CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
I – ĐỊNH NGHĨA
1) Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x
sin x :
x y = sin x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x .
Tập xác định của hàm số sin là .
2) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x
cos x :
x y = cos x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = cos x .
Tập xác định của hàm số cô sin là .
3) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y =
sin x
cos x
(cos x ¹ 0), kí hiệu là
y = tan x .
ìp
ï
ï2
î
ü
ï
ï
þ
Tập xác định của hàm số y = tan x là D = \ ïí + k p, k Î ïý.
4) Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
cos x
sin x
(sin x ¹ 0 ), kí hiệu là
y = cot x .
Tập xác định của hàm số y = cot x là D = \ {k p, k Î }.
II – TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Định nghĩa
Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
T ¹ 0 sao cho với mọi x Î D ta có:
● x -T Î D và x +T Î D.
● f ( x +T ) = f ( x ) .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 1
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần
hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2p ; hàm số
y = cos x
tuần hoàn với chu kì T = 2 p ; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = p ; hàm
số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = p.
2) Chú ý
● Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =
2p
a
● Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =
2p
.
a
● Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =
p
.
a
● Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T 0 =
p
.
a
.
● Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 1 và hàm số y = f 2 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 2
thì hàm số y = f1 ( x ) f 2 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 .
Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là T0 mT1 nT2 với m,n là 2 số
tự nhiên nguyên tố cùng nhau )
III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Hàm số y = sin x
● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi x Î ;
● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ sin x £ 1;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 p, có nghĩa sin ( x + k 2p ) = sin x với k Î ;
æ p
ö
p
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ççç- + k 2p; + k 2p÷÷÷ và nghịch biến trên mỗi khoảng
è 2
2
ø
æp
ö
çç + k 2 p; 3p + k 2 p ÷÷ , k Î ;
÷ø
çè 2
2
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
2) Hàm số y = cos x
● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi x Î .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 2
● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ cos x £ 1;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 p, có nghĩa cos ( x + k 2p ) = cos x với k Î ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-p + k 2p; k 2p ) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k 2p; p + k 2p ) , k Î ;
● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
3) Hàm số y = tan x
ìp
ï2
ï
î
ü
ï
ï
þ
● Tập xác định D = \ ïí + k p, k Î ïý ;
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Î ;
æ p
ö
p
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ççç- + k p; + k p÷÷÷, k Î ;
è 2
ø
2
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y
x
3p
2
-p
p
2
O
p
2
p
3p
2
4) Hàm số y = cot x
● Tập xác định D = \ {k p, k Î };
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Î ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (k p; p + k p ), k Î ;
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 3
y
-2p
-
3p
2
-p
-
p
2
O
p
2
p
3p
2
2p
x
B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP
Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số
1. Phương pháp
Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau
y u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u(x) 0 .
y
y
Hàm số y s inx, y cosx xác định trên và tập giá trị của nó là:
u(x)
có nghĩa khi và chỉ u x , v x xác định và v(x) 0 .
v(x)
u(x)
v(x)
có nghĩa khi và chỉ u x , v x xác định và v(x) 0 .
1 sin x 1 ;
1 cos x 1 .
Như vậy, y s in u x , y cos u x xác định khi và chỉ khi u x xác định.
k,k
2
y tan u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x
y cot u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và x k,k .
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
5x
;
x2 1
b) y cos 4 x2 ;
a) y sin
c) y sin x;
d) y 2 sin x .
Giải
5x
2
xác định x 1 0 x 1.
2
x 1
a) Hàm số y sin
Vậy D \ 1.
b) Hàm số y cos x 2 4 xác định 4 x 2 0 x2 4 2 x 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 4
Vậy D x | 2 x 2.
c) Hàm số y sin x xác định sinx 0 k2 x k2,k .
Vậy D x | k2 x k2,k .
d) Ta có: 1 s inx 1 2 s inx 0 .
Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D .
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
6
a) y tan x ;
3
b) y cot x ;
c) y
sin x
;
cos(x )
d) y
1
.
tan x 1
Giải
2
k, k .
a) Hàm số y tan x xác định x k x
6 2
3
6
2
k,k .
3
Vậy D \
3
b) Hàm số y cot x xác định x k x k,k .
3
3
k,k .
3
Vậy D \
c) Hàm số y
3
sin x
xác định cos x 0 x k x k,k .
