Tài liệu Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng hartley chính tắc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−?−−− LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN PGS. TS. NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Hà nội, tháng 3 năm 2019 Nghiên cứu sinh Lại Tiến Minh 2 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với các thầy PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn và PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Các thầy đã tận tình dạy bảo, chỉ dẫn tôi học toán, nghiên cứu toán trong suốt những năm làm nghiên cứu sinh. Tôi gửi lời tri ân đặc biệt của mình tới thầy PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, người đã luôn yêu thương, quan tâm đến tôi, cho tôi những cơ hội, dạy tôi những bài học trong nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Chính thầy đã cho tôi niềm tin và động lực vượt qua những trở ngại, những lúc khủng hoảng tưởng chừng như không thể vượt qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu các thầy đã luôn quan tâm, động viên, cho tôi những gợi ý, dìu dắt tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô và các anh chị đồng nghiệp trong Seminar của môn toán học tính toán; Seminar Giải tích - Đại số , Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tại đây tôi đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý quý báu. Những nhận xét, góp ý của các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp đã giúp tôi có những ý tưởng để hoàn thiện các bài báo và luận án của mình. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn những ý kiến đóng góp giá trị của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo, TS. Nguyễn Văn Ngọc, TS. Nguyễn Trung Hiếu, TS. Vũ Nhật Huy đã giúp tôi hoàn thành luận án một cách thuận lợi. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Viện Đào tạo Mở, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Thọ, TS. Bùi Thị Giang, TS. Nguyễn Thanh Hồng, ThS. Quản Thái Hà, ThS. Vũ Văn Quân. Các anh chị em đã cho tôi những lời khuyên hữu ích, động viên giúp tôi vượt qua giai đoạn khó khăn nhất của quá trình nghiên cứu. Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị em đã và đang 3 học tập nghiên cứu tại khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội về những trao đổi, hỗ trợ trong nghiên cứu. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ tấm lòng biết ơn sâu sắc đến người bố đã khuất, mẹ, anh chị em trong gia đình; đặc biệt là mẹ tôi - người đã động viên, cảm thông và chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt những năm tháng vừa qua để tôi có thể hoàn thành luận án này. NCS. Lại Tiến Minh 4 BẢNG KÍ HIỆU N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên Q Tập hợp các số hữu tỷ R Tập hợp các số thực z Liên hợp của số phức z i Đơn vị ảo X×Y Tích đề các của hai tập hợp X và Y  d n ∗ Đạo hàm cấp n (n ∈ N ), Dn = dt Không gian Schwartz các hàm khả vi vô hạn trên R thỏa mãn Dn S supt∈R (1 + t2 )m | Dn f (t)| < ∞ L p (R) (m = 0, 1, 2, . . . ) h f , gi Không gian các hàm khả tích Lebesgue cấp p ≥ 1 trên R R  1p p p Chuẩn trong L (R), k f k p = R | f ( t )| dt R Tích vô hướng trong L2 (R), h f , gi = R f (t) g(t)dt C0 (R) Không gian các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại vô cùng k.k ∞ Chuẩn trong C0 (R), k f k∞ = sup | f (t)| l 2 (R) ∞ 2 Không gian các dãy số {un } thỏa mãn ∑+ n=−∞ | un | < + ∞ k f kp t ∈R E A (t) fˆ(t) ∞ Tích vô hướng trong l 2 (R), hun , vn i = ∑+ −∞ un vn n 2d 2 e− t Đa thức Hermite Hn (t) = (−1)n et dt n 1 t2 d 2 n Hàm Hermite ψn (t) = (−1) e 2 e− t dt Hàm Hartley cas(t) = cos t + sin t 1 − 1 t2 Hàm Gauss G(t) = √ e 2b2 b 2π u a 2 0 Hàm chirp E A (t) = ei( 2b t + b t) fˆ(t) = f (t)E A (t) rin (t) Tín hiệu vào rout (t) Tín hiệu ra hun , vn i Hn (t) ψn (t) cas(t) G(t) 7 BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT OLCT Biến đổi chính tắc tuyến tính bù LCT Biến đổi chính tắc tuyến tính FrFT Biến đổi Fourier phân thứ FT Biến đổi Fourier IFT Biến đổi Fourier ngược WDF Hàm phân phối Wigner CHTT Biến đổi dạng Hartley chính tắc 8 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài Rất nhiều bài toán trong xử lý tín hiệu được giải quyết nhờ các lọc, lấy mẫu và khôi phục tín hiệu. Lọc được sử dụng rộng rãi trong điện tử viễn thông, phát thanh, truyền hình, ghi âm, radar, hệ thống điều khiển, xử lý hình ảnh và đồ họa máy tính. Trong xử lý tín hiệu, lọc là một thiết bị hoặc một quá trình loại bỏ một số thành phần hoặc tính năng không mong muốn khỏi tín hiệu. Thông thường, điều này có nghĩa là loại bỏ một số tần số hoặc băng tần không mong muốn. Lọc có thể được phân loại dựa trên các dạng băng tần khác nhau mô tả dải tần nào mà lọc thông qua (dải thông) và dải tần nào mà lọc từ chối (dải dừng). Lọc thông thường có thể thu được từ biến đổi Fourier 1 Ψ FT và biến đổi Fourier ngược Ψ− FT . Tín hiệu ra rout ( t ) được biểu diễn qua tín hiệu vào rin (t) như sau n o 1 rout (t) = Ψ− Ψ { r ( t )}( u ) ( t ). FT in FT Với sự phát triển của khoa học máy tính, có rất nhiều thuật toán được đưa ra để tính toán biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của tín hiệu, tiêu biểu là thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT). Ngoài ra, có một cách khác có thể thiết kế được lọc là dựa trên các phép chập thông thường. Tuy nhiên, lọc thông thường chỉ hiệu quả khi xử lý các tín hiệu mà có phân phối năng lượng không chồng lấp trong mặt phẳng pha. Lọc thông thường không hiệu quả với các tín hiệu mà nhiễu có dạng chirp tổng quát. Nhiễu này thường gặp trong các hệ quang học, hệ vi sóng, hệ ra đa và hệ âm thanh. Điều này đòi hỏi phải có những lọc mà có thể xử lý được các tín hiệu dạng này. Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học công nghệ, việc nghiên cứu và phát triển lọc đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu. Với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết biến đổi tích phân và lý thuyết chập, đặc biệt là những ứng dụng phong phú của phép chập trong thực tiễn (xem [17, 28, 34, 51, 61, 63, 66]) đã có rất nhiều cách thiết kế lọc mới được đưa ra để xử lý các nhiễu dạng trên 9 (xem [14, 21, 28, 31, 32, 38, 52, 64, 68]). Các biến đổi tích phân có thể kể tới là biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi chính tắc tuyến tính bù, biến đổi Hartley phân thứ, biến đổi Hartley chính tắc, biến đổi Fresnel. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, định lý lấy mẫu là cầu nối cơ bản giữa tín hiệu thời gian liên tục (thường được gọi là tín hiệu tương tự) và tín hiệu thời gian rời rạc (thường được gọi là tín hiệu số). Nó thiết lập một điều kiện đủ cho phép từ một chuỗi các mẫu riêng biệt thu được tất cả thông tin của tín hiệu thời gian liên tục của băng thông hữu hạn. Khôi phục tín hiệu ban đầu từ các mẫu hoặc đánh giá thông tin bị mất trong quá trình lấy mẫu là những câu hỏi cơ bản được giải quyết bằng cách lấy mẫu và nội suy. Lý thuyết lấy mẫu giúp chúng ta hiểu được các hiệu ứng của việc chia một hình ảnh hoặc dạng sóng thành các điểm riêng biệt. Định lý lấy mẫu được phát hiện độc lập bởi nhóm các nhà khoa học Claude Shannon, Harry Nyquist và Ralph Hartley thuộc phòng thí nghiệm Bell của Hoa Kỳ; Edmund Taylor Whittaker của Đại học Edinburgh của Anh Quốc và Vladimir Kotelnikov thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Do đó, định lý này có rất nhiều tên gọi chẳng hạn định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon (xem [24]), định lý lấy mẫu Whittaker-ShannonKotelnikov (xem [27]) hoặc định lý lấy mẫu Whittaker-Shannon-KotelnikovKramer (xem [27]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi là định lý lấy mẫu Shannon. Công thức lấy mẫu Shannon có hai phiên bản là phiên bản rời rạc và phiên bản liên tục. Phiên bản rời rạc cho tín hiệu f (t) có dải tần bị chặn trên miền ζ là +∞ f (t) = ∑ k =−∞  f kπ ζ  sin(ζt − kπ ) . ζt − kπ Định lý lấy mẫu Shannon chỉ áp dụng cho các tín hiệu có dải tần bị chặn, do vậy việc mở rộng định lý này cho các tín hiệu không có dải tần bị chặn là rất cần thiết. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết các biến đổi tích phân định lý lấy mẫu Shannon ngày nay đã được mở rộng và cải tiến. Tiêu biểu là định lý lấy mẫu Shannon cho các tín hiệu có dải tần bị chặn trong miền Fourier phân thứ (xem [35,55,65,67]) và định lý lấy mẫu Shannon cho tín hiệu 10 có dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính (xem [47, 48, 64, 68]). Một biến đổi tích phân có liên quan chặt chẽ với biến đổi Fourier là biến đổi Hartley. Biến đổi Hartley được đề xuất bởi Ralph V. L. Hartley vào năm 1942 (xem [25]). Phiên bản rời rạc của biến đổi này là biến đổi Hartley rời rạc, được giới thiệu bởi Ronald N. Bracewell vào năm 1983 (xem [13]). Biến đổi Hartley có nhiều ứng dụng liên quan đến xử lý tín hiệu thực, có nhiều ưu thế hơn về mặt tính toán số so với biến đổi Fourier. Trong thực tế, biến đổi Hartley là rất hữu dụng trong các lĩnh vực như truyền thông, xử lý tín hiệu, khôi phục và xử lý ảnh....Việc mở rộng biến đổi Hartley là biến đổi dạng Hartley và biến đổi dạng Hartley chính tắc sẽ tạo ra những ứng dụng tiềm năng trong thực tế với việc kết hợp giữa những ưu điểm của biến đổi Hartley và các biến đổi chính tắc tuyến tính. Những ứng dụng ban đầu của các biến đổi này có thể tìm thấy trong các tài liệu [23] và [29]. Từ những lý do đó, luận án đã tập trung khai thác các tính chất toán tử cơ bản của biến đổi dạng Hartley chính tắc. Việc xây dựng các phép chập cho các biến đổi này sẽ bước đầu mở ra những ứng dụng của phép chập trong thực tế, đặc biệt là trong xử lý ảnh. Ngoài ra, việc chứng minh các nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi này cũng sẽ tạo ra những ứng dụng tiềm năng trong cơ học lượng tử. Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép chập liên kết với Biến đổi chính tắc tuyến tình bù và Biến đổi dạng Hartley chính tắc". 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu những tính chất toán tử của biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Đáng chú ý là hai trường hợp đặc biệt của biến đổi dạng Hartley là biến đổi Hartley phân thứ và biến đổi Hartley chính tắc mới được quan tâm nghiên cứu những năm gần đây. Các kết quả nghiên cứu ban đầu về các phép biến đổi còn ít chưa tương xứng với tiềm năng ứng dụng trong thực tế. Việc mở rộng các phép biến đổi này là CHTT hy vọng sẽ tìm được các kết quả mới và thú vị có tiềm năng ứng dụng trong thực tế. Xây dựng các phép chập liên kết với các biến đổi chính tắc tuyến tình bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng như chứng minh các tính chất cơ bản của chúng. Ứng dụng toán tử và phép chập vào giải quyết 11 các bài toán giải phương trình tích phân dạng chập, các ứng dụng trong xử lý tín hiệu như chứng minh định lý lấy mẫu, thiết kế các lọc. 3. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng một số khái niệm và phương pháp của Giải tích, Giải tích hàm, lý thuyết biến đổi tích phân, xử lý tín hiệu...