ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ NGỌC HÀ
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội, 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ NGỌC HÀ
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Hoàng Oanh
Hà Nội, 2014
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo
TS. Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức
chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập
môn học và quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý,
các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trường Đại học Khoa
học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận
văn cũng như trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình
giúp đỡ và hướng dẫn em trong quá trình học tập.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm
động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 8 tháng 01 năm 2015
Học viên
Vũ Ngọc Hà
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG – HÌNH
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ ..... 2
1.1. Vật lý thống kê ...................................................................................... 2
1.2. Các mô hình Vật lý thống kê.................................................................. 4
CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP ........................................ 6
MONTE CARLO ......................................................................................... 6
2.1.Giới thiệu ............................................................................................... 6
2.2. Tích phân Monte Carlo .......................................................................... 7
2.3. Ước lượng sai số.................................................................................... 9
2.4. Số ngẫu nhiên ........................................................................................ 9
2.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên ......................................................................... 9
2.4.2. Phân bố xác suất ............................................................................... 11
2.5. Lấy mẫu điển hình ............................................................................... 13
2.6. Chuỗi Markov ..................................................................................... 14
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG
KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO ........................................ 15
3.1. Mô hình Ising ...................................................................................... 15
3.1.1. Xây dựng thuật toán và chương trình ................................................ 15
3.1.2. Chạy chương trình ............................................................................ 17
3.2. Mô hình XY 2D ................................................................................... 27
KẾT LUẬN................................................................................................ 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 32
PHỤ LỤC .................................................................................................. 33
DANH MỤC BẢNG – HÌNH
Danh mục bảng
Bảng 3.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β.......................................... 24
Danh mục hình
Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ ................................................................. 12
Hình 3.1. Quá trình tiến tới cân bằng ................................................................... 18
Hình 3.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta ........... 19
Hình 3.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha ............................................................... 20
Hình 3.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) .......................................... 21
Hình 3.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[7] ..................... 22
Hình 3.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) ................. 23
Hình 3.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) ................ 23
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ ............................................. 25
Hình 3.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[8] ... 26
Hình 3.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising .............. 26
Hình 3.8. Sự phụ thuộc của mật độ độ từ hóa theo các bước nâng cấp cấu hình ... 27
Hình 3.9. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo các bước nâng cấp cấu hình 28
Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ ........................................... 29
Hình 3.11. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo nhiệt độ ............................ 29
MỞ ĐẦU
Ngày nay việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình vật lý thống
kê là vô cùng phổ biến, đặc biệt là sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp
giải toán trên máy tính bằng cách sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này
có vị trí hết sức quan trọng trong vật lý tính toán, như việc tính toán trong sắc động
lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này
chúng tôi nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp
Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình
Vật lý thống kê, cụ thể là các bước của quá trình sử dụng phương pháp Monte
Carlo, phương pháp số quan trọng nhất và được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên
cứu các bài toán Vật lý thống kê.
Mục đich của luận văn :
Xây dựng các chương trình mô phỏng mô hình Ising 2D trong Vật lý thống
kê sử dụng thuật toán Heat bath và Metropolis bằng ngôn ngữ Scilab.
Sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và tính toán điểm
chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần. So sánh với
kết quả tính toán giải tích của Lars Onsager trong tài liệu trích dẫn.
Mô phỏng hiện tượng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising 2D, so
sánh với kết quả thực nghiệm của B. Yurke et. al trong tài liệu trích dẫn.
Dựa trên các kết quả thu được, xây dựng chương trình mô phỏng cho mô
hình XY.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1:Giới thiệu về các mô hình vật lý thống kê
Chương 2:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo
Chương 3:Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp
Monte Carlo
1
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ
THỐNG KÊ
1.1. Vật lý thống kê
Các bài toán Vật lý thống kê
[1, 2]
chủ yếu tính toán tính chất Vật lý của các
hệ môi trường đậm đặc. Điểm khó khăn nhất khi thực hiện các tính toán với các hệ
Vật lý này là chúng bao gồm rất nhiều phần hợp thành như phân tử và nguyên tử.
