Tài liệu Phương pháp tọa độ trong không gian trong các đề thi thử thptqg môn toán

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN QUA CÁC ĐỀ THI THỬ-ĐỀ KIỂM TRA https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M (2; 3; 4) trên mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 6Å= 0 là ã điểm nào dưới đây? Å ã 5 7 7 9 . C. 3; ; . A. (2; 8; 2). B. 1; ; 2 2 2 2 Lời giải. D. (1; 3; 5). Gọi∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P ). Khi đó phương trình tham số của ∆  x = 2 + 2t   là y = 3 − t , t ∈ R.    z =4−t 0 Gọi M 0 là hình chiếu vuông góc của M  trên mặt phẳng (M ). Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 1    t=−    x = 2 + 2t 2         y = 3 − t x = 1 phương trình ⇔ 7   z =4−t   y=     2      9 2x − y − z + 6 = 0.  z = . 2 Å ã 7 9 0 Vậy M 1; ; 2 2 Chọn đáp án B  Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P ) : 2x + 6y + z − 3 = 0 cắt trục y z−6 x−5 = = lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính Oz và đường thẳng d : 1 2 −1 AB là A. (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 36. C. (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 5)2 = 36. B. (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 9. D. (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 5)2 = 9. Lời giải. Do điểm A ∈ Oz nên suy ra A(0; 0; c), mà ta lại có A ∈ (P ) nên suy ra c = 3. Do đó A(0; 0; 3).  x=5+t   Phương trình tham số của đường thẳng d là y = 2t , t ∈ R.    z =6−t     x = 5 + t t = −1         y = 2t x = 4 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình ⇔   z =6−t y = −2           2x + 6y + z − 3 = 0. z=7 Do đó B(4; −2; 7). Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB nên I là trung điểm AB, suy ra I(2; −1; 5). p AB # » Ta có AB = (4; −2; 4) suy ra AB = 42 + (−2)2 + 72 = 6 nên bán kính mặt cầu là R = = 3. 2 Phương trình mặt cầu là (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 4)2 = 9. Chọn đáp án D  x−2 y+3 z+1 = = . 1 −2 1 Véc-tơ nào trong các véc-tơ dưới đây không phải là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d? Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 2 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. u#»4 = (1; 2; 1). Chương 3-Hình học giải tích 12 B. u#»3 = (−1; 2; −1). C. u#»2 = (2; −4; 2). D. u#»1 = (−3; 6; −3). Lời giải. Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u#»2 = (1; −2; 1). Do đó véc-tơ u#»4 = (1; 2; 1) không là véc-tơ chỉ phương của d.  Chọn đáp án A Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : 2x + 3y − z − 1 = 0 và (β) : 4x + 6y − mz − 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. A. Không tồn tại m. B. m = 1. D. m = −2. C. m = 2. Lời giải. Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n#»1 = (2; 3; −1). Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến n#»2 = (4; 6; −m). 2 3 −1 −1 Để (α) k (β) khi: = = 6= . Không tồn tại m. 4 6 −m −2 Chọn đáp án A  Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ #» u = (1; −2; 1) và #» v = (2; 1; −1). #» #» Vectơ nào dưới đây vuông góc với cả hai vectơ u và v ? # » = (1; −3; 5). A. w 1 # » = (1; 4; 7). B. w 4 # » = (1; −4; 5). C. w 3 # » = (1; 3; 5). D. w 2 Lời giải. Vectơ vuông góc với cả hai vectơ #» u và #» v là vectơ [ #» u , #» v ] = (1; 3; 5).  Chọn đáp án D Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y − 4)2 + (z − 1)2 = 99 và điểm M (1; 7; −8). Qua điểm M kẻ các tia M a, M b, M c đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định K(xk ; yk ; zk ). Tính giá trị P = xk + 2yk − zk . A. P = 11. B. P = 5. Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(−2; 4; 1), bán kính R = C. P = 7. D. P = 12. √ 99. Q A Ta có M (1; 7; −8) ∈ (S). Xét hình hộp chữ nhật AHP Q.M BDC. Gọi J = M D ∩ BC , K = M P ∩ AJ ⇒ K ∈ (ABC). H P Rõ ràng, tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ABC là trung điểm của đoạn M P (cũng là tâm của (S)). # » Mặt khác K là trọng tâm của tam giác M AD hay M K = 2# » M I. Vì M , I cố định nên K cố định. Vậy K chính là 3 điểm cố định mà mặt phẳng (ABC) luôn luôn đi qua. # » 2# » Ta có M K = M I ⇒ K(−1; 5; −2) 3 ⇒ P = xk + 2yk − zk = −1 + 2 · 5 − (−2) = 11. I K M B C J D  Chọn đáp án A Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) và B (6; 5; 5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P ) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H ( giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P )) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P ) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ Z. Tính giá trị T = b − c + d. