Tài liệu Sổ tay toán học lớp 12.

SỔ TAY TOÁN HỌC 12 Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 | Trang Đường tròn lượng giác Công thức lượng giác Công thức cơ bản 1 sin2 x + cos2 x = 1 2 tan x = 4 tan x. cot x = 1. 5 sin x cos x 1 = 1 + tan2 x. cos2 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 3 cot x = 6 1 sin2 x cos x sin x = 1 + cot2 x 1 2 | Trang Hai cung đối nhau: (− x) và x 1 cos(− x) = cos x 2 sin(− x) = − sin x 3 tan(− x) = − tan x 4 cot(− x) = − cot x Hai cung bù nhau: (π − x) và x 1 sin (π − x) = sin x 2 cos (π − x) = − cos x 3 tan (π − x) = − tan x 4 cot (π − x) = − cot x Hai cung phụ nhau: 1 sin ³π ³π 2 ´ − x và x ´ ³π ´ − x = sin x 2 ³π ´ 4 cot − x = tan x 2 2 cos − x = cos x 2 ³π ´ 3 tan − x = cot x 2 Hai cung hơn, kém nhau π: (π + x) và x 1 sin (π + x) = − sin x 2 cos (π + x) = − cos x 3 tan (π + x) = tan x 4 cot (π + x) = cot x Hai cung hơm, kém nhau 1 sin ³π π ³π 2 : 2 ´ + x và x ´ + x = cos x 2 ´ ³π + x = − cot x 3 tan 2 ³π ´ + x = − sin x 2 ´ ³π + x = − tan x 4 cot 2 2 cos Công thức cộng 1 sin ( x ± y) = sin x. cos y ± cos x. sin y 2 cos ( x ± y) = cos x. cos y ∓ sin x. sin y tan x ± tan y 3 tan ( x ± y) = 1 ∓ tan x. tan y Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 2 3 | Trang Công thức nhân đôi 1 cos 2 x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 −1 = 1 − 2 sin2 x 2 tan x 2 sin 2 x = sin x. cos x 3 tan 2 x = 1 − tan2 x Công thức hạ bậc 1 cos2 x = 1 + cos 2 x 2 2 sin2 x = 1 − cos 2 x 2 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 3 tan2 x = Công thức tổng thành tích x− y x+ y . cos 2 2 x− y x+ y . sin sin x − sin y = 2 cos 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2 cos . cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2 sin . sin 2 2 sin ( x + y) sin ( x − y) tan x + tan y = 6 tan x − tan y = cos x. cos y cos x. cos y 1 sin x + sin y = 2 sin 2 3 4 5 Công thức tích thành tổng 1 [cos( x + y) + cos( x − y)] 2 1 2 sin x. sin y = − [cos( x + y) − cos( x − y)] 2 1 3 sin x. cos y = [sin( x + y) + sin( x − y)] 2 1 cos x. cos y = Cấp cố cộng 1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng u n+1 = u n + d , với n ∈ N∗ , d là hằng số ⋆ d = u n+1 − u n gọi là công sai. 2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 + ( n − 1) d , ( n ≥ 2)) hay d = Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam n n − u1 . n−1 3 4 | Trang 3 Tính chất: u k+1 + u k−1 = 2 u k , ( k ≥ 2) hay u k = 4 Tổng n số hạng đầu: S n = u k−1 + u k+1 2 n( u 1 + u n ) n [2 u 1 + ( n − 1) d ] , (n ∈ N ) ; S n = 2 2 Cấp nhân 1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng u n+1 = u n .q , với n ∈ N∗ , q là hằng số u n+1 ⋆ q= gọi là công bội. un un 2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 .q n−1 , ( n ≥ 2)), hay q n−1 = . u1 p 3 Tính chất: u2k + u k−1 .u k+1 hay | u k | = u k−1 .u k+1 , ( k ≥ 2). 4 Tổng n số hạng đầu: S n = u 1 . ( q n − 1) , ( q ̸= 0) q−1 Tổ hợp-xác suất Hoán vị Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. 2 Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n! = 1.2 · n Chỉnh hợp Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) 1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 4 5 | Trang 2 Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: Akn = n! ( n − k)! Tổ hợp Tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) 1 Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. 