2
2
cos(x )
3
k,k .
2
Vậy D \
d) Hàm số y
1
xác định tan x 1 x k, k .
tan x 1
4
4
Vậy D \ k,k .
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y cos2x
1
;
cos x
b) y
3cos2x
.
sin3x cos3x
Giải
a) Hàm số y cos2x
2
1
xác định cosx 0 x k, k .
cosx
2
Vậy D \ k,k .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 5
b) Hàm số y
3cos2x
xác định
sin 3x cos3x
1
k
sin 3x cos3x 0 sin 6x 0 6x k x
,k .
2
6
k
,k .
6
Vậy D \
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên : y 2m 3cos x.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m 3cos x 0 cosx
Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1
2m
3
2m
3
m .
3
2
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y =
2021
.
sin x
A. D = .
B. D = \ {0}.
C. D = \ {k p, k Î }.
D. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
ìp
ï
ï2
î
ü
ï
ï
þ
ìp
ï
ï2
î
ü
ï
ï
þ
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ¹ 0 x ¹ k p, k Î .
Vật tập xác định D = \ {k p, k Î }.
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y =
1 + sin x
.
cos x -1
A. D = .
B. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
C. D = \ {k p, k Î }.
D. D = \ {k 2p, k Î }.
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x -1 ¹ 0 cos x ¹ 1 x ¹ k 2p, k Î .
Vậy tập xác định D = \ {k 2p, k Î }.
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y =
cos x
.
æ
pö
sin çç x - ÷÷÷
çè
2ø
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 6
ì p
ïîï 2
ü
ïþï
A. D = \ ïík , k Î ïý.
ì
ïîï
B. D = \ {k p, k Î }.
ü
ïþï
p
2
C. D = \ ïí(1 + 2 k ) , k Î ïý.
D. D = \ {(1 + 2 k ) p, k Î }.
Lời giải
Chọn C
æ
pö
p
p
Hàm số xác định sin ççç x - ÷÷÷ ¹ 0 x - ¹ k p x ¹ + k p, k Î .
è
2ø
2
ìp
ïîï 2
2
ü
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí + k p, k Î ïý.
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y =
2021
.
sin x - cos x
ì p
ïîï 4
ü
ïþï
B. D = \ ïí- + k p, k Î ïý.
A. D = .
ìp
îïï 4
ü
ïþï
ìp
îïï 4
C. D = \ ïí + k 2p, k Î ïý.
ü
ïþï
D. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
Lời giải
Chọn D
p
4
Hàm số xác định sin x - cos x ¹ 0 tan x ¹ 1 x ¹ + k p, k Î .
ìp
îïï 4
ü
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí + k p, k Î ïý.
æ
pö
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot ççç2 x - ÷÷÷ + sin 2 x .
è
ìp
ïîï 4
4ø
ü
ïþï
A. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
ìp
ïîï 8
B. D = Æ.
ü
ïþï
p
2
C. D = \ ïí + k , k Î ïý.
D. D = .
Lời giải
Chọn C
æ
pö
p
p
kp
Hàm số xác định sin ççç2 x - ÷÷÷ ¹ 0 2 x - ¹ k p x ¹ + , k Î .
è
4ø
4
8
2
ìp
îïï 8
p
2
ü
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí + k , k Î ïý.
æx
pö
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan 2 ççç - ÷÷÷.
è2 4ø
ì 3p
ü
+ k 2 p, k Î ïý.
ïîï 2
ïþï
A. D = \ ïí
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
B. D = \ ïí + k 2p, k Î ïý.
Trang 7
ìp
ïîï 2
ì 3p
ïü
+ k p, k Î ý.
ïîï 2
ïþï
ü
ïþï
D. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
C. D = \ ïí
Lời giải
Chọn A
æx
pö
p
x
p
3p
Hàm số xác định cos 2 ççç - ÷÷÷ ¹ 0 - ¹ + k p x ¹ + k 2p, k Î .
è2 4ø
2 4 2
2
ì 3p
ü
+ k 2 p, k Î ïý.
ïîï 2
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y =
ìp
ïîï 2
3 tan x - 5
.
