Tài liệu Sổ tay giải toán 12 nguyễn đức thắng

Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool S TAY GII TOÁN 12 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool MC LC CH  TRANG A. KHO SÁT HÀM S 2 B. LU THA - M - LÔGARIT 18 C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG 25 D. S PHC 42 E. NÓN – TR-CU 47 F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 54 G. KH I A DIN 64 H. GÓC VÀ KHONG CÁCH 67 I. B SUNG MT S KIN THC 77 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 1 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool A. KHO SÁT HÀM S 1. Tính n iu 1.1. Lí thuyt a) nh ngha: Cho K là mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) là mt hàm s xác nh trên K. - Hàm s f(x) gi là ng bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) - Hàm s f(x) gi là nghch bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b. i u kin c n Gi s f có o hàm trên khong K. - Hàm s f(x) không i trên K  x  K : f '( x )  0 - Nu f ng bin trên khong K thì f '( x )  0, x  K - Nu f nghch bin trên khong K thì f '( x )  0, x  K c. i u kin  Gi s f có o hàm trên khong K. - Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f ng bin trên K. - Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f nghch bin trên K. - Nu f(x) = 0, x  I thì f không i trên K. 1. 2. M t s" v#n % khác a) &nh lí v% d#u c(a tam th*c b-c hai: g(x )  ax 2  bx  c (a  0) + Nu  < 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a.  b  b ), g     0 2a  2a  + Nu  > 0 thì g( x ) có hai nghi%m x1 , x2 và trong khong hai nghi%m thì g( x ) khác d"u + Nu  = 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a (tr$ x   v#i a, ngoài khong hai nghi%m thì g( x ) cùng d"u v#i a. a  0 a  0 +) y '  0, x  R   Chú ý: - Nu y '  ax 2  bx  c (a  0) thì: +) y '  0, x  R     0    0 2 - Nu  = 0 hay g( x )  a  x    thì g(x) không i d u khi qua  , d u ca g(x) ph thuc d u ca a. - Nu  > 0 thì g(x) i d"u khi qua x1 , x2 ( i t$+ sang – sang +, hoc i t$ - sang + sang -) b) So sánh các nghim x1 , x2 c(a tam th*c b-c hai g( x )  ax 2  bx  c v#i s 0:   0  +) x1  x2  0   P  0  S  0   0  +) 0  x1  x2   P  0  S  0 +) x1  0  x2  P  0 c) Hàm s" b-c hai: y  ax 2  bx  c (a  0) a>0  th hàm s là mt parabol có &nh a<0  th hàm s là mt parabol có &nh  b    ;   2a 4a   b    ;   2a 4a  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 2 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool  b  Hàm s ng bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên   ;    2a   b  Hàm s nghch bin trên  ;   2a    b  Hàm s ng bin trên  ;   2a   b  ti x   4a 2a Bng bin thiên b  ti x   4a 2a Bng bin thiên Dng  th: Dng  th: ymin   ymax   d) ng d.ng trong gi/i toán Cho hàm s y=g(x) xác nh trên (a;b) và liên t(c trên [a;b]: +) g( x )  m, x  (a; b)  max g( x )  m ;  a;b  +) g( x )  m, x  (a; b)  min g( x )  m  a;b  e) n iu trên m t kho/ng, o0n ! hàm s y  f ( x ) ng bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)>0 cha t*p K. ! hàm s y  f ( x) nghch bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)<0 cha t*p K B1 tr2: - T*p (; a) là t*p con c+a t*p (; b) khi và ch& khi a  b - T*p (a; ) là t*p con c+a t*p (b; ) khi và ch& khi b  a c  a - Tp (a; b) là tp con ca tp (c; d ) khi và ch khi  b  d 1.3. Tính n iu ca hàm thng gp a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :  a  0 “iu kin  hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin trên R là  ; nghch bin trên   0 a  0 R là  ”   0  Hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin ( nghch