2 Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ckn = n! , (0 ≤ k ≤ n) k!( n − k)! Xác suất 1 Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. 2 Xác suất của biến cố A là: P ( A ) = n( A ) n(Ω) 3 Tính chất của xác suất ⋆ P (∅) = 0; P (Ω) = 1 ⋆ 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, với mọi biến cố A . ⋆ P ( A ) = 1 − P ( A ), với mọi biến cố A . Bảng đạo hàm Nhóm đa thức 1 ( x n )′ = n.x n−1 ¡p ¢′ 1 x = p 2 x µ ¶′ 1 1 5 =− 2 x x 3 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 2 ( u n )′ = n.u′ .u n−1 ¡p ¢′ u′ u = p 2 u µ ¶′ 1 u′ 6 =− 2 u u 4 5 6 | Trang Nhóm lượng giác 1 (sin x)′ = cos x 2 (sin u)′ = u′ . cos u 3 (cos x)′ = − sin x 4 (cos u)′ = − u′ . sin u 1 cos2 x 1 7 (cot x)′ = − sin2 x 5 (tan x)′ = u′ cos2 u u′ 8 (cot u)′ = − sin2 u 6 (tan u)′ = Nhóm mũ 1 (a x )′ = a x ln a 2 (a u )′ = u′ .a u ln a 3 (e x )′ = e x 4 (eu )′ = u′ .eu Nhóm logarit 1 ; ( x > 0) x ln a 1 3 (ln | x|)′ = x 1 ¡ ¢′ loga x = u′ ; ( u > 0) u ln a u′ 4 (ln | u|)′ = u 2 ¡ ¢′ loga u = Quy tắc tính đạo hàm 1 ( u ± v)′ = u′ ± v′ 2 ( k.u)′ = k.u′ 3 ( u.v)′ = u′ .v + u.v′ 4 ³ u ´′ v = u′ .v − u.v′ v2 Tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K • Nếu f ′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K • Nếu f ′ ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 6 7 | Trang y = f ( x) nghịch biến trên K Các bước xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x) và tìm nghiệm f ′ ( x) = 0, ( x1 .x2 ... ∈ D ) x y x1 −∞ ′ − 0 +∞ + +∞ +∞ y Bước 3: Lập bảng biến thiên y( x1 ) Bước 4: Từ bảng biến thiên ta kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đồng biến trên R   a > 0 a > 0 ⇔ y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ 0  b2 − 3a.c ≤ 0 y 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , nghịch biến trên R   a < 0 a < 0 ⇔ y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ 0  b2 − 3a.c ≤ 0 y Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm nhất biến ax + b , đồng biến trên tâp xác định: ad − bc > 0 cx + d ax + b 2 Hàm số y = , nghịch biến trên tâp xác định: ad − bc < 0 cx + d ax + b 3 Hàm số y = , đồng biến trên khoảng (α; +∞) cx + d    y′ > 0 ad − bc > 0   ⇔ ⇔ d d    − ∉ (α; +∞) − ≤ α c c ax + b 4 Hàm số y = , nghịch biến trên khoảng (−∞; α) cx + d   ′   y < 0 ad − bc < 0 ⇔ ⇔ d d    − ∉ (−∞; α) − ≥ α c c 1 Hàm số y = Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 7 8 | Trang Cực trị hàm số Hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f ′ ( x0 ) = 0 Quy tắc 1 Bước 1: Tìm tập xác định. Tính đạo hàm f ′ ( x) x y Bước 2: Tìm các điểm x i ( i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng x1 −∞ ′ − 0 +∞ +∞ + +∞ y yCT 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′ ( x). Nếu f ′ ( x) đổi dấu khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Quy tắc 2 Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f ′ ( x) Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ...) của phương trình f ′ ( x) = 0 Bước 3: Tính f ′′ ( x) và tính f ′′ ( x i ) + Nếu f ′′ ( x i ) < 0 thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại x i . + Nếu f ′′ ( x i ) > 0 thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x i . Đồ thị y Điểm CĐ của đồ thị hàm số GT CĐ của hàm số yCĐ Điểm CĐ của hàm số Điểm CT của hàm số xCT xCĐ O x yCT GT CT của hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam Điểm CT của đồ thị hàm số 8 9 | Trang Điều kiện cực trị hàm bậc 3 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 