1 - sin 2 x
ü
ïþï
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
A. D = \ ïí + k 2p, k Î ïý.
B. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
C. D = \ {p + k p, k Î }.
D. D = .
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin 2 x ¹ 0 và tan x xác định
ìïsin 2 x ¹ 1
p
ïí
cos x ¹ 0 x ¹ + k p, k Î .
ïïîcos x ¹ 0
2
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí + k p, k Î ïý.
Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2.
A. D = .
B. D = [-2; +¥).
C. D = [0;2 p ].
D. D = Æ.
Lời giải
Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
1 £ sin x + 2 £ 3, "x Î .
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin x + 2 với mọi x Î .
Vậy tập xác định D = .
Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x - 2.
A. D = .
B. \ {k p, k Î }.
C. D = [-1;1].
D. D = Æ.
Lời giải
Chọn D
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
-3 £ sin x - 2 £ -1, "x Î .
Do đó không tồn tại căn bậc hai của sin x - 2.
Vậy tập xác định D = Æ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 8
Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y =
1
1 - sin x
.
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
B. D = \ ïí + k p, k Î ïý.
A. D = \ {k p, k Î }.
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
C. D = \ ïí + k 2p, k Î ïý.
D. D = Æ.
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin x > 0 sin x < 1. (*)
p
2
Mà -1 £ sin x £ 1 nên (*) sin x ¹ 1 x ¹ + k 2p, k Î .
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
Vậy tập xác định D = \ ïí + k 2p, k Î ïý.
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 - sin 2 x - 1 + sin 2 x .
A. D = Æ.
B. D = .
ép
êë 6
C. D = ê + k 2p;
ù
5p
+ k 2p ú , k Î .
úû
6
é 5p
ù
13p
+ k 2 p;
+ k 2 p ú , k Î .
êë 6
úû
6
D. D = ê
Lời giải
Chọn B
ì1 + sin 2 x ³ 0
ï
, "x Î .
ï
ï
î1 - sin 2 x ³ 0
Ta có -1 £ sin 2 x £ 1 ïí
Vậy tập xác định D = .
æp
ö
Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan ççç cos x ÷÷÷.
è2
ø
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
ìp
ïîï 2
ü
ïþï
A. D = \ ïí + k p, k Î ïý .
B. D = \ ïí + k 2p, k Î ïý .
C. D = .
D. D = \ {k p, k Î } .
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
p
p
. cos x ¹ + k p cos x ¹ 1 + 2 k . (*)
2
2
Do k Î nên (*) cos x ¹ 1 sin x ¹ 0 x ¹ k p, k Î .
Vậy tập xác định D = \ {k p, k Î }.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 9
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
1. Phương pháp:
Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
x,x D x D (1)
Bước 2: Tính f(x) và so sánh f(x) với f(x)
-
Nếu f(x) f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2)
-
Nếu f(x) f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D
(3)
Chú ý:
-
Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm không chẵn và không lẻ trên D;
-
Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm không chẵn và cũng không
lẻ trên D .
Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm x0 D sao cho
f( x 0 ) f(x 0 )
f( x 0 ) f(x 0 )
2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
c) y sin 4 x .
b) y = tan x ;
a) y = sin2x;
Giải
a) TXĐ: D . Suy ra x D x D .
Ta có: f x sin 2x sin 2x f x .
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
2
b) TXĐ: D \ k,k . Suy ra x D x D .
Ta có: f x tan x tan x f x .
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) TXĐ: D . Suy ra x D x D .
Ta có: f x sin 4 x sin 4 x f x .
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = tanx + cotx;
b) y = sinx.cosx.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 10
Giải
k
,k . Suy ra x D x D
2
a) TXĐ: D \
Ta có: f x tan x cot x tan x - cot x tan x cot x f x
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) TXĐ: D . Suy ra x D x D
Ta có: f x sin x .cos x sin x cosx f x
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = 2sinx + 3;
b) y sinx cosx .
Giải
a) TXĐ: D . Suy ra x D x D
Ta có:
f 2sin
3 1 ; f 2sin 3 5
2
2
2
2
f f
2
2
Nhận thấy
f f
2
2
Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
b) TXĐ: D . Suy ra x D x D
Ta có: y sinx cosx 2 sin x
4
f 2 sin 0; f 2 sin 2
4
4 4
4
4 4
f f
4
4
Nhận thấy
f f
4
4
Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y
sinx tan x
;
sin x cot x
b) y
cos3 x 1
sin3 x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
.
