ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
NGUYÊN HÀM
A - KIẾN THỨC CHUNG
1- Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được
gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K .
Định lí:
+ Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
+ Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có
dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó F x C, C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu
+ Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: f x dx f x và
f x dx F x C .
f ' x dx f x C
Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx
2 - Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
u u x
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
dx x C
1
x dx 1 x
1
C 1
1
x dx ln x C
1
1
x dx x C
e dx e C
2
x
x
ax
C a 0, a 1
ln a
sin xdx cos x C
du u C
1
u du 1 u
1
C 1
1
u du ln u C
1
1
u du u C
e du e C
2
u
u
au
C a 0, a 1
ln a
sin udu cos u C
x
a dx
u
a du
cos xdx sin x C
1
cos x dx tan x C
cos udu sin u C
1
cos u du tan u C
2
1
sin
2
dx cot x C
x
4 – Bảng nguyên hàm mở rộng
2
1
sin
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
u
du cot u C
Trang 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
d ax b
1
ax b C
a
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
kx
e dx
ekx
C
k
1
1 ax b
ax b dx a 1
dx
c , 1
1
ax b a ln ax b c c
e
ax b
a
px q
a
2
a
2
1 ax b
e
c
a
dx
dx
1
a px q c
p ln a
1
cos ax b dx a sin ax b c
sin ax b dx
1
cos ax b c
a
1
tg ax b dx a ln cos ax b c
1
cotg ax b dx a ln sin ax b c
dx
1
x
arctg c
2
x
a
a
sin
dx
1
ax
ln
c
2
x
2a a x
cos
2
2
dx
1
cotg ax b c
ax b a
dx
1
tg ax b c
ax b a
B - BÀI TẬP
DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT
Câu 1:
Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1): Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có đạo hàm trên a; b .
(2): Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
(4): Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên a; b .
Câu 2:
A. 2 .
B. 3 .
C. 1.
D. 4 .
Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f x g x dx f x dx g x dx .
B. f x .g x dx f x dx. g x dx .
C. f x g x dx f x dx g x dx .
D. kf x dx k f x dx k 0;k .
Câu 3:
Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
sai?
A. f x g x dx f x dx. g x dx .
B. 2 f x dx 2 f x dx .
C.
Câu 4:
f x g x dx f x dx g x dx .
D.
f x g x dx f x dx g x dx .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. kf x dx k f x dx với k .
B. f x g x dx f x dx g x dx với f x ; g x liên tục trên .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Câu 5:
C.
x
D.
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
1 1
x với 1 .
1
f x dx f x .
dx
Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của
f x , g x . Xét các mệnh đề sau:
I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x .
II . k.F x là một nguyên hàm của k. f x với k .
III . F x .G x là một nguyên hàm của f x .g x .
Câu 6:
Các mệnh đề đúng là
A. II và III .
B. Cả 3 mệnh đề.
C. I và III .
D. I và II .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên .
f x dx f x C với mọi hàm số f x có đạo hàm trên .
C. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên .
D. kf x dx k f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x liên tục trên .
B.
Câu 7:
Cho hàm số f x xác định trên K và F x là một nguyên hàm của f x trên K . Khẳng định
nào dưới đây đúng?
A. f x F x , x K .
B. F x f x , x K .
C. F x f x , x K .
Câu 8:
D. F x f x , x K .
Cho hàm số f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
B. Nếu f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K .
C. Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x trên K nếu F x f x với mọi x K
.
D. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì hàm số F x là một nguyên hàm
Câu 9:
của f x trên K .
Trong các mênh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Nếu hàm F x là một nguyên hàm của hàm f x thì F x 1 cũng là một nguyên hàm của
hàm f x .
B. Mọi hàm liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
C. Nếu hàm F x là một nguyên hàm của hàm f x thì
f x dx F x C , với C là một hằng
số.
D. Nếu F x , G x là hai nguyên hàm của hàm số f x thì F x G x C , với C là một
hằng số.
Câu 10: Cho f , g là các hàm số liên tục trên K . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
A. f x .g x dx f x dx f x dx g x dx .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
f 3 x
C .
3
C. f x g x dx f x dx g x dx .
f x f 2 x dx
B.
D. k f x dx k f x dx , ( k : hằng số).
DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?
A. dx x C .
1
C .
x
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
B. sin x dx cos x C .
1
C. ln x dx
D.
x dx ln x C .
A. e x dx e x C .
B.
sin
C. cosxdx sinx C .
D. sinxdx cosx C .
Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
0dx C ( C là hằng số).
A.
C.
f 2 x 1 dx 2F 2 x 1 C .
1
C. f 2 x 1 dx F 2 x 1 C .
2
Câu 15: Khẳng đinh nào sau đây là sai?
A. a x dx a x ln a C a 0; a 1 .
2
1
dx x C .
x
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. e x dx e x C .
