Tài liệu Tài liệu học tập giải tích lớp 12 học kỳ 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN TÀI LIỆU HỌC TẬP 12 GIẢI TÍCH HỌC KỲ II 1 2 3 31 4 30 5 29 6 28 7 1 2 3 27 31 4 8 30 5 26 9 29 6 25 28 10 7 24 27 11 8 23 12 26 9 22 13 25 10 21 14 20 24 11 19 18 17 16 15 23 12 22 1 2 3 13 21 14 4 20 30 5 19 18 17 16 15 29 6 28 7 27 8 26 9 25 10 24 11 23 12 22 13 21 14 20 19 18 17 16 15 July August September 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 1 2 3 4 5 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 14 30 19 18 17 16 15 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 June 7 8 9 10 11 12 13 14 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 1 2 3 4 May 19 18 17 16 15 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 April October 19 18 17 16 15 1 2 3 19 18 17 16 15 1 2 3 31 4 30 5 29 6 6 28 7 7 27 8 8 26 9 9 25 10 10 24 11 11 23 12 12 22 1 2 3 1 2 3 13 13 21 31 14 14 4 4 20 30 5 5 19 18 17 16 15 19 18 17 16 15 29 6 6 28 28 7 7 1 2 3 27 27 31 4 8 8 30 5 26 26 9 9 29 6 25 25 10 28 10 7 24 24 11 27 11 8 23 23 12 12 26 9 22 22 13 13 25 10 21 21 14 14 20 20 24 11 19 18 17 16 15 19 18 17 16 15 23 12 22 13 21 14 20 19 18 17 16 15 4 5 November March February December January LƯU HÀNH NỘI BỘ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Muåc luåc Phần I Chương 3. GIẢI TÍCH NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 Bài 1. Nguyên hàm 1 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 | Dạng 1.Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 | Dạng 2.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 | Dạng 3.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Bài 2. Tích phân 28 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 | Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 | Dạng 2.Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 | Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối Zb |f (x)| dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 a | Dạng 4.Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 | Dạng 5.Phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Bài 3. Ứng dụng tích phân 69 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 | Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận . . 70 | Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 73 | Dạng 3.Thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 | Dạng 4.Thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 | Dạng 5.Bài toán thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 pNăm học 2021-2022 Chương 4. pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 SỐ PHỨC 108 Bài 1. Số phức 108 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 | Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 | Dạng 2.Xác định mô-đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 | Dạng 3.Hai số phức bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 | Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 | Dạng 5.Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức 126 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 | Dạng 1.Cộng trừ hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 | Dạng 2.Phép nhân hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Bài 3. Phép chia số phức 140 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 | Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 | Dạng 2.Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 | Dạng 3.Một số bài toán xác định môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 | Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực 157 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 B Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 | Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 | Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 C Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 MỤC LỤC ii PHẦN I GIẢI TÍCH pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 3 Chûúng NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Baâi 1 A . NGUYÊN HÀM Tóm tắt lí thuyết c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K. c Định lí 1.1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. c Định lí 1.2. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. c Định lí 1.3. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1. Tính chất của nguyên hàm Z f 0 (x) dx = f (x) + C Z Z c Tính chất 1.2. kf (x) dx = k f (x) dx (k là một hằng số khác 0). Z Z Z c Tính chất 1.3. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx c Tính chất 1.1. 2. Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1. Phương pháp đổi biến số Z c Định lí 1.4. Nếu f (u) du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z f (u(x))u0 (x) dx = F (u(x)) + C. 2.2. Phương pháp từng phần c Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì Z Z 0 u(x).v x() dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx. 1 p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 o Lưu ý: Vì u0 (x) dx = dv, u0 (x) dx =Z du nên đẳng thức Z trên còn được viết ở dạng u du = uv − v dv. Z Để tính nguyên hàm f (x) dx bằng từng phần ta làm như sau: 0 ○ Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v (x) dx). Sau đó tính v = Z dv và du = u0 · dx. ○ Bước 2. Thay vào công thức (∗) và tính Z vdu. o Lưu ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân Z v du dễ Z tính hơn u dv. Ta thường gặp các dạng sau: Z ï ò sin x | Dạng 1. I = P (x) dx. Với dạng này, ta đặt cos x   u = P ï(x) ò sin x dx  dv = Z cos x ax+b | Dạng 2. I = P (x) e dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ® u = P (x) Z dv = eax+b dx | Dạng 3. I = P (x) ln (mx + n) dx, trong đó P (x) là đa thức. Với dạng này, ta đặt ® u = ln (mx + n) Z ï ò dv = P (x) dx . sin x ex dx. Với dạng này, ta đặt | Dạng 4. I = cos x  ï ò sin x  u= cos x  dv = ex dx Z 1 Z 3 Z 5 Z 7 Z 9 Z 11 Z 13 Z 15 BẢNG NGUYÊN HÀM Z 2 dx = x + C kdx = kx + C Z xn+1 1 (ax + b)n+1 n x dx = +C 4 (ax + b)n dx = +C n+1 a n+1 Z dx 1 dx 1 1 =− +C 6 =− . +C 2 2 x x (ax + b) a ax + b Z dx dx 1 = ln |x| + C 8 = ln |ax + b| + C x ax + b a Z 1 ex dx = ex + C eax+b dx = eax+b + C 10 a Z x a 1 aαx+β ax dx = +C 12 aαx+β dx = +C ln a α ln a Z 1 cos xdx = sin x + C 14 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a Z 1 sin xdx = − cos x + C 16 sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a 1. NGUYÊN HÀM 2 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Z Z dx 17 = tan x + C cos2 x Z dx 19 = − cot x + C sin2 x Z 21 tan xdx = − ln |cos x| + C Z 23 