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ A. T = −18. Chương 3-Hình học giải tích 12 B. T = −20. C. T = −21. D. T = −19. Lời giải. # » Ta có AB = (4; 4; 2). # » Mà AB⊥(P )  b = 2 b c 2 Nên = = ⇒ c = 1. 4 4 2 A Suy ra (P ) : 2x + 2y + z + d = 0. Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn I thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4). có (S) là mặt cầu đường kính AB nên   tâm I (4; 3; 4) (S) : .  bán kính R = AB = 3 2 Ta có R r H (P ) M B Gọi r là bán kính đường tròn tâm H. Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức Ta có V = 2 Đặt f (r) = 3 · rÅ + r2 · 1 1 · π · r2 · AH = · π · r2 · (R + IH) 3 3 Ä ä √ 1 = · π · r 2 · R + R2 − r 2 3 Ä ä √ 1 · π · 3 · r2 + r2 · 9 − r2 = 3 √ 9 − r2 , r ∈ (0; 3]. ã √ r2 . Ta có f 0 (r) = r 6 + 2 · 9 − r2 − √ 9 − r2  r = 0 ( loại )  0 Suy ra f (r) = 0 ⇔  √ r2 6 + 2 · 9 − r2 − √ =0 9 − r2 √
⇔ 2 9 − r2 = r2 − 6, điều kiện r2 ≥ 6 . " " √ r = 0 ( loại ) r = −2 2 ( loại ) ⇔ r4 − 8r2 = 0 ⇔ ⇔ √
r = 2 2 nhận r2 = 8 √ Suy ra HI = R2 − r2 = 1. AH AI + HI R + HI 4 Ta có = = = . AI AI R 3Å ã 4 13 11 13 # » 4#» Suy ra AH = AI ⇒ AH = AI ⇒ H ; ; . 3 ã 3 3 3 3 Å 13 11 13 Mà H ; ; ∈ (P ) : 2x + 2y + z + d = 0 ⇒ d = −21. 3 3 3 Vậy T = b − c + d = −20. Chọn đáp án B  Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB = BC = CD = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 bằng 60◦ . Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD). √ √ √ 3 3 6 3 A. . B. . C. . 8 6 8 Lời giải. √ 3 . 2 D. Gọi I  là giao điểm của AC và BD.   (SAC)⊥(ABCD)   ⇒ SI⊥(ABCD). Ta có (SBD)⊥(ABCD)    (SAC) ∩ (SBD) = SI S Ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) ‘ nên SCI ‘ = 60◦ . là góc SCI H Xét 4BCD, ta có O A BD 2 2 D 2 ’ = BC + CD − 2 · BD · CD · cos BCD a = a2 + a2 − 2 · a · a · cos 120◦ a = 3a2 I B √ Suy ra AC = BD = a 3. a C IC BC 1 = = . IA √ AD 2 √ 1 IC a 3 2a 3 IC 1 = ⇔ √ ⇒ IA = 2IC = . Do đó = ⇒ IC = AC − IC 2 2 3 3 a 3− IC  SI = IC · tan 60◦ = a √ Xét 4SIC vuông tại I, ta có IC 2a 3  SC = = cos 60◦ 3 Gọi O là trung điểm của AD. √ a2 a 3 IA2 + ID2 AD2 2 − = ⇒ IO = . Xét 4AID cân tại I với trung tuyến IO, ta có IO = 2 4 3 3 Dựng IH vuông góc với SO tại H. a Suy ra d (I, (SAD)) = IH = . 2 d (C, (SAD)) AC 3 3a Ta có CI ∩ (SAD) = A ⇒ = = ⇒ d (C, (SAD)) = . d (I, (SAD)) AI 2 4 Gọi K là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAD). 3a Suy ra SK là hình chiếu của CK lên mặt phẳng (SAD) và CK = d (C, (SAD)) = . 4 √ CK 3 3 ’ và sin CSK ’= Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là CSK = . SC 8 Chọn đáp án A Vì BC k AD ⇒ 4IBC v 4IDA, suy ra  Câu 9. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thoả mãn z + 7 + i − |z| (2 + i) = 0 và |z| < 3. Tính giá trị P = a + b 5 A. P = . 2 Lời giải. 1 C. P = − . 2 B. P = 7. Ta có z + 7 + i − |z| (2 + i) = 0 ⇔ a + bi + 7 + i − Ä ä Ä ä √ √ ⇔ a + 7 − 2 a2 + b 2 + b + 1 − a2 + b 2 i = 0  a + 7 − 2√a2 + b2 = 0 ⇔ b + 1 − √ a2 + b 2 = 0 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 5 √ D. P = 5. a2 + b2 (2 + i) = 0. https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/  a = 2b − 5 ⇔ √  a2 + b 2 = b + 1 ⇔ Chương 3-Hình học giải tích 12  a = 2b − 5 ⇔ 4b2 − 22b + 24 = 0  a = 2b − 5 b = 4 hay b = 3 2 Với b = 4 ⇒ a = 3 ⇒ |z| = 5 ( vô lý). 5 3 Với b = ⇒ a = −2 ⇒ |z| = < 3. 2 2 3 1 Suy ra P = a + b = −2 + = − . 2 2  Chọn đáp án C Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(4; −1; 2), B(1; 2; 2), C(1; −1; 5), D(xD ; yD ; zD ) với yD > 0. Tính P = 2xD + yD − zD . A. P = −3. Lời giải. C. P = −7. B. P = 1. D. P = 5. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3). √ # » # » # » # » Ta có AB = (−3; 3; 0), AC = (−3; 0; 3) ⇒ #» n = [AB, AC] = (1; 1; 1) và AB = 3 2. x = 2 + t   Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình y = t    z = 3 + t. " t=2 Do đó D(2 + t; t; 3 + t). Mà AD = AB ⇒ (t − 2)2 + 2(t + 1)2 = 18 ⇒ . t = −2 Vì yD > 0 ⇒ y = 2 ⇒ 2xD + yD − zD = 5. Chọn đáp án D # » Câu 11. Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm A(1; 1; −1) và B(2; 3; 2). Véctơ AB có tọa độ A. (1; 2; 3). B. (−1; −2; 3). C. (3; 5; 1). D. (3; 4; 1).  Lời giải. # » AB = (2 − 1; 3 − 1; 2 + 1) = (1; 2; 3)  Chọn đáp án A Câu 12. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là A. z = 0. B. x + y + z = 0. C. y = 0. D. x = 0. Lời giải. Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y = 0  Chọn đáp án C Câu 13. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : ? A. Q(2; −1; 2). B. M (−1; −2; −3). x−1 y−2 z−3 = = đi qua điểm nào dưới đây 2 −1 2 C. P (1; 2; 3). D. N (−2; 1; −2). Lời giải. 1−1 2−2 3−3 Ta có = = nên P (1; 2; 3) ∈ d. 2 −1 2 Chọn đáp án C  Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; 1; 1) và A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 29. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5. 6 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 C. (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 25. D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 5. Lời giải. Ta có R2 = IA2 = (1 − 1)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2 = 5 nên phương trình của mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 5. Chọn đáp án B  Câu 15. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − 10 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z − 3 = 0 bằng 7 4 8 B. . C. 3. D. . A. . 3 3 3 Lời giải. Dựa vào phương trình (P ), (Q) có véctơ pháp tuyến là #» n = (1; 2; 2) nên (P ) k (Q). √ 10 3 Ta có | #» n | = 1 + 22 + 22 = 3; d(O, (P )) = ; d(O, (Q)) = = 1, 3 3 7 suy ra d((P ), (Q)) = d(O, (P )) − d(O, (Q)) = . 3 Chọn đáp án B  x Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng d : = 1 z−2 y+1 = . Hình chiếu vuông góc của d trên (P ) có phương trình là 2 −1 x+1 y+1 z+1 x−1 y−1 z−1 A. = = . B. = = . −1 −4 5 3 −2 −1 x−1 y−1 z−1 x−1 y−4 z+5 C. = = . D. = = . 1 4 −5 1 1 1 Lời giải.  x + y + z − 3 = 0 Gọi A là giao điểm của (P ) và d ta có tọa độ A là nghiệm x ⇔ A(1; 1; 1).  = y+1 = z−2 1 2 −1 #» #» d có véctơ chỉ phương u = (1; 2; −1), (P ) có véctơ pháp tuyến n = (1; 1; 1) nên mặt phẳng (Q) qua » = [u#», n# »] = (3; −2; −1). d vuông góc (P ) có véctơ pháp tuyến là n# (Q) d (P ) Hình chiếu vuông góc của d trên (P ) là giao tuyến ∆ của (P ) và (Q), nên ∆ qua A và có véctơ chỉ »] = (1; 4; −5). phương là [n# (P») , n# (Q) x−1 y−1 z−1 Phương trình ∆ là = = . 1 4 −5  Chọn đáp án C Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; −1) và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 8 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ nhất của 2M A2 + 3M B 2 bằng A. 135. B. 105. C. 108. D. 145. Lời giải. #» # » #» GọiI là điểm thỏa mãn 2IA + 3IB = 0     2(x − 2) + 3(x + 3) = 0 5x + 5 = 0 x = −1 I I 1       1 ⇒ 2(yI + 2) + 3(yI − 3) = 0 ⇔ 5y1 − 5 = 0 ⇔ y1 = 1          2(zI − 4) + 3(zI + 1) = 0 5z1 − 5 = 0 z1 = 1. Vậy I(−1; 1; 1) cố định. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 7 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 Khi đó # » # » 2M A2 + 3M B 2 = 2M A2 + 3M B 2 # » #» # » #» = 2(M I + IA)2 + 3(M I + IB)2 # » # » #» #» #» #» = 5M I 2 + 2M I(2IA + 3IB) + 2IA2 + 3IB 2 = 5M I 2 + 2IA2 + 3IB 2 . 2 2 Vậy 2M A2 + 3M B 2 nhỏ nhất thì 5M I 2 + 2IA  + 3IB nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I  x = 2k − 1   M # » trên mặt phẳng (P ), suy ra IM = k n# (P») ⇒ yM = −k + 1 .    zM = 2k + 1 Mà M ∈ (P ) ⇒ 2(2k − 1) − (−k + 1) + 2(2k + 1) − 8 = 0 ⇔ 9k − 9 = 0 ⇔ k = 1 ⇒ M (1; 0; 3). Vậy giá trị nhỏ nhất của 2M A2 + 3M B 2 = 5M I 2 + 2IA2 + 3IB 2 = 135.  Chọn đáp án A Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z − 5)2 = 36. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P ) và cắt (S) tạihai điểm có khoảng cách của ∆ là nhỏ nhất. Phương trình    x=2+t x = 2 − 5t x = 2 + 9t       C. y = 1 − t . B. y = 1 + 3t . A. y = 1 + 9t .          z=3 z=3 z = 3 + 8t Lời giải.   x = 2 + 4t  D. y = 1 + 3t .    z = 3 − 3t I H B E A P Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 5) và bán kính R = 6. IE = suy ra điểm E nằm trong mặt cầu (S). √ √ 12 + 12 + 22 = 6 < R, Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P ), A và B là hai giao điểm của ∆ với (S). Khi đó, AB nhỏ nhất ⇔ AB ⊥ OE, mà AB ⊥ IH nên AB ⊥ (HIE) ⇒ AB ⊥ IE. #» » = [n# »; EI] Suy ra: u# ∆ = (5;  −5; 0) = 5(1; −1; 0). P  x=2+t   Vậy phương trình của ∆ là y = 1 − t    z=3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 8 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12  Chọn đáp án C Câu 19.ÅTrong ã không gian Oxyz,Åmặt phẳngã(α) : x − y + 2z − 3 = 0 đi qua điểm nào dưới đây? 3 3 . B. N 1; −1; − . C. P (1; 6; 1). D. Q(0; 3; 0). A. M 1; 1; 2 2 Lời giải. Å ã 3 3 Xét điểm M 1; 1; , ta có 1 − 1 + 2 · − 3 = 0 đúng nên M ∈ (α). 2 2  Chọn đáp án A Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào sau đây nhận #» u = (2; 1; 1) là một véc-tơ chỉ phương? y−1 z−1 x y−1 z−2 x−2 = = . B. = = . A. 1 2 3 2 1 −1 x−1 y+1 z x+2 y+1 z+1 C. = = . D. = = . −2 −1 −1 2 −1 1 Lời giải. x−1 y+1 z Xét đường thẳng = = , có một véc-tơ chỉ phương là (−2; −1; −1) = −(2; 1; 1) (thỏa −2 −1 −1 đề bài).    