NGỌC HUYỀN LB
(facebook.com/huyenvu2405)
Một số vấn đề chọn lọc
Đây là 1 tài liệu nhỏ chị viết gấp gáp để dành tặng
NGUYÊN HÀM
cho các em nhân ngày Valentine 2017. Tuy CHƯA
TÍCH PHÂN
phần nào khó khăn trong quá trình ôn luyện!
VÀ ỨNG DỤNG
Tác giả “Bộ đề tinh túy Toán” & “Chắt lọc tinh túy toán”
ĐẦY ĐỦ, nhưng chị tin nó cũng giúp ích cho em
NGỌC HUYỀN LB
Một số vấn đề chọn lọc Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng
Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!
Đừng bao giờ bỏ cuộc Em nhé!
Chị tin EM sẽ làm được!
__Ngọc Huyền LB__
Đã nói là làm – Đã làm là không hời hợt – Đã làm là hết mình – Đã làm là không hối hận!
facebook.com/huyenvu2405
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Chủ đề: Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản.
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.
Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f
trên K nếu F ' x f x với mọi x thuộc K.
Định lý 1
STUDY TIP:
Từ định nghĩa nguyên
hàm ta có được
1. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì với mỗi hằng số C, hàm
G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm f trên K.
f xdx' f x
2. Đảo lại nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm số f trên K thì tồn tại hằng số C
sao cho F x G x C.
Kí hiệu:
f x dx F x C
.
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K.”
Tính chất của nguyên hàm
Định lý 2 sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý 2
1. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
f x g x dx f x dx g x dx
af x dx a f x dx với mọi số thực a khác 0.
2. d
f x dx f x dx
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm
nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của một số
hàm số đơn giản hơn. Dưới đây ta có bảng một số nguyên hàm :
dx x C
x a
ax b dx a ax b C , a 0
1
x
dx
1
1
C a
1
, 1 ax b
dx
1 ax b
dx
a 1
ax b a .ln ax b C
e dx e
e
x
1
C
a dx ln a a
x
x
C , a 0, a 1
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
1
cos
2
x
dx tan x C
C , 1
1
x a dx ln x a C
x
1
1
dx e ax b C
a
1
px q
px q
a dx p.ln a a C , a 0, a 1
ax b
cos ax
C, a 0
a
sin ax
cos axdx a C , a 0
1
sin2 x dx cot x C
sin axdx
The best or nothing | 1
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm.
a, Phương pháp đổi biến số.
Định lí 3
Cho hàm số u u x có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u liên tục sao
cho hàm hợp f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì
f u x u' x dx F u x C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
x 1
10
dx .
Lời giải
STUDY TIP:
Với phương pháp đổi
biến ta cần chú trọng
công thức mà suy ra từ
định lý như sau:
Nếu u f x , khi đó
du f' x dx
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng
f u du .
Mà u ' x 1 ' 1 , do vậy
x 1
10
dx x 1 . x 1 ' dx x 1 d x 1
10
10
x 1
11
11
C .
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo
phương pháp đổi biến
1. Đặt u g x .
2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp
f u du , sau đó thay biến x
vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm
x 1 x
7
2
dx .
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức
tạp hơn là x 2 . Do vậy ta sẽ đặt 1 x để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng
7
gợi ý các bước trên.
Lời giải
Đặt u 1 x du 1 x ' dx du dx
ta có
x 1 x
2
7
dx 1 u .u7 1 du u7 2u8 u9 du
2
1 x 2 1 x 1 x
u8 2u9 u10
C
8
9
10
8
9
10
8
9
10
C.
b, Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u x v ' x dx u x .v x v x u' x dx .
Công thức trên thường được viết gọn dưới dạng udv uv vdu.
Ngọc Huyền LB | 2
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “ Tìm sin x cos xdx ” thì ba bạn Huyền,
Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau:
Bạn Huyền giải bằng phương
pháp đổi biến số như sau:
“Đặt u sin x , ta có:
du cos xdx
Vậy sin x.cos xdx udu
2
Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm
từng phần như sau:
“Đặt u cos x, v ' sin x .
Ta có u' sin x, v cos x .
Công thức nguyên hàm từng phần cho ta
2
sin x cos xdx cos x sin x cos xdx
2
u
sin x
C
C ”
2
2
Bạn Hằng chưa học đến hai
phương pháp trên nên làm như
sau:
“ sin x.cos xdx
sin 2 x
cos2 x
dx
C .”