cot xdx = ln |sin x| + C   Z x − a 1 1 +C ln  25 dx = x 2 − a2 2a  x + a  B 18 Z 20 Z 22 Z 24 Z 26 dx 1 tan(ax + b) + C + b) a dx 1 = − cot(ax + b) + C 2 a sin (ax + b) 1 tan(ax+b)dx = − ln |cos(ax + b)|+C a 1 cot(ax + b)dx = ln |sin(ax + b)| + C a 1 x 1 dx = arctan + C 2 2 x +a a a cos2 (ax = Các dạng toán | Dạng 1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm Phương pháp giải: Phương pháp 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−→ khai triển. Phương pháp 2 Tích các hàm mũ −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ. Phương pháp 3 Chứa căn −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa. Phương pháp 4 Tích lượng giác bậc một của sin và cos −−−−−−−→ sử dụng công thức tích thành tổng. 1 [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 1 ○ sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 ○ cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 ○ sin a cos b = Phương pháp 5 Bậc chẵn của sin, cos −−−−−−−→ hạ bậc. ○ sin2 a = 1 1 − cos 2a 2 2 ○ cos2 a = Z 6 Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ 1 1 + cos 2a 2 2 P (x) dx với P (x), Q(x) là các đa thức. Q(x) Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P (x) ≥ bậc của mẫu Q(x) −−−−−−−→ chia đa thức. Phương pháp ○ Nếu bậc của tử P (x) < bậc của mẫu Q(x) −−−−−−−→ phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về tổng của phân số 1 A Bx + C = + 2 , với ∆ = b2 − 4ac. 2 (x − m) (ax + bx + c) x − m ax + bx + c A C 1 B D  = + + + . 2 2 2 (x − a) (x − b) x − a (x − a) (x − b) (x − b)2  1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên hàm của hàm số sau: 1 a) f (x) = 3x2 + x. 3 BÀI GIẢI 3 p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b) f (x) = (x2 − 3x) (x + 1). pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Z Å ã 1 x2 2 3x + x dx = x3 + + C. a) Ta có: F (x) = 3 6 Z Z

x4 2x3 3x2 2 b) Ta có: F (x) = x − 3x (x + 1)dx = x3 − 2x2 − 3x dx = − − + C. 4 3 2 L Nguyên hàm hữu tỷ Z Nguyên hàm của hàm hữu tỷ P (x) dx. Q(x) VÍ DỤ 2 Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau: 2x2 − 3x + 1 2x + 1 a) f (x) = b) f (x) = x x+1 c) f (x) = 2x − 1 −x−2 x2 BÀI GIẢI Z Å ã 2x2 − 3x + 1 1 a) F (x) = dx = 2x − 3 + dx = x2 − 3x + ln |x| + C x x b) Thực hiện chia đa thức 2x + 1 cho x + 1 ta được. 2x + 1 1 f (x) = =2− . xã+ 1 Zx + Å1 1 F (x) = 2− dx = 2x − ln |x + 1| + C x+1 (Sắp xếp phép chia đa thức hình bên) Z 2x − 1 A B (A + B)x − 2A + B 2x − 1 = = + = − x − 2) ®(x + 1)(x − 2) x +®1 x − 2 (x − 2)(x + 1) A+B =2 A=1 Đồng nhất thức 2 vế ta được: ⇔ − 2A + B = −1 B=1 1 1 2x − 1 = + . Ta viết lại: f (x) = 2 xZ +Å1 x − 2 Z (x − x − 2) ã 1 1 2x − 1 dx = + dx = ln |x + 1| + ln |x − 2| + C Khi đó: F (x) = x2 − x − 2 x+1 x−2 c) Ta viết f (x) = L (x2 Tìm một nguyên hàm Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = k. VÍ DỤ 3 Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau: a) f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = 1. 1 b) f (x) = f (x) = thỏa mãn F (1) = 2 ln 3. 2x − 5 2 c) f 0 (x) = , biết f (0) = 2 và f (2) = 4. Tính giá trị P = f (−2) + f (5). x−1 BÀI GIẢI