C. 2xdx x2 C .
1
A.
f x dx 2 2 x 1
C.
f x dx 2 2 x 1
2
2
dx tan x C .
n
x dx
x
C ( C là hằng số).
x n 1
C ( C là hằng số, n ).
n 1
f 2 x 1 dx 2 F x 1 C .
D. f 2 x 1 dx F 2 x 1 C .
B.
B. cos xdx sin x C .
D.
1
x
2
1
dx C .
x
B. sin xdx cos x C .
D.
Câu 17: Công thức nguyên hàm nào sau đây sai?
2x
C .
A. 2 x dx
ln 2
dx
C. ln x C .
x
Câu 18: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1
x
e dx e
D.
f u du F u C . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
C.
2
x
B.
dx x 2C ( C là hằng số).
Câu 14: Biết
1
1
x dx ln x C .
B. sin xdx cos x C .
dx
D.
cos x tan x C
C .
B.
f x dx 4 2 x 1
C .
D.
f x dx 2 x 1
.
1
2
2
C .
C .
Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 x 2 x 1 là
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
2 x3 x 2
2 x3 x 2
2 x3
x.
B.
xC.
C.
x2 x C .
3
2
3
2
3
Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f x 10 x 4 3 x 2 trên là
A.
3 2
x 2x .
2
3
f x dx 2 x5 x 2 2 x C .
2
A.
f x dx 2 x
C.
5
Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số f x
A.
ln 3 x 1 C
3
Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số x 2 2 x dx
x
3
x
4 3
A.
3ln x
x C .
3
3
x3
4 3
C.
3ln x
x .
3
3
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f x 22 x là
22 x1
C.
A. 2 dx
ln 2
4x
C .
C. 22 x dx
ln 2
5
3 2
x 2C .
2
C.
ln 3x 1 C
D.
1
ln 3 x 1 C .
3
x3
4 3
3ln x
x C .
3
3
x3
4 3
D.
3ln x
x C .
3
3
B.
x 1
dx ?
x2
1
C .
2 x 1
A.
f x dx 2 x
3x 2 2 x C .
B. 22 x dx
x 1
dx ln | x | ln x 2 C .
x2
x2
xC
x 1
C. 2 dx 2 3
.
x
x
C
3
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1 là:
A.
D.
5
22 x
C .
ln 2
22 x 1
D. 22 x dx
C.
ln 2
2x
Câu 24: Tìm nguyên hàm
f x dx 10x
1
là
3x 1
B. ln 3 x 1 C .
.
B.
D. 4 x 1 .
B.
2 x 1
3
B.
x 1
1
dx ln | x | C .
2
x
x
D.
x 1
1
dx ln x C .
2
x
x
3
C.
C.
2
2 x 1
3
3
C .
D.
3
2 x 1
4
Câu 26: Họ các nguyên hàm của hàm số f x e2 x3 là
2 x 3
A.
f x dx e
C.
f x dx 2e
C .
2 x 3
C .
Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
1
x
sin
2
1
2 x 3
C .
1
2 x 3
C .
B.
f x dx 2 e
D.
f x dx 3 e
B.
.
2
A.
dx
x
2 tan C .
x
2
sin 2
2
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
dx
x
2 tan C .
x
2
sin 2
2
Trang 6
3
C .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
C.
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
dx
1
x
cot C .
x
2
2
sin 2
2
D.
Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
f x dx 2x C .
1
C. f x dx C .
2x
f x dx sin x e
Nếu
dx
x
2cot C .
x
2
sin 2
2
1
.
2x
f x dx 2 2 x C .
D. f x dx ln 2x C .
A.
Câu 29:
B.
x
C
thì
x
B. f x cos x e x .
A. f x cos x e .
C. f x cos x e x .
Câu 30: Tìm khẳng định sai?
x e1
A. xe dx
2C .
e 1
C. e x dx C e x
D. f x cos x e x C .
2x 1
C.
x 1
D. tan 2 xdx tan x x C .
B. 2 x dx
Câu 31: Cho F x là nguyên hàm của f x
2x 4 3
. Khi đó
x2
2 x3 3
2 x3
B. F x
C .
3ln x C .
3
x
3
2x3
2 x3 3
C. F ( x)
D. F ( x )
3ln x C .
C .
3
3
x
Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 x sin 2 x là
A. F ( x )
A. x2 2cos 2x C .
1
B. x 2 cos 2 x C .
2
C. x2 2cos 2 x C .
1
D. x 2 cos 2 x C
2
.
Câu 33: Họ các nguyên hàm của hàm số f x
1
là
sin x 2
2
A. cot x 2 C .
C.
2 cos x 2
sin
3
x 2
B. cot x 2 C .
C .
D.
cos x 2
C .
sin 3 x 2
Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f x e x cos x 2018 là
A. F x e x sin x 2018 x C .
B. F x e x sin x 2018 x C .
C. F x e x sin x 2018 x .
D. F x e x sin x 2018 C .
Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x e x .
f x dx e
C. f x dx e
A.
x
e x C .
x
e x C .
Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) e x là
A. e x C .
B. e x C .
Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số y sin( x 1) ?
A. sin( x 1)dx cos( x 1) C .
x
e x C .
x
e x C .
f x dx e
D. f x dx e
B.
C. e x C .
D. e x C .
B. sin( x 1)dx cos( x 1) C .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
C. sin( x 1)dx ( x 1) cos( x 1) C .
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
D. sin( x 1)dx (1 x) cos( x 1) C .
2
Câu 38: Hàm số F x e x là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
2
2
B. f x 2 x 2e x C .
A. f x 2 xe x .
2
2
C. f x xe x .
D. f x x 2e x 3 .
Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) cos(2 x 3) .
1
A. F ( x ) sin(2 x 3) C .
B. F ( x) sin(2x 3) C .
2
1
C. F ( x) sin(2 x 3) C .
D. F ( x ) sin(2 x 3) C .
2
Câu 40: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A. f x sin 2 x , g x cos 2 x .
B. f x e x , g x e x .
C. f x sin 2 x , g x sin 2 x .
D. f x tan 2 x , g x
Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) tan x là
1
A. ln cos x C.
B.
C.
cos 2 x
Câu 42: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x
đây đúng?
A. F x 2 tan x 3 .
D.
1
C.
cos 2 x
2
và F 3 . Khẳng định nào dưới
2
cos x
4
B. F x tan x 4 .
C. F x 2 tan x 5 .
Câu 43: Tìm khẳng định sai?
D. F x 2 cot x 5 .
A. tan 2 xdx tan x x C .
C. 2 x dx
C. ln cos x C.
1
.
cos 2 x 2
B.
2x 1
C.
x 1
e
x dx
x e1
2C .
e 1
D. e x dx C e x
Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số f x
1
là
1 x
1
1
ln(1 x)2 C .
C. ln 2 2x C .
D. ln 1 x C .
2
2
6
Câu 45: Cho hàm số f x thỏa f x
và f 2 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3 2x
A. f x 3ln 3 2 x .
B. f x 2 ln 3 2 x .
A. ln 1 x C .
B.
C. f x 3ln 3 2 x .
D. f x 2 ln 3 2 x .
Câu 46: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm f ( x) sin 2 x và F 1. Tính F
4
6
3
A. F 0.
B. F
6
6 4
Câu 47: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1
A. dx ln 3x C .
3x
1
C. F
6 2
5
D. F
6 4
B. e x dx e x C .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
2x
D. 2 dx
C .
ln 2
x
C. sin x dx cosx C .
Câu 48: Tìm nguyên hàm I 2 x 1dx
2
3
1
C. I
3
2 x 1
A. I
2 x 1
Câu 49: Tìm a b biết
3
3
1
C .
2 2x 1
1
D. I
C .
4 2x 1
C .
B. I
C .
7 x 11
( x 1)( x 2)dx a ln x 2 b ln x 1 C ?
A. a b 7 .
B. a b 5 .
C. a b 11 .
D. a b 5 .
Câu 50: Tìm hàm số F x biết F x sin 2 x và F 1 .
2
1
1
A. F x cos 2 x .
B. F x cos 2 x .
2
2
1
3
C. F x cos 2 x .
D. F x 2 x 1 .
2
2
x
Câu 51: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 3x 2 .
2
x3 x 2
A. f x dx x3 x2 C .
B. f x dx C .
3 4
2
x
x2
C. f x dx x3 C .
D. f x dx x3 C .
4
2
2
2x 7 x 5
Câu 52: Tính nguyên hàm I
dx .
x 3
A. I 2 x 2 x 2ln x 3 C .
B. I x 2 x 2ln x 3 C .
C. I x 2 x 2ln x 3 C .
Câu 53: Hàm số F x
f x x
D. I 2 x 2 x 2 ln x 3 C .
1 3 x 1
e
9 x 2 24 x 17 C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
27
2 x 1 e
A. f x x 2 2 x 1 e3 x 1 .
C.
2
3 x 1
f x x
2 x 1 e
B. f x x 2 2 x 1 e3 x 1 .
.
D.
2
3 x 1
.
Câu 54: Tính I 8sin3x cos x dx a cos 4 x b cos 2 x C . Khi đó a b bằng:
A. 3 .
B. 1 .
Câu 55: ) Họ nguyên hàm của hàm số f x x sin x là
A. 1 cos x C .
B.
x2
cos x C .
2
C. 1 .
C.
D. 2 .
x2
cos x C .
2
D. x2 cos x C .
Câu 56: Cho hàm số y f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x x sin x và f 0 1 . Tìm
f x
.
A. f x
x2
1
cos x .
2
2
B. f x
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
x2
cos x 2 .
2
Trang 9
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
x2
C. f x cos x 2 .
2
x2
D. f x cos x .
2
Câu 57: Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f x
A. F ( x ) 2 2 x 1 1 .
2
thỏa mãn F 5 7 .