2
4
Giả sử F là một nguyên hàm của
sin x.cos x . Theo đẳng thức trên ta có
F x cos2 x F x C .
cos2 x C
.
2
2
cos 2 x
Điều này chứng tỏ
là một nguyên
2
hàm của sin x.cos x.
cos2 x
Vậy sin x.cos xdx
C .”
2
Suy ra F x
STUDY TIP:
Bài toán củng cố về
định lý 1 đã nêu ở trên,
và củng cố các cách giải
nguyên hàm cơ bản.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai.
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở
bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải
thích ở lời giải sau:
Lời giải
cos 2 x
sin 2 x cos2 x
và
đều là
;
2
2
4
nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số
sin 2 x cos2 x 1
;
2
2 2
2
2
sin 2 x cos 2 x 2 sin x 1 2 sin x
1
.
2
4
4
4
III. Khái niệm và các tính chất cơ bản của tích phân.
a. Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Tích phân của f từ a
b
đến b, kí hiệu là
f x dx, là một số xác định bởi công thức sau
a
b
f x dx F b F a trong đó F là nguyên hàm của f trên K.
a
b. Các tính chất của tích phân.
Định lý 1
Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta
có
The best or nothing | 3
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
a
1.
f x dx 0 .
a
b
2.
a
f x dx f x dx .
a
3.
b
b
c
a
b
c
f x dx f x dx f x dx .
a
b
4.
5.
b
a
a
f x g x dx f x dx g x dx .
a
y
A
b
b
b
a
a
kf x dx k f x dx, k .
Định lý 2
x
A
O
Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm số
G x xác định trên K bởi công thức
x
G x f t dt.
Hàm số chẵn
a
Khi đó G là một nguyên hàm của f.
Hình 3.1
y
A
Định lý 3
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên
.
a
1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó
Hàm số lẻ
a
a
f x dx 2 f x dx.
0
a
O
0
Hình 3.2
2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó
x
A
f x dx 0.
a
Đọc thêm
Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là
các tính chất bổ sung:
b
1. 0dx 0
a
b
2. cdx c b a
a
3. Nếu f x 0 , x a, b thì
b
f x dx 0.
a
Hệ quả 3: Nếu hai hàm số f x và g x liên tục và thỏa mãn
f x g x , x a, b thì
b
b
a
s
f x dx g x dx.
Chú ý: Nếu f x liên tục và dương trên a , b thì
b
f x dx 0 .
a
4.
b
b
a
a
f x dx f x dx , a b .
5. Nếu m f x M , x a , b ; m, M là các hằng số thì
b
m b a f x dx M b a hay m
a
Ngọc Huyền LB | 4
b
1
f x dx M .
b a a
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân.
a. Phương pháp đổi biến số.
Quy tắc đổi biến số
1. Đặt u u x ,
2. Biến đổi f x dx g u du .
3. Tìm một nguyên hàm G u của g u .
u b
4. Tính
g u du G u b G u a .
u a
b
5. Kết luận
f x dx G u b G u a .
a
b. Phương pháp tích phân từng phần.
Cho hai hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K. Khi đó
b
b
a
a
u x v ' x dx u b v b u a v a u ' x .v x dx.
IV. Ứng dụng hình học của tích phân.
a. Tính diện tích hình phẳng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
y
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x liên tục, trục
hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức S
b
f x dx .
a
x
a
O
b
Hình 3.3
Chú ý: Trong trường hợp dấu của f x thay đổi trên đoạn a; b thì ta phải
chia đoạn a; b thành một số đoạn con để trên đó dấu của f x không đổi, do
đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a; b . Khi đó diện tích
S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x và hai đường
thẳng x a, x b là S
b
f x g x dx .
a
Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của
f x g x không đổi.
y
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng ( hình được tô màu) ở biểu diễn ở hình 3.4.
Lời giải
O
a
c
Hình 3.4
d
b x
Nhận thấy trên a; c và d; b thì f1 x f2 x ; trên c; d thì f1 x f2 x
Do vậy
b
c
a
a
d
b
S f1 x f2 x f1 x f2 x dx f 2 x f1 x dx f1 x f 2 x dx
c
d
(Trên đây là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối)
The best or nothing | 5
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
Ví dụ 5: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y e x , y 0 , x 0
y
x
và x ln 4. Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia H thành hai phần có diện tích
là S1 và S2 như hình vẽ bên.
Tìm k để S1 2S2 .
2
A. k ln 4
3
x
O
x
C. k ln
B. k ln 2
8
3
D. k ln 3
( Trích đề minh họa môn Toán lần 2 – Bộ GD&ĐT)
k
O
Lời giải
Đáp án D.