bin) trên K thì kho!ng mà f '( x )  0 ( f '( x )  0 ) ca hàm s ph!i cha K. b) Hàm s phân thc dng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Thy Nguyn c Thng ( ad  bc  0)   0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;   là ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  ad  bc  0   d    c   ad  bc  0  iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;  là +) i v"i hàm hp y  f (g( x)) , trong ó hàm u  g( x ) xác nh và có o hàm trên  a; b  , ly giá tr trên kho!ng  c; d  ; hàm y  f (u) xác nh  c; d  và có o hàm trên  c; d  , ly giá tr trên R.   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) ng bin Nu   f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  .   g '( x )  0  x   a; b   g '( x )  0  x   a; b  Nu  ho#c  thì hàm s y  f (g( x)) nghch bin  f '(u)  0 u   c; d   f '(u)  0 u   c; d  trên  a; b  . 2. C3C TR4 CA HÀM S 2.1. Lí thuyt a) nh ngha: Gi s hàm s f ( x) xác nh trên D, x0  D . - im x0 g%i là im c&c tiu ca hàm s f(x) nu tn ti s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f (x)  f ( xo ), x   x0  h; x0  h  \  x0  Khi ó: + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c ti!u c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c ti!u c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c ti!u ti i!m x0 - im x0 g%i là im c&c i ca hàm s f(x) nu tn ti s th&c d ng h sao cho  x0  h; x0  h  cha trong D và f ( x )  f ( xo ), x   x0  h; x0  h  \  x0  Khi ó: Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. + i!m  x0 ; f ( x0 )  gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x). + Hàm s t c,c i ti i!m x0 Chú ý: C,c i, c,c ti!u gi chung là c,c tr b) &nh lí: Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 4 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool i-u ki%n cn: Nu hàm s f(x) t c,c tr ti i!m x0 thì hoc không tn ti f '(x 0 ) hoc f '( x0 )  0 i u kin  1: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm trên m.i khong  a; x0  ,  x0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b    f '( x )  0 x   a; x0  Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f '( x )  0 x   x 0 ; b  i u kin  2: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm c"p 1 trên (a;b) và có o hàm c"p hai ti x0 . Khi ó:   f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0 Nu  thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)  f ''( x0 )  0 2.2. M t s" v#n % khác  a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :   a  0 a  0   Hàm s t c,c i ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b   a  0 a  0   Hàm s t c,c ti!u ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0  c  f ''( x )  0 0   x0   2b  a  0 a  0 Hàm s không có c,c tr   hoc   0  b  0  f '(x)   a  0 Hàm s có c,c i, c,c ti!u     f '(x)  0 Ph ng trình  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . V#i i-u ki%n b2  3ac  0 , th,c hi%n phép chia y cho y’ ta  0c y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi ó,  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr là y = Ax + B b) Hàm s a thc trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0) TH1: a  0 *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c ti!u *) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c i *) Nu b  0 Hàm s không có c,c tr Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 5 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected]  TH2: a  0 . Khi ó: y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b  Tr ng PTLC Vinschool *) Nu a.b<0 thì hàm s có ba c&c tr. C' th a>0: Hàm s có 2 c,c ti!u, 1 c,c i a<0: Hàm s có 2 c,c i, 1 c,c ti!u *) Nu a.b  0 : Hàm s ch có úng mt c&c tr a>0: Hàm s có 1 c,c ti!u a<0: Hàm s có 1 c,c i Tham kho: Tr ng h0p  th hàm s: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có ba i!m c,c tr   b b2  b b2  Ba i!m c,c tr là A  0; c  , B    ; c   và C   ; c   .   