Tài liệu Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt ba chiều

LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Vũ Đức Thái. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực, bảo đảm tính khách quan, luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ hội đồng nào và chưa hề được công bố trên bất kỳ phương tiện nào khác. Các tài liệu tham khảo có nguồn gốc xuất xứ rõ ràng. Tác giả xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Thái nguyên, ngày 24 tháng 6 năm 2016 Tác giả luận văn Đỗ Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Vũ Đức Thái đã trực tiếp giao cho em đề tài, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho em hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các cán bộ nhân viên phòng Đào tạo, Lãnh đạo Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông đã giúp đỡ tạo điều kiện cho em hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận văn của mình. Thái nguyên, ngày 24 tháng 6 năm 2016 Học viên Đỗ Anh Tuấn i MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ MỤC LỤC..........................................................................................................i DANH MỤC CAC TỪ VIẾT TẮT .................................................................iii DANH MỤC CAC HINH ...............................................................................iv DANH MỤC CAC BẢNG ...............................................................................v MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 CHƯƠNG I GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT ............................. 2 1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng.................. 2 1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN ........................... 2 1.1.2. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu ..................................................... 3 1.1.3. Ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN................. 3 1.1.4. Phương pháp sai phân Taylor ............................................................... 8 1.2. Các khái niệm cơ bản về công nghệ mạng nơron tế bào ........................ 11 1.2.1. Kiến trúc, mô hình toán học của mạng................................................ 11 1.2.2. Một số ứng dụng của công nghệ CNN ................................................ 13 1.3. Giới thiệu một số phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN ............... 16 1.3.1. Phương trình Burger ........................................................................... 16 1.3.2. Phương trình Navier-Stokes................................................................ 18 1.3.3. Phương trình truyền sóng âm .............................................................. 21 1.4. Kết luận ................................................................................................. 22 CHƯƠNG II CÔNG NGHỆ CNN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3 CHIỀU ......................................................................... 23 2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phương trình đạo hàm riêng ............... 23 2.2. Phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơron tế bào ................................................................................................. 27 ii 2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu ........................................................................... 27 2.2.2. Mẫu và sự ổn định của mạng CNN ..................................................... 29 2.3. Phương trình truyền nhiệt 3 chiều và các ràng buộc .............................. 30 2.4. Giải phương trình truyền nhiệt 3 chiều bằng CNN................................. 33 2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phương trình truyền nhiệt 3 chiều .............. 