Nhìn vào hình vẽ ta có được các công thức sau:
k
ln 4
k
0
ln4
k
k
x k
x ln 4
x
x
e
dx
2.
0
k e dx e 0 2.e k e e 2.e 2.e 3e 9
e k 3 k ln 3 .
Ví dụ 6: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và
độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và
nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng
8m
hoa là 100.000 đồng/1 m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải
đất đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 7.862.000 đồng.
B.7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.
( Trích đề minh họa môn Toán lần 2 – Bộ GD&ĐT)
Lời giải
Đáp án B.
Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích
hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó
y
5
ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
x
-8
-4
O
4
-5
8
Ta có phương trình đường elip đã cho là
thì y
2
x2 y
1 . Xét trên 0; 4 nên y 0
8 2 52
4
5
5 2
8 x2 . Khi đó Scheo
8 x2 dx , vậy diện tích trồng hoa của ông
8
8
0
4
5 2
8 x2 dx 76, 5289182
8
0
An trên mảnh đất là S 4.
Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là 76, 5289182.100000 7.653.000 đồng.
b. Tính thể tích vật thể.
Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng x a và x b . Gọi S x
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành
tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử S x là một hàm liên tục. Khi đó thể
b
tích V của H là V S x dx. (hình 3.5)
a
Ngọc Huyền LB | 6
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
P
Q
S(x)
x
O
x
a
b
Hình 3.5
Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước
hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. ( hình 3.6)
A. V 16a
3
B. V 2a
3
3
3
3
C. V 4a
D. V a3
3
(Trích sách bộ đề tinh túy ôn thi THPT QG môn Toán)
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể
2
2
2
V giới hạn bởi hai mặt trụ: x2 y 2 a2 và x z a a 0 .
Hình 3.6
z
a
z
O
x
y
y
a
a
Hình 3.7
x
Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x 0; a ,
thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox ) tại x là một hình vuông có cạnh
y a2 x2 ( chính là phần gạch chéo trong hình 3.7). Do đó diện tích thiết
diện sẽ là:
S x a2 x2 . a2 x2 a2 x2 x 0; a .
Khi đó áp dụng công thức * thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
a
a
x3
V 8 S x dx 8 a2 x 2 dx 8 a2 x
3
0
0
a 16a3
.
3
0
Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể H biết rằng đáy của H là hình tròn x2 y 2 1
và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành luôn là tam giác đều.
Lời giải
The best or nothing | 7
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục hoành chứa thiết diện là tam giác đều
y
C
ABC tại điểm có hoành độ là x 1 x 1 với AB chứa trong mặt phẳng xOy
(hình 3.8).
B
O
x
A
x
A
Hình 3.8
y
y = f (x)
O
x
a
AB2 3
3 1 x2 . Vậy
4
1
1
x3 4 3
( đvtt).
V S x dx 3 1 x 2 dx 3 x
3
3
1
1
c. Tính thể tích khối tròn xoay.
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay.
Định lý 4
Ta có AB 2 1 x2 . Do đó S x
Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a , b . Hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay
b
x
quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó
b
là V f 2 x dx.
Hình 3.9
a
Ví dụ 9: Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới
hạn bởi đường cong y sin x , trục hoành và hai đường thẳng x 0, x (hình
y
3.10) quanh trục Ox là
y = sinx
A.
x
O
(đvtt)
2
B.
2
(đvtt)
2
x
C. (đvtt)
D. 2 (đvtt)
Lời giải
Đáp án B.
Áp dụng công thức ở định lý 4 ta có
Hình 3.10
V sin 2 xdx
0
2
1
x
sin
2
x
.
1
cos
2
x
dx
2
2
2 0
0 2
Tiếp theo dưới đây là một bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử, bài
toán có thể đưa về dạng quen thuộc và tính toán rất nhanh
Ví dụ 10: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới
y
hạn bởi đường cong y A2 x2 và trục hoành quanh trục hoành.
Lời giải tổng quát
-A
O
A x
Ta thấy y A2 x2 y 2 A2 x2 x2 y 2 A2
A2 x2 0 với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O,
bán kính R A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng
sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R A (hình 3.11). Do vậy ta có luôn
Do
Hình 3.11
4
V ..A3
3
Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận
luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Ngọc Huyền LB | 8
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Đọc thêm
Định lý 5
Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a , b a 0 . Hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng
x a, x b quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của
b
khối tròn xoay đó là V 2 xf x dx.
a
The best or nothing | 9
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
Bài tập rèn luyện kỹ năng
1. Nguyên hàm – chọn lọc các bài tập về nguyên hàm trong các đề thi thử
Câu 1: Tìm nguyên hàm I 2x 1 e xdx.