2a 4a  2a 4a    Khi ó ta có AB  AC  b 4  8ab 16a 2 và BC   2b . a Dng 1.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr to thành ba nh ca mt tam giác  ab  0 . vuông khi và ch khi  3  b  8a  0 Dng 2.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr to thành ba nh ca mt tam giác u  ab  0 . khi và ch khi  3  b  24a  0 Dng 3.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab  0   giác cân có mt góc BAC   cho tr"c khi và ch khi  b3  8a cos    b3  8a  Dng 4.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C th(a mãn iu kin BC  OA  ab  0 (v"i O là gc t%a ) khi và ch khi  2 .  ac  2b  0 Dng 5.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab  0  giác có din tích là S cho tr"c khi và ch khi  b5 . S    32a3  Dng 6.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam ab  0  b3  8a . giác có bán kính )ng tròn ngoi tip là R khi và ch khi  R  8ab  Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 6 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool Dng 7.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam  ab  0  b2   4a . giác có bán kính )ng tròn ni tip là r khi và ch khi  r  b2  1  1  8a Dng 8.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tr&c tâm khi và ch khi  b  8a  4abc  0 c  0 Dng 9.  th hàm s y  ax 4  bx 2  c có ba im c&c tr A, B, C to thành ba nh ca mt tam  3 giác nhn gc O là tâm )ng tròn ngoi tip khi và ch khi  b  8a  8abc  0 c  0 c) Hàm s phân thc dng f ( x )  d) Hàm s" b-c 2/b-c 1 y  ax  b (c  0, ad  bc  0) không có c&c tr cx  d ax 2  bx  c có c c i và c,c ti!u khi và ch& khi ph ng trình y’ = 0 có a'x b' hai nghi%m phân bi%t khác  b' . Khi ó, ph ng trình  ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  a' ax 2  bx  c 2ax  b là y  . th hàm s y  a' x  b' a' 3. GIÁ TR4 L6N NH7T – GIÁ TR4 NH8 NH7T CA HÀM S 3.1. Lí thuyt Gi s f xác nh trên D   . Ta có  f  x   M x  D  f  x   m x  D   ; m  min f  x  Nu  . M  max f  x  Nu  xD xD   x0  D : f  x0   M x0  D : f  x0   m 3.2. Chú ý: ! tìm giá GTLN, GTNN c+a hàm s y  f ( x ) liên t(c on  a; b  , có o hàm trên  a; b  và f '( x )  0 có hu hn nghi%m , ta làm nh sau: B1 Tìm các i!m x1 , x2 , …, xm thuc khong  a; b  mà ti ó hàm s f có o hàm b1ng 0 hoc không có o hàm. B2 Tính f  x1  , f  x2  , …, f  xm  , f  a  , f  b  . B3 So sánh các giá tr tìm  0c 2 b #c 2. S l#n nh"t trong các giá tr ó chính là GTLN c+a f trên on  a; b  ; s nh3 nh"t trong các giá tr ó chính là GTNN c+a f trên on  a; b  .     max f  x   max f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  min f  x   min f  x1  , f  x2  ,  , f  xm  , f  a  , f  b  . x a;b  3.3. Quy  c. Khi nói n GTLN, GTNN c+a hàm s f mà không ch& rõ GTLN, GTNN trên t*p nào thì Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 3.4. Chú ý: Gi! s* f(x) là mt hàm s liên t'c trên min D và tn ti min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi D D ó: 1) Ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m    M. 2) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  M  . 3) Bt ph ng trình f ( x )   có nghim trên D  m  . 4) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  m  . 5) Bt ph ng trình f(x)   úng v"i m%i x  D  M  . Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 8 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 4. TIM C9N CA : TH4 HÀM S Khái nim Hình /nh minh ho0 Ph+ng pháp tìm tim c-n 1. Tim c-n *ng: B1. Tìm t*p xác nh B2. Tìm các giá tr x0 mà ti )ng th+ng x  x0 (vuông góc Ox) g%i là tim cn ng c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: x0 hàm s: y=f(x) không xác x  x0 x  x0 nh. B3. Tính các gi#i hn: lim y   & lim y   x  x0 x  x0 B4. Kt lu*n. lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , lim f ( x )  , 2. Tim c-n ngang Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô hn (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   x  x0 x  x0 B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn: lim y  y0 & lim y  y0 x  x  B3. Kt lu*n )ng th+ng y  y0 (vuông góc Oy) g%i là tim cn ngang c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim f ( x )  y0 , lim f ( x )  y0 x  x  3. Tim c-n xiên Hàm s y  f ( x) xác nh trên mt kho!ng vô hn (có th! là  ; a  ,  b;   ,  ;   )ng th+ng y  ax  b ( a  0 ) g%i là tim cn xiên c+a  th hàm s: y=f(x) Nu có ít nh"t mt trong các gi#i hn sau: lim  f ( x )   ax  b    0, x  lim  f ( x )   ax  b    0. B1. Tìm t*p xác nh B2. Tính các gi#i hn:  f (x)  lim  a x   x  hoc lim  f ( x )  ax   b x   f (x)  lim  a x   x  lim  f ( x )  ax   b x  B3. Kt lu*n x   Chú ý: 1. Hàm s: y  ax  b d a có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n ngang là: y  cx  d c c 2.Hàm s: y  ax2  bx  c k n  px  q  có ti%m c*n ng là: x   , ti%m c*n xiên là: mx  n mx  n m y  px  q Thy Nguyn c Thng 3. lim x  0969119789 –[email protected] n n 1 m m 1 an x  an 1 x bm x  bm 1 x  ...  a1 x  a0  n  m : TCÑ & TCN   ...  b1 x  b0  n  m :TCÑ & TCX 4. Hàm s: y  f ( x )  ax 2  bx  c  a  0  có ti%m c*n xiên là y  5. Hàm s: y  f ( x )  mx  n  p ax 2  bx  c y  mx  n  p a x  6. Hàm s: y  Tr ng PTLC Vinschool a x b 2a  a  0  có ti%m c*n xiên là b 2a mx  n ch& có ti%m c*n ngang, có th! có ti%m c*n ng nu ax 2  bx  c  0 2 ax  bx  c có nghi%m. B1 sung m t s" kin th*c: - Công thc khong cách:  ng th/ng  : ax  by  c  0 Khong cách t$ M n 4 là: d  M ,    (a2  b2  0) và M  x0 ; y0  . ax0  by0  c a2  b2 ;c bit: -  ng th/ng  : y  m thì d  M ,    y0  m -  ng th/ng  : x  n thì d  M ,    x0  n - Công thc gi i hn: C  nchaün  0 vôùi  k  0  & lim x n   , lim x n   vôùi n  N  n leû x  x x  x   + Gi#i hn ti vô c,c: lim + Gi#i hn mt bên: lim  x  x0 k c   Neáu c  0 &  x  x 0   Neáu c  0 lim x  x0 c   Neáu c  0  x  x 0   Neáu c  0 5. TNG GIAO HAI : TH4 HÀM S 5.1. Kin thc Cho hai  ng cong:  C1  : y  f ( x ) và  C2  : y  g( x )  y  f ( x) +) Nu M ( x0 ; y0 ) là i!m chung c+a  C1  và  C2   M  x0 ; y0  là nghi%m c+a h%:   y  g( x) + Hoành  giao i!m c+a  C1  và  C2  là nghi%m c+a ph ng trình: f (x )  g( x ) (*) +) S nghi%m ph ng trình (*) b1ng s giao i!m c+a  C1  và  C2  5.2 . B! sung m"t s kin thc a) Phng trình bc 2   0 -Ph ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghi%m phân bi%t khác x0    g( x0 )  0   0  -Ph ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  có nghi%m kép khác x0   b  2a  0 -Ph ng trình: g( x )  ax 2  bx  c  0  a  0  vô nghi%m    0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 10 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool b) Phng trình bc 3 hay tng giao # th hàm a thc bc ba và tr$c Ox T ng giao ca  th hàm bc 3 y  a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  a '  0  và tr'c Ox: Ph ng trình hoành  giao im: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0   Trng h%p 1: Bin ,i ph ng trình: a ' x 3  b ' x 2  c ' x  d '  0 thành  x    ax 2  bx  c  0    Ph ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có ba nghi%m phân bi%t  Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t khác  .    