Tài liệu Ôn thi tốt nghiệp thpt đại số 11 lượng giác

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ĐẠI SỐ 11 LƯỢNG GIÁC y (0, 1) ³ ³ − − ³ − 12 , p ´ p ´ 3 2 ³ p 2 2 2 , 2 3π 4 120◦ 5π 6 p ´ 2 2 , 2 2 ³p π 2 2π 3 ´ p 3 1 , 2 2 90 π 3 π 60◦ − p ´ p 2 2 , − 2 2 ³ − 21 , − 330◦ 240◦ 5π 4 ◦ 11π 6 300◦ 3π 2 p ´ 3 2 5π 3 2018 3 1 2 ,−2 ³p p ´ 2 2 , − 2 2 ³ (0, −1) ³p 7π 4 270 4π 3 (1, 0) 2π 360 0◦ ◦ 7π 6 ´ 30◦ 210◦ ³ 3 1 2 ,2 π 6 180◦ ³ p ´ − 23 , − 12 ³p π 4 ◦ 150◦ (−1, 0) p ´ 3 1 , 2 2 p ´ 3 1 , − 2 2 ´ x Chữ kí (ˆ .ˆ ) Tên............................................... u v a B 01ds – LATEX– 201803 LƯỢNG GIÁC Copyright © 2018 by Nguyễn Hồng Điệp Nguyễn Hồng Điệp Phần I Lý thuyết 1 Công thức lượng giác 1.1 Công thức lượng giác cơ bản • sin2 x + cos2 x = 1 • tan x. cot x = 1 • tan x = sin x cos x • 1 + tan 2 x = • cot x = cos x sin x • 1 + cot 2 x = 1.2 1 cos2 x 1 sin2 x Mất dấu trừ • − cos( x) = cos(π − x) • − tan x = − tan(− x) • − sin x = sin(− x) • − cot x = cot(− x) 1.3 Đổi chéo • cos x = sin • sin x = cos 1.4 ³π 2 ³π 2 ´ −x ´ • cot x = tan • tan x = cot Hơn kém nhau • − sin x = cos • − cot x = tan 2 −x ³π 2 ³π 2 +x 2 ³π 2 −x ´ −x ´ π 2 ´ +x ³π • − tan x = cot ´ ³π 2 +x ³ • − cos x = sin x − ´ π´ 2 Công thức cộng • sin( x + y) = sin x cos y + sin y cos x • tan( x + y) = tan x + tan y 1 − tan x tan y • tan( x − y) = tan x − tan y 1 + tan x tan y • sin( x − y) = sin x cos y − sin y cos x • cos( x + y) = cos x cos y − sin x sin y • cos( x − y) = cos x cos y + sin x sin y 2.1 Công thức nhân đôi 2 tan x • sin 2 x = 2 sin x cos x • tan 2 x = • cos 2 x = cos2 x − sin2 x = 2cos2 x − 1 = 1 − 2sin2 x 1 + cos 2 x 2 1 − cos 2 x • sin2 x = 2 • cos2 x = 3 1 − tan2 x Nguyễn Hồng Điệp 2.2 Công thức nhân ba • sin 3 x = 3 sin x − 4sin3 x • cos3 x = 3 cos x + cos 3 x 4 • sin3 x = 3 sin x − sin 3 x 4 • cos 3 x = 4cos3 x − 3 cos x • tan 3 x = 2.3 3 tan x − tan3 x 1 − 3 tan2 x Tích thành tổng • cos x. cos y = 1 [cos( x − y) + cos( x + y)] 2 • sin x. sin y = 1 [cos( x − y) − cos( x + y)] 2 2.4 • sin x. cos y = Tổng thành tích x+ y x− y cos 2 2 x− y x+ y sin • cos x − cos y = −2 sin 2 2 x+ y x− y • sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 x− y x+ y sin • sin x − sin y = 2 cos 2 2 • cos x + cos y = 2 cos • tan x + tan y = sin( x + y) cos x cos y • tan x − tan y = sin( x − y) cos x cos y • cot x + cot y = 3 1 [sin( x − y) + sin( x + y)] 2 sin( x − y) sin x sin y • cot x − cot y = ³ p π´ 2 sin x + ³ 4π´ p = 2 cos x − 4 • sin x + cos x = • sin x − cos x = ³ p π´ 2 sin x − ³4 π ´ p = − 2 cos x + 4 • 1 + sin 2 x = (sin x + cos x)2 sin( x + y) sin x sin y • 1 − sin 2 x = (sin x − cos x)2 Phương trình lượng giác 3.1 Phương trình cơ bản · x = u + k 2π x = π − u + k2π · x = u + k2π x = − u + k 2π • sin x = sin u ⇔ • cos x = cos u ⇔ 3.2 • tan = tan u ⇔ x = u + kπ • cot = cot u ⇔ x = u + kπ Công thức nghiệm thu gọn • sin x = 1 ⇔ x = π 2 • cos x = 1 ⇔ x = k2π + k 2π π • sin x = −1 ⇔ x = − + k2π 2 • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π • sin x = 0 ⇔ x = kπ • cos x = 0 ⇔ x = 4 π 2 + kπ Nguyễn Hồng Điệp 4 Tập xác định • Căn thức p • Phân thức f ( x) xác định ⇔ f ( x) ≥ 0 1 xác định ⇔ f ( x) , 0 f ( x) • Căn thức ở mẫu: p 1 f ( x) xác định ⇔ f ( x) > 0 • y = sin f ( x) xác định ⇔ f ( x) xác định. • y = cos f ( x) xác định ⇔ f ( x) xác định. • y = tan x xác định ⇔ cos x , 0 ⇔ x , π 2 + kπ • y = cot x xác định ⇔ sin x , 0 ⇔ x , kπ. 5 GTLN, GTNN của hàm số lượng giác • −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 • 0 ≤ cos2 x ≤ 1, 0 ≤ sin2 x ≤ 1 • 0 ≤ | cos x| ≤ 1, 0 ≤ | sin x| ≤ 1 6 • −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − cos x ≤ 1 • −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − sin x ≤ 1 Phương trình lượng giác cơ bản 6.1 Phương trình sin ¬ sin x = sin α ⇔ · x = α + k 2π ,k ∈ Z x = π − α + k 2π ­ sin x = m • Nếu | m| > 1 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu | m ) (| ≤ 1 p p 1 2 3 ,± , ±1 thì m = sin α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng ◦ m ∈ 0, ± , ± 2 2 2 giác. ( ) p p 1 2 3 ◦ m ∉ 0, ± , ± ,± , ±1 thì 2 2 2 · sin x = m ⇔ 6.2 x = arcsin m + k2π ,k ∈ Z x = π − arcsin m + k2π Phương trình cos ¬ cos x = cos α ⇔ · x = α + k 2π ,k ∈ Z x = −α + k2π ­ sin x = m • Nếu | m| > 1 thì phương trình vô nghiệm. 5 Nguyễn Hồng Điệp • Nếu | m (| ≤ 1 ) p p 1 2 3 ◦ m ∈ 0, ± , ± ,± , ±1 thì m = sin α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng 2 2 2 giác. ( ) p p 1 2 3 ◦ m ∉ 0, ± , ± ,± , ±1 thì 2 2 2 · cos x = m ⇔ 6.3 x = arcsin m + k2π ,k ∈ Z x = − arcsin m + k2π Phương trình tan ¬ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z ­ tan x = m ) p p 3 , ±1, ± 3 thì m = tan α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng • Nếu m ∈ 0, ± 3 ( giác. ) p p 3 • Nếu m ∉ 0, ± , ±1, ± 3 thì 3 ( tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z 6.4 Phương trình cotan ¬ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z ­ cot x = m ) p p 3 • Nếu m ∈ 0, ± , ±1, ± 3 thì m = cot α với α là các góc đặc biệt trong bảng lượng 3 ( giác. ) p p 3 • Nếu m ∉ 0, ± , ±1, ± 3 thì 3 ( cot x = m ⇔ x = arctan m + kπ, k ∈ Z 7 Phương trình bậc 2 đối với hàm số lượng giác • asin2 x + b sin x + c = 0, đặt t = sin x, điều kiện | t| ≤ 1 • acos2 x + b cos x + c = 0, đặt t = cos x, điều kiện | t| ≤ 1 • atan2 x + b tan x + c = 0, đặt t = tan x, điều kiện x , π 2 + kπ ( k ∈ Z ) • acot2 x + b cot x + c = 0, đặt t = cot x, điều kiện x , kπ ( k ∈ Z ) • Nếu đặt : t = sin2 x hoặc t = |sin x| , thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1. 6 Nguyễn Hồng Điệp 8 Phương trình bậc nhất theo sin và cos Dạng a sin x + b cos x = c (1), ¬ điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 . ­ Chia hai vế phương trình (1) cho p 9 a a2 + b 2 p a2 + b2 ta được sin x + p b a2 + b 2 Phương trình đối xứng • Dạng: a.(sin x ± cos x) + b. sin x. cos x + c = 0 ³ p p π´ • Đặt: t = cos x ± sin x = 2. cos x ∓ , | t| ≤ 2 4 1 2 ⇒ t = 1 ± 2 sin x. cos x ⇒ sin x. cos x = ± ( t2 − 1). 2 • Lưu ý: ³ ³ p π´ p π´ 2 cos x − = 2 sin x + 4 ³ ³ 4π´ p p π´ = − 2 sin x − ◦ cos x − sin x = 2 cos x + 4 4 ◦ cos x + sin x = 7 cos x = p c a2 + b 2 Nguyễn Hồng Điệp Phần II Trắc nghiệm hàm số lượng giác 1 Tập xác định 1.1 Hàm sin và côsin Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin 4 x. A D = R. B D = [−1;½1]. ¾ kπ ,k ∈ Z . D D = R\ 4 C D = [−4; 4]. Câu 2. Tập xác định của hàm số y = cos A x > 0. B x ≥ 0. p x là C R. D x , 0. Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định là R? A y = sin p x. 2 x B y = cos . C y = sin Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin A D = R. B D = R \ {0}. Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin A D = R. B D = R \ {4}. p 1 x2 + 1 . D y = cot 2 x. x. C D = [0; +∞). 1 x2 − 4 D D = (0; +∞). . C D = R \ {−4; 4}. D D = R \ {−2; 2}. r Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = cos A D = R. B D = R \ {−1; 1}. 1 . 1 − x2 C D = [−1; 1]. D D = (−1; 1). Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = cos x. nπ o A D = R \ {kπ, k ∈ Z}. B D = R\ + k2π, k ∈ Z . 2 C D = R. Câu 8. Tập xác định của hàm số y = sin A D = R\ {−1} . C D = (−∞; −1) ∪ (0; +∞). D D = R \ {k2π, k ∈ Z}. x là : x+1 B D = (−1; +∞) . D D = R. p Câu 9. Tập xác định của hàm số y = sin − x là : A D = [0; +∞). B D = (−∞; 0). C D = R. D D = (−∞; 0]. p Câu 10. Tập xác định của hàm số y = cos 1 − x2 là : A D = (−1; 1). B D = [−1; 1] . C D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞). D D = (−∞; −1] ∪ [1; +∞). r Câu 11. Tập xác định của hàm số y = cos A D = [−1; 0). C D = (−∞; −1] ∪ (0; +∞). x+1 là : x B D = R\ {0}. D D = (0; +∞). 