2x 1
B. F ( x) 2 x 1 4 .
C. F ( x ) 2 x 1 10 .
Câu 58: Cho f x
x2 2 x
x 12
D. F ( x ) 2 2 x 1 .
, F x là một nguyên hàm của f x . Tìm phương án sai?
x2 x 1
x2 2 x 2
.
B. F x
.
x 1
x 1
x2 x 1
x2
C. F x
.
D. F x
.
x 1
x 1
Câu 59: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 3x.ln 9 thỏa F 0 2 . Tính F 1 .
A. F x
A. F 1 6 .
2
C. F 1 12 ln 3 .
B. F 1 3 .
Câu 60: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x
D. F 1 4 .
x 1
, biết đồ thị hàm số y F x đi qua điểm
x2
1; 2 ,
1
1 .
x
1
C. F x ln x 3 .
x
Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x sin 6 x .
A. F x ln x
1
3.
x
1
D. F x ln x 1 .
x
B. F x ln x
x 2 sin 6 x
f x dx
C .
2
6
x 2 sin 6 x
f x dx
C .
2
6
x 2 cos 6 x
A.
B. f x dx
C.
2
6
x 2 cos 6 x
C.
D. f x dx
C.
2
6
1
Câu 62: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x
và F 1 3 . Tính F 4 .
x
A. F 4 5 .
B. F 4 3 .
C. F 4 3 ln 2 .
D. F 4 4 .
Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 3 sin 2 x .
A.
C.
x4 1
f x dx cos 2 x C .
4 2
x4
f x dx
cos 2 x C .
4
x4 1
f x dx cos 2 x C .
4 2
B.
D.
f x dx 3x
C. ln[( x 1)( x 3)] .
2cos 2 x C .
x3
?
x 4x 3
x 1
2.
B. ln
x 3
D. ln(2 x 1 ) .
Câu 64: Hàm số F(x) nào sau đây là 1 nguyên hàm của hàm số f ( x)
A. 2ln x 3 ln x 1 C .
2
2
Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số F x m 2 x 3 3m 2 x 2 4 x 3 là một nguyên hàm của hàm số
f x 3 x 2 10 x 4 .
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. m 2 .
Trang 10
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 66: Cho hàm số F x ax3 a b x 2 2a b c x 1 là một nguyên hàm của hàm số
f x 3x 2 6 x 2 . Tổng a b là
A. 4 .
B. 2 .
DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C
C. 5 .
D. 3 .
Câu 67: Nguyên hàm F x của hàm số f x 2 x 2 x 3 4 thỏa mãn điều kiện F 0 0 là
2 3 x4
x 4x .
C. x 3 x 4 2 x .
3
4
Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’ x 4 x 3 – 3 x 2 2 và F 1 3
A. 2 x 3 4 x 4 .
B.
A. F x x 4 – x 3 2 x 3
B. F x x 4 – x 3 +2x 3
C. F x x 4 – x 3 2 x 3
D. F x x 4 x 3 2 x 3
Câu 69: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e x 2 x thỏa mãn F (0)
1
A. F ( x) e x x 2 .
2
3
C. F ( x) e x x 2 .
2
2 3 x4
x 4x .
3
4
D.
3
. Tìm F ( x) .
2
1
B. F ( x ) 2e x x 2 .
2
5
D. F ( x) e x x 2 .
2
Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn điều kiện: f x 2 x 3cos x, F 3
2
2
A. F ( x) x 3sin x 6
4
2
C. F ( x) x 2 3sin x
4
2
2
B. F ( x) x 3sin x
4
2
D. F ( x) x2 3sin x 6
Câu 71: Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x)
1
B. F (3) ln 5 5.
2
A. F (3) 2ln5 3.
2
4
1
1
và F (2) 3 ln 3. Tính F (3).
2 x 1
2
1
C. F (3) ln 5 3.
D.
2
F (3) 2ln 5 5.
F x
f x 2 x 1 x 2
F 1 2
Câu 72: Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết
.
2 3 3 2
29
2 3 3 2
A. F x x x 2 x
.
B. F x x x 2 x .
3
2
6
3
2
1
2
3
C. F x x2 x x2 2 x 2 .
D. F x x 3 x 2 2 x 2 .
3
2
2
1
Câu 73: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 2 x 2 thỏa mãn F( ) 1 là:
sin x
4
A. F( x) cotx x2
C. F( x) cotx x 2
2
16
2
16
2
2
D. F( x) cotx x
16
B. F( x) cotx x 2
Câu 74: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f ( x) sin 2 x , biết F 0 .
6
1
1
A. F x cos 2 x .
B. F x cos 2 x .
2
2
6
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 11
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
1
1
C. F x cos 2 x .
D. F x sin 2 x .
4
4
Câu 75: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin x và đồ thị của hàm số y F x đi qua
điểm M 0;1 . Tính F .