x=t   Câu 21. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (2; −4; −1) tới đường thẳng ∆ : y = 2 − t    z =3+t bằng √ √ √ √ B. 6. C. 2 14. D. 2 6. A. 14. Chọn đáp án C Lời giải. Đường thẳng ∆ đi qua N (0; 2; 3), có véc-tơ chỉ phương î# » ó # » Ta có M N = (−2; 6; 4) và M N , #» u = (16; 8; −4). Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là  î # » ó   u   M N , #» d(M, ∆) = = | #» u| #» u = (1; −1; 2). √ √ 336 √ = 2 14. 6  Chọn đáp án C Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (3; −2; 5), N (−1; 6; −3). Mặt cầu đường kính M N có phương trình là A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 6. B. (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 6. C. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36. D. (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36. Lời giải. Tâm I của mặt cầu là trung điểm » đoạn M N ⇒I (1; 2; 1). (−1 − 3)2 + (6 + 2)2 + (−3 − 5)2 MN Bán kính mặt cầu R = = = 6. 2 2 Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.  Chọn đáp án D Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + 3 = 0 và mặt cầu (S) có tâm I(0; −2; 1). Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2π. Mặt cầu (S) có phương trình là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 9 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 A. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 2. B. x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 3. C. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 3. D. x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 1. Lời giải. Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu và đường tròn giao tuyến. Theo giải thiết ta có: πr2 = 2π ⇔ r2 = 2. Mặt khác d(I, (P )) = 1 nên R2 = r2 + [d(I, (P ))]2 = 3. Vậy phương trình mặt cầu là x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 3.  Chọn đáp án B Câu 24. Cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn ( 2 a + b2 + c2 − 2a + 4b + 2c − 6 = 0 2d − e + 2f − 14 = 0 2 2 2 nhất của biểu thức (a − d) + (b − e) + (c − f ) bằng √ √ B. 1. C. 4 − 2 3. A. 7 − 4 3. . Giá trị nhỏ √ D. 28 − 16 3. Lời giải. √ Xét mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 6 = 0 có tâm I(1; −2; −1), bán kính R = 2 3 và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0 . Lấy M (a; b; c) ∈ (S), N (d; e; f ) ∈ (P ) ⇒ M N 2 = (a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 . √ Vậy [(a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 ]m in ⇔ M Nmin ⇔ M N = d(I; (P )) − R = 4 − 2 3 √ ⇒ [(a − d)2 + (b − e)2 + (c − f )2 ]m in = 28 − 16 3. Chọn đáp án D  Câu 25. Cho các tia Ox, Oy, Oz cố định đôi một vuông góc nhau. Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA + OB + OC + AB + BC + CA = 1 trong đó 1 A, B, C không trùng với O. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC bằng √ 3 trong đó m (1 + n) m, n ∈ R. Giá trị của biểu thức P = m + n bằng A. 192. Lời giải. B. 150. C. 164. D. 111. Đặt OA = a, OB = c, OC = c với a, b, c > 0. abc Khi đó VO.ABC = 6 √ √ và OA+OB +OC +AB +BC +CA = a+b+c+ a2 + b2 + b2 + c2 + √ c2 + a2 = 1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: A O C B √ √ √ a+b b+c c+a 1 = a + b + c + a2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a2 ≥ a + b + c + √ + √ + √ 2 2 2 √ 1 √ . ⇔ 1 ≥ (1 + 2)(a + b + c) ⇔ a + b + c ≤ 1+ 2 Å ã abc 1 a+b+c 3 1 ≤ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có VO.ABC = ≥ Ä √ ä3 . 6 3 3 162 1 + 2 Vậy max VO.ABC = 1 Ä 162 1 + √ ä3 ⇒ m = 162, n = 2 ⇒ P = m + n = 164. 2  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của Ä # » # »ä # » k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ M N = k AD + BC ? 1 1 C. k = 2. D. k = . A. k = 3. B. k = . 2 3 Lời giải. (# » # » # » # » M N = M B + BC + CN Ta có # » # » # » # » M N = M A + AD + DN # » # » # » # » # » # » # » # » # » Suy ra 2M N = M B + BC + CN + M A + AD + DN = AD + BC. 1 Do đó k = . 2 Chọn đáp án B  Câu 27. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai? # » # » # » # » # » 1 Ä # » # » # » # »ä A. GA + GB + GC + GD = 0. B. OG = OA + OB + OC + OD . 4Ä Ä ä # » 1 # » # » # » # » 2 # » # » # »ä C. AG = AB + AC + AD . D. AG = AB + AC + AD . 4 3 Lời giải. # » 1 Ä # » # » # »ä AB + AC + AD nên đáp án D sai. Do AG = 4 Chọn đáp án D  # » # » # » # » # » # » Câu 28. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi AM = 2AB−3AC ; DN = DB+xDC. # » # » # » Tìm x để các vectơ AD, BC, M N đồng phẳng. A. x = −1. B. x = −3. C. x = −2. D. x = 2. Lời giải. Ta có # » # » # » # » Ä # » # »ä # » # » # » M N = M A + AD + DN = 3AC − 2AB + AD + DB + xDC Ä # » # » # » # »ä # » # » # » = 3AD + 3DC − 2AD − 2DB + AD + DB + xDC # » # » # » # » # » # » # » = 2AD − DB + (x + 3) DC = 2AD + BC + CD + (x + 3) DC # » # » # » = 2AD + BC + (x + 2) DC # » # » # » Ba vectơ AD, BC, M N đồng phẳng khi và chỉ khi x + 2 = 0 ⇔ x = −2.  Chọn đáp án C # »# » Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh bằng a, khi đó AB.EG√bằng √ √ a2 2 A. a2 2. B. a2 3. C. a2 . D. . 2 Lời giải. √ √ 2 # »# » # »# » Ta có AB.EG = AB.AC = AB.AC. cos 45◦ = a.a 2. = a2 . E 2 F G A B D C  Chọn đáp án C Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em H 11 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 Câu 30. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (Oxy) ? A. M (2; 2; 0). B. Q(3; −1; 3). C. N (3; −1; 2). D. P (0; 0; 2). Lời giải. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0, suy ra M (2; 2; 0) ∈ (Oxy).  Chọn đáp án A Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (3; 2; −1) và mặt phẳng (P ) : x + z − 2 = 0. Đường thẳng  đi qua M và vuông góc với  (P ) có phương trình là     x = 3 + t x = 3 + t x=3+t       A. y = 2 . B. y = 2 + t . C. y = 2t .          z = −1 + t z = −1 z =1−t Lời giải. Mặt phẳng (P ) : x + z − 2 = 0 có véc-tơ pháp tuyến là #» n = (1; 0; 1).   x=3+t   D. y = 1 + 2t .    z = −t (P ) Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P ) nhận #» n (P ) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là   x = 3 + t  y=2    z = −1 + t.  Chọn đáp án A #» # » #» Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho vectơ OA = j − 2 k . Tọa độ điểm A là A. (0; 1; −2). B. (1; −2; 0). C. (1; 0; −2). D. (0; −1; 2). Lời giải. #» # » #» Ta có OA = j − 2 k ⇔ A(0; 1; −2).  Chọn đáp án A Câu 33. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1; 1; −1) có phương trình là A. z + 1 = 0. B. x − y = 0. C. x + z = 0. D. y + z = 0. Lời giải. Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng By + Cz = 0, (B 2 + C 2 6= 0). Mặt phẳng đi qua điểm A(1; 1; −1) nên B − C = 0 ⇔ B = C. Do đó chọn B = C = 1.  Chọn đáp án D Câu 34. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 2; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 có bán kính bằng 4 A. . B. 4. 3 Lời giải. C. 2. D. 9. Gọi R là bán kính mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P ). |1 − 2 · 2 + 2 · (−1) − 1| |−6| p Khi đó, R = d (I, (P )) = = √ = 2. 9 12 + (−2)2 + 22 Chọn đáp án C  Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; −1) và mặt phẳng (P ) : x + y − 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P ) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   x=3+t   A. y = 2t .    z =1−t Chương 3-Hình học giải tích 12   x=2+t   B. y = −t .    z = −1   x = 1 + 2t   C. y = −1 .    z = −t   x=3+t   D. y = 1 + 2t .    z = −t Lời giải. Ta có: #» n = (1; 1; 0), #» n (Oxy) = (0; 0; 1). Gọi d là(đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P ) và mặt phẳng (Oxy). #» u d ⊥ #» n (P )   n (P ) , #» n (Oxy) = (1; −1; 0). Khi đó ⇒ #» u d = #» #» u ⊥ #» n (Oxy)  d  x=2+t   Vậy d : y = −t    z = −1. (P )  Chọn đáp án B Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 3; 2), mặt phẳng (P ) : 2x − y + z − 10 = 0 và đường x+2 y−1 z−1 thẳng d : = = . Đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần lượt tại hai điểm M,N sao cho 2 1 −1 A là trung điểm của đoạn M N . Biết #» u = (a; b; 1) là một véctơ chỉ phương của ∆, giá trị của a + b bằng A. 11. B. −11. D. −3. C. 3. Lời giải. Theo giả thiết ta có N (2t − 2; t + 1; 1 − t) ∈ d và A là trung điểm của đoạn M N . Do đó, tọa độ điểm M (4 − 2t; 5 − t; 3 + t). Do M ∈ (P ) nên 2 (4 − 2t) − (5 − t) + (3 + t) − 10 = 0 ⇔ t = −2. # » Suy ra tọa độ điểm N (−6; −1; 3) và M (8; 7; 1). Suy ra M N = (−14; −8; 2). # » Vì #» u = (a; b; 1) là một véctơ chỉ(phương của ∆ nên #» u , M N là 2 véctơ cùng phương. a = −7 a b 1 Do đó ta có = = ⇒ ⇒ a + b = −11. −14 −8 2 b = −4  Chọn đáp án B Câu 37. Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P ) đi qua điểm A (2; 1; 3) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz  lần lượt tại M , N , P sao cho tứ diện OM N P có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường  x=2+t   thẳng d : y = 1 − t với (P ) có toạ độ là    z =4+t A. (4; 6; 1). C. (−4; 6; −1). B. (4; 1; 6). D. (4; −1; 6). Lời giải. Gọi M (a; 0; 0), N (0; b; 0) , P (0; 0; c). Theo giả thiết, ta có a, b, c là các số dương. x y z Phương trình mặt phẳng (P ) là + + = 1. a b c 2 1 3 (P ) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên + + = 1. a b√ c √ … √ √ 336 2 2 1 3 1 3 336 3 Ta có + + ≥ 3 · · = √ ⇔1≥ √ ⇔ 3 abc ≥ 3 3 6 ⇔ abc ≥ 112. 