8 Nguyễn Hồng Điệp 1.2 Hàm tan và côtan Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan x. nπ o A D = R. B D = R\ + k π, k ∈ Z . C D = R\ nπ 2 nπ 2 o D D= + k2π, k ∈ Z . 2 o + k2π, k ∈ Z . Câu 13. Hàm số y = tan x xácµ định trên khoảng nào dưới đây? ¶ A (0; π). B − 3π ;0 . 2 C ³ −π π ´ ; . 2 2 D (−π; 0). Câu 14. Tìmn tập xác định o D của hàm số y = tan 2 x. nπ o π A D = R\ + kπ, k ∈ Z . B D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 n2 π o kπ D D = R\ + , k ∈ Z . 4 2 ª C D = R\ kπ, k ∈ Z . © Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot x. o nπ A D = R. B D = R\ + k π, k ∈ Z . 2 D D = R \ {k2π, k ∈ Z}. C D = R \ {kπ, k ∈ Z}. Câu 16. Hàm số y = cot x xác định trên khoảng nào dưới đây? ³ −π π ´ ; . B 2 2 A (0; π). µ C (−π; π). D ¶ 3π − ;0 . 2 x 2 Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan . A D = R \ {n2}. C D = R\ π 2 B D = R \ {π + k2π, k ∈ Z}. o + k π, k ∈ Z . D D = R \ {k2π, k ∈ Z}. ³ Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan x + o n π A D = R \ − + k π, k ∈ Z . nπ6 o C D = R\ + k π, k ∈ Z . 2 1.3 π´ 6 . ¾ 2π B D = R\ + k π, k ∈ Z . n π3 o D D = R\ + k π, k ∈ Z . 3 ½ Hàm phân thức lượng giác Câu 19. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 . sin x A D = R. B D = R\ Câu 20. Tập xác định của hàm số y = π 2 + k π. 1 − 3 cos x là sin x B x , k 2π . Câu 21. Tập xác định của hàm số y = A x , k π. o + k π, k ∈ Z . 2 D D = R \ {k2π, k ∈ Z}. C D = R \ {kπ, k ∈ Z}. A x, nπ C x, 1 là sin x − cos x B x , k 2π . C x, p 2 Câu 22. Tập xác định của hàm số y = là: sin x A R. B R\ {0}. 9 kπ . 2 π 2 + k π. C R\ {kπ}. D x , k π. D x, D R\ π 4 + k π. nπ 2 o + kπ . Nguyễn Hồng Điệp 2 sin x là: 1 + cos x C R. B R\ {π + k2π}. Câu 23. Tập xác định của hàm số y = A R\ nπ 2 o + kπ . 1 − sin x là: cos nπ o x−1 B R\ + kπ . C R\ {kπ}. 2 D R\ {−1}. Câu 24. Tập xác định của hàm số y = A R. 1.4 Hàm căn thức Câu 25. Tìm tập xác định D của hàm số y = A D=R n. o π C D= 2 p cos x + 1. B D = R \ {−π + k2π, k ∈ Z}. + k π, k ∈ Z . Câu 26. Tập xác định của hàm số y = A D = ∅. B D = R. D D = {π + k2π, k ∈ Z}. p 1 − sin x là: C D = [−1; 1]. p Câu 27. Tập xác định của hàm số y = sin x − 2 là: A R. 1.5 D R\ {k2π}. C R\ {1}. B ∅. D D = (−1; 1). D R\ nπ 2 o + kπ . Các dạng kết hợp Câu 28. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 có tập xác định D = R. sin x C Hàm số y = cot x có tập xác định D = R. B Hàm số y = tan x có tập xác định D = R. A Hàm số y = D Hàm số y = sin x có tập xác định D = R. Câu 29. ½Tập¾xác định của hàm½số y¾= tan 2 x + cot 2 x là: kπ . 4 A R\ B R\ kπ . 2 Câu 30. Tập xác định của hàm số y = A x , k2π. B x= π 3 π 2 + k π. tan x là: cos x − 1 + k 2π . Câu 31. Tập xác định của hàm số y = A x= C R\ {kπ}. s A R\ nπ 2 o + kπ . ½ 1 + cos x sin2 x B R\ {kπ} .  π   x , + kπ 2 . D π   x , + kπ 3 C x = k π. D x,k . π 2 là: C R. D R\ {π + k2π}. 1 . cos x(sin 2 x + 1) n π o n o π π π A D = R\ − + kπ; + kπ, k ∈ Z . B D = − + k π; + k π , k ∈ Z . 4 2 4 2 n π o nπ o C D = R\ − + k2π, k ∈ Z . D D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 2 1 Câu 34. Tìm tập xác định D của hàm số y = . (cos x − 1). sin x nπ o A D = R\ + k2π, k ∈ Z . B D = R\ {kπ, k ∈ Z}. 2 C D = R\ {k2π, k ∈ Z}. D D = {kπ, k ∈ Z}. Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số y = 10 ¾ kπ + kπ . 4   x , π + kπ 2 . C  x , k 2π cot x là: cos x B x = k 2π . Câu 32. Tập xác định của hàm số y = D R\ Nguyễn Hồng Điệp ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM 1. 