Tài liệu Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

http://www.ictu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN..........................................................................................................i MỤC LỤC....................................................................................................................ii DANH MỤC HÌNH VẼ...............................................................................................v MỞ ĐẦU......................................................................................................................1 Chương I.......................................................................................................................4 CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC................................................................4 1.1 Hình học đường cong..........................................................................................4 1.1.1 Biểu diễn đường cong...................................................................................4 1.1.2 Đặc tính của đường cong..............................................................................5 1.2 Hình học mặt cong..............................................................................................8 1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:................................................................8 1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.......................................................9 1.2.3 Độ cong.......................................................................................................11 1.3 Phép biến đổi toạ độ..........................................................................................12 1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.............................................................................12 1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.............................................................................14 1.3.3 Phép ánh xạ....................................................................................................15 1.3.4 Khung toạ độ..................................................................................................16 Chương II....................................................................................................................19 GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC............................................................................................................................19 2.1. Tổng quan.........................................................................................................19 2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học........................19 1 http://www.ictu.edu.vn 2.1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng.........................................................22 2.2. Các bề mặt hình học PDE................................................................................23 2.3. Các bề mặt PDE dạng ẩn.................................................................................25 2.4. Các bề mặt PDE dạng tham số........................................................................26 2.4.1. Phương pháp Bloor- Wilson PDE.............................................................27 2.4.2. Hiệu chỉnh phương pháp Bloor-wilson PDE............................................31 2.4.3. Các bề mặt PDE tham số thu được dựa trên các mô hình vật lý..............32 2.5. Ứng dụng của các bề mặt PDE........................................................................33 2.5.1. Các thế hệ bề mặt......................................................................................34 2.5.2. Xử lý bề mặt..............................................................................................34 2.5.3. Phân tích và tối ưu hóa thiết kế.................................................................35 2.5.4. Các ứng dụng khác....................................................................................36 Chương III..................................................................................................................38 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC..............................................................................38 3.1 Tổng quan về GPDE (Geometric partial differential equation).......................38 3.1.1 Định nghĩa..................................................................................................38 3.1.2. Khái quát về GPDE...................................................................................38 3.1.3. Nền tảng toán học của GPDE....................................................................39 3.2. Cấu trúc của GPDE..........................................................................................43 3.2.1 Xây dựng GPDE.........................................................................................43 3.2.2. Một số các đường thường được sử dụng để xây dựng GPDE:.................46 3.3. Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE.....................................................46 3.3.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)......................................................47 http://www.ictu.edu.vn 3.3.2. Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM).....................................................48 3.3.3. Phương pháp tập mức (LSM-Level set method)......................................49 KẾT LUÂÂN................................................................................................................51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................52 PHỤ LỤC........................................................................................................54 http://www.ictu.edu.vn MỞ ĐẦU Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tính toán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng và các thao tác cho những đối tượng hình học. Khác với các kỹ thuật mô hình hóa bề mặt được sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể (solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học cho các đối tượng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cường đáng kể các kỹ thuật mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên (boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form parametric solids), v.v. Phương pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn như hình lập phương, hình cầu, hình trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp. Các kỹ thuật B-rep thường định nghĩa một đối tượng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên với các thông tin hình dạng mở rộng. Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự do sử dụng các đường (curves) như B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất. Mặt khác, mô hình tham số PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tượng hình học sử dụng các phương trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên. Đặc biệt các biến thể của PDE cũng có thể được sử dụng để xác định tham số của các đối tượng lập thể. So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong mô hình hóa hình học các mô hình PDE có rất nhiều lợi thế: - Sự tác động của một đối tượng PDE được quy định bởi giá trị biên của các phương trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng được xác định thông qua các phương trình vi phân bậc cao. - Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc giải http://www.ictu.edu.vn các phương trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số. - Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn các bề mặt biên. Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương pháp CSG, B-rep v.v.. vào một khung duy nhất. - Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý. Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tượng nhúng bên trong các mô hình PDE. - Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời. Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạng tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có được điều này ngược lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn. Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn nữa, các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy. Để mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, phương pháp này tốt hơn trong việc kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn như mật độ trong biểu diễn hình học. Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể được tổng hợp bởi các giá trị vô hướng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tưởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật http://www.ictu.edu.vn lý này. Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể đạt được các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực. Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương: Chương 1: Chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. Chương 2: Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học. Chương 3: Chương này trình bày về hình học phương trình vi phân đạo hàm riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bước xây dựng GPDE và các giải pháp số trong việc xây dựng GPDE. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn. http://www.ictu.edu.vn DANH MỤC HÌNH VẼẼ Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị..................................................................4 Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp.........................................7 Hình 1.3 : Hình học mặt cong......................................................................................9 Hình 1.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến.................................9 Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D............................................................................13 Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động...................17 Hình 2.1. Các đường cong biên, Hình 2.2. Bề mặt PDE tương ứng.........................28 Hình 2.3: Mặt PDE tương ứng với một vỏ sò............................................................29 Hình 2.4: Mặt PDE tương ứng với một chai Klein...................................................29 Hình 2.5 Mặt PDE tương ứng với mặt Werner Boy..................................................30 Hình 2.6 Các mặt PDE tương ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau..................30 http://www.ictu.edu.vn Chương I CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. 1.1 Hình học đường cong. Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện. 1.1.1 Biểu diễn đường cong. Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng: - Phương trình ẩn. - Phương trình tường minh. - Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 1.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình: f (x, y) = x2 + y2 −1 = 0 : Phương trình ẩn (1.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là: y = g(x) = (1− x)1/2 : Phương trình tường minh (1.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn,ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số (1.3) http://www.ictu.edu.vn Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1) Kết hợp với phương trình (1.1) ta có: x = x(t) = (1− t2) /(1+ t2) ; y = y(t) = 2t /(1+ t2) (1.4) Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá. Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) hay dưới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong. 1.1.2 Đặc tính của đường cong. Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)] Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm: a. Độ chảy của đường cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong. 1.1.2.1 Độ chảy: Độ lớn của vectơ đạo hàm r’(t)được gọi là độ chảy của đường cong: S’(t) = |r’(t)| (1.5) http://www.ictu.edu.vn Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá. 1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho: s=   0 |r’(t)| dt Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: hay dưới dạng vi phân: T = dr / ds (1.6) T = r’(t) /|r’(t)| (1.7) 1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8) Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2) Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: B = TxN http://www.ictu.edu.vn Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp 1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong: Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: hay dưới dạng vi phân: k = |dT/ds| k= | r ' xr''| | r ' |3 (1.9) (1.10) trong đó: r’ ≡ dr(t)/dt; r’’ ≡ dr’ / dt . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y = y(x), phương trình trên có dạng: k = y’’/(1+ y’2 )3/2 trong đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ =1/ k (1.11) 1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong: Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB/ ds).N trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình SerretFrenet: dr / ds = T; dT / ds = kN dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN-1 1.2 Hình học mặt cong. (1.12) http://www.ictu.edu.vn 1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 1. 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn. Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt cầu thoả bất đẳng thức: x2 + y2 + z2 -1 < 0 và phương trình: x2 + y2 + z2 -1 = 0 (1.13) biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0. 1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14) trong đó: u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (1.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15) với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2 Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte (u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số: r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1 - x2 – y2)1/2 với (x2 + y 2 ) < 1 (1.17) Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 1.3. Ta thường gọi phần mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp. http://www.ictu.edu.vn Hình 1.3 : Hình học mặt cong 1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) (hình 1.4): q(t) = [u(t),v(t)]T (1.18) Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho: r(t)= r(u(t), v(t))=(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (1.19) Trường hợp đặc biệt của (1.19) là đường cong đẳng tham số: v = v*, v (t) = t; u = u *, u (t) = t Hình 1.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến Vectơ tiếp tuyến. Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau: ru=  r /  u ; rv =  r /  v ; ruv = ∂2r/∂u∂v (1.20) http://www.ictu.edu.vn Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo t, ta có: r’= dr  r dr  r dv = + =ruu’ +rvv’ , dt  u dt  v dt (1.21) trong đó: r’ là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của đường cong đẳng tham số u = u* , v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ru , rv xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4). Vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi: n=(ru x rv )/| ru x rv| (1.22) Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. Ma trận cơ sở thứ nhất. Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: r’= ruu’ + rvv’ =⋀q’, (1.23) trong đó: Λ = |ru ,rv| ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]T . Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau: |r’2| = (r’)T(r’) = q’T ΛT Λq’=q’TGq’,  ru trong đó: G= ΛT Λ=   ru rv ru rv   : Ma trận cơ sở thứ nhất. rv  (1.24) (1.25) Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau: T=r’/|r’|=(Λq’)/(q’TGq’)1/2 (1.26) Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau: S=⋀|ruxrv|dudv=⋀|G|1/2dudv (1.27) 1.2.3 Độ cong. Ma trận cơ sở thứ hai. http://www.ictu.edu.vn Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4). từ (1.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau: r’’ = u’(u’ruu + v’ruv ) + u’’ru + v’(v’rvv + u’ruv ) + v’’rv (1.28) Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có: r’’.n= (u’)2ruun + 2u’v’ruvn + (v’)2rvvn =q’TDq’, u '  (1.29a)  ruu .n ruv .n  trong đó: q’ =   và D=   : Ma trận cơ sở thứ hai v '   ruv .n rvv .n  Độ cong pháp tuyến. Từ phương trình (1.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau: r’’ = dr ' d ( s ' T ) = =s’’T +s’T’=s’’T +(s’kN) dt dt Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng:T.n = 0: r’’.n=(s’)2kN.n (1.29b) Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công thức sau: r ''.n q 'T Dq ' q 'T Dq ' kn≡ kN.n= = = ( s ') 2 ( s ') 2 (q ')T Gq ' (1.30) Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q’ . Độ cong chính. Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’: http://www.ictu.edu.vn q 'T Dq ' kn(q’) = (q ')T Gq ' Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:  Kn =2Dq’ -2knGq’ =0 q ' (1.31) Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xác định từ (1.30) như sau: kn1=  g1 trong đó: a=|G|=  h b  b 2  ac b  b 2  ac ; kn2= , a a h   ; c=|D|= g2   d1  e (1.31) e  g1d2+g2d1 − eh  ; b= d2  2 Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D. Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong. 1.3 Phép biến đổi toạ độ. Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (t x,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty (1.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (1.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (1.35) http://www.ictu.edu.vn Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D Phép biến đổi đồng nhất. Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ: x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h, (1.36) trong đó: h ≠ 0: hệ số vô hướng. Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) P h, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M: P’h = Ph M, (1.37) trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1) Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau: http://www.ictu.edu.vn 1  T=  0 tx  a12 1 ty 0  0  ; S= 1   sx  0 0  0 sy 0 0  0  ; R= 1   cos    sin   0  sin  cos 0 0  0 1  1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (1.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S): P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b) trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1)   1 T=  0  0 t x 0 0 1 0 0 1 t y tz 0 0 0 1    s   x  ; S=  0    0 0    0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 0 0 1         Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1). Phép quay cơ bản quanh trục x quanh trục y quanh trục z X’ x’ = x x’ = zsinθ + xcosθ x’ = xcosθ + ysinθ Y’ y’ = ycosθ - zsinθ y’ = y y’ = xsinθ + ycosθ Bảng 1.1 Z’ z’ = ysinθ + zcosθ z’ = zcosθ + xsinθ z’ = z http://www.ictu.edu.vn Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):  1 0 0  R(x,θ)=  0 C S   0 S C 0 0 0   C  R(z,θ)=   S   0  0  S 0 0 0 0 C 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1    C    ; R(y,θ)=  0    S  0   0 S 1 0 0 C 0 0 0 0 0 1            ;     (1.41) Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau: (x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H,    r11 r12 trong đó: H=  r21 r22   r31 r32 t  x ty r13 r23 r33 tz 0 0 0 1    =             (1.42) R t 0 0 0 1         hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (1.43) Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa các vectơ hàng của R: n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (1.44) thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả điều kiện: n x o = a; o x a = n; a x n = o và |n| = |o| = |a| =1 (1.45) 1.3.3 Phép ánh xạ. Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều. Trong http://www.ictu.edu.vn phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ. Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện: P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó: P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z) P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’) H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’). 1.3.4 Khung toạ độ. Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ toạ độ.