cực trị: ∆ y′ > 0 ⇔ b2 − 3ac > 0 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d không có cực trị: ∆ y′ ≤ 0 ⇔ b2 − 3ac ≤ 0   y′ ( x0 ) = 0 3 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực đại tại x0 : ⇔  y′′ ( x ) < 0 0   y′ ( x0 ) = 0 4 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực tiểu tại x0 : ⇔  y′′ ( x ) > 0 0 Điều kiện cực trị hàm trùng phương 1 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0   a = 0 a ̸= 0 2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị hoặc  b ̸= 0 a.b ≥ 0  a > 0 4 2 3 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔ b < 0  a < 0 4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔ b > 0   a = 0 a < 0 5 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại hoặc b < 0 b ≤ 0   a = 0 a > 00 6 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu hoặc b > 0 b ≥ 0 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 9 10 | Trang Hình dáng đồ thị hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d y′ ; ∆ a>0 a<0 y y O x y = 0; ∆ y′ > 0 ′ (có 2 nghiệm) O x y y y′ = 0, ∆ y′ = 0 x O (có nghiệm kép) x O y y y′ = 0; ∆ y′ < 0 O x (vô nghiệm) O x Hình dáng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c y′ ; a ; b a>0 a<0 y y y = 0; a.b < 0 ′ O (có 3 cực trị) x x O y y y′ = 0; a.b ≥ 0 O (có 1 cực trị) Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam O x x 10 11 | Trang Đồ thị hàm số nhất biến: y = y′ = ad − bc >0 ( cx + d )2 d y TCĐ: x = − y′ = c TCN: y = ax + b cx + d ad − bc <0 ( cx + d )2 y d TCĐ: x = − c a c O O x TCN: y = a c x Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a; b] Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn [a; b] +) Tính y′ , cho y′ = 0, nhận nghiệm x1 , x2 , · · · ∈ [a; b] +) Tính f (a), f ( b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · · +) So sánh f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), · · · Suy ra max y; min y [ a; b ] [ a; b ] Đường tiệm cận Đường tiệm ngang (TCN), đường ¶tiệm cận đứng (TCĐ) của hàm số y = f ( x). µ +) lim+ y = ±∞ lim− y = ±∞ ⇒ TCĐ: x = x0 x → x0 x → x0 +) lim y = y0 ³ x→+∞ ´ lim y = y0 ⇒ TCN: y = y0 x→−∞ Lũy thừa (a, ; b > 0) 1 a m .a n = a m+n am 4 n = a m− n a 2 (a.b)n = a n .b n ³ a ´n a n 5 = n b b Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam p k ak = a 2 p k n ak = a n 6 3 11 12 | Trang 7 (a m )n = a m.n 8 a− n = 1 an 9 qp m n k a k = a m.n Lôrarit (0 < a, b, x ̸= 1) Tính chất 1 loga 1 = 0. 4 logaα a = 1 α 3 loga aα = α 2 loga a = 1. . 5 aloga b = b. Tích-thương 1 loga ( x.y) = loga x + loga y. 2 loga µ ¶ x = loga x − loga y. y Đổi cơ số 1 log x a = 1 . loga x 3 loga xα = α loga x. 5 logam xα = α loga x. m 7 loga b. logb x = loga x. 2 loga x. log x a = 1 1 loga x. m logb x . 6 loga x = logb a 4 logam x = 8 loga x = ln x . ln a Đặc biệt 1 loge a = ln a (lốc-nê-pe) 2 log10 a = log a (lốc thập phân) Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 12 13 | Trang y α>1 α=1 Tập xác định: • D = R khi α nguyên dương • D = R\{0} khi α nguyên âm hoặc α = 0 • D = (0; +∞) khi α không nguyên 0<α<1 1 α=0 α<0 O 1 x Hàm số mũ y = a x a>1 01 1 O 1 O x TCN: y = 0 01 0 1 • Nghịch biến khi: 0 < a < 1 • Đường TCĐ: Trục O y ( x = 0) • Đường TCĐ: Trục O y ( x = 0) • Đồ thị • Đồ thị Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 13 14 | Trang y y a>1 O O x 1 TCĐ: x = 0 TCĐ: x = 0 1 x 0 0) 2 Đưa a về f ( x) =a cùng g ( x) cơ số: ⇔ f ( x) = g ( x) 4 Mũ hóa: a