2
A. F 1.
B. F 1 .
2
2
Câu 76: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x
A. F x 2 2 x 1 4 .
C. F x 2 2 x 1 10 .
C. F 2 .
2
D. F 0 .
2
2
thỏa mãn F 5 7
2x 1
B. F x 2 2 x 1 1 .
D. F x 2 2 x 1 .
2x 3
x 0 . Biết rằng F 1 1 thì F x là
x2
3
3
A. F x 2 x 2 .
B. F x 2ln x 4 .
x
x
3
3
C. F x 2 x 4 .
D. F x 2ln x 2 .
x
x
x
x
Câu 78: Nếu F x là một nguyên hàm của f ( x) e (1 e ) và F (0) 3 thì F ( x ) là?
Câu 77: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x
A. e x x
B. e x x 2
C. e x x C
D. e x x 1
3
Câu 79: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 8 1 2 x . Tính I F 1 F 0 .
A. I 0 .
B. I 2 .
C. I 16 .
D. I 2 .
DẠNG 4: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN HÀM HỮU TỈ
P( x)
Dạng: I
Q ( x)
– Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành
tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
1
A
B
Chẳng hạn:
( x a)( x b) x a x b
1
A
Bx C
2
, vôùi b 2 4ac 0
2
( x m)(ax bx c) x m ax bx c
1
A
B
C
D
2
2
2
( x a ) ( x b)
x a ( x a ) x b ( x b) 2
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x 2 3x 3
1
a. f(x) =
.
b. f(x) = 2
.
x 1
x 3x 2
Giải
a. Ta có:
x 2 3x 3
1
1
f ( x)dx = x 1 dx = x 2 x 1 dx = 2 x2 + 2x + lnx + 1 + C.
b. Ta có:
dx
dx
1
1
f ( x)dx = x2 3x 2 = ( x 1)( x 2) dx = x 1 x 2 dx
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 12
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
= ln|x + 1| - ln|x + 2| + C = ln
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
x 1
C .
x2
Nhận xét: Qua thí dụ trên:
Câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu
thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên
hàm.
Câu b) chúng ta nhận thấy:
( A B) x 2 A B
1
A
B
=
=
( x 1)( x 2)
x 3x 2 x 1 x 2
Ta được đồng nhất thức 1 = (A + B)x + 2A + B.
Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Phương pháp đồng nhất hệ số: Đồng nhất đẳng thức, ta được:
A B 0
A 1
.
2 A B 1
B 1
2
Câu 80: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax
f 1 0
b
x 0 , biết rằng F 1 1 , F 1 4 ,
x2
.
3x 2 3 7
.
4 2x 4
3x 2 3 7
F
x
.
C.
2 4x 4
6x 2
Câu 81: Tìm
dx .
3x 1
4
A. F x ln 3 x 1 C
3
4
C. F x 2 x ln 3 x 1 C
3
x2 x 1
Câu 82: Nguyên hàm
dx
x 1
x2
1
A.
B. 1
C .
ln x 1 C .
2
2
x 1
A. F x
Câu 83: Họ các nguyên hàm của hàm số f x
1
2
(1)
2
A. ln x 1 C .
B.
3x 2 3 7
.
4 2x 4
3x 2 3 1
F
x
.
D.
2 2x 2
B. F x
B. F x 2 x 4 ln 3x 1 C
D. F x 2 x 4 ln 3 x 1 C
C. x
1
C.
x 1
1
là
x 1
2
1 x 1
ln
C .
2 x 1
1 x 1
C. ln
C .
2 x 1
Câu 84: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x
1
x2
A. F x ln
C.
5 x1
2
1 2x 1
C. F x ln
C.
5
x2
D. x 2 ln x 1 C .
D.
1
ln x 2 1 C .
2
1
?
2 x 1 x 2
1
x2
B. F x ln
C
5 2x 1
D. F x
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
3x 6
ln
C.
15 2 x 1
Trang 13
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
1
.
x x
B. F x ln x ln x 1 .
D. F x ln x ln x 1 .
Câu 85: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x
2
A. F x ln x ln x 1 .
C. F x ln x ln x 1 .
x 1
Câu 86: Biết
dx a.ln x 1 b.ln x 2 C . Tính giá trị của biểu thức a b .
x 1 2 x
A. a b 1.
B. a b 5 .
x 1
Câu 87: Họ các nguyên hàm của hàm số y 2 là:
x
1
1
A. ln x C .
B. ln x C .
x
x
x
Câu 88: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2
x 4
1
1
2
A. ln x 4 C .
B.
C .
2
2
2 x 4
Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A.
C.
1 x2
f x dx ln
C .
x
Câu 90: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x
A.
Câu 91:
1 x 3
ln
C .
2 x 1
Nguyên hàm x
A.
2
B.
D. a b 1.
1
C. e x C .
x
D. ln x
C.