11. 21. 31. A C D D 2. 12. 22. 32. B B D B 3. 13. 23. 33. C C B A 2 Tính chẵn lẻ 4. 14. 24. 34. C D C B 5. D 15. C 25. A 6. D 16. A 26. B 7. C 17. B 27. B 8. A 18. D 28. D 9. D 19. C 29. A 10. B 20. D 30. C Câu 35. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? C y = cot 3 x. A y = sin 2 x. B y = cos 3 x. D y = tan 2 x. Câu 36. Hàm số lượng giác nào dưới đây là hàm số chẵn? A y = sin 2 x. B y = cos 2 x. C y = 2 sin x + 1. D y = sin x + cos x. Câu 37. Hàm số lượng giác nào dưới đây là hàm số lẻ? A y = sin2 x. B y = sin x. C y = cos 3 x. D y = x sin x. Câu 38. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là đúng? A Hàm số y = sin 3 x là hàm số chẵn. B Hàm số y = cos(−3 x) là hàm số chẵn. C Hàm số y = tan 3 x là hàm số chẵn. D Hàm số y = cot 3 x là hàm số chẵn. Câu 39. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là sai? A Hàm số y = sin 2 x là hàm số lẻ. B Hàm số y = tan 2 x là hàm số lẻ. C Hàm số y = cot 2 x là hàm số lẻ. D Hàm số y = cos 2 x là hàm số lẻ. Câu 40. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A y = |sin x|. B y = x2 sin x. C y= x . cos x D y = x + sin x. C y= sin x + 1 . cos x D y = sin x + cos x. Câu 41. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ? A y = | tan x|. B y = cot 3 x. ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM 35. B 3 36. B 37. B 38. B 39. D 40. A 41. B GTLN-GTNN 3.1 Bậc nhất đối với sin và côsin ³ Câu 42. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 7 − 2 cos x + A −2 và 7. B −2 và 2. Câu 43. Tìm tập · ¸ giá trị T của hàm số y = sin 2 x. 1 1 . 2 2 A T= − ; B T = [−2; 2]. π´ 4 lần lượt là: C 5 và 9. D 4 và 7. C T = R. D T = [−1; 1]. Câu 44. Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là đúng? 1 có tập giá trị là [−1; 1]. cos x C Hàm số y = cot x có tập giá trị là [−1; 1]. A Hàm số y = B Hàm số y = tan x có tập giá trị là [−1; 1]. D Hàm số y = sin x có tập giá trị là [−1; 1]. 11 Nguyễn Hồng Điệp Câu 45. Hàm số y = cos x nhận giá trị âm với mọi x thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? ³ ³π ´ ³ π´ π ´ A − ;0 . B (0; π). C ;π . D 0; . 2 2 2 Câu 46. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 + 2 cos x. A M = 1. B M = 4. C M = 2. D M = 5. Câu 47. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 + 3 cos x. A M = 5 và m = 2. B M = 5 và m = 1. C M = 2 và m = −1. D M = 2 và m = 1. Câu 48. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 sin x − 3. A M = −1 và m = −5. B M = −1 và m = −3. C M = 5 và m = −1. D M = −5 và m = 5. Câu 49. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 − 2 sin 3 x là: A M = −1. B M = 5. C M = 3. ³ Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + A 3. π´ 4 D M = 1. bằng bao nhiêu? C 0. B −1. D −3. Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 2 − | cos x|. A M = 1. B M = 3. C M = 0. p Câu 52. Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos x + 2 − cos2 x là: 1 C max y = 2. A max y = 1. B max y = . 3 D M = 2. D max y = p 2. p Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là: p p p A 2 và 2. B 2 và 4. C 4 2 và 8. D 4 2 − 1 và 7. 3.2 Bậc 2 Câu 54. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2 x − 4 sin x − 5 là: C 0. A −20. B −8. D 9. Câu 55. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 − 2 cos x − cos2 x là: C 0. A 2. B 5. D 3. 8 Câu 56. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = sin x + cos8 x là: A 1 . 8 B 1 . 4 Câu 57. Tập giá trị của hàm số y = A T = [0; 1]. 3.3 C 1 2 · sin ¸ x 1 B T = 0; . 2 + 1 . 2 D 1. 