Ph ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 có hai nghi%m phân bi%t  Ph ng trình: ax 2  bx  c  0 có nghi%m kép khác  hoc có hai nghi%m phân bi%t trong ó có mt    0   g( )  0 nghi%m b1ng         0   g( )  0    Ph ng trình:  x    ax 2  bx  c  0 ch& có mt nghi%m  Ph ng trình:    0 ax  bx  c  0 có nghi%m kép b1ng  hoc vô nghi%m    g( )  0    0 Tr+=ng h2p 2: Không nh5m  0c nghi%m  2 S giao i!m c+a  th hàm s y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  và Ox b1ng s nghi%m c+a ph ng trình: ax 3  bx 2  cx  d  0  Ch có mt nghim khi và ch& khi: Hàm s luôn ng bin hoc luôn nghch bin; hoc có hai  y '  0  c,c tr n1m v- cùng mt phía i v#i Ox   y '  0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a    y( x1 ).y( x2 )  0  ph ng trình: y '  0  Ch có hai nghim khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có mt c,c tr n1m trên Ox    0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph ng trình: y '  0   y'  y x y x ( ). ( ) 0  1 2 Ch có ba nghim phân bit khi và ch& khi hàm s có hai c,c tr, trong ó có hai c,c tr n1m   0 trong ó: x1 , x2 là nghi%m c+a ph ng trình: v- hai phía c+a tr(c Ox   y '  y( x1 ).y( x2 )  0 y'  0 B1 sung: Ph ng trình  ng th/ng qua hai c,c tr (nu có) là y  mx  n (Bi!u thc mx  n là a thc d khi chia y cho y’). Xét y '  3ax 2  2bx  c  0 Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 11 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool c) Phng trình bc bn trùng phng hay tng giao ca # th hàm a thc bc 4 trùng phng vàc trucj Ox)  t  x2  0 f ( x )  ax 4  bx 2  c  0  a  0    . t = x2 x =  t f ( t )  0  S nghi%m 4 3 2 1 i-u ki%n 0  P0 S 0  P0  S 0 P  0      0   S / 2  0  P  0   S  0    0    S / 2  0 0 CSC    0   P  0   S  0     0  0  t1  t2   t2  3 t1 M"t s kin thc hình h&c b! sung:     - Cho: u1   x1; y1  , u2   x2 ; y2   u1.u2  x1 x2  y1y2  - Cho A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ) : A1 A2   x2  x1; y2  y1  ; A1 A2  2  x2  x1    y2  y1  2 - Cho tam giác  A1 A2 A3 trong ó: A1 ( x1; y1 ), A2 ( x2 ; y2 ), A3 ( x3 ; y3 ) không th/ng hàng:   + Tam giác  A1 A2 A3 vuông ti A1  A1 A2 . A1 A3  0   AA  AA 1 3  1 2 + Tam giác  A1 A2 A3 -u      A1 A2  A2 A3 - Di%n tích tam giác : S ABC  1 1 abc  p  p  a  p  b  p  c  h.a  b.c sin A  pr  2 2 4R 6. HÀM S VÀ : TH4 6.1. # th hàm s bc 3  th hàm s luôn ct tr(c Ox ti ít nh"t mt i!m  b  b   th nh*n i!m I   ; f     là tâm i xng  3a  3a   Bng bin thiên và dng  th Tr+=ng a>0 h2p a<0 y'  0 vô nghim *) Hàm s luôn ng bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr Thy Nguyn c Thng y'  0 09691197889 –[email protected] Tr ng PTLC C Vinschool *) Hàm s luôn ng bin trên t R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s luôn nghch bin trên R *) Hàm s không có c,c tr *) Hàm s ng bin trên kkhong *) Hàm s nghch bin trên kho ong *) Hàm s t c,c i ti m s t c,c ti!u x  X1; yCÑ  f ( X1 ) . Hàm *) Hàm s t c,c i ti x  X1; yCT  f ( X1 ) . Hàm s t  c,c có nghim kép y'  0 có hai nghim phân bit  ; X1  và  X2 ;   . Hàmm s nghch bin  ; X1  và  X2 ;   . Hàm s ng bin trên  X1; X2  . trên  X1; X2  . ti x  X2 ; yCT  f ( X2 ) . ti!u ti x  X2 ; yCÑ  f ( X2 ) . Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool 6.2. # th hàm s bc 4 trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0)    Vì hàm s là ch6n trên R nên  th luôn nh*n tr(c tung làm tr(c i xng. Hàm s luôn có c,c tr (mt c,c tr nu a.b>0 ; ba c,c tr nu a.b<0) Có mt c,c tr luôn thuc tr(c Oy. Tr ng h0p có 3 i!m c,c tr thì ba i!m c,c tr là 3 &nh c+a tam giác cân. B/ng bin thiên và d0ng ? th& Các d0ng a>0 a<0 *) n iu *) n iu Hàm s ng bin trên các khong Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s nghch bin trên các khong    b  b    ; 0  và   ;      2a  2a    Hàm s ng bin trên các khong   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * C@c tr&   b  b   ;    và  0;     2a  2a    * C@c tr& Hàm s t c,c ti!u ti : xCT    y’ = 0 có 3 nghim phân bit  PT (*) có hai nghim phân bit khác 0  ab < 0 b 2a Hàm s t c,c ti!u ti : xCÑ    b 2a và yCT  Y1  f (xCT ) .Hàm s t c,c và yCÑ  Y1  f (xCÑ ) .Hàm s t c,c i i ti xCÑ  0 và yCÑ  Y2  c . ti xCT  0 và yCT  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c   x    Neáu a  0 x  4  bx 2  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n *) B/ng BT 3. ? th& 3. ? th& Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] *) n iu Hàm s ng bin trên các khong y’ = 0 chB có 1 nghim  PT (*) vô nghim ho;c chB có m t nghim bDng 0  ab > 0 Tr ng PTLC Vinschool *) n iu Hàm s ng bin trên các khong  0;  . Hàm s nghch bin trên các khong  ; 0   ; 0 . Hàm s nghch bin trên các khong  0;   * C@c tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCT  0 và * C@c tr& Hàm s t c,c ti!u ti xCÑ  0 và yCT  Y2  c . yCÑ  Y2  c . * GiAi h0n * GiAi h0n  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2  lim  ax   Neáu a  0  c     Neáu a  0  Neáu a  0 lim ax 4  bx 2  c     Neáu a  0 x  4 x   bx 2 *) B/ng BT *) B/ng BT  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th&  th hàm s không có ti%m c*n 3. ? th& 6.3.# th hàm s phân thc dng f ( x )  ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d Bng bin thiên và dng  th ad  bc  0 ad  bc  0 *)n iu *)n iu  d Hàm s ng bin trên các khong  ;   và c   d Hàm s nghch bin trên các khong  ;   c  Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected]  d    ;    c  *) C'c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn lim  d x     c  y   và th/ng x   lim y  x  lim  d x     c Tr ng PTLC Vinschool  d  và   ;    c  *) C'c tr Hàm s không có c,c tr *) Gi i hn  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c lim  d x     c  y   và th/ng x   a a và lim y  nên  ng th/ng x  c c a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : lim y  x  lim  d x     c  y   nên  ng d là ti%m c*n ng c a a và lim y  nên  ng th/ng x  c c a là ti%m c*n ngang c *) Bng bin thiên : y y 3. ? th& 3. ? th& 7. BÀI TOÁN TIP TUYN D0ng 1. Ph ng trình tip tuyn c+a  ng cong (C): y  f ( x) ti tip i!m M  x0 ; y0  có dng: d : y  f ' x   x  x0   y0 0 Áp d'ng trong các tr)ng hp sau: Trng h%p 1. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) t0i i!m M  x0 ; y0  . 2. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có hoành  x  x0 3. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) ti i!m có tung  y  y0 4. Vit ph ng trình tip tuyn d c+a (C) , bit h% s góc k c+a tip tuyn d . C n tìm Ghí chú H% s góc : f '  x0  H% s góc : f '  x0    f '  x0  T$ x0     f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình y0  f  x0  Hoành  tip i!m x0 Gii ph ng trình f '  x0   k Tung  tip i!m y0  f  x0  H% s góc : f '  x0  Tung  tip i!m y  f  x  Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool Chú ý: Gi k1 là h% s góc c+a  ng th/ng d1 và k 2 là h% s góc c+a  ng th/ng d2 Nu d1 song song v#i d2 thì k1  k2 Nu d1 vuông góc v#i d2 thì k1.k2  1 D0ng 2 (tham kh/o). Vit ph ng trình tip tuyn c+a  ng cong (C) i qua i!m A  x1; y1  Phng pháp: B"c 1. Vit ph ng trình  ng th/ng d i qua i!m A và có h% s góc k d : y  k  x  x1   y1 B"c 2. Tìm i-u ki%n ! d là tip tuyn c+a  ng cong (C) :  f ( x )  k  x  x1   y1 d tip xúc v#i  ng cong (C)   có nghim.  