x4 −x3 + 3x2 − 2x dx = − + x3 − x2 + C. 4 14 5 Theo giả thiết: F (1) = 1 ⇔ − + 13 − 12 + C = 1 ⇔ C = 4 4 Z a) Ta có F (x) = 1. NGUYÊN HÀM 4 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 x4 5 Vậy F (x) = − + x3 − x2 + 4 4 Z 1 1 b) Ta có: F (x) = dx = . ln |2x − 5| + C 2x − 5 2 1 1 Theo giả thiết: F (1) = 2 ln 3 ⇔ . ln |2.1 − 5| + C = 2 ln 3 ⇔ ln 3 + C = 2 ln 3 2 2 3 ⇔ C = ln 3. 2 3 1 Vậy F (x) = ln |2x − 5| + ln 3 . 2 2 Z Z 2 0 c) Ta có: f (x)dx = f (x) + C ⇔ f (x) = dx − C = 2 ln |x − 1| − C. x −®1 ® ® ® f (x) = 2 ln |x − 1| + 2 C1 = −2 2. ln |0 − 1| − C1 = 2 f (0) = 2 . ⇒ ⇔ ⇔ Ta có f (x) = 2 ln |x − 1| + 4 C2 = −4 2. ln |2 − 1| − C2 = 4 f (2) = 4 Ta có: P = f (−2) + f (5) = (2 ln 3 + 2) + (2 ln 4 + 4) = ln 144 + 6. 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f (x) = 2x3 − 5x2 − 4x + 7 b) f (x) = 6x5 − 12x3 + x2 − 8 c) f (x) = (x − 1) (x2 + 2) d) f (x) = x (x2 + 1) 2 Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2 4 a) f (x) = 3 − 2 + 4 x x x 1 1 c) f (x) = + x (2 − x)2 2 (2x − 1)3 6 9 d) f (x) = − (3x − 1)2 3x − 1 b) f (x) = Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 3. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 3 a) f (x) = +1− . 3 − 2x cos2 x 2 c) f (x) = 3x − e3x + . sin2 4x 5 p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b) f (x) = π  2 + 2x + cos − 3x . x 6 d) f (x) = 2 − 31−4x + sin 2x. pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 4. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 a) f (x) = sin2 x + . 2 c) f (x) = cos 2x. cos x + 1. 1 + cos2 2x. 2 d) f (x) = cos x. cos 3x + sin2 x2 . b) f (x) = Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 5. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2 (x2 − 1) . x2 b) f (x) = c) f (x) = (1 − 3x)5 . d) f (x) = a) f (x) = √ x+ √ 3 √ 3 x+ √ 4 1 − 4x + √ 5 x. 1 . 1 + 2x Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 6. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 4x2 + 1 . 2x x3 + 2 c) f (x) = . x+2 2x − 1 e) f (x) = 2 . 2x − x − 1 a) f (x) = x−1 . 2x + 3 2 d) f (x) = 2 . x +x−2 3 f) f (x) = . x(x + 3) b) f (x) = Ê Lời giải. 1. NGUYÊN HÀM 6 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 7. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa điều kiện cho trước: a) f (x) = x3 − 4x + 1; F (1) = 3. c) f (x) = b) f (x) = 3 − cos x; F (π) = 2. 3 − 5x2 ; F (e) = 1. x d) f (x) = x2 + 1 3 ; F (1) = . x 2 Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 8. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa điều kiện cho trước: 5 1 a) f (x) = ; F (2) = 3 ln 2. b) f (x) = ; F (0) = 2. Tính F (e). 2 − 10x 2x + 1 1 1 c) f 0 (x) = và f (1) = 1. Tính f (5). d) f 0 (x) = , biết f (0) = 1 và f (1) = 2. 2x − 1 2x − 1 Tính giá trị P = f (−1) + f (5). Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... LUYỆN TẬP 1 7 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 5 a) f (x) = 3x3 − 2 + . x c) f (x) = x(3x − 1)2 . p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b) f (x) = (3x − 1)(2x2 + 1). d) f (x) = (2x2 − 1)2 . pNăm học 2021-2022 e) f (x) = (3x − 1)5 . pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 f) f (x) = √ 2 1 + + 3 3x − 1. 3 4 x (3 − 2x) LUYỆN TẬP 2 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 3 a) f (x) = 3x − e1+4x + . 2 + 4x π  c) f (x) = cos − 5x + ex + 1. 3 Å ã e−x x e) f (x) = e 2 + . cos2 x b) f (x) = 3x + sin (5 − 10x) + 9. d) f (x) = ex (ex − 1). Å ã−x 1 3 x f) f (x) = 2 . + . 