Tài liệu Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ

Lời cảm ơn Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo - ThS. Nguyễn Thanh Tùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành khoá luận này. Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em luôn nhận được sự động viên, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Hình học và các bạn sinh viên lớp K50ĐHSP Toán. Đồng thời để hoàn thành khóa luận em cũng nhận được sự tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của Phòng Đào Tạo, Phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường Đại Học Tây Bắc. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới BGH nhà trường, thầy cô, gia đình, bạn bè - tất cả những người đã động viên, giúp đỡ công sức và tinh thần cho công việc nghiên cứu của em được hoàn thành tốt đẹp. Em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt các nhiệm vụ được giao. Em xin chân thành cảm ơn!. Sơn La, tháng 5 năm 2013 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thủy 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 0.4 Phạm vi đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 0.7 Cấu trúc khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . 7 7 7 1.1.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Các bất đẳng thức thông dụng . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Định lí về dấu tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Định lí Viét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Tích vô hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Tích có hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.2 Dấu hiệu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.3 Dấu hiệu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Các bước cơ bản để giải bài toán cực trị . . . . . . . . . . . 13 1.8 Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 16 2 2.1 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số . . . . . . . . . . 24 2.4 Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn . . . . . . . . . 27 2.5 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Bài tập 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Mở đầu 0.1 Lí do chọn đề tài Trong trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân. Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đó có nhiều dạng rất khó như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đó. Các dạng bài tập này được gọi chung là bài toán tìm cực trị hay bài toán cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khó của chương trình toán trung học bởi vì các bài toán cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nó lại là một trong những dạng toán được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng, sách giáo khoa có rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại các phương pháp giải. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng toán: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài toán cực trị. Để giải được một bài toán cực trị bên cạnh việc phải nắm vững được các kiến thức cơ bản của chương trình phổ thông còn phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào giải bài tập. Điều đặc biệt là thông qua các bài toán cực trị người học có thể vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học. Trên thực tế, qua khảo sát việc giải bài toán cực trị ở các trường phổ thông tôi nhận thấy rằng chất lượng học sinh vẫn còn thấp, đa số các em chưa biết cách giải một bài toán cực trị. Điều này phần nào ảnh hưởng tới 4 chất lượng giáo dục. Xuất phát từ những lí do trên và với tư cách là một giáo viên dạy toán trong tương lai, tôi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua việc nghiên cứu đề tài: "Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ." 