Những hợp phần này thường là giống nhau hoặc khác nhau rất ít và chúng thường
tuân theo các quy luật chuyển động đơn giản sao cho biểu hiện của cả hệ được biểu
diễn theo một quy luật toán học rõ ràng. Tuy nhiên số lượng các phương trình cần
phải giải, bằng cỡ của các hợp phần của hệ, là rất lớn nên không thể giải được
chúng một cách chính xác. Ví dụ xét một khối khí được chứa trong bình. Một lít khí
Oxy tại nhiệt độ và áp suất chuẩn bao gồm 3x1022 phân tử Oxy. Các phân tử này
liên tục di chuyển, va chạm với nhau và với thành bình chứa. Đây là một ví dụ về hệ
nhiều vật hợp phần. Ta thậm chí có thể xét một ví dụ hệ có kích thước lớn hơn nữa
với bầu khí quyển của trái đât. Một lít không khí tại cùng điều kiện chứa cùng một
số lượng phân tử nhưng chúng là một hỗn hợp của Oxy, Nitơ, CO2 và một số thứ
khác. Bầu khí quyển của Trái đất bao gồm 4x1021 lít không khí hay khoảng 1x1044
phân tử. Tất cả những phân tử này liên tục chuyển động, va chạm với nhau, với mặt
đất, cây cối, nhà cửa, con người, v.v. Rõ ràng là không khả thi khi giải hệ các
phương trình Hamilton cho mỗi phân tử này bởi vì có quá nhiều phương trình cần
phải giải. Tuy nhiên nếu chúng ta nghiên cứu các tính chất vĩ mô của khối khí,
chúng vẫn có những biểu hiện có thể tiên đoán được. Như vậy các nghiệm của các
phương trình riêng rẻ có một tính chất đặc biệt là trung bình của chúng có thể cho
các tiên đoán về sự vận động của cả hệ. Ví dụ áp suất và nhiệt độ của một khối khí
tuân theo những quy luật đơn giản mặc dù chúng đều là các đại lượng đo đặc trung
bình trên cả khối khí. Vật lý thống kê không hướng tới việc giải từng phương trình
chuyển động riêng lẻ mà tập trung vào tính toán những tính chất của cả hệ thống kê
bằng cách sử dụng các mô hình xác suất. Thay vì tìm nghiệm chính xác, chúng ta
2
tìm các xác suất để cả hệ thống kê nằm ở một trong các trạng thái khả dĩ và vì thế
có các đại lượng Vật lý vĩ mô nhận các giá trị tương ứng với trạng thái đó.
Hình thức luận điển hình thường được sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống
kê là hình thức luận Hamilton với hệ thống kê được chi phối bởi một Hamiltonian H
cho ta tổng năng lượng của hệ thống kê. Khi hệ thống kê là hữu hạn, chúng ta sẽ
làm việc với các tập hợp trạng thái rời rạc với mỗi trạng thái có giá trị năng lượng
có giá trị E0, E1, E2,... với E0 là trạng thái cơ bản. Tuy nhiên Vật lý thống kê nói
chung và phương pháp Monte Carlo nói riêng có khả năng giải các bài toán có phổ
năng lượng là liên tục. Nếu chỉ xét đến đây, bài toán là khá đơn giản khi năng lượng
là bảo toàn. Hệ thống kê sẽ có giá trị năng lượng không đổi theo thời gian và vì thế
nó sẽ ở trong một trạng thái hoặc chuyển đổi giữa các trạng thái của một tập hợp
các trạng thái suy biến có cùng một giá trị năng lượng mãi mãi. Tuy nhiên, thông
thường trong các bài toán thực tế sẽ phải xét đến sự tương tác với môi trường bên
ngoài. Sự ảnh hưởng của môi trường bên ngoài sẽ đóng vài trò như một nguồn thu
nhiệt làm thay đổi giá trị năng lượng của hệ thống kê liên tục cho đến khi nhiệt độ
của hệ thống kê được xét dần tiến tới giá trị của nhiệt độ của môi trường. Khi ảnh
hưởng của môi trường là nhỏ so với giá trị năng lượng của hệ, chúng ta có thể
coi nó như là một ảnh hưởng nhiễu loạn và có thể bỏ qua khi tính toán các giá trị
năng lượng của hệ thống kê. Tuy nhiên, ảnh hưởng này sẽ có tác động để hệ luôn
luôn có xu hướng thay đổi trạng thái và vì thế có giá trị năng lượng khác. Chúng
ta có thể tính toán ảnh hưởng của môi trường bằng cách đưa vào hệ thống kê một
động lực – một quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian. Bản chất
của động lực sẽ được thể hiện qua dạng nhiễu loạn mà môi trường gây ra trong
Hamiltonian tổng cộng.
