Tài liệu Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàn trung thực, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ và pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Thanh Hải ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo, TS. Vũ Đức Thái, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập tại trường và các cán bộ Phòng Đào tạo đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Tuy đã có những cố gắng nhất định nhưng do thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định. Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016 Học viên Phạm Thanh Hải iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................ iii DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................ vi DANH MỤC CÁC HÌNH ........................................................................... vii MỤC LỤC .................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO..................................................... 3 1.1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng ............................................... 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng .......................... 3 1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập .................................................................................................... 4 1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor ............................................................... 4 1.1.4. Bài toán sai phân .................................................................................. 6 1.2. Phương trình truyền nhiệt 2 chiều ............................................................ 8 1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào ............................................................... 12 1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào ................................................ 12 1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào............................... 13 1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN ........................................................... 14 1.3.4. Một số ứng dụng của công nghệ CNN ................................................ 20 CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU ........ 24 2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phương trình đạo hàm riêng [12] ....... 24 2.2. Phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào ..................................................................................................... 28 2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu ........................................................................... 28 iv 2.2.2. Ứng dụng máy tính CNN-UM trong một số bài toán đơn giản............ 29 2.2.3. Sự ổn định của mạng CNN ................................................................. 37 2.3. Phương trình truyền nhiệt hai chiều và các ràng buộc............................ 48 2.3.1. Thành lập phương trình truyền nhiệt ................................................... 48 2.3.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên ................................................... 51 2.4. Giải phương trình truyền nhiệt 2 chiều bằng CNN................................. 52 2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phương trình truyền nhiệt hai chiều ........... 52 2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phương trình truyền nhiệt hai chiều ............... 52 2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phương trình truyền nhiệt hai chiều............................................................................................................. 53 2.5. Kết luận ................................................................................................. 55 CHƯƠNG 3. CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU..................................................................................... 56 3.1. Xây dựng bài toán ................................................................................. 56 3.2. Các kết quả tính toán ............................................................................. 57 KẾT LUẬN .................................................................................................. 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 69 v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt CNN Cellular Neural Network Công nghệ mạng nơron tế bào PDE Partial Difference Equation Phương trình đạo hàm riêng Ma trận cổng logic lập trình FPGA Field Programmable Logic Array VLSI Very Large Scale Intergrated VHDL Very High Description Language Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dù được Chip tích hợp mật độ cao vi DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Giá trị ban đầu của nhiệt độ trong tấm phẳng thực nghiệm ........... 