3 cos2 5x LUYỆN TẬP 3 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: a) f (x) = 1 − sin2 2x. c) f (x) = 2 sin 3x. cos 2x. b) f (x) = cos2 3x − 3. d) f (x) = 4 sin 6x sin x. LUYỆN TẬP 4 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: 2x3 + 2x + 1 a) f (x) = . x 3 c) f (x) = 2 . x −x−6 5x − 1 . x+2 3x − 1 d) f (x) = 2 . 3x − x − 4 b) f (x) = LUYỆN TẬP 5 Tìm nguyên hàm F (x) thỏa điều kiện cho trước x3 − 1 a) f (x) = ; F (−2) = 0 b) f (x) = −x3 + 3x2 − 2x; F (1) = 0 x2 Å ã 1 2 5 3 2 c) f (x) = x + 3x + 2; F (2) = 14. Tính d) f (x) = (1 − 2x) ; − = . Tính F (1) 2 3 F (−2) LUYỆN TẬP 6 Tìm nguyên hàm F (x) thỏa điều kiện cho trước √ √ 4 1 a) f (x) = 2x − 1; F (1) = b) f (x) = 3 2x − 4; F (−2) = 3 4 √ √ 1 2 c) f (x) = √ d) f (x) = √ ; F (3) = 3 11 ; F (2) = 5 4x − 1 3x − 1 √ 3 6x √ √ e) f (x) = √ ; F (1) = 2 f) f (x) = √ ; F (2) = 1 2x + 1 − 2x − 2 3x + 7 − 7 − 3x LUYỆN TẬP 7 Tìm nguyên hàm F (x) thỏa điều kiện cho trước e a) f (x) = e3x ; F (0) = 1 b) f (x) = e3x+1 ; F (0) = 3 3 2 c) f (x) = (2 + e3x ) ; F (0) = d) f (x) = ex (2e2 + 1); F (0) = 1 2 Å ã √ 1 x −x e) f (x) = e (3 + e ); F (ln 2) = 3 f) f (x) = e4x−2 ; F =1 2 1. NGUYÊN HÀM 8 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 VẬN DỤNG 1 Tìm nguyên hàm F (x) thỏađiều kiện cho trước π  π π x a) f (x) = sin 2x. sin x; F = 0. b) f (x) = sin2 ; F = . 3 2 2 4 √ 3 6x √ √ c) f (x) = √ ; F (1) = 2 d) f (x) = √ ; F (2) = 1 2x + 1 − 2x − 2 3x + 7 − 7 − 3x  π  3π π  3 e) f (x) = cos4 x − sin4 x; F = . f) f (x) = cos4 x − sin4 x; F = 4 2 4 16 VẬN DỤNG 2 Tìm nguyên hàm F (x) thỏa điều kiện cho trước 1 1 a) f (x) = 3x − 2x .3x ; F (0) = − +2 b) f (x) = 9x − 3x2 ; F (0) = +2 ln 6 ln 9 2 x . Tính A = d) f (x) = ; F (2) = 3 − ln 3 c) f (x) = 4x .22x+3 ; F (0) = − ln 2 x+1 3 [ln 2.F (1)] 210 x3 5 x3 e) f (x) = ; F (2) = f) f (x) = ; F (−3) = 0. Tính F (−1). x−1 3 x+2 VẬN DỤNG 3 Tìm nguyên hàm F (x) thỏa điều kiện cho trước 5x + 3 9x − 10 a) f (x) = 2 ; F (−2) = 18 ln 2 b) f (x) = 2 ; F (1) = ln 2 x + 7x + 12 6x − 11x + 3 1 4x + 11 c) f (x) = 2 ; F (1) = ln 2. Tính d) f (x) = 2 ; F (3) = 0. Tính x + 5x + 6 x − 3x + 2 Å ã 3 eF (−4) F 2 5 1 1 , biết rằng đồ thị hàm f) f (x) = 2 ; F (1) = − ln 2 e) f (x) = 2 x +x−2 x + 3x 3 số y = F (x) cắt trục tung tại điểm có 2 tung độ bằng ln 2. 3 | Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Z Cho f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục thì Z f [u(x)] u0 (x)du = F [u(x)] + C Phương pháp giải: đạo hàm 2 vế Đặt t = u(x) −−−−−−−→ dt = u0 (x)dx. o Lưu ý: Sau khi biến đổi và tính nguyên hàm xong, cần trả lại biến cũ ban đầu là x. Một số dạng biến đổi thường gặp Dạng toán 9 p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Cách đặt t pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Z
m f axn+1 + b . xn dx Z Å n ãm x dx 2 f axn+1 Z
n 3 f ax2 + b dx Z » n 4 f (x)f 0 (x)dx Z 1 5 f (ln x) . dx x Z 6 f (ex ) .ex dx Z 7 f (cos x) . sin xdx Z 8 f (sin x) . cos xdx Z 1 9 f (tan x) . 2 dx cos x Z 1 f (cot x) . 2 dx 10 sin x Z