Giả sử hệ thống kê hiện đang ở trong trạng thái u. Chúng ta định nghĩa R(u
v)dt là xác suất để hệ thống kê ở trạng thái v sau khoảng thời gian dt. R(u v)dt
là xác suất chuyển trạng thái từ u sang v. Xác suất chuyển trạng thái thường được
coi là không phụ thuộc vào thời gian. Chúng ta xác định các giá trị xác suất chuyển
trạng thái này với tất cả trạng thái v khả dĩ mà hệ thống kê có thể chuyển đến. Sau
3
một thời gian dt, hệ thống kê có thể ở một trong các trạng thái khả dĩ với các xác
suất khác nhau. Chúng ta cũng định nghĩa một tập hợp các trọng số wu(t) biểu diễn
xác suất để hệ thống kê ở trong trạng thái u tại thời điểm t. Vật lý thống kê sẽ tính
toán các giá trị trọng số này và chúng sẽ thể hiện toàn bộ những gì chúng ta biết về
các trạng thái của hệ thống kê. Chúng ta có thể viết phương trình cơ bản của việc
tiến hóa của wu(t) theo các xác suất chuyển trạng thái R(u v)dt:
dwu
wv t Rv u wu t Ru v .
dt
v
(1.1)
Số hạng đầu tiên trong vế phải của phương trình biểu diễn xác suất để hệ
thống kê chuyển đến trạng thái u và số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển
từ trạng thái u đến các trạng thái khác. Các xác suất wu(t) sẽ phải tuân theo quy luật:
w t 1
u
(1.2)
u
tại mọi thời điểm t do bất kỳ lúc nào hệ cũng phải ở trong một trạng thái nào đó.
Nghiệm của phương trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho chúng ta sự biến đổi của wu
theo thời gian.
Nếu chúng ta nghiên cứu đại lượng Q nào đó có giá trị Qu trong trạng thái u,
chúng ta định nghĩa giá trị kỳ vọng của Q tại thời điểm t với hệ thống kê đang xét là
Q Qu wu t
(1.3)
u
Đây chính là một ước lượng (gần đúng) giá trị vĩ mô của Q chúng ta mong
đợi sẽ đo đạc được trong thực nghiệm với hệ thống kê đang xét.
1.2. Các mô hình Vật lý thống kê
Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3–6] chúng
bằng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhưng vẫn giữ được những đặc tính Vật lý đặc
thù.
Ví dụ khi nghiên cứu các hệ từ tính, nếu một chất sắt từ có tính bất đẳng
hướng đơn trục mạnh chúng ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising với N spin Si
tương tác với nhau
4
N
H I sin g J S i S j H S i ,
i , j
(1.4)
S i 1
i 1
với spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định
hướng của chất sắt từ đang xét. Năng lượng trao đổi J trong (1.4) được giới hạn
trong các lân cận gần nhất và H là từ trường (số hạng thứ 2 trong 1.4 biểu diễn năng
lượng Zeeman của hệ).
Các trường hợp khác khi chất sắt từ có tính bất đẳng hướng theo mặt phằng,
spin bị giới hạn nằm trong mặt phẳng xy chúng ta mô hình hóa nó theo XY model:
N
H XY J S ix S jx S iy S jy H x S ix ,
i , j
S S
x 2
i
y 2
i
1.
(1.5)
i 1
Và khi spin là đẳng hướng ta sử dụng mô hình Heisenberg:
N
H Heisenberg J S S H z S iz ,
i , j
S S S
x 2
i
y 2
i
z 2
i
1.
(1.6)
i 1
Tất nhiên là với sự đa dạng của các vật liệu thực được tạo ra trong phòng thí
nghiệm, chúng ta phải chọn lựa các biến thể của các mô hình trên cho phù hợp.
Thay vì chọn lựa số trạng thái khả dĩ của spin là 2 như trong (1.4) hay là vô cùng
như trong (1.5) và (1.6) ta có thể chọn lựa một giá trị xác định khác. Thay vì chỉ
chọn lựa tương tác gần nhất, chúng ta mở rộng tương tác trao đổi cho đến lân cận
gần thứ hai hoặc gần thứ ba,... Thay vì chọn lựa hoàn toàn đối xứng như trong (1.6)
ta có thể bổ sung thêm các số hạng đơn trục hoặc đơn diện. Thay vì năng lượng trao
đổi J nhận giá trị hằng số trên các nút mạng nó có thể nhận các giá trị ngẫu nhiên Jij.