A. I 2x 1 e x C
B. I 2x 1 e x C
C. I 2x 3 e x C
D. I 2x 3 e x C
Câu 6: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số
f x
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 2: Tìm nguyên hàm I x ln 2x 1 dx.
A. I
B. I
C. I
4x 1
ln 2 x 1
8
2
x x 1
4
4
biết F 3.
2
cos 3x
9
4
3
A. F x tan 3x
3
3
B. F x 4tan3x 3 3
C
4
3
C. F x tan 3x
3
3
x x 1
4x2 1
ln 2 x 1
C
8
4
4
3
D. F x tan 3x
3
3
x x 1
4x2 1
ln 2 x 1
C
8
4
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ)
x x 1
4x2 1
ln 2 x 1
C
D. I
8
4
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 3: Tìm nguyên hàm I x 1 sin2xdx.
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x x .
A.
f x dx 5 x
B.
f x dx 5 x
2
2
A. I
1 2x cos2x sin 2x C
C.
B. I
2 2x cos2x sin 2x C
f x dx 5 x
D.
f x dx 2
C. I
1 2x cos2x sin 2x C
D. I
2
2
Câu 8:
2 2x cos2x sin 2x C
4
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
.
k. f x dx k. f x dx với k là hằng số
f x g x dx f x dx g x dx
C. f x .g x dx f x dx. g x dx
D. f x g x dx f x dx g x dx
B.
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f x e 2017 x là:
1 2017 x
e
C
2017
C. 2017.e 2017 x C
B. e 2017 x C
D.
1 2017 x
e
C
2017
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ)
C.
x C
x C
ln x
dx bằng:
x
2
3
3
D.
2
1
2 ln x
B.
C
ln x
3
ln x
3
C
C
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
Câu 9: Cho hàm số f x
1
. Nếu F x là một
sin 2 x
nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị hàm số
y F x đi qua M ;0 thì F x là:
3
A.
C.
1
3
cot x
B.
3 cot x
3
cot x
D. cot x C
3
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
Câu 10: Cho hàm số f x
sai:
Ngọc Huyền LB | 10
2
3
(Trích đề thi thử THPT chuyên Kim Thành – Hải Dương)
A.
3
x C
A. 2 ln x 2 C
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.
1
x C
(Trích đề thi thử THPT Lương Thế Vinh lần 2)
4
Câu 4: Cho f x , g x là các hàm số liên tục trên
2
1
. Hãy chọn mệnh đê
x2
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
A.
The best or nothing
Câu 16: Tìm nguyên hàm F x của hàm số
x 2 dx ln x 2 C
1
là một nguyên hàm của f x
B. ln 3 x 2
f x 3x 4 , biết F 0 8.
C. ln x 2 C là họ nguyên hàm của f x
A. F x
1
38
3x 4
3
3
D. ln x 2 là một nguyên hàm của f x
B. F x
2
3x 4 3x 4 163
3
C. F x
2
56
3x 4 3x 4
9
9
D. F x
2
3x 4 3x 4 83
3
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
Câu 11:
x 1
xe dx bằng:
2
B. e x 1 C
A. 2e x 1 C
2
2
1 x2 1
e C
2
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
C. x2 e x 1 C
2
Câu 12:
3x 3
C. x
1 x2
1
A. x2 2
2
D.
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số f x
dx bằng:
D. x
2
A.
1 x2 C B. x2 1
1 x2 C
1 x2 C
1 x2 C
2
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số
f x dx ln x 1 C
C. f x dx x ln x 1 C
D.
2x 3
dx
3
C
3
f x dx 2x 3 C
2x 3 C
C. f x dx
6
3
3
f x
f x dx 4 ln x
1
2x 3
dx
3
C
2
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
f x 3sin3x cos3x.
B.
f x dx cos3x sin3x C
f x dx cos3x sin3x C
C.
f x dx cos3x 3 sin3x C
D.
f x dx 3 cos3x 3 sin 3x C
1
1
1 C
Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x e x .
f x dx e e C
B. f x dx e e C
C. f x dx e e C
D. f x dx e e C
x
x
x
x
x
x
x
2x 1 e
B.
2x 1 e
C.
2x 1 e
D.
2x 1 e
3x
3x
3
3x
dx
3x
dx
3x
2x 1 e
3x
9
3x
3
dx.