0.2 Mục đích nghiên cứu • Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn.Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao khả năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động. • Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu. • Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị. 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu • Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán cực trị phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. • Đề tài sẽ trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để học sinh vận dụng làm bài tập. • Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp. 0.4 Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đối với các học sinh chuyên và không chuyên toán. 0.5 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ví dụ. 5 0.6 Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong quá trình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học. • Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau. Trích dẫn từ nguồn internet và các sách tham khảo. • Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẫn và bạn bè. 0.7 Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Chương 3: Bài tập 6 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Định nghĩa và tính chất 1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x1, x2, · · · , xn) với xi ∈ Di , Di ⊂ R, i = 1, n. Đặt D = D1 × D2 × · · · × Dn . 1. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f (x1, x2, · · · , xn) trên D, kí hiệu M = max f (x1, · · · , xn) nếu hai điều kiện sau đây (x1 ,··· ,xn )∈D đồng thời thỏa mãn: (a) f (x1, x2 , · · · , xn) ≤ M, ∀(x1 , x2, · · · , xn) ∈ D (b) Tồn tại (x01, x02 , · · · , x0n) ∈ D sao cho f (x01, x02 , · · · , x0n) = M 2. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x1, x2 , · · · , xn) trên D, kí hiệu m = min f (x1, · · · , xn) nếu hai điều kiện sau đây (x1 ,··· ,xn )∈D đồng thời thỏa mãn: (a) f (x1, x2 , · · · , xn) ≥ m, ∀(x1 , x2, · · · , xn) ∈ D (b) Tồn tại (x01, x02 , · · · , x0n) ∈ D sao cho f (x01, x02 , · · · , x0n) = m Để đơn giản vấn đề mà không làm mất tính tổng quát, ta xét đối với hàm số một biến y = f (x) với x ∈ D ⊂ R, và sau đây là một số tính chất. Tính chất 1.1. Giả sử f (x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D, trong đó A ⊆ B. Giả sử tồn tại max f (x), max f (x), min f (x), min f (x). x∈A Khi đó ta có: 1. max f (x) ≤ max f (x) x∈A x∈B 7 x∈B x∈A x∈B 2. min f (x) ≥ min f (x) x∈A x∈B Tính chất 1.2. Giả sử hàm số f (x) xác định trên D và tồn tại max f (x) x∈D và min f (x). Khi đó ta có: x∈D max f (x) = − min(−f (x)); min f (x) = − max(−f (x)) x∈D x∈D x∈D x∈D Tính chất 1.3. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa mãn điều kiện: f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ D. Khi đó ta có: max f (x) ≥ max g(x) x∈D x∈D Tính chất 1.4. (Nguyên lí phân rã) Giả sử f (x) xác định trên D và D được biểu diễn dưới dạng D = D1 ∪ D2 . Giả sử tồn tại max f (x) và x∈Di min f (x), ∀i = 1, 2. Khi đó ta có x∈Di max f (x) = max{max f (x), max f (x)} x∈D x∈D1 x∈D2 min f (x) = min{min f (x), min f (x)} x∈D x∈D1 x∈D2 Tính chất 1.5. Giả sử f (x) là hàm số xác định trên D và f (x) ≥ 0. Khi đó với mọi n nguyên dương ta có: q max f (x) = 2n max[f 2n(x)] x∈D x∈D q min f (x) = 2n min[f 2n(x)] x∈D x∈D Tính chất 1.6. Giả sử f (x) là hàm số xác định trên D và tồn tại