Từ trường Hi cũng có thể nhận các giá trị năng lượng ngẫu nhiên. Như vật 3 mô
hình (1.4) đến (1.6) chỉ là 3 mô hình điển hình mà dựa trên chúng ta có thể có được
vô số biến thể phù hợp với bài toán Vật lý ta quan tâm.
5
CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP
MONTE CARLO
2.1.Giới thiệu
Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các
bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các
phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận
dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không
thể giải được bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là
Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử
dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính
là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp
nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo.
Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại
một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte
Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến
nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác,
chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với
các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp
Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các
ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện
với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà
chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu
nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được
khi sử dụng trong cùng điều kiện.
Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán
học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được
gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0 p2(y) = p1(x)| |
Khi cả hai mật độ hàm mật độ p1(x) và p2(x) là đã biết, chúng ta có thể xác
định hàm chuyển đổi y(x) bằng cách tích phân phương trình bảo toàn xác suất:
=
P1(x)=P2(y) y=P2-1(y)[P1(x)]
(2.10)
Đối với hàm p1(x) ban đầu là hàm phân bố đều trong khoảng [0,1), p1(x)=1 thì
= P1(x)=x. y được tính ngược từ hàm sau x =
.
Ví dụ: Lấy mẫu biến ngẫu nhiên x có hàm mật độ xác suất f(x)=ae-ax trong khoảng
[0,∞) ta có:
| |=f(x)= ae-ax nên t= e-ax hay x= -
(2.11)
Khi x = 0 thì t = 1 và x = ∞ thì t = 0,do đó ta có thể thu được biến x bằng cách
gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức:
11
x= để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae-ax trong
khoảng [0,∞).
Phương pháp loại trừ
Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phép
thu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có một
nhược điểm là khó có thể áp dụng cho những hàm giải tích phức tạp. Không phải
hàm nào cũng tính ra được hàm ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có
một phương pháp khác để giải quyết vấn đề này.
Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong
việc tạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn. Xét một hàm mật độ
xác suất f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này. Gọi C
là một hằng số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x). Phương pháp
bao gồm gieo N cặp số ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin, xmax]
và [0,C] và chỉ thu nhận những số nằm dưới đường cong f(x).
Gọi M là tổng số những cặp số được thu nhận và vm(x)dx là số những cặp số
có hoành độ nằm trong khoảng (x, x+dx). Khi mà số lần gieo tiến tới vô cùng tỉ số
vm(x)
tiến tới giá trị
.
Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ
Thuật toán chi tiết:
12
- Tạo một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố đều trong khoảng [xmin,
xmax]
- Với mỗi giá trị x, gieo một số ngẫu nhiên n theo phân bố đều trong khoảng
[0,1]. Giá trị x được chấp nhận giữ lại trong tập hợp nếu
> n, nếu không
nó sẽ bị loại bỏ khỏi tập hợp.
Thuật toán trên cho thấy rằng phương pháp này cho phép tạo ra một mật độ xác suất
f(x) bất kì, ngay cả khi hàm này chưa được chuẩn hóa.
Phương pháp loại trừ đòi hỏi cần nhiều số ngẫu nhiên của máu hơn phương
pháp biến đổi bởi vì một phần số ngẫu nhiên đã gieo bị loại bỏ. Khi đã tính toán
được giá trị Fmax thì chúng ta có thể làm tăng hiệu suất tính toán bằng cách đặt C=
Fmax. Phương pháp này còn một nhược điểm khác là không phải lúc nào ta cũng xác
định được Fmax một cách dễ dàng, việc lựa chọn C theo Fmax sẽ quyết định tỉ lệ loại
bỏ cao hay thấp.
2.5. Lấy mẫu điển hình
Phương pháp Monte Carlo hoạt động dựa trên việc lấy mẫu không gian
nghiệm của bài toán. Khi trong không gian nghiệm có các vùng có đóng góp lớn
hơn đáng kể so với các vùng khác, quá trình lấy mẫu đều trong toàn bộ không gian
nghiệm sẽ không hiệu quả, nhất là khi yêu cầu đạt được kết quả chính xác với một
khối lượng tính toán không quá lớn.