C
2e 3 x
C
3
1 2
x x e 3x C
3
dx x2 x e 3 x C
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
Câu 19: Tìm nguyên hàm I
1
dx.
4 x2
1 x2
A. I ln
C
2 x2
1 x2
B. I ln
C
2 x2
1 x2
C. I ln
C
4 x2
1 x2
D. I ln
C
4 x2
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – Hà Nội)
Câu 20: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm
của hàm số f x
A. F x
x 2 x
x 1
2
.
x2
x1
B. F x
x2 x 1
x1
x2 x 1
x2 x 1
D. F x
x1
x1
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hoàng Văn Thụ)
C. F x
x
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
2x 1 e
2x 1 e 2e
dx
3x
A.
1
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
A.
4
Câu 18: Tính nguyên hàm
Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
4
(Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long)
B.
D.
4
3
f x 2x 3 .
f x
3x 4
C
4
6
f x dx 2x
B.
2
A.
x3
.
x4 1
Câu 21:
x
2
1
dx bằng:
x2
The best or nothing | 11
Quà tặng Valentine
A.
Ngọc Huyền LB
1 x1
ln
C
3 x2
B.
1 x2
ln
C
3 x1
x2
D. ln
C
x1
1 x 1
C. ln
C
3 x2
(Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn)
ln 2 x
Câu 22: Hàm số F x e
x 0 là nguyên hàm
C. f x
e
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số: I
ln 2x
ln 2x
B. f x e
x
ln 2 x
e
2x
dx
2x 1 4
là:
2x 1 4 C
2x 1 4ln 2 x 1 4 C
7
2x 1 ln 2 x 1 4 C
2
2x 1 4ln 2 x 1 4 C
A. F x 2x 1 4ln
B. F x
C. F x
của hàm số nào sau đây?
A. f x
(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
D. F x
(Trích đề thi thử THPT Triêụ Sơn 2
ln 2 x
D. f x 2e
)
2. Tích phân – chọn lọc các bài tập về tích phân trong các đề thi thử.
Câu 1: Biết tích phân I 2 x 1 e xdx a be
A.
3 2
2
a
C.
3 2
2
1
0
;b
. Khi đó tích a.b
B. 1
A. 1
có giá trị bằng:
C. 2
D. 3
B.
(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
1
Câu 2: Biết
f x dx 2 và f x là hàm số lẻ. Khi đó
I
cos2x
1
dx ln 3. Tìm giá trị của
1 2sin 2 x
4
0
Câu 6: Cho I
a là:
f x dx có giá trị bằng:
A. 3
1
A. I 1
B. 2
(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
1
2 2 1
A. I
3
C. I
2
B. I
3
2 2
2
D. I
3
3
(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
3
Câu 4: Cho tích phân I
0
x
Câu 7: Tích phân
1 x 1
4
A.
A. f t t t
B. f t 2t 2 2t
e 1
2
C. f t t t
D. f t 2t 2t
(Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 2)
4
Câu 5: Tính tích phân
1 sin 3 x
sin 2 x dx
6
Ngọc Huyền LB | 12
x2
B.
dx bằng:
e 1
e 1
e 1
C.
D.
2e
2
2e
(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)
1
Câu 9: Tính tích phân:
0
2
2
xe
0
1
2
1
B. ln 2
4
1
D. ln 2
4
(Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2)
1
dx nếu đặt
t x 1 thì I f t dt trong đó:
cos 3 x
sin x dx bằng:
1
A. ln 2
4
1
C. ln 2
4
Câu 8: Tích phân
2
D. 6
2
Câu 3: Tích phân I x x 2 1dx có giá trị bằng:
0
C. 4
(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)
D. I 2
C. I 2
B. I 0
3 2 2 2
2
(Trích đề thi thử THPT Cái Bè)
D.
a
0
0
3 2 2
2
A.
C.
1
ln 2
6
x
x1
dx
B. 2ln 2
5
3
42 2
1
D. ln 2
3
6
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Câu 10: Giá trị dương a sao cho:
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
a
x 2x 2
a
dx a ln 3 là:
x1
2
0
a
2
2
A. 5
B. 4
Câu 19. Nếu
xe dx 1 thì giá trị của a bằng:
x
0
C. 3
B. 1
C. 2
D. e
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
A. 0
D. 2
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
6
5
dx
ln c. Giá trị của c là:
Câu 11: Giả sử
2
x
1
1
A. 9
B. 3
C. 81
Câu 20. Nếu
sin
0
D. 8
A. 3
1
0
A.