1 là cos2 x C T = (−∞; 1]. D T = [4, +∞). Hàm nhất biến đối với sin và côsin Câu 58. Tập giá trị của hàm số y = cos x + sin x là: £ p p ¤ A − 2; 2 . B [−2; 2]. C R. D [−1; 1]. Câu 59. Tập giá trị của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x là: A T = [−3; 3]. B T = [−4; 4]. C T = (4; ∞]. D T = [−5; 5]. Câu 60. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x − cos x là: p p p p A 1 và −1. B 1 và 2. C − 2 và 2. D − 2 và 1. Câu 61. Giá trị lớn nhất của hàm số y = A 2. B −1. h π πi p 3 sin x + cos x trên đoạn − ; là: 3 6 p C 3. D 1. 12 Nguyễn Hồng Điệp 3.4 Phân thức Câu 62. Tập giá trị của hàm số y = A T = [−2; 1]. C T = (−∞, −2] ∪ [1, +∞). D T = R\ {1}. Câu 63. Tập giá trị của hàm số y = ¸ 2 A T= ;2 . 11 sin x + 2 cos x + 1 là: sin x + cos x + 2 B T = [−1; 1]. · cos x + 2 sin x + 3 là: 2 cos x − sin x + 4 B T = [−1; 1]. C T = [−7; 1]. Câu 64. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 2 1 2 A 2 và . 1 3 D T = R. 2 + cos x là: sin x + cos x − 2 B − và 2. C − và −3. D Một kết quả khác. sin x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại? sin x + cos x + 2 π A x= . B x = 0. 2 π π C x = + kπ, (k ∈ Z). D x = − + kπ, (k ∈ Z). 2 2 Câu 65. Hàm số y = 3.5 Hàm tan và côtan Câu 66. Tập giá trị của hàm số y = cot 2 x là: A R. B R\ {kπ}. C [−2; 2]. D Kết quả khác. Câu 67. Tập giá trị của hàm số y = tan x + cot x là: ¡ p p ¤ A T = R \ (−2; 2). B T = [−2; 2]. C T = − 2, 2 . D T = (−∞; −2]. Câu 68. Tập giá trị của hàm số y = tan 3 x + cot 3 x là: A [−2; 2]. B [−1; 1]. C [−π; π]. D R \ (−2; 2). Câu 69. Tập giá trị của hàm số½y = tan 2¾x là: A [−1; 1]. 3.6 B R\ π 4 + kπ . 2 C R. D [−2; 2]. Xét trên đoạn hπ πi Câu 70. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = cos x trên đoạn ; . 3 2 1 A M= . B M = 0. C M = 1. D M = −1. 2 · ¸ π 5π . Câu 71. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 − 2 sin x trên đoạn − ; 6 6 1 C m = 2. A m = −1. B m = 0. D m= . 2 h π πi Câu 72. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 3 − tan x trên đoạn − ; . 4 3 p A M = 0. B M = 2. C M = 3 − 3. D M = 4. · ¸ π 2π Câu 73. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = cot x trên đoạn ; . 4 3 p A m = 0. B m = −1. C m = 1. D m = − 3. 13 Nguyễn Hồng Điệp h π πi là: 2 4 Câu 74. Giá trị lớn nhất của hàm số y = tan x trên khoảng − ; A 0. B −1. C 1. D 2. h π πi Câu 75. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 3 trên đoaạn − ; là: 6 3 7 9 A 5. B 3. D . C . 2 2 ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM 42. 52. 62. 72. C C A D 43. 53. 63. 73. D D A D 44. 54. 64. 74. D B D C 45. 55. 65. 75. C A D B 46. D 56. D 66. A 47. B 57. D 67. A 14 48. A 58. A 68. D 49. B 59. D 69. C 50. D 60. C 70. A 51. D 61. C 71. A Nguyễn Hồng Điệp Phần III Trắc nghiệm phương trình lượng giác 1 Cơ bản Câu 76. Hỏi x = π 3 là nghiệm của phương trình nào sau đây? A 2 sin x = −1. Câu 77. Hỏi x = p B 2 sin x = 1. π 4 C 2 sin x = − 3. D 2 sin x = p 3. là nghiệm của phương trình nào sau đây? A sin x = 1. 1 2 C sin x. cos x = . B cos x = 1. Câu 78. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai π A sin x = −1 ⇔ x = − + k2π. B sin x = 0 ⇔ x = kπ. 2 C sin x = 0 ⇔ x = k2π. D sin x = 1 ⇔ x = ³ Câu 79. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x. cos x − π´ π 2 + k2π. = 0. ½ 4 ¾ 3π B S= + k π, k ∈ Z . ½4 ¾ 3π D S = k π; + k π, k ∈ Z . 4 A S = {kπ, k ∈ Z}. n π 4 D sin 2 x = 0. o C S = − + k π, k ∈ Z . ¶ 1 Câu 80. Hỏi x = arcsin − là nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 µ ¶ 1 1 1 1 A sin x = . B sin( x + 2π) = − . C sin x = arcsin − . D sin( x + π) = − . 3 3 3 3 µ Câu 81. Nghiệm của phương trình sin x = 1 là: π π A x = − + k 2π . B x = + k π. 2 2 C x = k π. D x= π 2 + k2π. Câu 82. Cho a là một số thực. Phương trình sin x = sin a tương đương với A x = a + k2π ∨ x = −a + k2π(k ∈ Z). B x = a + k2π ∨ x = π − a + k2π(k ∈ Z). C x = a + kπ (k ∈ Z). D x = −a + kπ (k ∈ Z). Câu 83. Phương trình sin x = −1 tương đương với π A cos x = 0. B x = − + kπ ( k ∈ Z). 