Tài liệu Sự tồn tại và nghiệm tối ưu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN MÃ SỐ CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : B2005.23.68 : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA TP.HCM, NĂM 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CÁP BỘ SỰ TỒN TẠI VÀ NGHIỆM TỐI ƢU CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN MÃ SỐ CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI TP.HCM, NĂM 2007 : B2005.23.68 : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA DANH SÁCH NHỮNG NGƢỜI THAM GIA THỰC HIỆN PGS. TS. Nguyễn Bích Huy PGS.TS. Nguyễn Định ---o0o--- TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm và nghiệm tối ƣu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến Mã số : B2005.23.68 Chủ nhiệm đề tài : PGS.TS. Lê Hoàn Háo, Điện thoại (08)75 22 625 Cơ quan chủ trì đề tài : Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện : PGS.TS. Nguyễn Bích Huy PGS.TS. Nguyễn Định Thời gian thực hiện: 4/2005 đến 4/2006 1. Mục tiêu : đề tài nhăm 3 mục tiêu chính sau đây - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng trình tích phân và tập nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach. - Thiết lập các điều kiện tối ƣu dạng Karush - Kuhn - Tucker, các điều kiện điểm yên ngựa, đối ngẫu và ổn định cho các bài toán tối ƣu lồi trong không gian vector tôpô lồi địa phƣơng Hausdorff. 2. Nội dung chính: - Chƣơng 1. Tính compact và liên thông của tập nghiệm - Chƣơng 2. Bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach và áp dụng cho phƣơng trình Kirchhoff. - Chƣơng 3. Các điêu kiện chính qui dạng Farkas trong các bài toán tối ƣu lồi vô hạn. 3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội): - Kết quả về khoa học : 3 bài báo, trong đó hai bài đã công bố trong tạp chí toán học nƣớc ngoài năm 2004 - 2005 và một bài công bố năm 2006 trong Demonstrator số 36. 1 - Kết quả đào tạo : Những nội dung trên đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong một thời gian dài, các két quả từng bƣớc đƣợc triền khai trong các luận văn Thạc sĩ và luận án Tiến sĩ. Đã bảo vệ thành công 5 Thạc sĩ (10 - 2005) 1) Trần Trí Dũng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài: Phƣơng trình vi phân đôi sô lệch trong không gian Banach - Công thức biên thiên hằng số và dáng điệu tiệm cận. 2) Nguyễn Thị Cúc Hƣơng, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Tính dao động, tính không dao động và tính ổn định cho phƣơng trình vi phân trung hòa đối số lệch 3) Lê Trần Tố Loan, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hoa. Đề tài : Phƣơng trình vi tích phân phi tuyến loại Hyperbolic. 4) Nguyễn Thanh Hà, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. 5) Lê Thị Tuyết Nhung, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : vector riêng dƣơng của ánh xạ tuyến tính. Danh sách luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ hoàn thành năm 2007 1) Trần Thị Thu Nguyệt, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Một vài cách tính bậc tôpô và ứng dụng vào bài toán phân nhảnh toàn cục của bất đẳng thức biến phân. 2) Phan Kim Khánh, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài . Tính compắc, liên thông của tập nghiệm một số phƣơng trình vi, tích phân. 3) Nguyễn Đình Tƣờng Long, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài : Giá trị ban đâu của nghiệm bị chặn của phƣơng trình vi phân tuyên tính với hàm ràng buộc tuần hoàn. 4) Lê Thị Phƣơng Ngọc (Tiến sĩ), Ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa. Đề tài: Ƣng dụng phƣơng pháp diêm bát động trong sự tôn tại nghiệm của phƣơng trình. Nguyễn Khải Hoàn, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài : Một sô nghiên cứu vê phƣơng trình logistic. 