1
2
B.
x 1
n1
dx có giá trị là:
3
1
1
D.
4
8
(Trích đề thi thử THPT Diệu Hiền)
1
8
Câu 21. Giá trị của lim
n
A. 1
C.
1
Câu 13. Giả sử
x
f t dt 5 và
3
2
C. I 2
B. I 3
D. I 1
6
A. ln 2 B. ln2
Câu 14. Tính tích phân I cos xdx .
C. I 2
B. I 1
D. I 3
1
Câu 24. Tích phân
(Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ)
t dt x cos(x). Tính
2
A.
f (4) .
B. f (4) 1
1
D. f (4) 3 12
2
(Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ)
C. f (4)
a
Câu 16. Đẳng thức cos x a2 dx sin a xảy ra nếu:
0
B. a
A. a
C. a 3
D. a 2
(Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ)
B.
1
e2 3
e2 3
e
C.
D.
2
4
2
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
Câu 26: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm
x( x 2)
của hàm số f ( x)
?
( x 1)2
A.
B.
D.
B.
x2 x 1
x1
x2
D.
x1
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
x2 x 1
x1
2
x x1
C.
x1
Câu 27: Nếu
1 sin 3 x
sin 2 x dx
2
A.
C. I 1
D. I 1
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
B.
d
d
a
a
f ( x)dx 5; f ( x) 2 với a d b thì
b
f ( x)dx
6
3 2
;
2
3 2
.
2
e 1
2
2
0
Câu 18. Tính tích phân
xdx có giá trị bằng:
e
Câu 17: Tính tích phân I x.sin xdx.
4
x2
Câu 25. Tích phân I 2 x 1 ln x dx bằng:
2
B. I 2
e
2e 1
e 1
e 1
C.
D.
2
2e
2e
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
e 1
2
0
A. f (4) 2 3
D. ln 2
0
f x
Câu 15. Cho biết
C. ln4
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
0
C.
4 x 2 xdx có giá trị bằng
Câu 23. Tích phân cot x.dx có giá trị bằng
(Trích đề thi thử Sở GD – ĐT Phú Thọ)
A.
4
1
A. I 3
dx bằng:
10
8
5
B.
C.
D.
3
3
3
(Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng)
2
A.
3
3
A. I 0
x
n
0
f r dr 6 . Tính
I f u du .
A. I 4
1
1 e
B. 1
C. e
D. 0
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
Câu 22. Tích phân
1
1
1
thì n bằng:
64
B. 4
C. 5
D. 6
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN)
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 12: Tích phân I
x cos xdx
n
3 2 2
2
3 2 2 2
2
bằng:
a
A. 2
B. 7
C. 0
D. 3
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
The best or nothing | 11
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y x 2 và y 3x :
2
1
1
1
C.
D.
4
2
6
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
A. 1
B.
A. V
a3
12
C. V
a3 2
12
B. V
a3 3
4
a3 2
6
(Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ)
D. V
Câu 2: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay
Câu 8: Công thức tính diện tích S của hình thang
quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
cong giới hạn bởi hai đồ thị
x
hàm số y 2 x e 2 và hai trục tọa độ là:
A. 2e 2 10
C. 2e 2 10
B. 2e 2 10
D. 2e 2 10
A. S
b
a
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu)
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y
y f x , y g x , x a, x b , a b
x1
và các trục tọa độ. Chọn kết quả
x2
đúng nhất?
f x g xdx
B. S f x g x dx
b
a
C. S
b
a
D. S
b
a
f x g x dx
2
f x g x dx
2
2
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)
A. 3ln6
3
B. 3ln
2
3
C. 3ln 2
2
3
D. 3ln 1
2
của hàm số y 2x3 x2 x 5 và đồ thị (C’) của
hàm số y x2 x 5 bằng:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I)
(Trích đề thi thử THPT Bảo Lâm)
Câu 4. Cho hàm số f ( x) x 3x 2x . Tính diện tích
Câu 10: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x)
đường y x 1 e x , y x2 1.
3
2
trục tung, trục hoành và đường thẳng x 3
A. S e
8
3
B. S e
2
3
C. S e
2
3
D. S e
8
3
12
4
9
D. S
4
(Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ)
Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Câu 5. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt
hàm số y x 1 e 2 x , trục hoành và các đường thẳng
10
4
11
C. S
4
B. S
A. S
phẳng x 0 và x 3 , biết rằng thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 0x tại điểm
có hoành độ x 0 x 3 là một hình chữ nhật có hai
kích thước là x và 2 9 x2 .