2 π C x = − + k2π (k ∈ Z). D x = + k2π ∨ x = − + k2π ( k ∈ Z). 2 2 2 p 3 Câu 84. Tìm tập nghiệm S của phương trình sin 2 x = − . ½ ¾ ½2 ¾ π π 2π 4π + k 2π , k ∈ Z . + k 2π , k ∈ Z . A S = − + k 2π , B S = − + k2π, 3 3 ½ 6 ¾ ½ 3 ¾ π 5π π 5π C S= + k 2π , + k 2π , k ∈ Z . D S= + k 2π , + k 2π , k ∈ Z . 6 6 12 12 π π Câu 85. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos x = 1. A S = {k2π, k ∈ Z}. B S = {½kπ, k ∈ Z}.¾ C S= nπ 2 o + k π, k ∈ Z . D S= kπ ,k ∈ Z . 2 Câu 86. Nghiệm của phương trình cos x = −1là: A x = π + k π. π B x = − + k2π. C x = π + k 2π . 2 15 D x= 3π + k π. 2 Nguyễn Hồng Điệp 1 2 Câu 87. Nghiệm của phương trình cos x = − là: π 2π π + k 2π . D x = ± + kπ . 3 6 3 6 p 2 . Câu 88. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x = − ½ ½2 ¾ ¾ 3π 3π 3π 3π A S = − + k π; + k π, k ∈ Z . B S = − + k 2π ; + k 2π , k ∈ Z . 8 8 ¾ ¾ ½ 8 ½ 8 3π π 3π π + k π; + k π, k ∈ Z . D S= + k 2π ; + k 2π , k ∈ Z . C S= 8 8 8 8 1 Câu 89. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 3 x = . 3 ½ ¾ 1 1 1 1 A S = − arccos + k2π; arccos + k2π, k ∈ Z . 3 3 3 ½ 3 ¾ 1 k 2π 1 k2π B S = − arccos + ; arccos + ,k ∈ Z . 9 3 9 3 ½ ¾ 1 1 C S = − arccos + k2π; arccos + k2π, k ∈ Z . 9 9 ½ ¾ 1 1 k 2π 1 1 k 2π D S = − arccos + ; arccos + ,k ∈ Z . 3 3 3 3 3 3 p Câu 90. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x = 2. A S=R . ½ ¾ p p 1 1 B S = − arccos 2 + kπ; arccos 2 + kπ, k ∈ Z . 2 2 C S = ∅. n π o π D S = − + k2π; + k2π . 4 4 p 3 ◦ Câu 91. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos( x + 30 ) = − . 2 A S = {120◦ + k360◦ ; k360◦ , k ∈ Z}. B S = {120◦ + k360◦ ; −180◦ + k360◦ , k ∈ Z}. A x = ± + k 2π . π B x = ± + k2π. C x=± C S = {120◦ + k180◦ ; k180◦ , k ∈ Z}. D S = {120◦ + k180◦ ; −180◦ + k180◦ , k ∈ Z}. π Câu 92. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x = cos . n 3π o π B S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z . 6 n π6 o π + k2π; + k2π, k ∈ Z . D S= 6 3 1 Câu 93. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos x = cos . ½ ¾ ½2 ¾ 1 1 1 1 A S= + k2π; π − + k2π, k ∈ Z . B S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z . 2 2 2 ½ 2 ¾ n π o π π 2π + k2π; + k 2π , k ∈ Z . C S = − + k2π; + k2π, k ∈ Z . D S= 3 3 3 3 n π o π A S = − + k π; + k π, k ∈ Z . 6 nπ6 o π + k π ; + k π, k ∈ Z . C S= 6 3 Câu 94. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 3 x = cos 45◦ . A S = {15◦ + k120◦ ; 45◦ + k120◦ , k ∈ Z}. B S = {−15◦ + k120◦ ; 15◦ + k120◦ , k ∈ Z}. C S = {15◦ + k360◦ ; 45◦ + k360◦ , k ∈ Z}. D S = {−15◦ + k360◦ ; 15◦ + k360◦ , k ∈ Z}. 1 2 B S = {−45◦ + k180◦ ; 45◦ + k180◦ , k ∈ Z}. Câu 95. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos (2 x − 30◦ ) = − . A S = {−45◦ + k360◦ ; 75◦ + k360◦ , k ∈ Z}. C S = {−45◦ + k180◦ ; 75◦ + k180◦ , k ∈ Z}. D S = {−75◦ + k180◦ ; 75◦ + k180◦ , k ∈ Z}. 16 Nguyễn Hồng Điệp p 3 Câu 96. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos + 20◦ = − . 2 2 A S = {260◦ + k360◦ ; 20◦ + k360◦ , k ∈ Z}. B S = {260◦ + k360◦ ; −340◦ + k360◦ , k ∈ Z}. ³x C S = {260◦ + k720◦ ; 20◦ + k720◦ , k ∈ Z}. ´ D S = {260◦ + k720◦ ; −340◦ + k720◦ , k ∈ Z}. π´ 1 = . 4½ 2 ½ ¾ ¾ 7π 11π 7π π A S= + k π; + k π, k ∈ Z . B S= + k π; − + k π, k ∈ Z . 24 24 24 24 ½ ¾ n π o π 7π 7π C S = − + k π; + k π, k ∈ Z . D S = − + k2π; + k 2π , k ∈ Z . 24 24 24 24 ³ ³ π´ π´ Câu 98. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x + = cos x + . 3½ 4 ½ ¾ ¾ π 11π π π k2π A S = − + k2π; B S = − + k 2π ; − + + k2π, k ∈ Z . ,k ∈ Z . 