để thu được các kết quả mới. 4. Cấu trúc luận án và các kết quả Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và phụ lục: Luận án nghiên cứu và đề xuất một số cách xây dựng các lọc như lọc nhân, lọc Gauss và lọc kép từ những phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù. Các lọc này có ưu điểm là có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn độ phức tạp tính toán của các lọc đã biết và có thể lọc bỏ được các nhiễu có dạng chirp. Ngoài ra, luận án cũng trình bày cách thu được định lý lấy mẫu dạng Shannon cho các tín hiệu có dải tần bị chặn từ các phép chập. Các nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho các biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng sẽ được đưa ra. Các nguyên lý bất định mới này là tổng quát của các kết quả có nhiều ứng dụng trong cơ học lượng tử như nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính, nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi Hartley. Với việc đưa vào các hàm trọng có dạng chirp, dạng Gauss, dạng Hermite, luận án xây dựng các phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và chứng minh tính chất cơ bản của chúng như đẳng thức nhân tử hóa và bất đẳng thức dạng Young. Các ứng dụng quen thuộc của phép chập là giải phương trình tích phân cũng sẽ được trình bày. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia thành bốn chương. Kết quả chính tập chung trong các chương 2, 3, 4. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử dụng trong luận án. Cụ thể, chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản là biến đổi chính tắc tuyến tính bù, biến đổi dạng Hartley chính tắc và các trường hợp đặc biệt của chúng. Các định nghĩa phép chập liên kết với biến đổi Fourier, biến đổi chính tắc tuyến tính bù, hàm suy rộng Dirac, phân phối Wigner và ứng dụng của biến đổi Fourier trong xử lý tín hiệu cũng sẽ được trình bày chi tiết. 12 Chương 2 đề cập tới các tính chất toán tử của biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc. Các tính chất này bao gồm: bổ đề dạng Riemann-Lebesgue, định lý ngược, tính duy nhất, định lý dạng Plancherel, đẳng thức dạng Parseval. Ngoài ra định lý về mối quan hệ gữa hệ hàm Hermite và biến đổi chính tắc tuyến tính bù cũng sẽ được chứng minh. Tiếp theo, luận án trình bày các nguyên lý bất định dạng Heisenberg. Nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi chính tắc tuyến tính bù được suy ra từ nguyên lý bất định Heisenberg cho biến đổi Fourier. Cuối cùng, hai nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho biến đổi dạng Hartley chính tắc cũng được chứng minh chi tiết. Chương 3 xây dựng các phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù theo thứ tự là: ba phép chập với hàm trọng dạng Hermite, một phép chập với hàm trọng dạng chirp, một phép chập với hàm trọng dạng Gauss. Các đẳng thức nhân tử hóa của các phép chập này cũng được chứng minh đồng thời. Trong phần tiếp theo, phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến đổi dạng Hartley và đẳng thức nhân tử hóa của nó cũng sẽ được giới thiệu. Các tính chất cơ bản của phép chập như giao hoán, kết hợp, phân phối, bất đẳng thức dạng Young cũng sẽ được chứng minh và đánh giá chi tiết. Cuối cùng, luận án trình bày ứng dụng giải các phương trình tích phân dạng chập. Ví dụ minh họa cho ứng dụng này cũng sẽ được đưa ra. Chương 4 đề xuất những ứng dụng của phép chập trong xử lý tín hiệu. Trước hết, luận án trình bày cách thu được định lý lấy mẫu cho các tín hiệu có dải tần bị chặn trong miền chính tắc tuyến tính bù từ các phép chập mới. Tiếp theo, luận án đề xuất các cách thiết kế lọc dựa trên biến đổi tuyến tính chính tắc bù và các phép chập của hai tín hiệu liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù. Các lọc mới được nghiên cứu bao gồm: lọc nhân, lọc Gauss, lọc kép, chúng đều có độ phức tạp tính toán nhỏ hơn so với độ phức tạp tính toán của các lọc đã biết và có thể ứng dụng để loại bỏ các nhiễu mà lọc thông thường không loại bỏ được. Luận án cũng phân tích chi tiết các cách thiết kế lọc và đưa ra các ví dụ minh họa. Nội dung của luận án được viết dựa trên các bài báo 1 - 4 (Danh mục các 13 công trình khoa học có liên quan đến luận án, trang 120) và cũng được báo cáo tại: 1. Seminar của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng, Khoa Toán Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. 2. Seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội. 3. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018. 14 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính bù Biến đổi chính tắc tuyến tính bù (The offset linear canonical transform) được giới thiệu bởi Abe và Sheridan năm 1994 khi nghiên cứu ảnh hưởng của biến đổi Fourier phân thứ, hàm sóng và sự chuyển đổi ống kính trong quang học (xem [8]). Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là OLCT. Định nghĩa 1.1 ([8, 64]). Với bộ tham số thực A = ( a, b, c, d, u0 , ω0 ) thỏa mãn ad − bc = 1, biến đổi chính tắc tuyến tính bù của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R), được định nghĩa bởi ( R K A (u, t) f (t) dt, b 6= 0 √R icd O A { f (t)}(u) := 2 d e 2 (u−u0 ) +iω0 u f (d (u − u0 )), b = 0. Trong đó, nhân của biến đổi là K A (u, t) := K A e i  (1.1) d 2 1 a 2 (bω0 −du0 )u + u0 t 2b u − b tu + 2b t + b b  idu20 2b e và hằng số K A := √ . 2πbi OLCT là tổng quát của các biến đổi đã biết như biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi chính tắc tuyến tính, biến đổi Fresnel. Bảng sau trình bày cách thu được các biến đổi này từ OLCT bằng cách chọn bộ tham số khác nhau. Bảng 1. Một vài trường hợp đặc biệt của OLCT (xem [64], Mục 2). Bộ tham số thực A = ( a, b, c, d, u0 , ω0 ) Biến đổi A = ( a, b, c, d, 0, 0) Chính tắc tuyến tính (LCT) A = (cos θ, sin θ, − sin θ, cos θ, 0, 0) Fourier phân thứ (FrFT) A = (0, 1, −1, 0, 0, 0) Fourier (FT) A = (0, −1, 1, 0, 0, 0) Fourier ngược (IFT) A = (1, b, 0, 1, 0, 0) Fresnel (FRST) 15 Luận án luôn giả thiết b > 0. Khi đó, công thức (1.1) có thể viết ở dạng O A { f (t)}(u) = K A e i  d 2 (bω0 −du0 ) u 2b u + b Z R iut fˆ(t)e− b dt. (1.2) Sau đây, luận án trình bày chi tiết định nghĩa ba trường hợp đặc biệt của OLCT là Biến đổi Fourier phân thứ, Biến đổi chính tắc tuyến tính và Biến đổi Fourier. Đây là các trường hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nhận dạng mẫu, mạng nơ ron chập, lý thuyết radar, thủy phân và biến đổi wavelet. Để thuận tiện, chúng tôi sử
d b dụng ký hiệu Aλ := aλ, , cλ, , 0, 0 , trong đó các số thực a, b, c, d, λ thỏa λ λ mãn ad − bc = 1, λ 6= 0. Với bất kỳ góc thực θ, biến đổi Fourier phân thứ (FrFT) (xem [35]) có thể được định nghĩa thông qua nhân r 1 − i cot θ i( cot θ u2 − ut + cot θ t2 ) 2 sin θ Kθ (u, t) := e 2 , 2π sin θ 6= 0. Khi đó biến đổi Fourier phân thứ của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) là Fθ { f (t)}(u) := Z Kθ (t, u) f (t) dt. R (1.3) Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) (xem [33]) là một lớp các biến đổi tích phân phụ thuộc vào bộ tham số thực A1 . Biến đổi chính tắc tuyến tính của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) với bộ tham số thực A1 = ( a, b, c, d, 0, 0) được định nghĩa là L A1 { f (t)}(u) := Z K A1 (u, t) f (t) dt, R (1.4) trong đó nhân của biến đổi K A1 (u, t) := √ 1 d 2πbi ei( 2b u 2 − ut + a t2 b 2b ), b 6= 0. Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả, biến đổi Fourier (FT) và biến đổi Fourier ngược (IFT) (xem [43, 54]) của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) được định nghĩa như sau Ψ FT { f (t)}(u) := 1 Ψ− FT { f ( t )}( u ) Z R 1 := 2π 16 e−itu f (t)dt, Z R eitu f (t)dt. (1.5) (1.6) Sau đây, luận án sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của FT. Các tính chất này có thể dễ dàng tìm thấy trong các tài liệu [43] và [54]. (i) Bổ đề Riemann-Lebesgue Nếu f (t) ∈ L1 (R) thì Ψ FT { f (t)}(u) ∈ C0 (R) và kΨ FT f k∞ ≤ k f k1 . (ii) Ψ FT là một ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S vào S (ánh xạ ngược 1 Ψ− FT cũng liên tục). (iii) Nếu f (t), Ψ FT { f (t)}(u) ∈ L1 (R) thì 1 f (t) = 2π Z R eitu Ψ FT { f (t)}(u)du, với hầu khắp t ∈ R. e FT : L2 (R) → L2 (R) thỏa mãn (vi) Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính Ψ e FT f = Ψ FT f với mọi f ∈ S . Ψ (v) Đẳng thức Parseval Với mọi f , g ∈ L2 (R), ta có đẳng thức sau hΨ FT f , Ψ FT gi = 2π h f , gi. Đặc biệt khi f = g, ta có kΨ FT f k2 = 1.2 √ 2π k f k2 . (1.7) Biến đổi dạng Hartley chính tắc Định nghĩa 1.2. Với số thực h bất kỳ, biến đổi dạng Hartley chính tắc (The Canonical Hartley-type transform) của tín hiệu f (t) ∈ L1 (R) với bộ tham số thực A1 = ( a, b, c, d, 0, 0) được định nghĩa bởi Lh { f (t)} (u) := Z R f (t)KhA1 (u, t)dt. (1.8) Trong đó, nhân của biến đổi d KhA1 (u, t) 2 a 2 ei( 2b uh + 2b th ) √ := cas 2πbi với uh = u + h, th = t + h. 17  u h t h − h2 b  , Để ngắn gọn, chúng tôi gọi tắt biến đổi này là CHTT. Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của CHTT: (i) Nếu h = 0 thì L0 là biến đổi Hartley chính tắc (xem [23]).   id 2 Z ia t2 ut e 2b u L0 { f (t)} (u) = √ f (t)e 2b cas dt. b 2πbi R Đặc biệt, khi A1 = (cos θ, sin θ, − sin θ, cos θ, 0, 0) thì CHTT là biến đổi Hartley phân thứ (xem [29]). (ii) Trường hợp a = d = 0, chúng tôi gọi biến đổi này là biến đổi dạng Hartley và sử dụng ký hiệu sau 1 Hh { f (t)} (u) := √ 2π  Z R f (t) cas  u h t h − h2 dt. b (1.9) (iii) Nếu a = d = h = 0, b = 1 thì H0 là biến đổi Hartley cổ điển. 1.3 Phép chập liên kết với biến đổi tích phân 1.3.1 Phép chập liên kết với biến đổi Fourier Định nghĩa 1.3 ([43, 54]). Với f (t), g(t) ∈ L1 (R), phép chập của hai tín hiệu f (t), g(t) liên kết với biến đổi Fourier được định nghĩa như sau ( f ∗ g)(t) := Z R f (τ ) g(t − τ )dτ. (1.10) Sau đây là một số tính chất của phép chập (1.10): (i) Đẳng thức nhân tử hóa (xem [12]) Ψ FT {( f ∗ g)(t)}(u) = Ψ FT { f (t)}(u) · Ψ FT { g(t)}(u). (1.11) (ii) Với mọi số thực k 6= 0, ta có ( f ∗ g ) ( k t ) = k f ( k t ) ∗ g ( k t ). (iii) Bất đẳng thức Young (xem [11]) Nếu f (t) ∈ L p (R), g(t) ∈ Lq (R) và (1.12) 1 1 1 + = + 1, ( p, q, r ≥ 1) thì bất p q r đẳng thức sau thỏa mãn k f ∗ g kr ≤ k f k p · k g k q . 18 (1.13) (iv) Với mọi số thực k > 0, đẳng thức sau 1 √ 2π Z 1 2 2 1 e±iut e−kt dt = √ e− 4k u , R 2k (1.14) đúng với mọi u ∈ R (xem [43, 54]). 1.3.2 Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù Mục này trình bày một vài kết quả đã thu được về phép chập liên kết với OLCT và LCT. 1. Năm 2016 Zhi, Wei và Zhang (xem [69]) giới thiệu một phép chập liên kết với OLCT và được định nghĩa như sau ( f Θg)(t) := K A Z R f (τ ) g(tθτ )dτ, với 1 u0 ia 2 2 1 √ g(tθτ ) = √ e 2b (t −τ )+ b (t−τ ) 2πbi −2πbi Z R O A { g(t)}(u)e− i (t−τ )u b du. Phép chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau O A {( f Θg)(t)} (u) = O A { f (t)}(u) · O A { g(t)}(u). 2. Năm 2012 Shi và các cộng sự (xem [52]) đã đưa ra định nghĩa phép chập tổng quát liên kết với LCT với ba bộ tham số thực B1k = ( ak , bk , ck , dk , 0, 0), (k ∈ {1, 2, 3}). Phép chập này được định nghĩa bởi: Z  1  B ( f } g)(t) := Tτ 1 f (t) · g(τ ) · ρ a1 ,a2 ,a3 (t, τ )dτ,  với B1 Tτ 1 f (1.15) R B11 ,B12 ,B13 ia  ( t ) = f ( t − τ )e − b 1 τ (t− τ2 ) 1 ia và ρ a1 ,a2 ,a3 (t, τ ) = e a a − b 2 τ 2 +i ( 2b1 − 2b3 )t2 2 1 3 Đẳng thức nhân tử hóa có dạng ( ) L B3 1 (f } B11 ,B12 ,B13 g)(t) (u) = ed1 ,d2 ,d3 (u) · LB1 { f (t)} 1 19     b1 b2 u · LB2 { g(t)} u , 1 b3 b3 .