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
x 0, x 2.
A.
e4 e2 3
4 2 4
B.
e4 e2 3
4 2 4
C.
e4 e2 3
4 2 4
D.
e4 e2 3
4 2 4
(Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ)
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị
Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình
các hàm số y 2 và y 3 x , trục hoành và trục tung.
phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2 2x và
x
1
ln 2
1
C. S 2
ln 2
A. S 2
B. S 2
D. S 4
y x2 quay quanh trục Ox.
A.
4
3
B.
4
3
C.
3
D.
1
3
(Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN – HN)
(Trích đề thi thử sở GD&ĐT Phú Thọ)
Câu 7. Tính thể tích của tứ diện đều có cạnh bằng a.
Ngọc Huyền LB | 12
Lưu ý: Lời giải chi tiết sẽ được gửi vào 23h ngày 25/02/2017.
Đề nghị các bạn đăng ký tại http://ngochuyenlb.gr8.com/ để
được gửi vào đúng thời gian trên.
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Bổ sung một số dạng về nguyên hàm – tích phân
Đọc thêm
1. Tích phân và nguyên hàm một số hàm lượng giác
a. Dạng
sin
m
x.cosn xdx trong đó m, n là các số tự nhiên.
Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.
Lũy thừa của cos x là số lẻ, n 2k 1 thì đổi biến
u sin x
sin
m
Lũy thừa của sin x là số lẻ, m 2k 1 thì
đổi biến u cos x
k
sin
x.cosn xdx sinm x cos2 x cos xdx
sinm x 1 sin 2 x . sin x ' dx
k
um 1 u2
k
cosn x. 1 cos2 x
du
k
x.cosn xdx cosn x sin2 x sin xdx
m
1 u2
k
cos x 'dx
k
.un du
Ví dụ 1: Tìm sin5 x.cos2 xdx .
Lời giải
Vì lũy thừa của sin x là số lẻ nên ta đổi biến u cos x .
sin
1 u2
x.cos2 xdx 1 cos2 x .cos2 x. cos x ' dx
5
2
2
.u2 du 2u4 u2 u6 du
2u5 u3 u7
C
5
3
7
2 cos5 x cos3 x cos7 x
C.
5
3
7
Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để
giảm một nửa số mũ của sin x; cos x , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
sin mx.cos nxdx , sin mx.sin nxdx , cos mx.cos nxdx .
b. Dạng
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.
c. Dạng
tan m x
cos
n
x
dx trong đó m, n là các số nguyên.
Lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn,
n 2k thì ta đổi biến u tan x
tan m x
cos
n
dx
x
tan m x
tan m x
cos
2 k 2
m
k 1
1
2
cos x
Khi đó u '
2
sin x
, do đó
cos 2 x
tan m x
tan 2 k tan x
dx
cosn x
cosn1 . cos x dx
dx
. tan x ' dx
cos x
tan x. 1 tan x
2
.
Lũy thừa của tan x là số nguyên dương lẻ,
1
m 2k 1 thì ta đổi biến u
cos x
k
k 1
.d tan x
um . 1 u2
k 1
du
1
1
2
cos x
sin x
.
dx
n 1
cos
cos 2 x
k
u2 1 un1 .du
The best or nothing | 13
Quà tặng Valentine
Ngọc Huyền LB
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
a.
tan 6 x
cos
4
x
dx
b.
tan 5 x
cos
7
x
dx .
Lời giải
a.Do lũy thừa của cos x là số nguyên dương chẵn nên đặt u tan x . Từ công
thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có
tan6 x
dx u6 . 1 u2
tan 5 x
dx u2 1 .u6 du
u9 u7
tan9 tan7
C
C.
cos4 x
9
7
9
7
1
b. Do lũy thừa của tan x là một số lẻ nên ta đặt u
, do vậy, từ công thức
cos x
tổng quát chứng minh ở trên ta có
cos
7
1
du
2
u11 2u9 u7
C
11
9
7
x
1
2
1
C.
11
9
11cos x 9 cos x cos7 x
2. Đổi biến lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các
dạng
x2 a2 , x2 a2 , a2 x2 , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Biểu thức có chứa
Đổi biến
x2 a2
x a tan t , t ;
2 2
Hoặc x a cos t , t 0;
x2 a2
, t ; \0
sin t
2 2
a
Hoặc x
, t 0; \
cos t
2
x
a
x a sin t , t ;
2 2
a2 x2
Hoặc x a cos t , t 0;
ax
ax
ax
ax
x a cos 2t
x a b x
x a b a sin 2 t , t 0;
2
3. Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
STUDY TIP: Kí hiệu
deg P x là bậc của
đa thức
P x .