1
4 x2 4
2
1
C .
x
D. 2 ln x2 4 C .
C .
1
.
x 1 x 2
1 x2
C .
x
f x dx ln
C. a b 5 .
B.
f x dx ln
D.
f x dx ln
x
1 x2
x
C .
1 x2
C .
1
.
x 4x 3
2
1 x3
ln
C .
2 x 1
1 x 3
C. ln
C.
2 x 1
1 x5
ln
C .
6 x 1
C.
D.
1 x 3
ln
C .
2 x 1
D.
1 x 1
ln
C .
6 x 5
dx
4x 5 .
1
x 1
ln
C .
6 x5
B.
1
x 1
ln
C .
6 x5
x 3
b
dx a ln x 1
C với a, b . Chọn khẳng định đúng trong các
2x 1
x 1
khẳng định sau:
b
2a
a
1
A. 2 .
B.
1 .
C. a 2b .
D.
.
a
b
2b
2
2x 3
Câu 93: Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2
.
2x x 1
2
2
2
5
A. f x dx ln 2 x 1 ln x 1 C .
f x dx ln 2 x 1 ln x 1 C
3
3
3
3
B.
.
1
5
2
5
C. f x dx ln 2 x 1 ln x 1 C .
D. f x dx ln 2 x 1 ln x 1 C .
3
3
3
3
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG
1. Công thức cộng
cos(a b) cos a. cos b sin a. sin b
Câu 92: Biết rằng
x
2
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 14
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
sin(a b) sin a. cos b sin b. cos a
tan a tan b
1 tan a. tan b
2. Công thức nhân đôi
tan(a b)
1 tan 2 a
cos 2a cos a – sin a 2 cos a – 1 1 – 2 sin a
1 tan2 a
2 tan a
2 tan a
; tan 2a
sin 2a 2 sin a. cos a
2
1 tan2 a
1 tan a
;
cos 3 4 cos 3 3 cos
sin 3 3 sin 4 sin 3
3. Công thức hạ bậc
1 cos 2a
1 cos 2a
1 cos 2a
; cos2 a
; tan2 a
sin2 a
2
2
1 cos 2a
3 sin sin 3
cos 3 3 cos
sin 3
;
cos3
4
4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos . cos cos( ) cos( )
2
1
sin . sin cos( ) cos( )
2
1
sin . cos sin( ) sin( )
2
5. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos
. cos
2
2
cos cos 2 sin
.sin
2
2
sin sin 2 sin
. cos
2
2
sin sin 2 cos
. sin
2
2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
Hệ quả:
2
2
2
2
cos sin 2 cos 2 sin
4
4
cos sin 2 cos 2 sin
4
4
B – BÀI TẬP
Câu 94: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) sin x 1 là
sin 2 x
A. cos x x C .
B.
C. cos x x C .
D. cos x C .
xC .
2
Câu 95: Cho a , hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x cos x .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 15
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
A. F x sin x .
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
xa
xa
.
cos
2
2
xa
xa
D. F x 2 sin
.
cos
2
2
B. F x 2 cos
x
x
C. F x 2 sin a cos a .
2
2
Câu 96: Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2 x là
A. sin 2 x C .
B. cos2x C .
C. cos2x C .
D. cos 2 x C .
Câu 97: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g x tan x ?
2
(III) f x tan 2 x 1
2
cos x
B. II .
C. II , III .
(I) f x tan 2 x 2 (II) f x
A. III .
D. I , II , III .
Câu 98: Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2 x cos3x dx .
1
1
1
1
Câu 99: Nguyên hàm của hàm số f x sin x cos x là:
1
1
A. sin x cos x .
B. cos 2 x C .
C. cos 2 x C .
4
4
x
2
Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số f x 4 sin x là
D.
f x dx 2 cos 2x 3 sin 3x C .
C. f x dx cos 2 x sin 3x C .
A.
sin 3 x
C .
3
4x x 1
C.
sin 2 x C .
ln 4 2 4
Câu 101: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) tan 2 x .
A. 4 x ln x
f ( x)dx tan x x C .
C. f ( x)dx tan x C .
A.
f x dx 2 cos 2x 3 sin 3x C .
D. f x dx cos 2 x sin 3x C .
B.
B. 4 x ln x
D.
1
sin 2 x C .
4
sin 3 x
C .
3
4x 1
sin 2 x C .
ln 4 4
f ( x)dx tan x x C .
D. f ( x)dx x tan x C .
B.
Câu 102: Nguyên hàm của hàm số f ( x) sin 3 x.cos5 x là.
1
1
1
1
A. f ( x)dx cos2 x cos8 x C .
B. f ( x)dx cos2 x sin 8 x C .
4
16
4
16
1
1
1
1
C. f ( x)dx sin 2 x cos8 x C .
D. f ( x )dx cos2 x cos8 x C .
4
16
4
16
Câu 103: Tính I 8sin 3x cos xdx a cos 4 x b cos 2 x C . Khi đó, a b bằng
A. 1.
B. 2.
2
Câu 104: Nguyên hàm sin 2 xdx là
1
1
x sin 4 x C .