11 f sin2 x; cos2 x . sin 2xdx Z 12 f (sin x ± cos x) . (cos x ± sin x) dx 1 t = axn+1 + b ⇒ dt = a(n + 1) xn dx . t = axn+1 ⇒ dt = a(n + 1)xn dx. t = ax2 + b ⇒ dt = 2axdx. t= p n f (x) ⇒ tn = f (x) ⇒ ntn−1 dt = f 0 (x)dx. t = ln x ⇒ dt = 1 dx. x t = ex ⇒ dt = ex dx. t = cos x ⇒ dt = − sin xdx. t = sin x ⇒ dt = cos xdx. 1 dx = (1 + tan2 x) dx. cos2 x 1 t = cot x ⇒ dt = − 2 dx = − (1 + cot2 x) dx. sin x ñ t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2xdx . t = sin2 x ⇒ dt = 2 sin x cos xdx t = tan x ⇒ dt = t = cos x ± sin x ⇒ dt = (cos x ∓ sin x) dx. 1. Ví dụ minh họa VÍ DỤ 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z a) A = (1 − x)2021 xdx. Z √ c) I = x2 + 3 xdx. Z b) B = Z d) D = x2 + 1
5 xdx. sin3 x. cos xdx BÀI GIẢI a) Đặt t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ dx = −dt. Z Z 2021 A = − t (1 − t)dt = −
t2023 t2022 t2021 − t2022 dt = − +C 2023 2022 (1 − x)2023 (1 − x)2022 − +C 2023 2022 dt b) Đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ = xdx. 2 Z Z 1 t6 5 dt 5 B= t = t dt = +C 2 2 12 6 (x2 + 1) = +C 12 √ c) Đặt t = x2 + 3 ⇒ t2 = x2 + 3 ⇒ tdt = xdx. Ä√ ä3 Z Z 2+3 3 x t I = t.tdt = t2 dt = + C = + C. 3 3 = 1. NGUYÊN HÀM 10 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 d) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Z D= t3 dt = VÍ DỤ 2 Tính các nguyên sau: Z ln x a) I = dx. x Z √ 1 + tan x c) K = dx. cos2 x t4 sin4 x +C = + C. 4 4 √ 5 − ex ex dx. Z b) J = Z d) H = sin3 xdx. BÀI GIẢI a) Đặt t = ln x ⇒ dx = dx . x Z I= b) Đặt t = √ √ t2 ln2 x tdt = + C = +C 2 2 5 − ex ⇒ t2 = 5 − ex ⇒ 2tdt = −ex dx Z Z ä3 2 2 Ä√ J = − t.2tdt = −2 t2 dt = − t3 + C = − 5 − ex + C. 3 3 dx cos2 x Z Z ä3 2 2 Ä√ 1 + tan x + C K = t.2tdt = 2 t2 dt = t3 + C = 3 3 Z Z Z
3 2 d) Ta viết lại H = sin xdx = sin x. sin xdx = 1 − cos2 x . sin x dx c) Đặt t = 1 + tan x ⇒ t2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt = Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Z
t3 cos3 x H=− 1 − t2 dt = − t + C = − cos x + C. 3 3 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: Z
7 a) I = 2x2 + 1 x dx. Z √ 3 c) H = x2 + 1x dx. Z x dx. +5 Z 3x2 √ d) K = dx. 5 + 2x3 b) J = x2 Ê Lời giải. 11 ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: Z ex √ a) I = dx. ex − 3 Z √x e √ dx. c) H = x Z b) J = Z d) K = ex 2 +1 x dx. etan x xdx. cos2 Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: Z ln3 x a) I = dx. x Z 3 ln x + 1 c) H = dx. x. ln x 1 + ln2 x dx. x Z √ 4 + ln x d) K = dx. x Z b) J = Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 12 pNăm học 2021-2022 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Bài 4. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = cos2021 x. sin x dx. Z c) H = sin 2x. cos2 x dx. Z sin x dx. cos2 x Z √ d) K = 1 + 4 cos x.2 sin xdx. b) J = Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... LUYỆN TẬP 1 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z x a) I = dx. (x + 1)5 Z 4x3 c) H = dx. (x4 + 2)2 Z x3 dx . (1 + x2 )3 Z x5 dx. x2 + 1 b) J = d) K = LUYỆN TẬP 2 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z (2x − 3) √ a) I = dx. x2 − 3x − 5 Z 2x √ c) H = dx. 3 x2 + 4 Z √ 3 b) J = x2 − 2021.x dx. Z d) K = x2 √ dx. 1−x LUYỆN TẬP 3 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z ln x √ a) I = dx. x 1 + ln x Z dx √ c) H = dx. 3 x 1 + ln x Z 1 p e) M = x ln x 6 + 3 ln2 x Z b) J = √ ln x 1 + 3 ln x dx. x ln2 x √ dx. x 1 + ln x Z ln x f) N = dx x (2 + ln x)2 Z d) K = LUYỆN TẬP 4 13 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z ex √ a) I = dx. ex + 3 Z dx √ c) H = dx. x 3 1 + ln x p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG √ ln x 1 + 3 ln x b) J = dx. x Z dx d) K = dx. ex + e−x Z pNăm học 2021-2022 Z e) M = √ e2x e2 + 1 pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 dx Z ex dx. ex + e−x Z sin x dx. 2 + cos x f) N = LUYỆN TẬP 5 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z sin x a) I = dx. cos2 x Z 5 sin3 x c) H = dx. 1 − cos x Z sin 2x. cos x e) M = dx 1 − cos x b) J = Z d) K = Z f) N = sin2 x. tan x dx. sin 2x dx. 4 − cos2 x LUYỆN TẬP 6 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z a) I = cos3 x dx. Z cos x c) H = dx. 4 + sin x Z e) M = sin 2x. sin5 xdx Z b) J = (1 + 2 sin x) cos x dx. Z sin 2x dx. 1 − sin x Z cos x √ f) N = dx. 2 + 3 sin x + 1 d) K = LUYỆN TẬP 7 Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: Z sin2 x a) I = dx. cos4 x Z dx c) H = dx. cos4 x Z cos2 x e) M = dx sin4 x Z b) J = (1 + tan x)2 dx. cos2 x (2 − cot x)2 d) K = dx. sin2 x Z cos4 x f) N = dx. sin6 x Z VẬN DỤNG 1 Tính các nguyên Z √ hàm sau: a) I = 1 − x2 dx. Z √ c) H = x2 1 − x2 dx. Z 1 dx. 4 − x2 Z 1 d) K = dx. 1 + x2 b) J = √ | Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Nếu hai hàm số u = u(x) và v Z = v(x) có đạo hàm và liên tụcZtrên K thì I = u(x)v 0 (x) dx = u(x).v(x) − v(x) dx Phương pháp a) Cách đặt  đạo hàm u = · · · − −−−−→ du = · · · dx nguyên hàm dv = · · · dx −−−−−−→ v = · · · b) Chọn cách đặt u và dv  1. NGUYÊN HÀM 14 pNăm học 2021-2022 Z pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12 Z x P (x).e dx Z P (x). cos xdx Z P (x). sin xdx P (x). ln xdx u P (x) P (x) P (x) ln x dv ex dx cos x dx sin x dx ln x dx 1. Ví dụ VÍ DỤ 1 Tính các Z nguyên hàm của các hàm số sau: a) I (2x + 1).ex dx. Z c) K = 2x. ln xdx. Z (3 − x). sin xdx. b) J = Z d) H = 3x − 4 dx. cos2 x BÀI GIẢI ® a) Đặt u = 2x + 1 ⇒ dv = ex .dx ® du = 2dx v = ex Z x I = (2x + 1)e − 2 ex dx = (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C ® u=3−x du = −dx b) Đặt ⇒ dv = sin xdx v = − cos x Z J = (x − 3) cos x − cos xdx = (x − 3) cos x − sin x + C  ® du = 1 dx u = ln x x c) Đặt ⇒  dv = 2xdx 2 v=x ® ln x K= 2 − x Z xdx = ln x x2 − +C x2 2  ® u = 3x − 4 du = 3dx d) Đặt ⇒ 1 dv = v = tan x dx cos2 x Z H = (3x − 4) tan x − 3 tan xdx = (3x − 4) tan x + 3 ln |cos x| + C VÍ DỤ 2 Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Tìm nguyên hàm của hàm f 0 (x) ln x. x3 BÀI GIẢI Z Ta viết I = f 0 (x) ln xdx. Vì F (x) = ln x là một nguyên hàm của 15 f (x) f (x) 1 f (x) nên F 0 (x) = 3 ⇔ = 3 ⇒ f (x) = x2 . 3 x x x x p CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG pNăm học 2021-2022 ® Đặt pTÀI LIỆU HỌC TẬP-GIẢI TÍCH 12  du = 1 dx u = ln x x ⇒  dv = f 0 (x)dx v = f (x) Z I = f (x) ln x − = x2 ln x − f (x) dx = x2 ln x − x Z xdx x2 + C. 2 2. Bài tập tương tự Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = (2x + 1) ln xdx. Z c) K = x cos xdx. Z b) J = x sin xdx. Z (3 − 2x) sin 2xdx. d) H = Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: Z a) I = (4 + x) e2x dx. Z c) K = ln xdx. Z b) J = x cos 2xdx. Z d) H = x.2x dx. Ê Lời giải. ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 1. NGUYÊN HÀM 16