5) Trần Thị Bích Thu, ngƣời hƣớng dẫn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy. Đề tài: Một số lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. 2 SUMMARY Project Title: The existence of solution and optimality solution of some problems in non-linear Analysis Code number : B2005.23.68 Coordinator : associate professor Doctor Lê Hoàn Hóa Implementing Institution : hochiminhcity university of education Cooperating Institution(s) : associate professor doctor Nguyen Bich Huy, associate professor doctor Nguyễn Đinh. Duration : from May 2005 to June 2006 1. Objectives - Study the existence and the structure of the solution set of integral equations and weak solution set of semi linear wave equations - Study second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces - Provide Karush - Kuhn - Tucker and saddle point optimality condition , duality and stability for consistent convex optimization problem posed in locally convex topological vector spaces 2. Main contents - The connectivity and compactness of solution sets. - A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and applications to Kirchhoff equations. - New Farkas-type constraint qualifications in convex infinite programming. 3. Results obtained - Three were published in foreign mathematical Bulletins - The result of these three papers were used in five Master-degree thesis. 3 MỤC LỤC TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI ....................................................................... 1 CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM .............................. 5 The connectivity and compactness of solution sets ............................................................... 8 CHƢƠNG 2: BÀI TOÁN CAUCHY BẬC HAI TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH VÀ ÁP DỤNG CHO PHƢƠNG TRÌNH KIRCHHOFF ....................................... 22 A second-order Cauchv problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations ........................................................................................................... 24 CHƢƠNG 3: CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY DẠNG FARKAS TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÔ HẠN ............................................................................................................ 37 New Farkas –Type constraint qualifications in convex infinite programming .....Error! Bookmark not defined. THUYẾT MINH ĐỀ TÀI ........................................................................................................ 65 4 CHƢƠNG 1 : TÍNH LIÊN THÔNG VÀ COMPAC CỦA TẬP NGHIỆM Nội dung: Chúng tôi chứng minh tập nghiệm của phƣơng trình tích phân sau là tập khác rỗng, compắc và liên thông: (1) và tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện biên ban đầu : (2) trong đó uo, u1, f là hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u (x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa mãn phƣơng trình tích phân phi tuyến sau : trong đó g,H,k cho trƣớc. Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng compắc. 1. Tổng quan: Bên cạnh bài toán về sự tồn tại nghiệm, số nghiệm hoặc cấu trúc của tập nghiệm cho các phƣơng trình vi phân, phƣơng trình tích phân, phƣơng trình đạo hàm riêng... đã đƣợc nghiên cứu. Nhiều tác giả nghiên cứu về tính liên thông của tập nghiệm. Thí dụ một áp dụng là định lý: Nếu bài toán giá trị biên hỗn hợp cho phƣơng trình Parabolic nửa tuyến tính có hai nghiệm phân biệt thì tập nghiệm là vô hạn không đếm đƣợc. Theo [4], định lý khởi đầu là ống nghiệm có mặt cắt là tập liên thông đƣợc chứng minh bởi Kneser. Tính liên thông của tập nghiệm đƣợc thiết lập đầu tiên bởi Fukuhara. Các định lý này đƣợc nhiều tác giả mở rộng cho lớp phƣơng trình vi phân tổng quát. Từ các định lý cơ bản trên, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm cho phƣơng trình (1) và bài toán (2). Sự tồn tại nghiệm của (1) - (2) đƣợc thiết lập trong ([2],[6]). Trên cơ sở các kết quả của ([2],[6]), sử dụng lý thuyết bậc tôpô cho trƣờng compắc và định lý về sự sắp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục, chúng tôi chứng minh tập nghiệm của [1] và tập nghiệm yếu của [2] khác rỗng, compắc, liên thông. 