2
8
1
1
C. x sin 4 x C .
2
4
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT
A.
C. 3.
D. 1 .
1 3
sin 2 x C .
3
1
1
D. x sin 4 x C .
2
8
B.
2x
Câu 105: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 5 .
A. 52 x dx 2.
52x
C .
ln5
B. 52 x dx
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
25x
C .
2ln 5
Trang 16
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
C. 52 x dx 2.5 2 x ln 5 C .
D. 52 x dx
25x1
C .
x 1
2018x
Câu 106: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x e .
1
A.
f x d x 2018 .e
2018 x
C
f x dx e
f x dx e
D.
.
2018 x
f x dx 2018e
C
C.
.
Câu 107: Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f x e1 4x ?
A. y 4e1 4 x .
B. y
2018 x
B.
1 1 4 x
e .
4
C. y
2018 x
C
.
ln 2018 C
1 1 4 x
e .
4
.
D. y e1 4 x .
x
Câu 108: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e 2x thỏa mãn F 0 3 . Tìm F x .
2
A. F x e x x 2 5 .
2
C. F x e x x 2 3 .
2
B. F x 2e x x 2 1 .
2
1
D. F x e x x 2 .
2
x
Câu 109: Cho hàm số f x thỏa mãn f x 2018 ln2018 cos x và f 0 2 . Phát biểu nào sau đúng?
x
A. f x 2018 sin x 1.
C. f x
B. f x
2018x
sin x 1 .
ln 2018
2018x
sin x 1 .
ln 2018
x
D. f x 2018 sin x 1.
3x 2
(2 e
Câu 110: Tính
) dx
A. 3 x 4 e 3 x 1 e 6 x C
B. 4 x 4 e 3 x 5 e 6 x C
3
6
4 3x 1 6 x
C. 4 x e e C
3
6
3
6
4 3x 1 6 x
D. 4 x e e C
3
6
F(x) ex ex x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
f (x) ex ex 1
B. f ( x ) e x e x 1 x 2
Câu 111: Hàm số
A.
C.
x
x
f (x) e e 1
Câu 112: Họ nguyên hàm của hàm số
D. f ( x ) e x e x
f (x) e2x e3x là :
e3 x e2 x
C.
A.
3
2
e3 x e3x
C .
C.
2
2
Câu 113: Họ nguyên hàm của hàm số
2
1
x2
2
e2 x e3x
C .
B.
2
3
e2 x e3x
C.
D.
3
2
f (x) 32x 23x
32 x
23 x
C .
A.
2.ln 3 3.ln 2
32 x
23x
C .
C.
2.ln 3 3.ln 2
là :
32 x
23x
C .
B.
2.ln 3 3.ln 2
32 x
23x
C .
D.
2.ln 3 3.ln 2
Câu 114: Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x 1 e x .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 17
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
x
f x dx e C .
C. f x dx e e C .
Câu 115: F x là một nguyên hàm của hàm số
A.
x
x
x
f x dx e x C .
D. f x dx e C .
B.
x
2
y xex . Hàm số nào sau đây không phải là F x ?
A. F x 1 e x 2 .
B. F x 1 e x 5 .
C. F x 1 e x C .
D. F x 1 2 e x
2
2
2
2
2
2
2
2x
x
Câu 116: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 2 3
2
.
x
.
4
x
x
12
2x x
C .
ln12
3
22 x 3x x x
F
x
C.
.
ln 2 ln 3 4x
x
B. F x 12 x x C .
A. F x
D. F x
Câu 117: Tính nguyên hàm của hàm số f x e x 2017
2018
C .
x4
504, 5
f x d x 2017e x
C .
x4
A.
f x dx 2017e
C.
x
2018e x
x5
22 x 3x x x ln 4
.
ln 2 ln3
4x
.
504, 5
C .
x4
2018
f x d x 2017e x 4 C .
x
B.
f x d x 2017e
D.
x
Câu 118: Tính 22 x.3x.7 x dx
84 x
C
A.
ln 84
Câu 119: Nguyên hàm
22 x.3x.7 x
C
B.
ln 4.ln 3.ln 7
C. 84 x C
D. 8 4 x ln 84 C
e2 x1 2
3 ex dx là:
5 53 x1 2 3x
5 53 x1 2 3x
e
e
C
A.
.
B. e e C .
3
3
3
3
5
x
5
5 3 x1 2 3
5 3 x1 2 3x
e
e
C
C.
.
D. e e C .
3
3
3
3
1
Câu 120: Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x x
và F 0 1 ln 4 . Tập nghiệm S của
e 3
3
x
phương trình 3F x ln e 3 2 là
A. S 2 .
B. S 2;2 .
C. S 1;2 .
D. S 2;1 .
Câu 121: Hàm số F x 1 e 3 x 1 9 x 2 24 x 17 C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây.