Ví dụ như khi ước lượng giá trị trung bình của hàm số một biến f(x) nào đó
trong khoảng [a, b] với N số ngẫu nhiên phân bố đều trong [a, b], độ chính xác của
kết quả thu được sẽ phụ thuộc cả vào hình dạng của hàm số f(x) và giá trị N. Trọng
số đóng góp của mỗi giá trị f(xi) trong giá trị trung bình tỉ lệ với độ lớn của f(xi). Với
cùng giá trị N, hàm số f(x) càng ít biến đổi trong [a, b] thì giá trị trung bình ước
lượng được sẽ càng chính xác. Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục x và cắt
trục y tại giá trị trung bình chính xác, giao điểm này sẽ nằm gần các vùng có giá trị
f(x) lớn. Mục đích của chúng ta là tìm giao điểm một cách chính xác nhất có thể với
N nhỏ nhất. Để đạt được điều này ta nên sử dụng tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo
13
phân bố có dáng điệu gần với dáng điệu của f(x) nhất thay vì dùng tập hợp số ngẫu
nhiên tuân theo phân bố đều. Đây là kỹ thuật lấy mẫu điển hình.
2.6. Chuỗi Markov
Trong các phần trên đây chúng ta đã tìm hiểu các tính chất và ứng dụng đơn
giản của các tập hợp số ngẫu nhiên. Trong các nghiên cứu khoa học, chúng ta sẽ mở
rộng nghiên cứu giải các bài toán bằng việc sử dụng các quá trình ngẫu nhiên.
Chuỗi các quá trình ngẫu nhiên được sử dụng nhiều nhất là các chuỗi có tính chất
Markov: sự xuất hiện của một sự kiện nào đó chỉ phụ thuộc trực tiếp vào sự kiện
xuất hiện ngay trước nó. Ví dụ đơn giản chính là các chuỗi số ngẫu nhiên được tạo
ra bởi thuật toán tuyến tính đồng dư được kể đến trong phần 2.2. Trong chương 3
chúng ta sẽ sử dụng các chuỗi cấu hình Markov được tạo ra bởi thuật toán nâng cấp
cấu hình Heat bath (buồng nhiệt) với 2 mô hình Ising và XY 2 chiều để giải quyết
bài toán chuyển pha giữa hỗn loạn và trật tự. Một số tính chất quan trọng của chuỗi
Markov cũng sẽ được đề cập đến khi nghiên cứu các bài toán trên.
14
CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ
THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO
3.1. Mô hình Ising
3.1.1. Xây dựng thuật toán và chương trình
Như đã đề cập đến trong chương 1, chúng ta có thể xây dựng các mô hình
thống kê để mô tả tương tác của các hệ Vật lý. Khi nghiên cứu một màng mỏng từ
tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó
bằng mô hình Ising 2 chiều với N spin Si tương tác với nhau và có tổng thống kê
nhận giá trị
Z I sin g 2 D
1
exp 1 S x S y S x e H
{ S x 1 }
x
{ S x 1 }
2 x , y
(3.1)
với spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định
hướng của chất sắt từ đang xét. Tính sắt từ biểu hiện khi một tập hợp các spin
nguyên tử sắp xếp sao cho các mô-men từ của chúng đều có cùng hướng, do đó tạo
nên mô-men tổng hợp có độ lớn đáng kể. Giả sử rằng mỗi nguyên tử đều có spin là
bán nguyên. Như vậy Si = +1 (spin hướng lên), hoặc Si = −1 (spin hướng xuống),
trong đó Si là thành phần theo phương z của spin nguyên tử thứ i. Các chỉ số i, j
trong (3.1) được thay đổi sao cho chỉ tính đến khoảng cách gần nhất. β tương ứng
với số hạng 1/kT thường gặp trong Vật lý thống kê.
Số hạng thứ nhất trong (3.1) cho thấy tổng năng lượng bị giảm xuống khi
các spin nguyên tử lân cận được sắp xếp cùng chiều. Hiệu ứng này chủ yếu là do
nguyên lý ngoại trừ Pauli. Các electron không thể chiếm giữ cùng một trạng thái
lượng tử, vì vậy hai electron của hai nguyên tử cạnh nhau, có cùng spin song song
(nghĩa là chiếm cùng trạng thái orbital), thì không thể tiến sát nhau. Sẽ không có sự
ngăn cản như vậy nếu các electron có spin phản-song song. Những ngăn cách không
gian khác nhau ngụ ý rằng tồn tại những năng lượng tương tác tĩnh điện khác nhau.
Số hạng thứ hai trong (3.1) đặc trưng cho tương tác với từ trường ngoài. Khi H bằng
0 ta không xét tương tác với trường ngoài, trong trường hợp này mô hình Ising sẽ có
chuyển pha loại hai ở tất cả các mô hình có số chiều không gian lớn hơn 1. Trong
15
- Xem thêm -