2. Định lý Ì về tính compắc liên thông của tập nghiệm. Cho E là không gian Banach với chuẩn ||. Đặt X0 = C([0,  ), E) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [0,  ) vào Evới họ nửa chuẩn: Pn (x)  sup | x(t) |, t [0, n] với mọi n  5 Và mêtric Khảo sát phƣơng trình tích phân: (I) Trong đó f, g thỏa mãn các điều kiện : (I1) f : [0,  ) x E  E liên tục với tính chất : Với mỗi n  , kn > 0 sao cho g : [0,  )2 x E → E hoàn toàn liên tục sao cho : g(t,.,.) : I x A  E liên tục đều đối với t trong khoảng bị chặn, với mọi tập bị chặn I  [0,  ) và tập bị chặn A  E lim g | (t,s, x) | |x| (I3) đều đối với (t, s)  [0,  )2. x0 Định lý 1: Giả sử f và g thỏa mãn (I1)-(I3) theo thứ tự. Khi đó tập nghiệm của phƣơng trình (I) trên [0,  ) là tập khác rỗng, compắc, liên thông. Để chứng minh định lý 1 ta cần đến định lý điểm bất động loại KrasuoselsKii trong không gian lồi địa phƣơng [2], định lý về tính compắc liên thông của tập nghiệm [4, p. 312, Định lý 48.2], định lý về sự xấp xỉ lipsit địa phƣơng của ánh xạ liên tục [1] ([1], chƣơng 2, trang 53), định lý về mở rộng liên tục (xem [7, chƣơng 2, trang 49]). 3. Định lý 2 về tính compắc, liên thông của tập nghiệm yếu. Cho  = (0, 1), QT =   (o, T), T > 0, LP = LP () , H1 = H1 (), H2 = H2 () trong đó H1, H2 là không gian Sobolev trên . Chuẩn trên L2 là ||||, <.,.> là tích vô hƣớng trên L2 hay cặp của phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử của không gian, chuẩn trên không gian Banach X ghi là |||| , LP(0,T; X), 1  P   là không gian Banach các hàm số thực u : (0,T)  X đo đƣợc, sao cho: (I2) Khi đó V là không gian con đóng của H1 và trên V, || V ||H1 và ||V||V = √ hai chuẩn tƣơng đƣơng. Các giả thiết sau đây đƣợc lập ([6]) 6 là (A4) Hàm H C1 ( ) thỏa mãn f (0, 0) = 0 và tồn tại hằng số ho > 0 sao cho: Hàm số f : 2  thỏa mãn f (0, 0) = 0 và các điều kiện sau : Tồn tại hai hằng số ,   (0, 1] và hai hàm số B1, B2 : +  + liên tục và thỏa mãn : Định lý 2 : (A1) - (A4) và (F1) thỏa mãn. Giả sử thêm f liên tục . Khi đó, với mọi T > 0, tập hợp nghiệm yếu (u, P) của bài toán (2) sao cho u L (0, T, v), u1 L (0, T, L2), ut (0, t) L2 (0, T,), P(t)  H1 (0, t) là tập khác rỗng, compắc và liên thông. Để chứng minh định lý 2 ta cần định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho trƣờng compắc. Các kết quả trong chƣơng 1 sẽ đƣợc công bố trong tạp chí Demonstrato số 36 năm 2006 (đính kèm toàn văn bài báo : The connectivity and compactness of solution sets) 7 The connectivity and compactness of solution sets Le Hoan Hoaa, Le Thi Phuong Ngocb a Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education. 280 An Duong Vuong Sir., Dist. 5, Ho Chi Minh City, Viet Nam. b Nhatrang Educational College, 01 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam. E-mail: [email protected] Abstract : In this paper, we show that the solution set of the following equation is nonempty, compact and connected and we also consider the above properties for the weak solution set of the following semilinear wave equation with the initial - boundary where u0, u1, f are five functions, the unknown function u(x, t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation where g, H, k are given functions. The main tool is the topological degree theory of compact vector fields. Keywords : Topological degree; Compact vector fields, Relatively compact set. 1. Introduction. Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial differential equations, ... have been considered by many mathematicians. Many authors have considered the connectivity property of the solution set. A paradigmatic application is the following theorem: if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation has two different solutions, then there must be a continuum of solutions. According to [4], the first theorem stating that the solution funnel has connected sections was stated by A. Kneser. Connectedness of the solution set was first established by M. Fukuhara. These theorems have been extended by various authors to more general classes of differential equations. There are three generalizations which are particularly important (it is well known in [4], Ch.6 -316 with the references therein). 8 On the basis of the above theorems, we consider the structure of the solution sets of the above equations (1) and (2), where all given functions satisfying conditions to be specified later. The existence of solutions of equations (l)-(2) was established in ([2 ], [6]). Based on the results of ([2], [6]) with applying the topological degree theory of compact vector fields and the theorems about a continuous. mapping of Functional Analysis, the paper proves that the solution set of the equation (1) and the weak solution set of the equation (2) are nonempty, compact and connected. Here, the equations (1), (2) are only considered on the domain which are chosen as that in the following proofs. The paper consists of three sections and the main results of the paper will be presented in the sections 2 and 3. 2. The first theorem about the connectivity and compactness of the solution set. Let E be a real Banach space with norm | | be the Frechet space of all continuous functions on [0, ) to E with the family of seminorms pn(x) = sup {|x(t)|, t [0, n]}, for each n N, and the metric d(x, y) = ∑ Consider the integral equation : (1) x(t) = ∫ ( ) ∫ ( where f, g satisfy the conditions as follows : ) f : [0, ) x E  E is continuous with the property : for each n  N, kn > 0 such that |f(t, x) - f(t, y)| kn |x - y|, x, y  E, t  [0, n], (I2) g : [0, )2 x E  E is completely continuous such that g(t, ., .): I x A  E is continuous uniformly with respect to t in any bounded interval, for any bounded I  [0, ) and any bounded A  E. (I3) | | | | | | uniformly with respect to (t, s)  [0, )2. Theorem 1. Suppose that f and g satisfy (I1) - (I3) respectively. Then the solution set of equation (1) on [0, ) is nonempty, compact and connected. (I1) In order to prove the theorem 1, let us recall the following theorems. The Fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space. This theoremused the condition as follows. Condition (A). ([2]) Let X be a locally convex topological vector space and let P be a separating family of seminorms on X. Let D be a subset of X and let U : D  X. For any a  X, define Ua : D  X by Ua(x) = U(x) + a. The operator U: D  X is said to satisfy condition (A) on a subset Q of X if : (A.l) For any a  , Ua(D)  D. 9 (A.2) For any aQ and pP there exists ka  Z, with the property : for any  > 0, there exist r N and  > 0 such that for x, yD with implies ( ) , where { ( ) { } { } } Theorem B1. ([2]) Let X be a sequentially complete locally convex space with a separating family of seminorms P. Let U and C be operators on X such that (i) U satisfies condition (A) on X, (ii) For any p  P, there exists k > 0 (depending on p) such that p(U(x) - U(y)) < k p(x-y), . (iii) There exists x0  X with the property : for any p  P, there exist r  N and   [0,1) (r and  depending on p) such that ( ) (iv) C is completely continuous, p(C(A)) (v) ( ) whenever p(A) , for A  X . Then U + C has a fixed point. Remark 1. ([2]) Let X be a locally convex space with a separating