP 2 p 2 1 3 + + 3 x − 1. 3 4 x (3 − 2 x) Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 3 x − e1+4x + ³π 3 . 2 + 4x ´ − 5 x + e x + 1. 3 µ ¶ e− x x e) f ( x) = e 2 + . cos2 x c) f ( x) = cos b) f ( x) = 3x + sin (5 − 10 x) + 9. d) f ( x) = e x (e x − 1). µ ¶− x 1 3 + f) f ( x) = 2 . . 3 cos2 5 x x LUYỆN TẬP 3 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x) = 1 − sin2 2 x. c) f ( x) = 2 sin 3 x. cos 2 x. b) f ( x) = cos2 3 x − 3. d) f ( x) = 4 sin 6 x sin x. LUYỆN TẬP 4 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 + 2 x + 1 . x 3 c) f ( x) = 2 . x − x−6 a) f ( x) = 9 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 5x − 1 . x+2 3x − 1 d) f ( x) = 2 . 3x − x − 4 b) f ( x) = TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 LUYỆN TẬP 5 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước a) f ( x) = x3 − 1 ; F (−2) = 0 x2 3 b) f ( x) = − x3 + 3 x2 − 2 x; F (1) = 0 2 c) f ( x) = x + 3 x + 2; F (2) = 14. Tính F (−2) µ ¶ 2 1 d) f ( x) = (1 − 2 x) ; − = . Tính F (1) 2 3 5 LUYỆN TẬP 6 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước p a) f ( x) = 2 x − 1; F (1) = c) f ( x) = p 2 4x − 1 e) f ( x) = p LUYỆN TẬP 7 4 3 p ; F (3) = 3 11 3 p 1 4 p ; F (2) = 5 b) f ( x) = 3 2 x − 4; F (−2) = p 2x + 1 − 2x − 2 p ; F (1) = 2 d) f ( x) = p 1 3x − 1 6x f) f ( x) = p ; F (2) = 1 p 3x + 7 − 7 − 3x Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước e a) f ( x) = e3x ; F (0) = 1 b) f ( x) = e3x+1 ; F (0) = ¡ ¢2 3 c) f ( x) = 2 + e3x ; F (0) = 2 e) f ( x) = ex (3 + e−x ); F (ln 2) = 3 3 ¡ ¢ d) f ( x) = e x 2e2 + 1 ; F (0) = 1 µ ¶ p 1 4x − 2 ;F f) f ( x) = e =1 2 VẬN DỤNG 1 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa ³ π ´điều kiện cho trước ³π´ π x a) f ( x) = sin 2 x. sin x; F = 0. b) f ( x) = sin2 ; F = . 3 c) f ( x) = p 3 2 p ; F (1) = 2 p 2x + 1 − 2x − 2 ³π´ 3 e) f ( x) = cos4 x − sin4 x; F = . 4 2 2 4 6x d) f ( x) = p ; F (2) = 1 p 3x + 7 − 7 − 3x ³ π ´ 3π f) f ( x) = cos4 x − sin4 x; F = 4 16 VẬN DỤNG 2 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước 1 +2 ln 6 2 c) f ( x) = 4x .22x+3 ; F (0) = − . Tính A = ln 2 [ln 2.F (1)]3 210 x3 5 e) f ( x) = ; F (2) = x−1 3 a) f ( x) = 3x − 2x .3x ; F (0) = − b) f ( x) = 9x − 3 x2 ; F (0) = 1 +2 ln 9 d) f ( x) = x ; F (2) = 3 − ln 3 x+1 f) f ( x) = x3 ; F (−3) = 0. Tính F (−1). x+2 VẬN DỤNG 3 Tìm nguyên hàm F ( x) thỏa điều kiện cho trước a) f ( x) = 5x + 3 x2 + 7 x + 12 ; F (−2) = 18 ln 2 b) f ( x) = 9 x − 10 6 x2 − 11 x + 3 ; F (1) = ln 2 1. NGUYÊN HÀM 10 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 4 x + 11 c) f ( x) = 2 ; F (1) = ln 2. Tính eF(−4) x + 5x + 6 1 5 e) f ( x) = 2 ; F (1) = − ln 2 3 x + 3x µ ¶ 1 3 d) f ( x) = 2 ; F (3) = 0. Tính F 2 x − 3x + 2 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Z Cho f ( u)d x = F ( u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm và liên tục thì Z f [ u( x)] u′ ( x)d x = F [ u( x)] + C Phương pháp giải: đạo hàm 2 vế Đặt t = u( x) −−−−−−−−−→ d t = u′ ( x)d x. Lưu ý: Sau khi biến đổi và tính nguyên hàm xong, cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Một số dạng biến đổi thường gặp Dạng toán Z ¡ ¢m f ax n+1 + b . x n d x Z µ n ¶m x f 2 dx ax n+1 Z ¡ ¢n f ax2 + b d x 3 Z p n 4 f ( x) f ′ ( x)d x Z 1 f (ln x) . d x 5 x Z ¡ ¢ f e x .e x d x 6 Z f (cos x) . sin xd x 7 Z f (sin x) . cos xd x 8 Z 1 9 f (tan x) . dx cos2 x Z 1 10 f (cot x) . 2 d x sin x Z ¡ 2 ¢ 11 f sin x; cos2 x . sin 2 xd x 1 Cách đặt t t = ax n+1 + b ⇒ d t = a( n + 1) x n d x . t = ax n+1 ⇒ d t = a( n + 1) x n d x. t = ax2 + b ⇒ d t = 2axd x. t= p n f ( x) ⇒ t n = f ( x) ⇒ nt n−1 d t = f ′ ( x)d x. 1 t = ln x ⇒ d t = d x. x t = e x ⇒ d t = e x d x. t = cos x ⇒ d t = − sin xd x. t = sin x ⇒ d t = cos xd x. ¡ ¢ 1 d x = 1 + tan2 x d x. 2 cos x ¡ ¢ 1 t = cot x ⇒ d t = − 2 d x = − 1 + cot2 x d x. sin x " t = cos2 x ⇒ d t = − sin 2 xdx t = tan x ⇒ d t = t = sin2 x ⇒ d t = 2 sin x cos xd x . Z 12 11 f (sin x ± cos x) . (cos x ± sin x) d x t = cos x ± sin x ⇒ d t = (cos x ∓ sin x) d x. CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z a) A = c) I = (1 − x) Z p 2021 Z xd x. b) B = Z x2 + 3 xd x. d) D = ¡ ¢5 x2 + 1 xd x. sin3 x. cos xd x BÀI GIẢI a) Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ d x = −d t. Z A=− t 2021 Z (1 − t)d t = − ¡ ¢ t2023 t2022 − +C t2021 − t2022 d t = 2023 2022 (1 − x)2023 (1 − x)2022 − +C 2023 2022 dt b) Đặt t = x2 + 1 ⇒ d t = 2 xd x ⇒ = xd x. 2 Z Z 1 t6 5 dt = t5 d t = +C B= t 2 2 12 ¡ 2 ¢6 x +1 = +C 12 p c) Đặt t = x2 + 3 ⇒ t2 = x2 + 3 ⇒ td t = xd x. = Z I= Z t2 d t = t.td t = ³p 3 t +C = 3 x2 + 3 ´3 3 + C. d) Đặt t = sin x ⇒ d t = cos xd x Z D= VÍ DỤ 2 t4 sin4 x +C = + C. 4 4 t3 d t = Tính các Znguyên sau: ln x d x. x Z p 1 + tan x c) K = d x. cos2 x a) I = b) J = Z p 5 − e x e x d x. Z d) H = sin3 xd x. BÀI GIẢI a) Đặt t = ln x ⇒ d x = dx . x Z I= td t = t2 ln2 x +C = +C 2 2 p b) Đặt t = 5 − e x ⇒ t2 = 5 − e x ⇒ 2 td t = −e x d x Z J =− Z t.2 td t = −2 p ´3 2 2 ³p t2 d t = − t3 + C = − 5 − e x + C. 3 3 c) Đặt t = 1 + tan x ⇒ t2 = 1 + tan x ⇒ 2 td t = Z K= Z t.2 td t = 2 dx cos2 x ´3 2 2 ³p t2 d t = t3 + C = 1 + tan x + C 3 3 1. NGUYÊN HÀM 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Z