36 36 3 ¾ ¾ ½ 12 ½ 12 5π 7π k 2π π π C S = − + k 2π ; + k2π, k ∈ Z . D S = − + k2π; − + ,k ∈ Z . 12 36 12 36 3 Câu 99. Phương trình cot x = 1 tương đương với π A cos x = 1. B x = + kπ, k ∈ Z. C tan x = 1. D x = kπ, k ∈ Z. 2 x Câu 100. Phương trình tan = tan x có họ nghiệm là 2 π C x = π + k2π, k ∈ Z. D x = + kπ, k ∈ Z. A x = k2π, k ∈ Z. B x = kπ, k ∈ Z. 2 Câu 101. Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là: π π π A x = + k π. B x = k π; x = + k . 2 4 2 π C x = k 2π . D x = + kπ; k = k2π.. 2 Câu 102. Nghiệm của phương trình cos 3 x = cos x là: π A x = k2π. B x = k 2π ; x = + k 2π . 2 π π C x=k . D x = k π ; x = + k 2π . 2 2 ³ Câu 97. Tìm tập nghiệm S của phương trình cos 2 x − ĐÁP ÁN CÂU TRẮC NGHIỆM 76. D 86. C 96. D 2 77. C 87. C 97. B 78. C 88. A 98. D 79. D 89. D 99. C 80. B 90. C 100. A 81. D 91. B 101. D 82. B 92. A 102. C 83. C 93. B Đưa về Cơ bản Câu 103. Tìm họ nghiệm của phương trình π A x = − + 2kπ, k ∈ Z. 6 C x = 2 kπ, k ∈ Z. ³ p π´ 3 cot x + − 1 = 0. 3 π B x = − + kπ, k ∈ Z. 6 D x = kπ, k ∈ Z. Câu 104. Phương phương trinh 1 + tan x = 0 có họ nghiệm là π π A x = + k π , k ∈ Z. B x = + k2π, k ∈ Z. 4 4 π C x = − + kπ, k ∈ Z. 4 4 Câu 105. Phương trình tan 2 x = 1 có họ nghiệm là kπ , k ∈ Z. 8 2 π C x = + k2π, k ∈ Z. 4 A x= π π D x = − + k2π, k ∈ Z. π + kπ, k ∈ Z. 4 π D x = + k2π, k ∈ Z. 4 B x= + 17 84. A 94. B 85. A 95. C Nguyễn Hồng Điệp Câu 106. Họ nghiệm của phương trình cot x + π A x = − + kπ, k ∈ Z. C x= π 3 p 3 = 0 là 3 + k2π, k ∈ Z. π B x = − + k π , k ∈ Z. 6 D x = + k π , k ∈ Z. 6 π Câu 107. Phương trình tan (2 x + 12◦ ) = 0 có họ nghiệm là A x = −6◦ + k180◦ , k ∈ Z. B x = −6◦ + k360◦ , k ∈ Z. C x = −12◦ + k90◦ , k ∈ Z. D x = −6◦ + k90◦ , k ∈ Z. ¶ µ p 3π = 0 là Câu 108. Họ nghiệm của phương trình 3 tan 3 x + 5 π π π π A x = + k , k ∈ Z. B x = − + k , k ∈ Z. 8 4 5 4 π π π π C x = − + k , k ∈ Z. D x = − + k , k ∈ Z. 5 2 5 3 Câu 109. Phương trình tan x = cot x có họ nghiệm là π π π A x = − + kπ, k ∈ Z. B x = + k , k ∈ Z. 4 4 2 π π π D x = + k , k ∈ Z. C x = + kπ, k ∈ Z. 4 4 4 p Câu 110. Nghiệm của phương trình 3 + 3 tan x = 0 là: π π π A x = + k π. B x = + k 2π . C x = − + k π. 3 2 6 p Câu 111. Nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0 là: π π π C x = − + k π. A x = + k 2π . B x = + k π. 3 6 6 ³ π´ Câu 112. Nghiệm của phương trình 2 sin 4 x − − 1 = 0 là: 3 π 7π π π π A x = +k ;x = B x = k2π; x = + k2π. +k . 8 2 24 2 2 π C x = kπ; x = π + k2π. D x = π + k2π; x = k . 2 Câu 113. Nghiệm của phương trình sin x. cos x = 0 là: π π A x = + k 2π . B x=k . C x = k 2π . 2 2 Câu 114. Nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2 x = 0 là: π π A x = k π. B x=k . C x=k . 2 8 Câu 115. Nghiệm của phương trình 2. sin x. cos x = 1 là: π A x = k2π. B x = k π. C x=k . 2 Câu 116. Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x là: π π π π A x = + k ; x = + k π. B x = k 2π ; x = + k 2π . 8 2 4 2 π π C x = k π ; x = + k π. D x = kπ ; x = k . 4 2 Câu 117. Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 0 là: π π A x = − + k π. B x = + k π. C x = k π. 4 6 D x= π 2 + k π. π D x = − + k π. 3 D x= π 6 + k2π. π D x=k . 4 D x= D x= π 4 π 4 + k π. + k π. Câu 118. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin 4 x + cos 5 x = 0 theo thứ tự là: A x=− π 18 ;x = π 6 . B x=− π 18 ;x = 2π . 9 C x=− π 18 ;x = Câu 119. Nghiệm của phương trình cos4 x − sin4 x = 0 là: π π π A x= +k . B x = + k π. C x = π + k 2π . 4 2 2 18 π 2 . D x=− π 18 D x = k π. ;x = π 3 . Nguyễn Hồng Điệp x 2 Câu 120. Giải phương trình lượng giác: 2 cos + 5π A x = ± + k2π. 3 . 3 B x=± 5π + k 2π . 6 p 3 = 0 có nghiệm là: C x=± 5π + k 4π . 