33 2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phương trình truyền nhiệt 3 chiều .................. 34 2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phương trình truyền nhiệt 3 chiều.... 35 2.4.4. Lưu đồ thuật toán tính toán trên CNN................................................. 37 2.5. Kết luận ................................................................................................. 39 CHƯƠNG III CÀI ĐẶT TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG ................................... 40 3.1. Xây dựng tham số cho phương trình truyền nhiệt 3 chiều ...................... 40 3.1.1. Các thông số vật lý của phương trình................................................. 40 3.2 Thiết kế thuật toán tính toán ................................................................... 40 3.3 Cài đặt chương trình và thử nghiệm........................................................ 41 3.4 Đánh giá kết quả tính toán ...................................................................... 48 3.5 Kết luận .................................................................................................. 48 KẾT LUẬN.................................................................................................. 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51 iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt CNN Cellular Neural Network Công nghệ mạng nơron tế bào PDE Phương trình đạo hàm riêng Partial Difference Equation FPGA Field Programmable Logic Array Ma trận cổng logic lập trình được VLSI Very Large Scale Intergrated VHDL Chip tích hợp mật độ cao VHSIC hardware description Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dùng language lập trình cấu hình chip FPGA iv DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1 Kiến trúc CNN chuẩn ................................................................. 12 Hình 1.2 Một cell của CNN tuyến tính đơn giản ....................................... 12 Hình 1.3 Minh họa kết quả giải phương trình ........................................... 17 Hình 1.4 Mô hình mẫu của phương trình truyền âm 3D ……………….. 21 Hinh 2.1 Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hưởng đến lớp v .................. 24 Hình 2.2 Lưới sai phân 2 chiều .................................................................. 24 Hình 2.3 Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE .................................... 27 Hình 2.4 Các mẫu đảm bảo điều kiện ổn định của mạng CNN ................. 29 Hình 2.5 Các mẫu CNN ............................................................................. 30 Hình 2.6 Sai phân bài toán truyền nhiệt tổng quát .................................. 34 Hình 2.7: Sơ đồ khối CNN 3D cho giải phương trình truyền nhiệt ......... 36 Hình 2.8 Khối xử lý số học của mạng CNN giải PT truyền nhiệt ........... 37 Hình 2.9 Thuật toán tính toán trên mạng nơ ron tế bào ........................... 38 Hình 3.1 Lưới giá trị các tế bào lớp 1 thời điểm ban đầu .......................... 42 Hình 3.2: Lưới giá trị các tế bào lớp 1 sau thời gian t=5s........................ 44 Hình 3.3 Lưới giá trị các tế bào lớp 2 khởi tạo ban đầu ............................ 45 Hình 3.4: Lưới giá trị các tế bào lớp 2 sau thời gian t=5s........................ 47 v DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 3.1 Các tham số vật lý cho bài toán truyền nhiệt 40 Bảng 3.2: Giá trị nhiệt độ các tế bào lớp 1 thời điểm ban đầu 42 Bảng 3.3 Giá tri nhiệt độ các tế bào tính được ở lớp 1 sau thời gian t 44 Bảng 3.4 Giá trị nhiệt độ các tế bào lớp 2 thời điểm ban đầu 45 Bảng 3.5 Giá trị nhiệt độ các tế bào tính được ở lớp 2 sau thời gian t=5s 47 1 MỞ ĐẦU Trong nhiều bài toán khoa học các đại lượng biến thiên phức tạp theo nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ràng buộc của các quy luật tự nhiên, định luật vật lý, hóa học.... Để giải quyết các bài toán trên thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, thậm chí là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau như: phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp không lưới. Để giải trên máy vi tính hoặc các công cụ tính toán chuyên dụng ta phải rời rạc hóa mô hình liên tục với các công thức sai phân. Các máy vi tính hiện nay có thể giải được nhưng với tốc độ hạn chế, một số trường hợp không đáp ứng được với ứng dụng trong thời gian thực. Công nghệ mạng nơron tế bào (CNN) là mô hình tính toán song song vật lý với các mảng các chip có mật độ lớn thực hiện tính toán đồng thời [10,11]. Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào vào giải phương trình đạo hàm riêng đạt được tốc độ tính toán rất cao đáp ứng nhu cầu cho các bài toán trong thời gian thực. Nhằm tìm hiểu và nắm bắt, vận dụng kiến thức vào giải quyết một bài toán cụ thể, được sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn, em chọn đề tài: “NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠRON TẾ BÀO VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3 CHIỀU”. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu những nội dung lý thuyết cơ bản về công nghệ CNN và phương trình truyền nhiệt. Nghiên cứu một dạng phương trình truyền nhiệt trong không gian 3 chiều, phân tích, thiết kế mạng CNN dựa trên việc phân tích thiết kế mẫu cho các phương trình. Cài đặt chương trình mô phỏng tính toán đưa ra kết quả tính toán giải phương trình với một số giá trị biên, giá trị ban đầu giả định. Nội dung luận văn gồm các nội dung sau: 2 CHƯƠNG I GIỚI THIỆU BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 1.1. Phương trình vi phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng 1.1.1. Các dạng phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN Định nghĩa 1.1: Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có chứa đạo hàm riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [8]. Ví dụ: u u u   0 x y z (1.1) 2u 2u 2u   u x2 y2 z2 (1.2) (1.1) và (1.2) là các phương trình đạo hàm riêng của hàm chưa biết là u(x,y,z); Cấp của phương trình: là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của phương trình (1.1) là cấp 1; cấp của phương trình (1.2) là cấp 2. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích của chúng với nhau. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp hai đối với hàm hai biến x,y là: 2u 2u 2u u u A(x, y) 2  2B(x, y)  C(x, y) 2  D(x, y)  E(x, y) F(x, y)u  G(x, y) x xy y x y (1.3) Nếu G(x,y)  0 thì phương trình gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là không thuần nhất. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó vào phương trình ta được một đồng nhất thức. 3 Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là nghiệm của phương trình (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phương trình (1.2). 1.1.2. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu * Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào: Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phương trình (1.3) ta còn cần phải biết phân bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên S của vật. * Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách - Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t ) - Tại mọi điểm của biên S cho biết dòng nhiệt q  k biên u n (1.4) u vậy ta có điều kiện n   2 ( P, t ) (1.5) S Trong đó  2 ( P, t )   q ( P, t ) là một hàm cho trước. k - Trên biên S của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh, mà nhiệt độ của nó là u0 thì ta có điều kiện biên sau:  u   n  h(u  u 0 )  0  S Nếu biên S cách nhiệt thì h  0 suy ra 1.6 trở thành . (1.6) u n 0 S Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn điều kiện đầu u t 0   ( x, y, z ) và một trong các điều kiện biên. 1.1.3. Ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng giải trên CNN Khi thực thi giải trên CNN vấn đề ổn định còn đặt ra ra hệ điện tử làm việc sao cho ổn định về điện. Ta biết mạch điện tử là hệ phi tuyến các tham số như dòng điện, điện áp là đại lượng biến thiên theo thời gian t. Nếu không có 4 giá trị chặn thì các điện áp, dòng điện tăng theo thời gian đến lúc nào đó làm cháy mạch điện [4]. Do vậy, nghiên cứu sự ổn định của CNN giải PDE ta phải nghiên cứu mối liên hệ ổn định giữa phương trình toán học mô tả bài toán và phương trình mô tả hệ CNN sao cho hai phương trình này đồng nhất. - Sự ổn định của nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trước khi giải phương trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng ta cần nghiên cứu sự ổn định của nghiệm [9]. Sự ổn định này phụ thuộc vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu của hệ. Nếu các điều kiện này không thích hợp quá trình giải sẽ không thực hiện được. Hoặc là không hội tụ hoặc là cho kết quả không chính xác. Tuy nhiên, mỗi bài toán có các dạng giá trị biên khác nhau, cho đến nay việc nghiên cứu về biên của phương trình vi phân còn là đề tài đang được nghiên cứu. Về mặt ứng dụng, khi giải phương trình nào ta tập trung vào xác định biên cho phương trình đó và xác định tập giá trị biên thích hợp để giải. - Sự ổn định của mạng CNN Trước khi phát minh ra nguyên lý công nghệ CNN, đã nhiều mô hình máy tính song song được đề xuất và thiết kế phần cứng. Tuy nhiên do tính phức tạp và tương tác động giữa điện thế của các phần tử xử lý trong mạch làm cho hệ làm việc không ổn định. Mặt khác khi số phần tử tăng lên dòng điện và điện áp vượt qua giới hạn làm việc của mạch gây quá tải và phá hỏng các linh kiện của mạch điện. Do vậy, ngay từ khi đưa ra mô hình hoạt động của CNN Chua và Lyang đã tính toán chứng minh chặt chẽ về toán học để đảm bảo cho độ bền của mạch và mạch hoạt động ổn định [12]. Định lý 1.1: Với mọi trường hợp, điện áp trạng thái của CNN vxij luôn luôn có giới hạn bị chặn bởi một giá trị vmax có thể tính toán được theo công thức vmax  1  Rx | I |  Rx max [|A(i,j;k,l)|+|B(i,j;k,l)|] 1i  M,1i  N (1.7) 5 Chứng minh: Ta viết lại phương trình trạng thái theo dạng: dvxij dt  ^ 1 vxij (t )  fij (t )  gij (u )  I Rx C (1.8a) với f ij (t )  ^ 1 1 1 A(i, j; k , l )v ykl ; gfij (u )  B(i, j; k , l )vukl ; I    C C C ( k ,l )Nr (i , j ) C C ( k ,l )Nr (i , j ) (1.8b) các phương trình (1.8a) là phương trình vi phân có nghiệm: t ^ vxij (t )  vxij (0)e t / RxC   e (t  ) / RxC [f ij ( )+g ij (u )  I ]d 0 như vậy thì: t | vxij (t ) || vxij (0)e  t / Rx C ^ |  |  e  (t  ) / RxC [f ij ( )+g ij (u )  I ]d | 0 t ^ | vxij (0) | e  t / RxC   e  (t  ) / RxC [|f ij ( )|+|gij (u ) |  | I |]d 0 t ^ | vxij (0) | e  t / RxC  [Fij  Gij  | I |+  e  (t  ) / RxC d 0 ^ | vxij (0) |  Rx C+[Fij  Gij  | I | với Fij  max | fij (t ) | 1 | v ykl (t ) |  | A(i, j; k , l ) | max t C C ( k ,l )Nr ( i , j ) Gij  max | gij (u ) | 1  | B(i, j; k , l ) | muax | vukl (t ) | C C ( k ,l )Nr (i , j ) t và u vì | vxij (0) | và | vuij | theo điều kiện | vyij (t ) | 1 ta có: | vxij (t ) || vxij (0) |  Rx [  C(k,l)N r ( i , j )  1  Rx [  C(k,l)N r ( i , j ) ^ (| A(i, j; k , l ) | max | v ykl (t ) |  | B(i, j; k , l ) | max | vukl (t ) |  | I | ] t u ^ | A(i, j; k , l ) |  | B(i, j; k , l ) |  | I | ] 6 đặt:  vmax  max[1+R x | I |  Rx ij (| A(i, j; k , l ) |  | B(i, j; k , l ) | ] C ( k ,l )N r ( i , j ) vì vmax không phụ thuộc vào thời gian t và vị trí (i,j) của từng tế bào, nên tổng quát ta có: max | vxij | vmax với mọi i,j mà 1  i  M ;1  i  N t Định lý trên giúp ta tính toán được giá trị vmax theo công thức (1.7) khi biết Rx, C, I và các giá trị của A, B. Trong quá trình xử lý