Trang 11
Giải
a) Hàm số xác định khi
cosx 0
cosx 0
cosx 0
k
,k .
sinx 0
x
sinx 0
2
sinx
0
s inx cot x 0
2
s in x cosx 0
k
,k Suy ra x D x D
2
TXĐ: D \
Ta có: f x
sin x tan x
sin x cot x
sin x tan x sin x - tan x
f x
sin x cot x sin x cot x
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) TXĐ: D \ k,k Suy ra x D x D
Ta có: f x
cos3 x 1
sin3 x
cos3 x 1
sin3 x
cos3 x 1
sin3 x
f x
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y f x 3msin 4x cos2x là hàm số chẵn.
Giải
TXĐ: D . Suy ra x D x D
Ta có:
f x 3msin 4x cos 2x 3msin 4x cos2x
Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì:
f x f x , x D 3m sin 4x cos2x -3m sin 4x cos2x, x D
6m sin 4x 0 m 0
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin x.
B. y = cos x .
C. y = tan x.
D. y = cot x .
Lời giải
Chọn B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:
Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 12
Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.
Câu 2:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = - sin x .
B. y = cos x - sin x .
C. y = cos x + sin 2 x.
D. y = cos x sin x.
Lời giải
Chọn C
Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = . Do đó "x Î D -x Î D.
Bây giờ ta kiểm tra f (-x ) = f ( x ) hoặc f (-x ) = - f ( x ).
Với y = f ( x ) = - sin x . Ta có f (-x ) = - sin (-x ) = sin x = -(- sin x )
¾¾
f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = - sin x là hàm số lẻ.
Với y = f ( x ) = cos x - sin x . Ta có f (-x ) = cos (-x ) - sin (-x ) = cos x + sin x
¾¾
f (-x ) ¹ {- f ( x ), f ( x )} . Suy ra hàm số y = cos x - sin x không chẵn không lẻ.
Với y = f ( x ) = cos x + sin 2 x . Ta có f (- x ) = cos (- x ) + sin 2 (- x )
2
= cos (- x ) + éë sin (- x )ùû = cos x + [- sin x ] = cos x + sin 2 x
2
¾¾
f (-x ) = f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x + sin 2 x là hàm số chẵn.
Với y = f ( x ) = cos x sin x . Ta có f (- x ) = cos (- x ). sin (- x ) = - cos x sin x
¾¾
f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ.
Câu 3:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2 x .
B. y = x cos x .
C. y = cos x . cot x .
D. y =
tan x
.
sin x
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số y = f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D = . Do đó "x Î D -x Î D.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾
f ( x ) là hàm số lẻ.
Xét hàm số y = f ( x ) = x cos x .
TXĐ: D = . Do đó "x Î D -x Î D.
f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = (- x ). cos (- x ) = - x cos x = - f ( x ) ¾¾
Xét hàm số y = f ( x ) = cos x cot x .
TXĐ: D = \ {k p (k Î )}. Do đó "x Î D -x Î D.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 13
Ta có f (-x ) = cos (- x ). cot (- x ) = - cos x cot x = - f ( x ) ¾¾
f ( x ) là hàm số lẻ.
Xét hàm số y = f ( x ) =
tan x
.
sin x
ì p
ü
(k Î )ïý. Do đó "x Î D -x Î D.
ï
ïþï
2
ï
î
TXĐ: D = \ ïík
Ta có f (-x ) =
Câu 4:
tan (- x )
sin (- x )
=
- tan x tan x
=
= f ( x ) ¾¾
f (x )
- sin x
sin x
là hàm số chẵn.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin x .
B. y = x 2 sin x .
C. y =
x
.
cos x
D. y = x + sin x .
Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.
Câu 5:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. y = sin x cos 2 x .
æ
pö
B. y = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷. C. y =
è
2ø
tan x
.
tan 2 x + 1
D. y = cos x sin 3 x .
Lời giải
Chọn B
Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
O.
æ
pö
Xét đáp án B, ta có y = f ( x ) = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷ = sin 3 x . sin x = sin 4 x . Kiểm tra được đây là
è
2ø
hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Câu 6:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = cos x + sin 2 x.