Ngọc Huyền LB | 14
Cho hàm số y f x có dạng f x
P x
Q x
trong đó P và Q là các đa thức, và P
không chia hết cho Q.
Hàm f được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu deg P deg Q .
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
The best or nothing
Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu
f x chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia đa thức
tử số cho đa thức mẫu số để được:
f x
P x
Q x
S x
R x
S x h x ,
Q x
Khi đó, h x sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.
Định lý: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức
đơn giản hơn.
1
1
ax b
ax b
Đó là các biểu thức có dạng
là các
;
; 2
;
k
k
2
x a x a x px q
x px q
hàm số có thế tìm nguyên hàm một cách dễ dàng.Để tách được phân thức ta
dùng phương pháp hệ số bất định.
a. Trường hợp phương trình Q x 0 không có nghiệm phức và các nghiệm
đều là nghiệm đơn.
Q x a1 x b1 a2 x b2 ... ak xk bk
(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q x ).
Trong trường hợp này, g có thể biểu diễn dưới dạng
g x
R x
Q x
A1
a1 x b1
A2
a2 x b2
...
Ak
ak x bk
Sau khi biểu diễn được g x về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.
Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f x
A. F x 4ln x 2 ln
x 1
C
x2
B. F x 4ln x 2 ln
x 1
C
x2
C. F x 4ln x 2 ln
D. F x 4ln x 2 ln
4x 3
là
x 3x 2
2
x2
C
x 1
x2
C
x 1
Phân tích
Đáp án B.
Ta có
4x 3
4x 3
A
B
Ax 2 A Bx B
.
x
1
x
2
x 3x 2 x 2 x 1
x 1 x 2
2
Khi đó A B x 2 A B 4x 3 , đồng nhất hệ số thì ta được
A B 4
A 1
2 A B 3 B 5
Lời giải
The best or nothing | 15
Quà tặng Valentine
Kiểm tra khả năng vận
dụng từ ví dụ 3:
Tìm
x2 2x 1
dx
3
3x2 2x
Ngọc Huyền LB
Ta có
x
2
1
4x 3
5
dx
dx ln x 1 5.ln x 2 C
3x 2
x 1 x 2
4.ln x 2 ln
2x
x2
x 1
C 4.ln x 2 ln
C.
x2
x 1
Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:
x2 2x 1
1
1
1
2x3 3x2 2x dx 2 . ln x 10 . ln 2x 1 10 . ln x 2 D
5
Ví dụ 4: Biết I
4
x3 2
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 d ln 6 e ln 7 . Khi đó
x 4 5x 2 4
6a 3b 6c 3d 2e có giá trị là
B.
A. 16
19
6
C. 16
D.
19
6
Phân tích
Đáp án A.
x3 2
x3 2
A
B
C
D
4
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x 5x 4 x 1 x 1 x 2 x 2
Ta có
STUDY TIP: đây là
dạng toán tích phân
chống casio đã gặp
trong đề minh họa lần
2.
x 3 2 A x 2 4 x 1 B x 2 1 x 2
C x2 4 x 1 D x 2 1 x 2 , x *
1
Thay x 1 vào * ta có A .
2
5
Thay x 2 vào * ta có B
6
1
Thay x 1 vào * ta có C
6
1
Thay x 2 vào * ta có D
2
Lời giải
5
I16
4
x 2
dx
x 5x 2 4
3
4
5
5
5
5
1
dx
5 dx
1 dx
1 dx
2 4 x 1 6 4 x 2 6 4 x 1 2 4 x 2
1
5
5
1
1
ln x 1 ln x 2 ln x 1 ln x 2
6
6
2
2
4
ln2
1
5
1
1
5
1
1
ln3 ln6 ln7 ln3 ln2 ln5 ln6
6
6
2
6
6
2
2
11
4
1
1
1
ln2 ln3 ln5 ln6 ln7
6
3
6
3
2
Khi đó 6a 3b 6c 3d 2e 11 4 1 1 1 16 .
b. Trường hợp Q x 0 không có nghiệm phức, nhưng có nghiệm thực là
nghiệm bội.
Nếu phương trình Q x 0 có các nghiệm thực a1 ; a2 ; ...; an trong đó a1 là
nghiệm bội k thì ta phân tích g x
Ngọc Huyền LB | 16
R x
Q x
về dạng
- Xem thêm -
.PDF 
24 
95 
78 