3 3 a b c a b c abc abc Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 13 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12   2 1 3  a=6    = =  abc b c VOM N P = ≥ 27. Dấu bằng xảy ra khi a ⇒ b=3 2 1 3   6  + + =1   c = 9. a b c x y z Vậy (P ) : + + = 1. 6 3 9    x=2+t   x=4         y = 1 − t y = −1 Tọa độ giao điểm của d và (P ) là nghiệm của hệ ⇔   z =4+t z=6         x y z    + + =1 t = 2. 6 3 9 Chọn đáp án D  y − y0 z − z0 x − x0 = = . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : a b c Điểm M nằm trên đường thẳng ∆ thì điểm M có dạng nào sau đây? A. M (at; bt; ct). B. M (x0 t; y0 t; z0 t). C. M (a + x0 t; b + y0 t; c + z0 t). D. M (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct). Lời giải. #» Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ chỉ phương u = (a; b; c) nên đường thẳng ∆  z = x0 + at   có phương trình tham số là ∆ : y = y0 + bt .    z = z0 + ct Điểm M nằm trên đường thẳng ∆ nên điểm M có dạng M (x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).  Chọn đáp án D Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; −1; 0) và C(0; 0; 2). Phương trình mặt phẳng (ABC) là A. x − 2y + z = 0. B. x − y + z = 1. 2 C. x + y − z = 1. 2 D. 2x − y + z = 0. Lời giải. Áp dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là x − y + Chọn đáp án B z = 1. 2  x−2 y+2 z−6 Câu 40. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : = = ; 2 1 −2 x−4 y+2 z+1 d2 : = = . Phương trình mặt phẳng (P ) chứa d1 và song song với d2 là 1 −2 3 A. (P ) : x + 8y + 5z + 16 = 0. B. (P ) : x + 8y + 5z − 16 = 0. C. (P ) : 2x + y − 6 = 0. D. (P ) : x + 4y + 3z − 12 = 0. Lời giải.   x = 2 + 2t1   Phương trình tham số d1 : y = −2 + t1 , (t1 ∈ R).    z = 6 − 2t1 d1 đi qua điểm M (2; −2; 6) và có vectơ chỉ phương u#»1 = (2; 1; −2).  x = 4 + t2   Phương trình tham số d2 : y = −2 − 2t2 , (t2 ∈ R).    z = −1 + 3t2 d2 đi qua điểm N (4; −2; −1) và có vectơ chỉ phương u#»2 = (1; −2; 3). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 ( #» n (P ) ⊥ #» u1 Vì mặt phẳng (P ) chứa d1 và song song với d2 , ta có: ⇒ #» u (P ) = [ #» u 1 , #» u 2 ] = −(1; 8; 5). #» #» n (P ) ⊥ u 2 Mặt phẳng (P ) đi qua M (2; −2; 6) và vectơ pháp tuyến #» u = (1; 8; 5), nên phương trình mặt phẳng (P ) (P ) : (x − 2) + 8(y + 2) + 5(z − 6) = 0 hay (P ) : x + 8y + 5z − 16 = 0.  Chọn đáp án B x−1 y−3 z−1 = = cắt mặt phẳng 2 −1 1 (P ) : 2x − 3y + z − 2 = 0 tại điểm I(a; b; c). Khi đó a + b + c bằng Câu 41. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A. 9. Lời giải. B. 5. C. 3. D. 7. Ta có {I} = d ∩ (P ) suy ra I ∈ d và I ∈ (P ). Vì I ∈ d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t; 3 − t; 1 + t) với t ∈ R. Vì I ∈ (P ) nên ta có phương trình: 2(1 + 2t) − 3(3 − t) + 1 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1. Vậy I(3; 2; 2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.  Chọn đáp án D Câu 42. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 3) và hai mặt phẳng (P ): 2x + y + 2z − 8 = 0, (Q): x − 4y + z − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P ) và (Q).        x=3+t = 3 + t x = 3 x = 3 + t         A. y = 5 − t . . . D. y = 5 C. y = 5 B. y = 5 + t .             z =3+t z =3−t z =3−t z=3 Lời giải. Ta có #» n (P ) = (2; 1; 2) và #» n (Q) = (1; −4; 1).  #»  #» n (P ) , n (Q) = (9; 0; −9). Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P ) và (Q) nên d có véc-tơ chỉ phương là #» u = (1; 0; −1).   x=3+t   Vậy phương trình đường thẳng d là y = 5    z = 3 − t.    x=2+t   Câu 43. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 1; 6) và đường thẳng ∆ : y = 1 − 2t . Hình chiếu    z = 2t vuông góc của A trên ∆ là Chọn đáp án C A. M (3; −1; 2). Lời giải. B. H(11; −17; 18). C. N (1; 3; −2). D. K(2; 1; 0). # » Gọi B là hình chiếu của A xuống ∆. Do B ∈ ∆ ⇒ B(2 + t; 1 − 2t; 2t). AB = (3 + t; −2t; 2t − 6). # » # » Do AB ⊥ #» u ∆ ⇒ AB · #» u ∆ = 0 ⇔ 1 · (3 + t) + (−2) · (−2t) + 2 · (2t − 6) = 0 ⇔ t = 1. Vậy B(3; −1; 2). Chọn đáp án A  Câu 44. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; −1; −1) và mặt phẳng (P ) : x − 2y − 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ). A. S : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z − 3 = 0. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em B. S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + y + z − 3 = 0. 15 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 C. S : x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z + 1 = 0. D. S : x2 + y 2 + z 2 − 2x + y + z + 1 = 0. Lời giải. Gọi R là bán kính mặt cầu. |2 − 2(−1) − 2(−1) + 3| Do (S) tiếp xúc với (P ) nên R = d(I, (P )) = p = 3. 12 + (−2)2 + (−2)2 Vậy phương trình S : (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 9 ⇔ x2 + y 2 + z 2 − 4x + 2y + 2z − 3 = 0.    x = 1 + t  x−1 y−m z+2 Câu 45. Cho hai đường thẳng d1 : y = 2 − t và d2 : = = , (với m là tham số  2 1 −1   z = 3 + 2t ). Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Chọn đáp án A A. m = 4. B. m = 9. C. m = 7. D. m = 5. Lời giải. d1 đi qua điểm M1 (1; 2; 3) và có vec-tơ chỉ phương u#»1 = (1; −1; 2). d2 đi qua điểm M2 (1; m; −2) và có vec-tơ chỉ phương u#»2 = (2; 1; −1). # » [u#»1 ; u#»2 ] = (−1; 5; 3) và M1 M2 = (0; m − 2; −5). # » d1 và d2 cắt nhau ⇔ [u#»1 ; u#»2 ] · M1 M2 = 0 ⇔ −1 · 0 + 5(m − 2) − 15 = 0 ⇔ m = 5. Chọn đáp án D    x=t   Câu 46. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; −1; 2) và hai đường thẳng d1 : y = 1 − t ,    z = −1 x+1 y−1 z+2 d2 : = = . Đường thẳng ∆ đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 có véc 2 1 1 # » tơ chỉ phương là u∆ = (1; a; b).Tính a + b. A. a + b = −1. B. a + b = −2. C. a + b = 2. D. a + b = 1. Lời giải. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với d1 , d2 A ∈ d1 ⇒ A (t1 ; 1 − t1 ; −1) ; B ∈ d2 ⇒ B (−1 + 2t2 ; 1 + t2 ; −2 + t2 ). # » # » M ∈ ∆ ⇔ M, A, B thẳng hàng ⇔ M A = k M B (1) # » # » M A = (t1 − 1; 2 − t1 ; −3) ; M B = (2t2 − 2; t2 + 2; t2 − 4).     t1 = 0     t − 2kt2 + 2k = 1 t1 − 1 = k (2t2 − 2)    1  1 (1) ⇔ 2 − t1 = k (t2 + 2) ⇔ − t1 − kt2 − 2k = −2 ⇔ kt2 = 3           − 3 = k (t2 − 4) kt2 − 4k = −3 k = 5 . 6 Từ t1 = 0 ⇒ A(0; 1; −1).Do đường thẳng ∆ đi qua điểm A và M nên một véc tơ chỉ phương của # » » = AM đường thẳng ∆ là u# ∆ = (1; −2; 3). Vậy a = −2, b = 3 ⇒ a + b = 1.  Chọn đáp án D Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt (SAB) và (SBC) là 60◦ ; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 45◦ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), tính cos α Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 16 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 1 A. cos α = . 2 Chương 3-Hình học giải tích 12 √ √ 2 B. cos α = . 2 √ 2 D. cos α = . 3 3 C. cos α = . 2 Lời giải. Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ trên z S Không mất tính tổng quát, giả sử ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1, chiều cao của hình chóp S.ABCD bằng c, (c > 0) Ta có tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0) A D y H Do hình chiếu vuông góc H của đỉnh S xuống mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD nên gọi H(a, b, 0) với 0 < a, b < 1 (∗) ⇒ S(a; b; c). #» # » Ta có AS = (a; b; c), AD = (0; 1; 0) nên chọn î # » # »ó #» n (SAD) = AS, AD = (−c; 0; a) C B x î # » # »ó # » # » BS = (a − 1; b; c), BC = (0; 1; 0) nên chọn #» n (SBC) = BS, BC = (−c; 0; a − 1) î # » # »ó # » #» AB = (1; 0; 0), AS = (a; b; c) nên chọn #» n (SAB) = AB, AS = (0; −c; b) #» Chọn #» n (ABCD) = k = (0; 0; 1) Do (SAD) ⊥ (SBC) ⇒ #» n (SAD) · #» n (SBC) = 0 ⇔ c2 + a(a − 1) = 0 ⇔ c2 + a2 = a (1) Góc giữa (SAB) và (SBC) là 60◦ ⇒ cos 60◦  #»   n (SAB) . #» n (SBC)    #»  =  #»  . n  n (SAB) (SBC) |b(a − 1)| 1 √ = p ⇔ 2 c2 + (a − 1)2 . c2 + b2 1 b(a − 1) √ ⇔ = √ do (∗) và (1) 2 1 − a. c2 + b2 √ b 1−a 1 ⇔√ = 2 c 2 + b2 b 1 ⇔√ = √ (2) 2 1−a c 2 + b2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 Góc giữa (SAB) và (SAD) là 45◦  #»   n (SAB) . #» n (SAD)     =  #» n (SAD)  n (SAB)  .  #» ◦ ⇒ cos 45 √ 2 ⇔ 2 √ 2 ⇔ 2 √ ab b 1−a ⇔√ √ :√ a. c2 + b2 c 2 + b2 √ a ⇔√ 1−a |ab| √ = √ c2 + a2 . c2 + b2 ab = √ √ do (∗) a. c2 + b2 √ 2 1 = : 2 2 √ 2 = ⇔a = 2 3 (3) Góc giữa (SAB) và (ABCD) là α ⇒ cos α =   #»  n (SAB) . #» n (ABCD)   #»   #»  n  . n  (SAB) (2),(3) = = (ABCD) b c 2 + b2 √ 1 3 … = 2 2 2 1− 3 √  Chọn đáp án C    x=2+t   Câu 48. Giao điểm của mặt phẳng (P ) : x + y − z − 2 = 0 và đường thẳng d : y = −t.    z = 3 + 3t A. (1; 1; 0). B. (0; 2; 4). C. (0; 4; 2). D. (2; 0; 3). Lời giải. Gọi A(x; y; z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ). Ta có: 2+ t − t − (3 + 3t) − 2 = 0 ⇔ −3t − 3 = 0 ⇔ t = −1.   x=1   Suy ra y = 1. Vậy A(1; 1; 0).    