58 Bảng 3.2: Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 59 Bảng 3.3. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 60 Bảng 3.4. Kết quả tính toán sau 10 giây. ...................................................... 61 Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 61 Bảng 3.5. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 62 Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................ 62 Bảng 3.6. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 63 Bảng 3.7. Giá trị của các điểm biên được xác định ....................................... 64 Bảng 3.8. Kết quả tính toán sau 10 giây ....................................................... 65 vii DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn .................................................................. 13 Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN ............................................... 13 Hình 1.3 Một số kiến trúc CNN không chuẩn .............................................. 14 Hình 1.4 Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp...................................................... 15 Hình 1.5: CNN không gian bất biến với 3 láng giềng .................................. 17 Hình 1.6 Mô tả cấu trúc tương tác của CNN tổng quát ................................ 18 Hình 1.7: CNN hồi tiếp bằng 0: C(0,B,z) .................................................... 19 Hình 1.8: Mạch điện của CNN có hồi tiếp bằng 0 C(0,B,z) .......................... 19 Hình 1.9: CNN đầu vào bằng 0, C(A,0,z) .................................................... 19 Hình 1.10: Mạch điện CNN đầu vào bằng 0:C(A,0,z) ................................. 20 Hình 2.1: Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hưởng đến lớp v ..................... 25 Hình 2.2: Lưới sai phân 2 chiều.................................................................... 25 Hình 2.3: Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE ....................................... 28 Hình 2.4: Kiến trúc tế bào mở rộng thêm vào 3 khối (LLM, GW, GCL) ..... 30 Hình 2.5: Tế bào mở rộng có thêm hai khối cell khác nhau ......................... 30 Hình 2.6 Thủ tục SUBSET như một hàm ..................................................... 31 Hình 2.7: Lưu đồ xử lý của bài toán dò biên ................................................. 32 Hình 2.8: Quá trình nạp TEM1 (a,b)............................................................ 34 Hình 2.9: Nạp kết quả vào LLM3 ............................................................... 35 Hình 2.10: Ảnh kết quả xử lý bỏ đi các điểm ảnh cô lập.............................. 36 Hình 2.11: Giá trị ban đầu của phương trình................................................ 37 Hình 2.12: Ảnh kết quả nghiệm của phương trình ...................................... 37 Hình 2.13. Đặc trưng của mạch phi tuyến tính trong mạch ô tương đương .. 43 Hình 2 .14: Mạch tương đương vững chắc của một ô trong một nơron tế bào ..................................................................................................................... 44 viii Hình 2.15: Các tuyến động và các điểm cân bằng của mạch tương đương với các giá trị khác nhau của g(t). ....................................................................... 47 Hình 2.16: Sao chép khuôn mẫu của một khối tương tác toán tử. ................. 48 Hình 2.16: Sơ đồ khối CNN 2D cho giải phương trình truyền nhiệt ............. 54 Hình 2.17: Khối xử lý số học của mạng CNN giải phương trình truyền nhiệt . 54 Hình 3.1. Tấm phẳng làm thực nghiệm......................................................... 56 Hình 3.2: Giá trị nhiệt độ ban đầu ................................................................ 59 Hình 3.3: Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................. 60 Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 61 Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................ 62 Hình 3.6 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .......................................................... 63 Hình 3.7: Giá trị của nhiệt độ sau 5 giây....................................................... 64 Hình 3.8 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giấy .......................................................... 