family of seminorms P. Let D be a sequentially complete subset of X. Let U be a uniformly continuous operator on D and U satisfies condition (A) on a subset  of X. Then the operator (I-U)-1 is well defined and continuous on . Furthermore, if  in condition (A) can be chosen independent of a   then the operator (I-U)-1 is uniformly continuous in . Remark 2. From the proof of theorem Bi ([2]) we have : In case family of seminorms P is Finite, there exists a bounded open convex subset D of X with boundary D and closure ̅ such that (I-U)-1C( ̅ )  D and (I - U)-1 C has a fixed point in ̅ (not in D) which is precisely a Fixed point of U + C in ̅ (not in D). Theorem B2. ([4]) Let (E, |.|) be a real Banach space, D be a bounded open set of E with boundary D and closure ̅ and T: ̅  E be a compact operator. Assume that T satisfies the conditions as follows : (i) T has no fixed points on D and deg (I-T, D, 0) 0. (ii) For each  > 0, there is a compact operator T such that | | , for all x  ̅ and such that for each h with |h| <  the equation x = T(x)+ h has at most one solution in ̅ . Then the set of fixed points of T is nonempty, compact and connected. The proof of theorem B2 can be found in [4, p. 312, theorem 48.2]. Theorem B3. ([ 1 ]) Let E, F be Banach space, D be an open subset of E andf: D  F be continuous. Then for each  > 0, there is a mapping f : D  F that is locally Lipschitz such that | | , for all x  D and f(D)  cof(D), where cof(D) is the convex hull of f(D) 10 The proof of theorem B3 can be found in [1, ch 2, p. 53]. Theorem B4. (Tietze (1915), Dugundji (1951)) ( see [7, ch. 2, p.49]) Let M be a closed nonempty subset of the metric space X, Y be the normed space and f: M  Y be a continuous operator. Then there exists a continuous mapping g : X  Y such that : (i) g(X)  co(f(M)), where cof(M) is the convex hull of f(M). (ii) g(x) = f[x) for all x  M. And we also recall the following proposition, see [3, proposition 1]. Proposition B5. A set S in X0 is relatively compact if and only if for each n  N, S is equicontinuous in [0, n] and the set {x (t)/ x  S, t  [0, n]} is relatively compact in E. The proof of Theorem 1. Step l. We prove that for each n  N, the solution set of (1) on [0, n] is nonempty, compact and connected. Proof. For each n  N, let Xn = C([0, n], E) the Banach space of all continuous functions on [0, n] to E with the norm ||x||n = sup{|x(t)|, t  [0, n]}. Let U, C : Xn  Xn be defined as follows: Then, we can prove in a similar manner in [2, lemma 2, 3], that : for all z  Xn And C is completely continuous operator on Xn satisfying This implies that U and C satisfy the conditions of theorem B1, hence by that theorem and remarks 1; 2, (I-U)-1 is well defined and is uniformly continuous on Xn. Further there exists a bounded open convex subset D in Xn with boundary D and closure ̅ such that (I-U)-1C( ̅ )  D and (I-U)-1 C has a fixed point in ̅ (but it is not in D), clearly ̅ is bounded closed convex subset of Xn. Put (2.5) T = (I-U)-1C. It is clear that (2.6) I - T = (I - U)-1(I-U-C), so fixed points set of T in ̅ is also fixed points set of U+C which is precisely solutions set of equation (1) with the domain is ̅ . If we can prove the set of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected then the proof of step 1 completes, here we note that the equation (1) is only considered on the domain ̅ 11 Since C is completely continuous operator on Xn, we have T is completely continuous operator on Xn. As above, T has no fixed point in D. Further T( ̅ )  D and D convex , so we have (2.7) deg (I-T, D, 0) = 1.  > 0, since (I – U)-1 is uniformly continuous on Xn, there exists  > 0 such that (2.8) ||x-y||n <  ||(I - U)-1(x) - (I - U)-1(y)||n <  , Let (2.9) K = {x(s) / s  [0, n], x  ̅ Then K is bounded in E. So, ̅ is bounded in E, where ̅ is the closure of K. We note that, for all x  ̅ and s  [0, n], x(s)  ̅ . By the theorem B4, there exists a continuous mapping g* which is the extension of g / [0, n]2x ̅ on [0, n]2xE, here g / A denotes the restriction of g on A, such that: (2.10) g*([0, n)2xE)  cog([0. n]2x ̅ ). By the theorem B3, there exists g that is a locally lipschitz operator on [0, n]2 x E such that for all s, t  [0, n], and for all x  E : (2.11) |g(t, s, x)-g*(t, s, x)| <  / 2n, and (2.12) g[0, n]2 x E)  cog*([0,n]2 x E)  cog([0, n]2 x ̅ ). Since g is completely continuous, g ([0, n]2 x ̅ ) is relatively compact. It follows that g ([0, n]2 x E) is relatively compact. We obtain g is completely continuous. Put C : Xn  Xn as follows and put Then (2.15) T is completely continuous. It follows from (2.2), (2.11), 92.13) that for all t  [0, n], for all x  ̅ So, Thus, by (2.8) It also mean that For each h with ||h||n < , we prove that the following eqation has at most one solution on ̅ Suppose that x, y are the solutions of the equation (2.19) We shall prove that 12 It is easy to see that : (2.21) x(0) = y(0) = h(0). Let (2.22) b = max {  [0, n] / x(t) = y (t), t  [0, ]}. Clearly, b 0. We suppose by contradiction that b < n. Since g is locally lipschitzian, there exists r > 0 such that g is lipschitz with lipschitz constant m in [0, n]2 x Br , where Br= {z  E/ | z - x(b) | < r}. Since x, y are continuous, there is a > 0 such that b +  n and x(s), y(s)  Br for all s  [b, b + ]. We note that [b, b + ]  [0, n]. For all t  [b, b + ], we have : Since x{b) = y(b), this inequality implies that x(t) = y(t) for all / e [b, b + ]. It follows that (2.23) x(t) = y(t) for all t  [0, b + ]. From (2.22) and (2.23), we get a contradiction. Thus (2.20) holds. Combining (2.7), (2.15), (2.18), (2.20) and applying theorem B2, the step 1 is proved.  Step 2. We prove that the solution set of (1) on [0, ) is nonempty, compact and connected. Proof. First, we note that if x(t) is a solution of (1) on [0, ) then x|[0, n] (t) is a solution of (1) on [0, n], for all n  N. Otherwise, for all n  N, for each solution xn of (1) on [0, n], there exists a solution x* of (1) on [0, ) such that x *|[0, „] = x„. In other words, xn is expanded on [0, ). Indeed, we consider the equation (2.24) x(t) = xn(n) + ∫ ( ) ) ∫ ( Applying the theorem B1, with the proof is We define x* : [0, )  E by x { Clearly, x*(t) is a solution of (1) on [0, ) and | = xn . Let S be the solution set of (1) on [0, ). By [2, the theorem 5], S is nonempty. Now, we prove S is compact and connected. Here, we only consider the set S such that for each n  N, the set Sn = { x|[0 n], x  S} ̅ with ̅ is defined in step 1. By step 1, Sn is nonempty, compact and connected on Xn = C([0, n], E). Then, by proposition B5, we have S is relatively compact in X0 =C ([0, ), E). 13 Furthermore S is closed. Indeed, let {xk} be a sequence in S which converges to x0 , as k  , then xk |  x0| . From xk |  Sn and Sn is compact we obtain that x0 |  S. Hence, x0  S. Thus S is compact. We prove that S is connected. Suppose, to get a contradiction, that S is not connected. Then there exists two sets Sa and Sb which are nonempty, compact and disjointed such that S = Sa  Sb. Put ={ x0| , x  Sa}, ={ x0| , x  Sb} It is clear that and are nonempty, disjointed and S =  . On the other hand, and are closed. Indeed, Let {xk} be a sequence in which converges to x0, as k  . Then, there exists a sequence a {x*k} in S such that | = xk. Since Sa is compact, there exists a subsequence { } of { } such that converges to y in Sa. This implies that |  y| , as i  . a It follows from y  S and | = . converges to x0 that x0 = y|  . Then are closed. Similarly, is also closed. This implies that Sn is not connected which gives the contradiction. The step 2 is proved. □ The theorem 1 is proved completely. ■ 3. The second theorem about the connectivity and compactness of the weak solution set. Let  = (0, 1), QT, =  x (0, T), T > 0, LP = LP (), Hl = Hl (), H2 = H2 (), where H1, H2 are the usual Sobolev spaces on . The norm in L2 is denoted by ||.