d) Ta viết lại H = Z 3 sin xd x = Z 2 sin x. sin xd x = ¡ ¢ 1 − cos2 x . sin x d x Đặt t = cos x ⇒ d t = − sin xd x Z H=− ¡ ¢ t3 cos3 x 1 − t2 d t = − t + C = − cos x + C. 3 3 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = c) H = Z p 3 x Z ¡ 2 ¢7 2 x + 1 x d x. b) J = x2 + 5 Z x2 + 1 x d x. d) K = Lời giải. d x. 3 x2 d x. p 5 + 2 x3 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = Z c) H = ex d x. p ex − 3 Z b) J = p e x p d x. x Z d) K = ex 2 +1 x d x. etan x xd x. cos2 Lời giải. 13 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = Z c) H = ln3 x d x. x 1 + ln2 x d x. x Z p 4 + ln x d) K = d x. x Z b) J = 3 ln x + 1 d x. x. ln x Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = cos Z c) H = 2021 sin x d x. cos2 x Z p d) K = 1 + 4 cos x.2 sin xd x. Z x. sin x d x. b) J = sin 2 x. cos2 x d x. Lời giải. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... LUYỆN TẬP 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: x Z a) I = d x. ( x + 1)5 4 x3 Z c) H = ¡ ¢2 d x . x4 + 2 Z b) J = ¡ Z d) K = x3 d x ¢3 . 1 + x2 x5 d x. x2 + 1 1. NGUYÊN HÀM 14 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 LUYỆN TẬP 2 Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: a) I = p (2 x − 3) x2 − 3 x − 5 Z c) H = p 3 LUYỆN TẬP 3 2x x2 + 4 d x. b) J = Z p 3 Z d x. d) K = Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: ln x Z a) I = d x. p x 1 + ln x dx Z c) H = d x. p 3 x 1 + ln x Z 1 e) M = p x ln x 6 + 3 ln2 x Z b) J = x2 − 2021.x d x. x2 d x. p 1− x p ln x 1 + 3 ln x d x. x ln2 x d x. p x 1 + ln x Z ln x f) N = dx x (2 + ln x)2 Z d) K = LUYỆN TẬP 4 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: ex Z a) I = d x. p ex + 3 Z dx c) H = d x. p 3 x 1 + ln x Z e2x e) M = p dx e2 + 1 LUYỆN TẬP 5 Z b) J = Z d) K = sin x d x. cos2 x a) I = 5 sin3 x c) H = d x. 1 − cos x Z sin 2 x. cos x e) M = dx 1 − cos x LUYỆN TẬP 6 ex d x. e x + e− x Z sin x d x. 2 + cos x Z sin2 x. tan x d x. Z sin 2 x d x. 4 − cos2 x Z 3 a) I = cos x d x. Z c) H = Z e) M = cos x d x. 4 + sin x sin 2 x. sin5 xd x LUYỆN TẬP 7 d x. Z b) J = d) K = f) N = Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: dx e x + e− x f) N = Tính các Znguyên hàm của các hàm số sau: p ln x 1 + 3 ln x d x. x Z b) J = (1 + 2 sin x) cos x d x. sin 2 x d x. 1 − sin x Z cos x f) N = d x. p 2 + 3 sin x + 1 Z d) K = Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z a) I = Z c) H = 15 sin2 x d x. cos4 x dx d x. cos4 x CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Z (1 + tan x)2 d x. cos2 x Z (2 − cot x)2 b) J = d) K = sin2 x d x.