65 1 MỞ ĐẦU Trong nhiều bài toán khoa học các đại lượng biến thiên phức tạp theo nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ngoại cảnh. Để giải quyết các bài toán trên thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, thậm chí là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau như: phương pháp giải tích, phương pháp sai phân với các công thức sai phân đã tiến hành cài đặt trên máy vi tính. Các máy tính thông thường hiện nay có thể giải được nhưng với tốc độ hạn chế, một số trường hợp không đáp ứng được với ứng dụng trong thời gian thực. Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào CNN vào giải phương trình đạo hàm riêng với tốc độ cao là cần thiết và có nhiều triển vọng trong tương lai đáp ứng cho các bài toán trong thời gian thực. Do đó, em đã chọn “Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều” nhằm mục tiêu tìm hiểu công nghệ mạng nơ ron tế bào và tìm hiểu phương pháp, kỹ thuật thuật thực hiện giải phương trình truyền nhiệt hai chiều bằng công nghệ này. Để thực hiện mục tiêu này, đề tài này tập trung nghiên cứu các nội dung sau: Chương 1: Vấn đề giải phương trình truyền nhiệt bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào: Nghiên cứu công nghệ mạng nơron tế bào, các phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt hai chiều và các ứng dụng thực tiễn. Chương 2: Giải phương trình truyền nhiệt hai chiều: Đề xuất phương pháp giải và xây dựng mô hình bài toán phương trình truyền nhiệt hai chiều được giải bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào. Chương 3: Mô phỏng thực nghiệm: Mô phỏng tính toán kết quả trên Matlab, đánh giá so sánh kết quả. 2 Luận văn nghiên cứu với mục tiêu tìm hiểu một công nghệ mới ứng dụng trong việc giải phương trình đạo hàm riêng trong lĩnh vực tính toán khoa học. Đó là một nhu cầu rất quan trọng trong thời đại phát triển khoa học công nghệ ngày nay, khi mà hầu hết các hiện tượng lý hoá sinh trong tự nhiên được biểu diễn bởi các phương trình phi tuyến phức tạp mà phương trình đạo hàm riêng chiếm số lượng lớn. Việc giải phương trình truyền nhiệt hai chiều là một ứng dụng trong lĩnh vực vật lý hiện . Trong nội dung của luận văn chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong quý thầy cô và các bạn đọc quan tâm, đóng góp ý kiến, để luận văn được hoàn thiện hơn. 3 CHƯƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO 1.1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa: Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa đạo hàm riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [7,8]. Ví dụ: u u u   0 x y z  2u  2u  2u   u x 2 y 2 z 2 (1.1) (1.2) trong đó (1.1) và (1.2) là các phương trình đạo hàm riêng của hàm chưa biết là u(x,y,z); Cấp của phương trình: Là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của (1.1) là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích của chúng với nhau. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tích cấp hai đối với hàm hai biến x,y là: A( x, y)  2u  2u  2u u u  2 B ( x , y )  C ( x , y )  D( x, y)  E( x, y) F ( x, y)u  G( x, y) 2 2 x xy y x y (1.3) Nếu G(x,y)  0 thì phương trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là không thuần nhất. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là nghiệm của (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phương trình (1.2). 4 1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong đó hàm u ( x, y ) chưa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y ) là A( x, y)  2u  2u  2u u u  2 B ( x , y )  C ( x , y )  D( x, y)  E ( x, y)  F ( x, y)u  G( x, y) 2 2 xy x y x y (1.4) Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình có dạng (1.4) nhờ những phép biến đổi thích hợp có thể đưa về một trong ba dạng sau: a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích hợp có thể đưa phương trình (1.4) trong miền ấy về dạng  2u  2u u u   D1  E1  F1u  G1 ( , ) 2 2     (1.5) Trong trường hợp này phương trình (1.5) gọi là phương trình loại eliptic. b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền ấy có thể đưa về dạng  2u  2u u u  2  D2  E2  F2 u  G2 ( , ) 2     (1.6) Trong trường hợp này phương trình (1.6) gọi là phương trình loại hypebolic. c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.4) trong miền ấy có thể đưa về dạng  2u u u  D3  E3  F3u  G3 ( , ) 2    (1.7) Trong trường hợp này phương trình (1.7) gọi là phương trình loại parabolic. 1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor Trong các phần trước ta đã xét các phương pháp tìm nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm đối với một số ít trường hợp [5,7]. Còn đại đa số trường hợp khác, 5 đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi bài giảng đưa ra phương pháp sai phân để giải quyết vấn đề đó. Để tiện trình bày phương pháp ta xét một bài toán cụ thể sau. Đặt bài toán: Cho các số a, b với a < b. QT  a  x  b ; 0  t  T  ; QT  a  x  b ; 0  t  T  . Tìm hàm số u(x, t) thoả mãn Lu  u  2 u   f ( x, t ) t x 2 u ( x,0)  g ( x) u (a, t )  g a (t ) u (b, t )  g b (t ) (x,t) QT (1.8) a xb (1.9) 0t T (1.10) Lưới sai phân. Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt h ba N x i  a  ih  T M t j  j. i  0,1, 2,...., N j  0,1,2,...., M Ta chia miền QT thành ô bởi những đường thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm x i , t j  được gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phương pháp là tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  . Trong đó: h gọi là bước đi không gian. 6  gọi là bước đi thời gian. Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lưới sai phân trên QT . Xấp xỉ các đạo hàm: Áp dụng công thức Taylor ta có u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j 1 ) 2  u ( xi , t j )  o( ) t u ( xi 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j ) h2  (1.11)  2u ( xi , t j )  o(h 2 ) 2 x (1.12) Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phương án khác nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân. 1.1.4. Bài toán sai phân j Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vi  u( xi , t j ) . * Xuất phát từ u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )   u ( xi , t j )  o( ) t u ( x i 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j ) h2   2u ( x i , t j )  o( h 2 ) 2 x suy ra u ( x i , t j 1 )  u ( x i , t j )   Để tính u ( xi 1 , t j )  2u ( x i , t j )  u ( x i 1 , t j ) h2  u  2u ( x i , t j )  2 ( xi , t j )  o(  h 2 ) . t x vij ta đưa về bài toán sai phân sau: v ij 1  v i j   v i j1  2v i j  v ij1   f ( x i , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13) h2 vi0  g ( xi ) i  1..N  1 (1.14) 7 v0j  g a (t j ) vNj  g b (t j ) đặt    h 2 (   h  2 j  1..M (1.15) 1 ) thì (1.13) được viết thành: 2 vij 1  (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j ) (1.16) Từ (1.16) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính được vij 1 với các điều kiện đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở (1.14). * Nếu ta xuất phát từ u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )   u ( xi , t j 1 )  o( ) t  2u  2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 ) x u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 ) u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 ) h2 u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j ) thì ta có   h2 u  2u  ( x i , t j 1 )  2 ( x i , t j 1 )  o(  h 2 ) t x Từ đó ta có bài toán sai phân sau: v ij 1  v ij  v ij11  2v ij 1  v ij11   f ( x i , t j 1 ) h2 i  1..N  1, j  0..M  1 vi0  g ( xi ) i  1..N  1 v0j  g a (t j ) v Nj  g b (t j ) Đặt   j  1..M  h2 ta đưa hệ về dạng sau:  vij11  (1  2 )vij 1   vij11  vij   f ( xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1 8 v0j 1  0.v1j 1 0 . v Nj 11  ga (t j 1 )  v Nj  1  g b ( t j  1 ) Từ hệ trên ta thấy nếu biết vi0  g ( xi ) vi j j  0..M  1 j  0 .. M  1 thì ta tính được vij11 , vij 1 , vij11 với . Việc giải hệ này được thực hiện bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo. 1.2. Phương trình truyền nhiệt 2 chiều Phương trình nhiệt: Là một phương trình đạo hàm riêng miêu tả sự biến thiên của nhiệt độ trên một miền cho trước qua thời gian [7,8]. Mô tả bài toán: Giả sử ta có một hàm số u miêu tả nhiệt độ tại bất kì vị trí (x, y) nào đó. Hàm số này sẽ thay đổi theo thời gian khi nhiệt truyền đi ra khắp không gian. Phương trình nhiệt được sử dụng để xác định sự thay đổi của hàm số u theo thời gian. Một trong những tính chất của phương trình nhiệt là định luật maximum nói rằng giá trị lớn nhất của u hoặc là ở thời gian trước đó hoặc là ở cạnh biên của miền đang xét. Điều này đại khái nói rằng nhiệt độ hoặc nhiệt độ đến từ một nguồn nào đó hoặc là từ thời gian trước đó chứ không được tạo ra từ không có gì cả. Đây là một tính chất của phương trình vi phân parabolic và không khó chứng minh. Một tính chất khác nữa là ngay cả nếu như u không liên tục tại thời gian khởi đầu t = t0, thì nhiệt độ sẽ ngay lập tức trơn ngay tức khắc sau đó cho các giá trị t > t0. Chẳng hạn, nếu một thanh kim loại có nhiệt độ 0 và một thanh khác có nhiệt độ 100 và được gắn với nhau đầu này với đầu kia, thì 9 ngay lập tức nhiệt độ tại điểm nối là 50 và đồ thị của nhiệt độ chạy trơn từ 0 đến 100. Về mặt vật lý điều này là không thể được, vì như vậy là thông tin được truyền đi với vận tốc vô hạn, sẽ phá vỡ luật nhân quả. Đây là một tính chất của phương trình nhiệt hơn là bản thân của sự truyền nhiệt. Tuy nhiên, cho nhiều mục đích thực tế, sự khác nhau là có thể bỏ qua. Phương trình nhiệt được sử dụng trong xác suất và để diễn tả bước ngẫu nhiên (random walks). Nó cũng được áp dụng trong toán tài chính vì lý do này. Bài toán vật lý và phương trình: Biểu diễn đồ họa cho nghiệm của một phương trình nhiệt 1D. Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hướng và đồng nhất trong không gian 2-chiều, phương trình này là: (1.17) với:   u=u ( t, x, y) là một hàm số theo thời gian và không gian; là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian; 10 đạo hàm bậc 2 (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo  hướng x, y, theo thứ tự.  k là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt. Phương trình nhiệt là hệ quả của định luật Fourier cho dẫn nhiệt. Nếu môi trường truyền đi không phải là toàn bộ không gian, để giải phương trình nhiệt chúng ta cần phải xác định các điều kiện biên cho hàm số u. Để xác định tính duy nhất của các nghiệm trong toàn bộ không gian chúng ta cần phải giả thiết một chặn trên với dạng hàm mũ, điều này là hợp với các quan sát từ thí nghiệm. Nghiệm của phương trình nhiệt được đặc trưng bởi sự tiêu tán dần của nhiệt độ ban đầu do một dòng nhiệt truyền từ vùng ấm hơn sang vùng lạnh hơn của một vật thể. Một cách tổng quát, nhiều trạng thái khác nhau và nhiều điều kiện ban đầu khác nhau sẽ đi đến cùng một trạng thái cân bằng. Do đó, để lần ngược từ nghiệm và kết luận điều gì đó về thời gian sớm hơn hay các điều kiện ban đầu từ điều kiện nhiệt hiện thời là hết sức không chính xác ngoài trừ trong một khoảng thời gian rất ngắn. Phương trình nhiệt là một ví dụ phổ biến của phương trình vi phân parabolic. Sử dụng toán tử Laplace, phương trình nhiệt có thể tổng quát thành với toán tử Laplace được lấy theo biến không gian. Phương trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài toán trong cơ học lượng tử cũng được miêu tả bằng một phương trình tương tự như là phương trình nhiệt. Nó cũng có thể được sử dụng để mô phỏng các 11 hiện tượng xảy ra trong tài chính, như là Black-Scholes hay là các quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Phương trình này, và các phương trình phi tuyến tương tự khác, được sử dụng trong phân tích ảnh. Phương trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm thuyết tương đối hẹp, bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu: * Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào: Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (1.17) ta còn cần phải biết phân bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên s của vật. Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách * Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t ) * Tại mọi điểm của biên s cho biết dòng nhiệt u biên : n Trong đó q  k (1.18). u n vậy ta có điều kiện (1.19)   2 ( P, t ) S  2 ( P, t )   q ( P, t ) k là một hàm cho trước. * Trên biên s của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, mà nhiệt độ của nó là uo ó điều kiện biên sau:  u   n  h(u  u 0 )  0  S u Nếu biên s ách nhiệt thì h=0 suy ra (1.20) trở thành n (1.20) 0 S Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (1.17) thoả mãn điều kiện đầu u t 0   ( x, y, z ) và một trong các điều kiện biên. 12 1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào 1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào Khi phát triển lý thuyết về mạng nơron tế bào, các nhà nghiên cứu đã đưa ra một số định nghĩa có tính hình thức về kiến trúc mạng [10,11]: Định nghĩa 1: Hệ mạng nơron tế bào – CNN: a) Là ma trận 2-, 3- hoặc n- chiều của những phần tử động giống nhau (gọi là tế bào - cell) b) Mỗi tế bào có hai thuộc tính: - Chỉ tương tác trong vùng có bán kính là r - Mọi biến trạng thái là tín hiệu có giá trị liên tục Định nghĩa 2: CNN là mạch phi tuyến động kích thước lớn được tạo bởi cặp các phần tử liên kết với nhau, phân bố đều trong không gian mà mỗi phần tử là một mạch tích hợp gọi là cell. Mạng này có thể có cấu trúc hình chữ nhật, lục giác đều, cầu v.v... Hệ CNN cấu trúc MxN được định nghĩa một cách toán học theo 4 đặc tả sau: 1) CNN là phần tử động học nghĩa là trạng thái điện áp của tế bào thay đổi theo thời gian tùy theo tương tác giữa nó và các láng giềng. 2) Luật tiếp hợp trong CNN biểu diễn sự tương tác cục bộ trong từng cặp lân cận trong các tế bào láng giềng, mỗi tế bào có: Điều kiện ban đầu; Điều kiện biên. Chú ý: - Giá trị của biến không gian thì luôn luôn rời rạc và biến thời gian t có thể là liên tục hay rời rạc. - Tương tác giữa các cell thì luôn luôn xảy ra thông qua mẫu vô tính mà có thể là hàm phi tuyến của trạng thái x, đầu ra y, và đầu vào u của mỗi cell C(i,j) trong lân cận Nr có bán kính r; Nr(i,j) = {C(k,l)|max{|k-i|,|l-j|}  r, 1 k  M, 1  l  M}