max f (x), x∈D min f (x). Khi đó ta có: max |f (x)| = max[| max f (x)|, | min f (x)|] x∈D x∈D x∈D x∈D Tính chất 1.7. Xét hàm số f (x) xác định trên D và giả sử tồn tại max f (x), min f (x) trong đó: D1 = {x ∈ D : f (x) > 0} và D2 = {x ∈ x∈D x∈D D : f (x) ≤ 0} Khi đó ta có: min |f (x)| = min{min f (x), | max f (x)|} x∈D x∈D1 x∈D2 Tính chất 1.8. Giả sử f (x) là hàm số xác định và liên tục trên D. Khi đó nếu gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên D thì: min |f (x)| = ( 0, nếu Mm ≤ 0 min |M|, |m| nếu Mm ≥ 0 8 1.1.2 Bất đẳng thức Định nghĩa 1.2. Giả sử A, B là hai biểu thức đại số. Ta nói rằng A lớn hơn B (viết A > B ) nếu và chỉ nếu A − B > 0 Hoàn toàn tương tự, ta có định nghĩa các bất đẳng thức A < B, A ≥ B, A ≤ B Tính chất 1. Nếu A > B, B > C thì A > C 2. Nếu A > B, C > D thì A + C > B + D 3. Nếu A > B, C < D thì A − C > B − D 4. Nếu A > B thì AC > BC ∀C > 0 và AC < BC ∀C < 0 5. Nếu A > B > 0, C > D > 0 thì AC > BD √ 1 √ 1 n n 6. Nếu A > B > 0 thì An > B n ; n < n , A > B ∀n ∈ N∗ A B 1.1.3 Các bất đẳng thức thông dụng Bất đẳng thức Côsi Với n số không âm a1 , a2 , · · · , an ta luôn có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an √ Trong trường hợp đặc biệt n = 2 thì a1 + a2 ≥ 2 a1 a2 Ta có một số kết quả đặc biệt 1. Với mọi a, b ∈ R ta có a2 + b2 ≥ 2ab. Dấu bằng xảy ra khi a = b √ 2. Với mọi a, b ≥ 0 ta có a + b ≥ 2 ab. Dấu bằng xảy ra khi a = b   1 1 4 1 1 3. Với mọi a, b > 0 ta có (a + b) + . ≥ 4 và do đó + ≥ a b a b a+b Dấu bằng xảy ra khi a = b 4. Với mọi a, b, c ∈ R ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 9 5. Với mọi a, b, c ∈ R ta có (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c √ √ √ 6. Với mọi a, b, c ≥ 0 ta có a + b + c ≥ ab + bc + ca. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c   1 1 1 + + 7. Với mọi a, b, c > 0 ta có (a + b + c) ≥ 9 và do đó a b c 9 1 1 1 + + ≥ . a b c a+b+c Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Bất đẳng thức Bunhiacopxki Với 2n số bất kì: a1 , a2 , · · · , an ; b1 , b2, · · · , bn. Khi đó ta luôn có (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 a1 a2 an = = ··· = b1 b2 b2 Trong trường hợp đặc biệt: a1 , a2 , · · · , an ∈ R; b1 , b2, · · · , bn ∈ R+ thì ta có bất đẳng thức sau (bất đẳng thức Svacxơ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a21 a22 a2n (a1 + a2 + · · · + an )2 + + ··· + ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + · · · + bn a1 a2 an Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = ··· = b1 b2 b2 Bất đẳng thức với giá trị trung bình Với n số dương a1 , a2 , · · · , an ta luôn có n 1 1 1 + + ··· + a1 a2 an ≤ √ n a1 a2 · · · an a1 + a2 + · · · + an ≤ ≤ n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an 10 s a21 + a22 + · · · + a2n n Bất đẳng thức Trêbưsep Cho hai dãy số thực a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn 1. Nếu hai dãy cùng tăng (cùng giảm) thì ta có (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) ≤ n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an hoặc b1 = b2 = · · · bn 2. Nếu có một dãy tăng, một dãy giảm thì ta có (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) ≥ n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · an hoặc b1 = b2 = · · · bn Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối • |a| ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0 • −|a| ≤ a ≤ |a|. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0 • |a + b| ≤ |a| + |b|. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 (a,b cùng dấu) • |a − b| ≥ |a| − |b|. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 (a,b cùng dấu) • a ≥ b, ab ≥ 0 ⇒ 1 1 ≤ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b a b Bất đẳng thức tam giác Cho ba điểm bất kì A, B, C khi đó ta luôn có AB + BC ≥ AC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C theo thứ tự thẳng hàng. → → Cho hai vectơ bất kì − u,− v ta luôn có: − → → → |→ u | + |− v | ≥ |− u +− v| → → Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi − u = k.− v (k > 0) hoặc trong hai vectơ → − → − u , v có ít nhất một vectơ là vectơ không. 11 1.2 Định lí về dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0). Khi đó: • Nếu ∆ < 0 thì f (x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀x ∈ R • Nếu ∆ = 0 thì f (x) luôn luôn cùng dấu với a, ∀x ∈ R, x 6= −b 2a • Nếu ∆ > 0 thì f (x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng hai nghiệm. 1.3 Định lí Viét Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 thì    x1 + x2 = − b ca  x1 .x2 = a 1.4 Tích vô hướng của hai vectơ → − − → Tích vô hướng của hai vectơ − u ,→ v là một số thực ( kí hiệu bởi → u .− v) được xác định bởi biểu thức sau − → − → → → − u .→ v = |− u |.|− v |. cos(− u ,→ v) Nếu trong mặt phẳng ta chọn ra một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, ứng → − với hệ tọa độ này − u = (x1; y1 ), → v = (x2; y2) thì − → → u .− v = x1x2 + y1y2 → − tương tự như vậy, trong không gian với hệ tọa độ cho trước − u = (x1; y1; z1 ), → v = (x2; y2 ; z2) thì → − → u .− v = x1x2 + y1 y2 + z1 z2 1.5 Tích có hướng của hai vectơ → − Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ − u = (a; b; c), → v = → − → − ′ ′ ′ (a ; b ; c ) là một vectơ, được kí hiệu là [ u , v ] được xác định bởi biểu 12 thức sau:       b c c a a b − → → − [ u , v ] =  ′ ′  ;  ′ ′  ;  ′ ′ = (bc′ − b′ c; ca′ − c′ a; ab′ − a′ b) b c c a a b 1.6 1.6.1 Cực trị của hàm số Định lí Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f ′(x0 ) = 0 1.6.2 Dấu hiệu 1 Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng (a, b) không nhất thiết phải có đạo hàm tại x0 . Khi đó ( f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (a, x0) 1. thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x0, b) ( f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (a, x0) 2. thì hàm số đạt cực đại tại x0 . f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x0, b) 1.6.3 Dấu hiệu 2 Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a, b) chứa điểm x0 và f ′ (x0) = 0 và f ”(x0) 6= 0 thì ( f ′ (x) = 0 1. thì hàm số đạt cực đại tại x0 . f ”(x) < 0 ( f ′ (x) = 0 2. thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . f ”(x) > 0 1.7 Các bước cơ bản để giải bài toán cực trị • Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức f (x) ≥ m hoặc f (x) ≤ M với ∀x ∈ D 13 • Bước 2: Chỉ ra giá trị x0 để f (x0) = m hoặc f (x0) = M • Bước 3: Kết luận: Với giá trị x0 ∈ D thì f (x) đạt max f (x) = M, min f (x) = m x0 ∈D 1.8 x0 ∈D Phương trình 1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0 ; y0 ) → → nhận vectơ − u = (u1; u2) làm vectơ chỉ phương và vectơ − n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: ( x = x0 + tu1 , với t là tham số y = y0 + tu2 Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: ax + by + c = 0, với c = −ax0 − by0, a2 + b2 6= 0 2. Phương trình mặt phẳng trong không gian → Mặt phẳng α đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ − n = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là A(x − x0) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 3. Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) có bán kính R > 0 thì phương trình tổng quát của đường tròn (C) là: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Nếu a2 + b2 − c > 0 thì phương trình của đường tròn có thể viết dưới dạng: x2 + y 2 + 2ax + 2by√+ c = 0 gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R = a2 + b2 − c 4. Phương trình của Elip x2 y 2 (E) : 2 + 2 = 1, a > b > 0 là phương trình của Elip có tiêu điểm a b nằm trên trục hoành và đối xứng nhau qua gốc O. 14 x2 y 2 + 2 = 1, a > b > 0 là phương trình của Elip có tiêu điểm b2 a nằm trên trục tung và đối xứng nhau qua gốc O. (E) : 5. Phương trình của Hypebol x2 y 2 (H) : 2 − 2 = 1, (a, b > 0) là phương trình của Hypebol có tiêu a b điểm nằm trên trục hoành và đối xứng nhau qua gốc O. x2 y 2 (H) : 2 − 2 = −1, (a, b > 0) là phương trình của Hypebol có tiêu b a điểm nằm trên trục tung và đối xứng nhau qua gốc O. 6. Phương trình của Parabol (P ) : y 2 = 2px (p > 0) là phương trình của Parabol (P ) có đỉnh là gốc (O), trục đối xứng là trục hoành, có bề lõm quay sang phần dương của trục hoành. Tương tự như vậy đối với các parabol có phương trình y 2 = −2px; x2 = −2py; x2 = 2py 7. Các phương trình lượng giác cơ bản • Phương trình sin x = a, (|a| ≤ 1) có nghiệm Ở đây a = sin α và k ∈ Z.  x = α + k2π x = π − α + k2π • Phương trình cos x = a, (|a| ≤ 1) có nghiệm x = Ở đây a = cos α và k ∈ Z.  x = α + k2π x = −α + k2π • Phương trình tan x = a có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z) với a = tan α. • Phương trình cot x = a có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z) với a = cot α. 15 Chương 2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên một miền D cho trước, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong phạm vi khóa luận này tôi xin trình bày 6 phương pháp sau đây: • Phương pháp bất đẳng thức • Phương pháp miền giá trị của hàm số • Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số • Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn • Phương pháp hình học • Phương pháp lượng giác hóa 2.1 Phương pháp bất đẳng thức Phương pháp bất đẳng thức được xem như là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Phương pháp này đòi hỏi người giải toán trên cơ sở đưa ra các nhận xét cho việc sử dụng phương pháp này và lựa chọn bất đẳng thức để xác định lời giải cho bài toán. Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f (x1 , x2, · · · , xn) trên D = D1 × D2 × · · · × Dn , ta tiến hành theo hai bước sau: • Chứng minh một bất đẳng thức có dạng f (x1, x2, · · · , xn) ≥ α, ∀(x1, x2, · · · , xn) ∈ D 16 với bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc f (x1, x2, · · · , xn) ≤ α, ∀(x1, x2, · · · , xn) ∈ D với bài toán tìm giá trị lớn nhất • Chỉ ra (x01, x02, · · · , x0n) ∈ D sao cho f (x01, x02, · · · , x0n) = α Ví dụ 2.1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3 √ √ √ x−1 y−2 z−3 A= + + x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 1 và x − 1 ta có √ √ x−1 1+x−1 x 1 x−1≤ = do đó ≤ 2 2 x 2 Tương tự ta có √ √ 1 1 y−2 z−3 ≤ √ ≤ √ và y z 2 2 2 3 Dấu bằng của các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = 2, y = 4, z = 6. 