B. y = sin x + cos x .
C. y = - cos x .
D. y = sin x . cos 3 x .
Lời giải
Chọn D
Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn,
không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ.
Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. y = cot 4 x .
B. y =
sin x + 1
.
cos x
C. y = tan 2 x .
D. y = cot x .
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 14
Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.
Câu 8:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
æp
ö
A. y = sin ççç - x ÷÷÷.
è2
ø
B. y = sin 2 x .
C. y =
cot x
.
cos x
D. y =
tan x
.
sin x
Lời giải
Chọn C
æp
ö
Viết lại đáp án A là y = sin ççç - x ÷÷÷ = cos x .
è2
ø
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.
Câu 9:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = 1 - sin 2 x .
B. y = cot x . sin 2 x .
C. y = x 2 tan 2 x - cot x .
D. y = 1 + cot x + tan x .
Lời giải
Chọn C
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = tan 2 x. Chọn mệnh đề đúng
A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.
C. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn.
D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D = . Do đó "x Î D -x Î D.
f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾
Xét hàm số g ( x ) = tan 2 x .
ìp
ï
ï2
î
ü
ï
ï
þ
TXĐ: D = \ ïí + k p (k Î )ïý. Do đó "x Î D -x Î D.
2
Ta có g (-x ) = éë tan (-x )ùû = (- tan x )2 = tan 2 x = g ( x ) ¾¾
f ( x ) là hàm số chẵn.
Câu 11: Cho hai hàm số f ( x ) =
sin 2 x - cos 3 x
cos 2 x
và g ( x ) =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1 + sin 2 3 x
2 + tan 2 x
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 15
A. f ( x ) lẻ và g ( x ) chẵn.
B. f ( x ) và g ( x ) chẵn.
C. f ( x ) chẵn, g ( x ) lẻ.
D. f ( x ) và g ( x ) lẻ.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số f ( x ) =
cos 2 x
.
1 + sin 2 3 x
TXĐ: D = . Do đó "x Î D -x Î D.
Ta có f (-x ) =
cos (-2 x )
1 + sin 2 (-3 x )
Xét hàm số g ( x ) =
=
cos 2 x
= f ( x ) ¾¾
f (x )
1 + sin 2 3 x
sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x
ìp
ï
ï2
î
là hàm số chẵn.
.
ü
ï
ï
þ
TXĐ: D = \ ïí + k p (k Î )ïý . Do đó "x Î D -x Î D.
Ta có g (-x ) =
sin (-2 x ) - cos (-3 x )
2 + tan 2 (-x )
=
sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x
= g ( x ) ¾¾
g ( x ) là hàm số chẵn.
Vậy f ( x ) và g ( x ) chẵn.
Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. y =
æ
è
1
.
sin 3 x
pö
4ø
B. y = sin ççç x + ÷÷÷.
æ
è
pö
4ø
C. y = 2 cos ççç x - ÷÷÷.
D. y = sin 2 x .
Lời giải
Chọn A
æ
pö
1
Viết lại đáp án B là y = sin ççç x + ÷÷÷ = (sin x + cos x ).
è
4ø
2
æ
pö
Viết lại đáp án C là y = 2 cos ççç x - ÷÷÷ = sin x + cos x .
è
4ø
Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.
Xét đáp án D.
é
êë
p
2
ù
úû
Hàm số xác định sin 2 x ³ 0 2 x Î [ k 2p; p + k 2p ] x Î ê k p; + k p ú
é
ù
p
¾¾
D = ê k p; + k p ú (k Î ).
êë
úû
2
p
4
p
4
Chọn x = Î D nhưng -x = - Ï D. Vậy y = sin 2 x không chẵn, không lẻ.
Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 16
A. Đồ thị hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua trục Oy.
D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được hàm số y = sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy .
Do đó đáp án A sai.
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Phương pháp:
Cho hàm số y f(x) xác định trên tập D
f(x) M, x D
M max f(x)
D
x 0 D : f(x 0 ) M
f(x) m, x D
m min f(x)
D
x 0 D : f(x 0 ) m
Lưu ý:
1 s inx 1; 1 cos x 1.
0 sin2 x 1; 0 cos2 x 1.
0 sin x 1; 0 cosx 1.
Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản
0
o Phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 có nghiệm x khi và chỉ khi
a 0
o Phương trình asin x bcosx c có nghiệm x khi và chỉ khi a2 b2 c2
o Nếu hàm số có dạng: y
a1 s inx b1 cos x c1
a2 s inx b2 cosx c2
Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình
asin x bcosx c .
2. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4
a) y 2sin x 1 ;
b) y 2 cosx 1 3 .
Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 17
a) Ta có:
1 sin x 1 2 2sin x 2 1 2sin x 1 3
4
4
4
Hay 1 y 3 . Suy ra:
Maxy 3 khi sin x 1 x k2,k .
4
4
3
Miny 1 khi sin x 1 x k2,k .
4
4
b) Ta có:
1 cos x 1 0 cos x 1 2 0 cos x 1 2
0 2 cos x 1 2 2 3 2 cos x 1 3 2 2 3
Hay 3 y 2 2 3 Suy ra
Maxy 2 2 3 khi cosx 1 x k2,k .
Miny 3 khi cos x 0 x
k,k .
2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y sinx cosx ;
b) y 3 sin 2x cos2x .
Giải
a) Ta có: y sinx cosx 2 sin x 2 y 2 .
4
Suy ra:
Maxy 2 khi sin x 1 x k2,k .
4
4
3
Miny 2 khi sin x 1 x k2,k .
4
4
3
1
sin 2x cos2x 2sin 2x
2
2
6
b) Ta có: y 3 sin 2x cos2x 2
Suy ra: 2 y 2 . Do đó:
Maxy 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2,k .
6
6
2
3
Miny 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2,k .
6
6
2
6
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 18
a) y cos2 x 2sin x 2 ;
b) y sin 4 x 2cos2 x 1 .
Giải
a) Ta có:
y cos2 x 2sin x 2 1 sin2 x
2
2sin x 2
2
sin 2 x 2sin x 3 sin x 1 4
2
Vì 1 s inx 1 2 sin x 1 0 4 sin x 1 0
2
2
4 sin x 1 0 0 sin x 1 4 4
Hay 0 y 4
Do đó:
Maxy 4 khi sin x 1 x
k2,k .
2
Miny 0 khi sin x 1 x
k2,k .
2
Lưu ý:
Nếu đặt t sin x,t 1;1 . Ta có (P): y f t t 2 2t 3 xác định với mọi t 1;1 , (P) có
hoành độ đỉnh t 1 và trên đoạn 1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t 1 hay sin x 1 và đạt giá trị lớn nhất khi t 1 hay sin x 1 .
b) Ta có
x 4 cos x 2 cos
2cos x 1
x 2 2
y sin 4 x 2cos2 x 1 1 cos2 x
cos4
2
2
2
2
2
2
Vì 0 cos2 x 1 2 cos2 x 2 1 4 cos2 x 2 1
2 cos2 x 2
2
2 1 2 y 1
Do đó:
Maxy 2 khi
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 19
cos2 x 0 cos x 0 x
k,k .
2
Miny 1 khi
cos2 x 1 sin x 0 x k,k .
Lưu ý:
Nếu đặt t cos2 x,t 0;1 . Ta có (P): y f t t 2 4t 2 xác định với mọi t 0;1 , (P) có hoành
độ đỉnh t 2 0;1 và trên đoạn 0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t 1
và đạt giá trị lớn nhất khi t 0.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y
2sin x cos x 1
sin x cos x 2
Giải
π
Ta có: sin x cos x 2 2 sin x 2
4
Vì 2 2 sin x 2, x nên
4
π
π
π
2 sin x 2 2 2 0, x sin x cos x 2 2 sin x 2 0, x
4
4
Do đó: D
Biến đổi y
2sin x cos x 1
sin x cos x 2
ysin x y cos x 2y 2sin x cos x 1
y 2 sin x y 1 cos x 2y 1
*
Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x là a 2 b2 c2
y 2 y 1 2y 1 2y 2 6y 4 0
2
2
Kết luận: max y
2
3 17
3 17
y
2
2
3 17
3 17
;min y
2
2
3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x - 2.
A. M = 1, m = -5.
B. M = 3, m = 1.
C. M = 2, m = -2.
D. M = 0, m = -2.
Lời giải
Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
-3 £ 3 sin x £ 3 ¾¾
-5 £ 3 sin x - 2 £ 1
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
107 
1 
120 