6 D x=± 5π + k4π. 3 Bậc 2 Câu 121. Phương trình nào sau đây vô nghiệm A sin x + 3 = 0. B 2cos2 x − cos x − 1 = 0. C tan x + 3 = 0. D 3 sin x − 2 = 0. Câu 122. Phương trình lượng giác cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là: A x = k2π. B .. C x = 0. Vô nghiệm Câu 123. Phương trình sin2 x − 2 sin x = 0 có nghiệm là π A x = k2π. B x = k π. C x = + k π. 2 D x= D x= Câu 124. Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2 x + 5 sin x − 3 = 0 là π π A x= . C x= B x= . 6 2 3π . 2 3 = 0 có nghiệm là: 4 π π C x = ± + k π. B x = ± + k π. 3 6 D x= π 2 π 2 + k2π. + k2π. 5π . 6 Câu 125. Phương trình cos2 2 x + cos 2 x − 2π A x = ± + k π. 3 . Câu 126. Phương trình lượng giác cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 có nghiệm là π C x = + k2π. A x = k2π. B x = 0. 2 3 = 0 có nghiệm là 4 π π B x = ± + k π. C x = ± + k π. 3 6 π D x = ± + k 2π . 6 D Vô nghiệm. Câu 127. Phương trình cos2 2 x + cos 2 x − A x=± 2π + k π. 3 π D x = ± + k 2π . 6 2 Câu 128. Phương trình tan x + 5 tan x − 6 = 0 có họ nghiệm là   π x = − + kπ 4 4 A  , k ∈ Z. B  , k ∈ Z. x = arctan(−6) + k2π x = arctan(−6) + k2π  " π x = + kπ x = kπ 4 , k ∈ Z. D , k ∈ Z. C  x = arctan(−6) + kπ x = arctan(−6) + kπ p ¢ p ¡ 2 Câu 129. Họ nghiệm của phương trình 3 tan x − 1 + 3 tan x + 1 = 0 là   π π x = + kπ x = + k 2π   4 3 A  , k ∈ Z . B , k ∈ Z.  π π x = + kπ x = + k 2π 6 4   π π x = + kπ x = + k 2π   3 4 , k ∈ Z. , k ∈ Z. C  D  π π x = + k 2π x = + kπ 6 6 p p 2 Câu 130. Phương trình 3tan  x −π(3 + 3) tan x + 3 =0 có πnghiệm   π π  x = + kπ x = + kπ x = − + kπ  x = + kπ    4 4 4 4 A  . B . C  . D  . π π π π   x = + kπ x = + kπ x = − − kπ x = − + kπ 3 3 3 3 x= π + k 2π 19 Nguyễn Hồng Điệp Câu 131. Nghiệm của phương trình sin2 x − 5 sin x + 6 = 0 là  x = α + k 2π   x = π − α + k2π ,với sin α = 2, sin β = 3. A   x = β + k 2π  x = π − β + k 2π " x = α + k 2π C x = β + k 2π B Vô nghiệm . D x = k π. . Câu 132. Nghiệm của phương trình 2sin2 x − 5 sin x − 3 = 0 là: π A x = − + k 2π ; x = C x= π 2 6 7π + k 2π . 6 π 5π + k 2π . 3 6 π 5π D x = + k 2π ; x = + k2π. 4 4 B x= + k π ; x = π + k 2π . + k2π; x = Câu 133. Nghiệm của phương trình 3cos2 x − 8 cos x − 5 là: A x = k π. B x = π + k 2π . C x = k 2π . 4 π D x = ± + k 2π . 2 Đưa về bậc 2 Câu 134. Phương trình lượng giác sin2 x − 3 cos x − 4 = 0 có nghiệm là π π C x = + k π. A x = − + k 2π . B x = −π + k2π. D Vô nghiệm. Câu 138. Phương trình cos4 x − cos 2 x + 2sin6 x = 0 có nghiệm là: π π π C x = k π. A x = + kπ . B x= +k . D x = k 2π . 2 6 Câu 135. Họ nghiệm của phương trình tan x + cot x = −2 là π π A x = + k2π, k ∈ Z. B x = − + k2π, k ∈ Z. 4 4 π π C x = + kπ, k ∈ Z. D x = − + kπ, k ∈ Z. 4 4 Câu 136. Phương trình cos 2 x + 4 cos x + 1 = 0 có nghiệm là π π π kπ π A x = + kπ, k ∈ Z. B x = + k2π, k ∈ Z. C x = + , k ∈ Z. D x = + kπ, k ∈ Z. 2 2 2 2 4 Câu 137. Phương trình 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1 cócác nghiệm là:    π π π 2π π π π x= +k x = = k x = + kπ x= +k   6 3. 3 3 . 2 4 2. A  . B  C  D  π π x=k x = k 2π x = kπ x=k 4 2 2 4 2 3 = 0 có nghiệm là: 4 π π π A x = ± + k π. B x = ± + k π. C x = ± + k π. 3 6 4 ³ ´ ³ ´ π π 5 Câu 140. Phương trình cos 2 x + + 4 cos − x = có nghiệm là: 3 6 2   π π π x = − + k 2π x = + k2π x = − + k2π    3 6 6 A  . B  . C  . π 5π 3π x = + k 2π x= + k2π + k 2π x= 2 6 2 Câu 139. Phương trình sin2 2 x − 2cos2 x + Câu 141. Nghiệm của phương trình cos2 x + sin x + 1 = 0 là: π π π A x = − + k 2π . B x = + k 2π . C x = − + k π. 2 2 2 p Câu 142. Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 2 cos x 2 = 0 π π π A x = ± + k 2π . B x = ± + k π. C x = ± + k 2π . 4 4 3 20 D x=±  D   2π + k π. 3 π + k 2π 3 . π x = + k 2π 4 x= π D x = ± + k 2π . 2 π D x = ± + k π. 3