khi thiết lập các giá trị ban đầu cho hệ, hệ CNN có sự biến thiên quá độ của dòng điện, điện áp trong toàn mạch. Tuy vậy với kiến trúc mảng các tế bào phức tạp có sự trao đổi tương tác về điện ta cần đảm bảo sau thời gian quá độ của mạch điện, trạng thái của mạch phải trở về ổn định. Người ta đã chứng minh sự hội tụ của mạch CNN dựa trên phương pháp của Lyapunov về sự hội tụ của mạch phi tuyến [4,12]. Định nghĩa 1.2: Dạng hàm Lyapunov E(t) của CNN là hàm vô hướng: E (t )   1 1 A(i, j; k , l )v yij (t )v ykl (t )    2 ( i , j ) ( k ,l ) 2 Rx v yij (t ) 2 (i , j ) (1.9)    B(i, j; k , l )v yij (t )vukl (t )   Iv yij (t ) ( i , j ) ( k ,l ) (i , j ) để ý rằng hàm Lyapunov E(t) trên là hàm của điện áp vào vu và điện áp ra vy vì những điện áp này ảnh hưởng đến sự hội tụ và quá trình lan truyền trong mạng. Nếu E(t) tăng liên tục sẽ gây ra điện áp trong mạch sẽ lớn đến vô cùng phá vỡ mọi phần tử trong mạch. Nếu E(t) giảm liên tục năng lượng trong mạch không đảm bảo độ lớn và không tồn tại. Hàm E(t) cũng có thể coi là hàm mô tả năng lượng của mạch CNN. Định lý sau chứng minh cho sự hội tụ của hàm E(t). Định lý 1.2: Hàm E(t) định nghĩa trong (1.9) bị chặn bởi Emax: max | E (t ) | Emax t 7 khi Emax  1 1 | A(i, j; k , l ) |    | B(i, j; k , l ) | MN (  | I |)   2 ( i , j ) ( k ,l ) 2 Rx ( i , j ) ( k ,l ) với MxN là số tế bào trong mạch CNN. Chứng minh: Từ định nghĩa (1.2) ta có | E (t ) | 1 1 | A(i, j; k , l ) || v yij (t ) || v ykl (t ) |    2 ( i , j ) ( k ,l ) 2 Rx 2 ij v (1.10) (i , j )    | B (i, j; k , l ) | | v yij (t ) || vukl |   | I || v yij | ( i , j ) ( k ,l ) (i , j ) vì | vuij (t ) | 1 theo điều kiện | vyij (t ) | 1 ta có: | E (t ) | 1 1 | A(i, j; k , l ) |    | B (i, j; k , l ) |  MN | I |   2 ( i , j ) ( k ,l ) 2 Rx (i , j ) ( k ,l ) Như vậy chứng minh được rằng E(t) bị chặn. Ta còn chứng minh được E(t) đơn điệu tăng. Định lý 1.3: Hàm vô hướng là hàm đơn điệu tăng, hay: dE (t ) 0 dt (1.11) Chứng minh: Vi phân hàm E(t) theo thời gian t ,lấy đạo hàm vyij(t) của vế phải theo vxij(t) và vi phân vxij(t) theo t ta được:: dvyij dvxij (t ) dE (t )     A(i, j; k , l ) vykl (t ) dt dvxij dt ( i , j ) ( k ,l ) 1  Rx dv yij dvxij (t )  dv (i , j ) xij dt v yij    B(i, j; k , l ) ( i , j ) ( k ,l ) dvyij dvxij (t ) dvxij dt vukl  dvyij dvxij (t )  I dv (i, j ) Với giả sử các điều kiện đối xứng của CNN ta thấy: dv yij dvxij 1 | vxij | 1  0 | vxij | 1 và vxij  vyij , | vxij | 1 xij dt (1.12) 8 theo các định nghĩa về CNN ta có thể coi: A(i, j; k , l )  0; B(i, j; k , l )  0 với C (k , l ) N r (i, j ) từ (1.11), (1.12) thì: dvyij dvxij (t ) dE (t ) 1   [  A(i, j; k , l )vykl (t )  vyij (t ) dt dt C ( k ,l )Nr (i, j ) Rx ( i , j ) dvxij   B(i, j; k , l )vukl  I ] C ( k ,l )Nr ( i , j )  |vxij | 1   dvxij (t ) dt  [ A(i, j; k , l )v ykl (t )  C ( k ,l )Nr ( i , j ) 1 vxij (t ) Rx B(i, j; k , l )vukl  I ] C ( k ,l )Nr (i , j ) thay thế phương trình trên với giả sử C>0, ta được: dv xij (t )2 dE (t )    C[ ]0 dt dt |v xij |1 định lý được chứng minh. Từ hai định lý trên chúng ta rút ra một kết luận quan trọng ở định lý sau Định lý 1.4: Với bất kỳ đầu vào vu và trạng thái vx của CNN chúng ta có: lim E (t )  const. t  dE (t ) 0 t  dt và lim Chứng minh: Từ định lý ta chứng minh được E(t) bị chặn tăng đơn điệu theo t do đó hiển nhiên sẽ hội tụ đến một giá trị chặn và đạo hàm theo thời gian bằng 0. 1.1.4. Phương pháp sai phân Taylor Xét các phương pháp tìm nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm đối với một số ít trường hợp. Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp. Trong 9 những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi luận văn đưa ra phương pháp sai phân để giải quyết vấn đề nêu trên. Để tiện trình bày phương pháp ta xét một bài toán cụ thể sau [6]. * Đặt bài toán. Cho các số a,b với a - Xem thêm -