27
f x x
2 x 1 e
C.
Câu 122: Cho hai hàm số F x x
A. f x x 2 x 1 e3 x 1 .
2
2
3 x 1
2
.
ax b e x và
nguyên hàm của hàm số f x .
A. a 1 , b 7 .
B. a 1 , b 7 .
D. f x x 2 x 1 e .
f x x 3x 6 e . Tìm a và b để F x là một
B. f x x 2 2 x 1 e3 x 1 .
3 x 1
2
2
C. a 1 , b 7 .
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
x
D. a 1 , b 7 .
Trang 18
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
Câu 123: Cho F x ax 2 bx c e2 x là một nguyên hàm của hàm số f x 2018x 2 3x 1 e2 x trên
khoảng ; . Tính T a 2b 4c .
A. T 3035 .
B. T 1007 .
C. T 5053 .
D. T 1011 .
2
x
Câu 124: Biết F x ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x 2 5x 2 e x trên .
Tính giá trị của biểu thức f F 0 .
A. e 1 .
B. 20e 2 .
C. 9e .
DẠNG 7: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BIẾT HÀM f x
Câu 125: Cho hàm số y f x thỏa mãn f '( x )
D. 3e .
1
, f (1) 1. Tính f (5)
2x 1
1
B. f (5) ln 3 .
C. f (5) ln 2 .
D. f (5) ln 3 1 .
2
Câu 126: Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x x sin x và f 0 1 . Tìm f x .
A. f (5) 2ln3 1.
x2
x2
cos x 2 .
B. f x cos x 2 .
2
2
2
x
x2
1
C. f x cos x .
D. f x cos x .
2
2
2
Câu 127: Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 5cos x và f 0 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x
A. f x 3 x 5sin x 2 .
B. f x 3 x 5sin x 5 .
C. f x 3 x 5sin x 5 .
D. f x 3 x 5sin x 5 .
Câu 128: Tìm hàm số y f x biết f x x 2 x x 1 và f 0 3 .
x4 x2
3.
4
2
4
x
x2
C. f x 3 .
4
2
A. f x
B. f x 3 x 2 1 .
D. f x
x4 x2
3.
4
2
1
, f 0 2017 , f 2 2018 .
x 1
Câu 129: Cho hàm số f x xác định trên \ 1 thỏa mãn f x
Tính S f 3 f 1 .
A. S 4 .
B. S ln 2 .
C. S ln 4035 .
D. S 1 .
3x 1
Câu 130: Cho hàm số f x xác định trên \ 2 thỏa mãn f x
, f 0 1 và f 4 2 . Giá
x2
trị của biểu thức f 2 f 3 bằng:
A. 3 20ln 2 .
B. ln 2 .
C. 12 .
D. 10 ln 2 .
Câu 131: Cho hàm số f x xác định trên \ 1 thỏa mãn f x
Giá trị f 3 bằng
A. 2 ln 2 .
B. 1 2ln 2 .
3
; f 0 1 và f 1 f 2 2 .
x 1
C. 1 ln 2 .
Câu 132: Cho hàm số f x xác định trên \ 0 thỏa mãn1 f x
x
D. 1.
2
1
x3
2
, f 1 1 và f 1 2 .
Giá trị của biểu thức f 2 f 2 bằng
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông THPT Nho Quan A
Nguyên Hàm -Tích Phân và Ứng Dụng
27
3
15
4 ln 2 .
B. 4ln 2 .
C. 4 ln 2 .
D.
4ln 2
4
4
4
Câu 133: Hàm số f x xác định, liên tục trên và có đạo hàm là f x x 1 . Biết rằng f 0 3 .
A.
Tính f 2 f 4 ?
A. 10 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 11 .
2
Câu 134: Biết hàm số y f x có f x 3 x 2 x m 1 , f 2 1 và đồ thị của hàm số y f x cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f x là
A. x3 x 2 3x 5 .
C. 2 x3 x 2 7 x 5 . D. x3 x 2 4 x 5 .
1
Câu 135: Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1 thỏa mãn f x 2
và f 3 f 3 0 .
x x2
Giá trị của biểu thức f 4 f 4 bằng
A. 0 .
B. x3 2 x 2 5 x 5 .
1
B. ln 2 .
3
C.
1
ln 2 .
3
Câu 136: Cho hàm số f x xác định trên \ 1;1 và thỏa mãn f x
D.
1
ln 5 .
3
1
. Biết rằng
x 1
2
1
1
f 3 f 3 0 và f f 2 . Tính T f 2 f 0 f 4 .
2
2
9
6
1 9
1 6
A. T 1 ln .
B. T 1 ln .
C. T 1 ln .
D. T 1 ln .
5
5
2 5
2 5
ĐT: 0978064165 - Email:
[email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trang 20