|| < . , . > denotes the scalar product in L2 or pair of dual scalar product of continuous linear functional with an element of a function space, the norm of a Banach space X is denoted by ||.|| x. LP (0, T; X), 1 , denotes the Banach space of the real function u : (0, T)  X measurable, such that and put Then V is a closed subspace of Hl and on V, || || and ||v||V = √ norms. The notations are used : u’ = u1 = u / t, u” = u11 = 2 u / r2. The following assumptions are made ([6]) : 14 are two equivalent (A4) The function H  C1 (R) satisfies H(0) = 0 and there exists a constant h0 > 0 such that ̂ ∫ The function f : R2  R satisfies f (0, 0) = 0 and the following conditions : (F1) ( f (u, v) – f (u, ̃ )) (v - ̃ ) 0, , v, ̃  R; There are two constant a ,  (0, 1] and two functions B1, B2: R+  R+ continuous and satisfying : Theorem 2. Let (A1) - (A4) and (F1) … hold. Suppose in addition that f is continuous. Then, for every T > 0, the set of the weak solutions (u, P) of problem (2) such that is nonempty, compact and connected. In order to prove the theorem2 , for convenience, let us recall the following theorem ([6]) and the main steps in the proof of this theorem. The notations which, are used in this theorem are given as above. Theorem C ([6]) (The existence and uniqueness of weak solution) Let (A1) - (A4) and (F1) -(F3) hold. Then, for every T > 0, there exists a weak solution (u, P) of problem (2) such that Furthermore, if  = 1 in (F3) and the function H, B2 satisfying, in addition, Then the solution is unique. The proof of theorem C ([6]) consists of several steps. Step J. (The Galerkin approximation) ∑ Seeking the solution (um(t), Pm(t)) with of the equations : 15 This system was rewritten in from which is equivalent to the system (C.4) c = Uc where c = (c1, c2, …, cm), Uc = ((Uc)1, (Uc)2,…, (Uc)m), ( the indexm was omit ) For every Put Choosing M > 0 and Then, S is a closed convex and bounded subset of the Banach space Y = C1([0, Tm]; Rm) and the operator U : S  Y has the properties : U is continuous on S, US  S, ̅̅̅̅ is compact in Y. Applying the Schauder fixed point theorem, U has a fixed point c = (c1, c2,… cm)  S such that c = Uc. This implies that the system (C.1)-(C.3) has a solution (um(t), Pm(t)) with um(t) = ∑ Step 2. A priori estimates . These estimates allow one to take Tm = T for all m. Step 3. Passing to limit. There exists a subsequence of sequence {um, Pm} (it was chosen two times), still denoted by {um, Pm}, such that : um  u in L(0, T; V) weak* , um  u strongly in L2(Qr), u'm  u' in L (0, T; L2) weak*, 16 Then (u, P) is the weak solution of the problem. Step 4. Uniqueness of the solution. The proof of the theorem 2. The proof consists of the following steps . Step 1. The set of fixed points c of the operator U : ̅  Y is nonempty, compact, and connected. Where ̅ = {c  C1([0, Tm]; Rm) / ||c||1 M) is the closure of the open convex and bounded subset S = {c  C1([0, Tm]; Rm) / ||c||1 < M), with M > 0, Tm > 0 will be chosen later. Proof. We have f : R2  R is continuous, so for all  > 0, by the theorem B3, there exists a mapping f : R2  R is locally Lipschitz approximation of f such that (3.1) |f(u, v) - f(u, v)| <  / ,  R, where  > 0 is chosen in order that  /  is small enough. Clearly, f is continuous. First, we define the followings operators. Let U : ̅  Y be defined as follows : U : [0, 1]x ̅  Y (,c)  U(,c) is denoted by Uc be defined as follows : Let 17