f '  x   k (*) B"c 3. Kh k , tìm x , thay x vào (*) ! tìm k , t$ ó suy ra các tip tuyn cn tìm Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 17 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] B. M – LOGARIT 1. nh ngha và các công thc lu( th*a và m+ a) L+y th*a C s" a S" mE  LuG thIa a Tr ng PTLC Vinschool   n  N* aR a  an  a.a......a (n tha s a)  0 a0 a  a0  1   n ( n  N * ) a0 a  an   m (m  Z , n  N , n  2) n a0   lim rn (rn  Q , n  N * )  a a0 m an 1 an n  a m ( n a  b  b n  a) r a  lim a n 2. Các phép toán: V#i a và b là nhng s th,c d ng, và  là nhng s th,c tùy ý, ta có a a .a   a   a (a )  a .  (a  )  a    a a    b b (ab)  a .b 3. So sánh: Nu a  1 thì a  a      ; Nu 0  a  1 thì a  a      V#i 0 < a < b ta có: am  bm  m  0 ; b) C,n bc n: am  bm  m  0  Khái nim : C7n b*c n c+a a là s b sao cho b n  a .  V#i a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n  ab  n a .n b ; Nu n a na  (b  0) ; b nb p q n m  thì a p  aq (a  0) n m n p a p   n a  (a  0) #c bit - Nu n là s nguyên d ng l8 và a < b thì n n a mn mn a  mn a am anb. - Nu n là s nguyên d ng ch6n và 0 < a < b thì n anb. Chú ý: + Khi n l8, m.i s th,c a ch& có mt c7n b*c n. Kí hi%u n a . + Khi n ch6n, m.i s th,c d ng a có úng hai c7n b*c n là hai s i nhau, c7n có giá tr d ng ký hi%u là n a khi n l a an   khi n chn a 2. nh ngha và các công thc lôgarit  n * &nh nghJa : log a b    a  b * Phép toán : V"i a, b > 0; a  1; log a 1  0 ; log a a  1 ; b1, b2 > 0;  R ta có: log a a b  b ; a loga b b Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 18 Thy Nguyn c Thng 0969119789 –[email protected] Tr ng PTLC Vinschool * So sánh: Nu a > 1 thì log a b  log a c  b  c . Nu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c * Phép toán: log a (b1b2 )  log a b1  log a b2 b  loga  1   loga b1  loga b2  b2  log a b   log a b * 1i c s" : V#i a, b, c > 0 và a, b  1, ta có: logb c  log a c log a b hay log a b.log b c  log a c log a b  1 log b a loga c  1 loga c (  0)  * Logarit th-p phân: lg b  log b  log10 b n * Logarit t@ nhiên (logarit Nepe):  1 ln b  loge b (v#i e  lim  1    2, 718281...... )  n 3. HÀM S- L/Y TH1A * D0ng: y  x ,   R * T-p xác &nh: D  nguyên d ng thì TX là D = R  nguyên âm hoc b1ng 0 thì TX là D = R \ {0}.  không là s nguyên thì TX là D = (0; +). * 0o hàm : ( x )'   .x 1 ( x  D) . (u )'   .u 1.u ' v#i u là hàm h0p. * Tính n iu : trên khong (0 ; +) hàm s ng bin nu >0 và nghch bin nu < 0 . *# th :  Luôn i qua i!m (1; 1)   0  th không có ti%m c*n.  < 0  th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox, ti%m c*n ng là tr(c Oy. * Chú ý: Hàm s y   n x   1 xn 1 n n x n 1 không ng nht v"i hàm s y  n x (n  N *) . ( v"i x > 0 khi n ch-n và x 0 khi n l.)  n u   u' n n u n1 4. HÀM S- M/ * D0ng: y  a x (a > 0, a  1). * T-p xác &nh: * T-p giá tr&: D = R. T = (0; +).   eu   eu .u ' * 0o hàm:  e x   e x * Tính n iu:  Khi a > 1 hàm s ng bin trên R.  Khi 0 < a < 1 hàm s nghch bin trên R. * ? th&:  Luôn i qua các i!m (0; 1) ; (1 ; a)   th có ti%m c*n ngang là tr(c Ox.  a x   a x .ln a  au   au .u '.ln a Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành t – Tây M , Nam T Liêm, Hà Ni Page 19