x = b y ⇔ x = y. loga b Bất phương trình mũ a>1 1 Cơ bản: a f ( x) 2 cùng cơ số: a 0 0 ⇔ f ( x) > loga b f ( x) >a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam a f ( x) > 0 ⇔ f ( x) < loga b a f ( x) > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) 14 15 | Trang Sơ đồ a>1 f ( x) > g ( x) a f ( x) > a g ( x) f ( x) < g ( x) 0 0   f ( x) > 0    loga f ( x) = loga g( x) ⇔ g( x) > 0     f ( x) = g ( x)  f ( x) = a b 3 Đặt ẩn phụ: t = loga x. 4 Logarit hóa. Bất phương trình logarit 1 Cơ bản: a>1 loga f ( x) > b −−−−→   f ( x) > 0  f ( x) > a b 0 b −−−−−−→   f ( x) > 0  f ( x) < a b 2 Cùng cơ số: a>1 loga f ( x) > loga g( x) −−−−→   g ( x) > 0  f ( x) > g ( x) 0 loga g( x) −−−−−−→ Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam   f ( x) > 0  f ( x) < g ( x) 15 16 | Trang Bảng nguyên hàm Nhóm đa thức Z 1 dx = x + C x n+1 +C n+1 Z dx 1 5 =− +C 2 x x Z dx 7 = ln | x| + C x Z 3 Z 9 xn dx = ¯ x−a¯ 1 1 ¯ ¯ d x = ln ¯ ¯+C 2a x+a x2 − a2 Z 2 Z 4 kd x = kx + C 1 (ax + b)n+1 +C a n+1 (ax + b)n d x = dx 1 1 =− . +C 2 a ax + b (ax + b) Z dx 1 8 = ln |ax + b| + C ax + b a Z 6 Z 1 1 x d x = arctan + C a a x2 + a2 Z eax+b d x = 1 ax+b e +C a Z aα x+β d x = 1 aα x+β +C α ln a Z cos(ax + b)d x = Z sin(ax+ b)d x = − Z dx 1 = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 10 Nhóm mũ Z 1 Z 3 ex d x = ex + C ax dx = ax +C ln a 2 4 Nhóm lượng giác Z 1 Z 3 cos xd x = sin x + C 2 sin xd x = − cos x + C 4 dx = tan x + C cos2 x Z dx 7 = − cot x + C sin2 x Z 9 tan xd x = − ln |cos x| + C Z 11 cot xd x = ln |sin x| + C Z 5 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 6 8 10 12 Z dx sin2 (ax + b) 1 sin(ax + b) + C a =− Z tan(ax + b)dx = − Z cot(ax + b)dx = 1 cos(ax+ b)+C a 1 cot(ax + b) + C a 1 ln |cos(ax + b)|+ C a 1 ln |sin(ax + b)| + C a 16 17 | Trang Tích phân Tích phân xác định Zb ¯b ¯ f ( x)d x = F ( x)¯ = F ( b) − F (a) a a Tính chất Za 1 Zb dx = 0 2 a Zb 3 a Zb 5 k. f ( x)d x = k 6 Zb Zb f ( x)d x 4 [ f ( x) ± g( x)] d x = Zb f ( x)d x ± a f ( x)d x = a Zc f ( x)d x + a Zb f ( x)d x b ¯b ¯ f ′ (x)dx = f (x)¯ = f (b) − f (a) a a a Zb f ( x)d x = − a Za a g( x)d x a Zb f ( x)d x, (a < c < b). c Phương pháp tích phân Phương pháp đổi biến số Z Tích phân: I = b a f [ u( x)] .u′ ( x)d x. đạo hàm ⋆ Đặt t = u( x) −−−−−−−−−−−−→ d t = u′ ( x)d x ⋆ Đổi cận: x = a ⇒ t = u(a); x = b ⇒ t = u( b). u Z(b) ⋆ I= f ( t)d t u ( a) Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 17 18 | Trang Phương pháp từng phần Zb Công thức: I = ¯b Zb ¯ u( x).v ( x)d x = u( x).v( x)¯ − v( x).u′ ( x)d x ′ a a Zb Viết gọn: I = ¯b ¯ u.dv = u.v¯ − a a Đặt: dv = v′ ( x)d x ⇒ a vd u. a Cách đặt: u và dv   u = u ( x) Zb  hàm d u =−−đạo −−−−−→ u′ ( x)d x  nguyên hàm v =−−−−−−−−−→ v( x) Diện tích hình phẳng Dạng 1 y (H ) : Zb   y = f ( x)  y = 0; x = a; x = b S= | f ( x)| d x y = f ( x) (H ) O a a x b Dạng 2 y = f ( x) y (H )   y = f ( x)   Zb  S = | f ( x) − g( x)| d x (H ) : y = g( x)    a  x = a; x = b y = g ( x) O a b x Dạng 3 y Zc S= | h( x)| d x + a Zc S= a Zb y = h( x) | h( x)| d x c h( x)d x − Zb c h( x)d x O a b x c Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 18 19 | Trang Dạng 4 y Zc S= f ( x)d x − Zd a f ( x)d x + c Zb y = f ( x) f ( x)d x c d O a d b x Thể tích vật thể tròn xoay Dạng 1  (P ), (Q )⊥Ox  x = a; x = b Zb V= S ( x)d x a Dạng 2   y = f ( x), Ox  x = a; x = b V = π. Zb f 2 ( x)d x a Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 19