z = 0  Chọn đáp án A Câu 49. Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương  trình tham số là   x=0   A. x = 0. B. y + z = 0. C. y = 0 .    z = t    x=t   D. y = 0    z = 0 . Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 #» Trục  Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương i (1; 0; 0) nên có phương trình tham số là     x = 0 + 1.t x=t     y = 0 + 0.t ⇔ y = 0.       z = 0 + 0.t z = 0  Chọn đáp án D Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 1; −1), B (2; 1; 2). Độ dài đoạn AB bằng √ √ A. 10. B. 14. C. 9. D. 10. Lời giải. Ta có: AB = » (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 = » √ (2 − 1)2 + (1 − 1)2 + (2 + 1)2 = 10.  Chọn đáp án A Câu 51 (Kiếu Văn  Công). [2H3B3-5] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x+2y −8 = 0 x = 1 + 2t   và đường thẳng d : y = 2 − t . Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng P bằng    z =3+t 4 2 3 1 A. √ . B. √ . C. √ . D. √ . 5 5 5 5 Lời giải.   x = 1 + 2t   u = (2; −1; 1). Đường thẳng d : y = 2 − t đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương #»    z =3+t Mặt phẳng ) : x + 2y − 8 = 0 có vectơ pháp tuyến #» n = (1; 2; 0). ( #» (P #» u · n =2−2+0=0 Ta có , nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P ). A∈ / (P ) Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P ) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P ). |1 + 4 − 8| 3 d(d; (P )) = d(A; (P )) = √ =√ . 2 2 1 +2 5 Chọn đáp án C  Câu 52 (Kiều Văn Công). [2H3Y1-3] Trong không gian Oxyz cho mặt cầy (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4z + 1 = 0 có tâm I và bán kính R là. A. I(−1; 0; 2), R = 2. B. I(−1; 0; 2), R = 4. C. I(1; 0; −2), R = 2. D. I(1; 0; −2), R = 4. Lời giải. Dễ thấy mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4z + 1 = 0 có: p Tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = 12 + 02 + (−2)2 − 1 = 2. Chọn đáp án C  Câu  53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x − 2z − 6 = 0 và đường thẳng   x=1+t   d: y = 3 + t . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α) cắt đồng thời vuông     z = −1 − t góc với d. x−2 y−4 z+2 A. = = . 2 1 1 x−2 y−3 z+2 C. = = . 2 −1 1 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em x−2 y−4 z+2 = = . 2 −1 1 x−2 y−4 z−2 D. = = . 2 −1 1 B. 19 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương 3-Hình học giải tích 12 Lời giải.    x=1+t      y =3+t ⇒ I (2; 4; −2). Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ   z = −1 − t      x − 2z − 6 = 0 Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến #» n = (1; 0; −2) ; đường thẳng d có một vectơ chỉ phương #» u = (1; 1; −1). Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là [ #» n , #» u ] = (2; −1; 1). Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương [ #» n , #» u ] = (2; −1; 1) nên có phương x−2 y−4 z+2 trình chính tắc: = = . 2 −1 1 Chọn đáp án B  Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M (a; b; c) thuộc mặt phẳng (P ) : x+y+z−6 = 0 và cách đều các điểm A(1; 6; 0), B (−2; 2; −1) , C (5; −1; 3). Tích a · b · c bằng A. 5. C. −6. B. 0. D. 6. Lời giải. Do M ∈ (P ) và M A2 = M B 2 = M C 2 , nên ta được hệ          a=1 a + b + c = 6 a + b + c = 6       b=2 3a + 4b + c = 14 ⇔ (a − 1)2 + (b − 6)2 + c2 = (a + 2)2 + (b − 2)2 + (c + 1)2 ⇔           c = 3.  4a − 7b + 3c = −1  (a − 1)2 + (b − 6)2 + c2 = (a − 5)2 + (b + 1)2 + (c − 3)2 Từ đó ta được abc = 6.  Chọn đáp án D Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; −3), hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm A. M 0 (1; 0; −3). B. M 0 (0; 2; −3). C. M 0 (1; 2; 0). D. M 0 (1; 2; 3). Lời giải. Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M 0 (1; 2; 0).  Chọn đáp án C Câu 56. Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (α) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A (−3; 0; 0) , B (0; 4; 0) , C (0; 0; −2). A. 4x − 3y + 6z − 12 = 0. C. 4x − 3y + 6z + 12 = 0. Lời giải. Phương trình (α) : B. 4x + 3y − 6z + 12 = 0. D. 4x + 3y + 6z + 12 = 0. x y z + + = 1 ⇔ 4x − 3y + 6z = −12 ⇔ 4x − 3y + 6z + 12 = 0. −3 4 −2  Chọn đáp án C Câu 57. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 1; 1), B(−1; 1; 0), C(1; 3; 2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận véc-tơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương? #» #» A. #» a = (1; 1; 0). B. #» c = (−1; 2; 1). C. b = (−2; 2; 2). D. d = (−1; 1; 0). Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://emncischool.wixsite.com/geogebra