1 1 1 Vậy max A = + √ + √ , đạt tại x = 2, y = 4, z = 6 2 2 2 2 3 Ví dụ 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = 2x + 3y với (x, y) ∈ R2 biết: 2x2 + 3y 2 ≤ 5 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: √ √ √ √ √ √ √ √ A2 = (2x+3y)2 = ( 2 2x+ 3 3y)2 ≤ (( 2)2+( 3)2)((x 2)2+(y 3)2 ) hay A2 ≤ (2 + 3)(2x2 + 3y 2 ) ≤ 5.5 = 25  √ √ (  2 y x  √ = √3 x=y ⇔ A2 = 25 ⇔ 2 3  2x2 + 3y 2 = 5 2x2 + 3y 2 = 5 ⇔  x=y=1 x = y = −1 Do A2 ≤ 25 nên −5 ≤ A ≤ 5 Vậy min 2 A = −5 đạt tại x = y = −1 và max 2 A = 5 đạt tại (x,y)∈R (x,y)∈R x=y=1 17 Ví dụ 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  2 2 2 1 + yz 1 + zx 1 + xy + + f (x, y, z) = (x3 + y 3 + z 3 ) z3 x3 y3 Trên miền D = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1} Lời giải Lấy (x, y, z) tùy ý thuộc D. Ta có:  2 2 2 1 + yz 1 + zx 1 + xy + + f (x, y, z) = (x3 + y 3 + z 3 ) z3 x3 y3  3  x x3 y 3 y 3 z 3 z 3 =3+ + + + + + y 3 z 3 z 3 x3 x3 y 3   4 2 xy 5 y 4 z 2 yz 5 x5z x2z 4 xy + (xy 2 + yz 2 + zx2 ) + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 z z x x y y (2.1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 3 3 3 3 s 3 3 3 3 3 3 x x y y z z x y y z z 6 x + + + + + ≥ 6 . . . . . (2.2) y 3 z 3 z 3 x3 x3 y 3 y 3 z 3 z 3 x3 x3 y 3 s 4 2 4 2 5 4 2 5 5 2 4 xy xy y z yz xz xz xy 5 y 4z 2 yz 5 x5z x2z 4 6 x y + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ≥6 . . . . . z3 z x x y y z 3 z 3 x3 x3 y 3 y 3 = 6xyz = 6 p xy 2 + yz 2 + zx2 ≥ 3 3 xy 2 .yz 2 .zx2 = 3xyz = 3 (2.3) (2.4) Thay (2.2), (2.3), (2.4) vào (2.1) ta có f (x, y, z) ≥ 18, ∀(x, y, z) ∈ D Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Vậy min f (x, y, z) = 18 (x,y,z)∈D Ví dụ 2.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số p p √ √ 1. f (x) = x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1      1  5 2. g(x) =  − x −  + x 2 2 18 Lời giải 1. Điều kiện: x ≥ 1 Ta có: q q √ √ f (x) = x + 3 − 4 x − 1 + x + 15 − 8 x − 1 q q √ √ = x − 1 − 4 x − 1 + 4 + x − 1 − 8 x − 1 + 16 r 2 r√ 2 √ = x−1−2 + x−1−4 √ √ = | x − 1 − 2| + | x − 1 − 4| √ √ √ √ = | x − 1 − 2| + |4 − x − 1| ≥ | x − 1 − 2 + 4 − x − 1| = 2 ( √

√ x−1−2 . 4− x−1 ≥0 tương Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x≥1 ( √ 2≤ x−1≤4 đương với suy ra 5 ≤ x ≤ 17 x≥1 Vậy: min f (x) = 2 đạt khi x ∈ [5; 17]          1     1 5 5 2. Xét g(x) =  − x −  + x = x −  −  + x 2 2 2 2     5 1  Suy ra |g(x)| ≤ x − − x + = 3 và do đó −3 ≤ g(x) ≤ 3. Dấu 2 2  bằng xảy ra khi và chỉ khi  1     x ≤ 5 1  2 x− . x+ ≥0⇔ 5 2 2 x≥ 2 5 Vậy min g(x) = −3 đạt khi x ≥ , 2 max g(x) = 3 đạt khi x ≤ 1 2 Ví dụ 2.5. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b2 c2 a2 + + P = 1−a 1−b 1−c Lời giải b2 c2 a2 + + . Vì a + b + c = 1 ⇒ P = b+c c+a a+b 19 Áp dụng bất đẳng thức Svacxơ ta có: a2 b2 c2 (a + b + c)2 1 P = + + ≥ = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = . 3 1 1 Vậy: min P = đạt tại a = b = c = 2 3 2.2 Phương pháp miền giá trị của hàm số Để xác định lời giải cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) bằng phương pháp miền giá trị, ta thường tiến hành như sau: Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số f (x) trên miền D thì khi đó ta có phương trình theo ẩn x, f (x) = y0 có nghiệm x ∈ D. Tùy theo điều kiện của phương trình mà ta có các điều kiện tương ứng. Trong nhiều trường hợp sau khi ta biến đổi đưa được về dạng α ≤ y0 ≤ β. Khi đó min f (x) = α, max f (x) = β x∈D x∈D Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thực chất là ta quy về tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên phương pháp này sẽ hạn chế đối với những phương trình bậc cao hoặc gặp với điều kiện về sự tồn tại nghiệm phức tạp. Ví dụ 2.6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trên tập R x2 + 8x + 7 2x2 + 7x + 23 ; 2. P = 1. T = 2 x + 2x + 10 x2 + 1 Lời giải 1. Tập xác định của hàm số là R. Ta gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó tồn tại x ∈ R để 2x2 + 7x + 23 y0 = 2 x + 2x + 10 tương đương với phương trình sau có nghiệm theo ẩn x ∈ R (y0 − 2)x2 + (2y0 − 7)x + 10y0 − 23 = 0 Khi đó 20 (2.5)