Tài liệu một số kỹ thuật am - gm

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ Một số kỹ thuật AM-GM https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Phạm Quốc Sang - Học sinh K9 chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam I. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Đây là kỹ thuật rất quan trọng trong quá trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán. Dựa vào việc xác định điều kiện xảy ra đẳng thức, ta sẽ thêm bớt hay tách biểu thức cần chứng minh thành các nhóm hay biểu thức phù hợp. Bài 1: Cho a  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  Sai lầm thường gặp: P  a  a  Nguyên nhân: minP  3  a  1 a2 1 1  3 3 a.a. 2  3  minP  3 2 a a 1  a  1 vô lí do a  3 a2 Phân tích: Ta xét một vài giá trị của a để dự đoán chiều biến thiên của P : a 3 4 5 P 1 8 16 1 10 25 … … 6 1 6 9 1 10 25 20 40 1 400 Từ bảng, ta nhận xét khi a tăng thì P tăng. Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của P là 6 1 9 tại a  3 .  a  3 1 1 Sơ đồ điểm rơi: a  3   1 1  3      9 27  a2  9  Lời giải chi tiết: P  Suy ra minP  a a 1 52a a a 1 52 55   2  3 3 . . 2  .3  27 27 a 27 27 27 a 27 9 55 khi a  3 9 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  abc  1 . abc Sai lầm thường gặp: P  2 abc. 1  2  minP  2 abc Nguyên nhân: minP  2  abc  1 1  abc  vô lí  1  abc     abc 3   27 3 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Phân tích: P là biểu thức đối xứng theo ba biến a, b, c . Do đó, ta dự đoán a  b  c  điều kiện xảy ra đẳng thức. Mặc khác, ta dễ nhận ra P có dạng t  t 1 là 3 1 với t  abc hoặc t 1 abc Ta có: t  1 1   27 abc  a  b  c 3   3   Do đó, ta quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  t  1 với t  27 . t  t  27 1 1  Sơ đồ diểm rơi: t  27  1 1  27    27 729  t  27  Lời giải chi tiết: P  Vậy minP  t 1 728t t 1 728 730   2 .  .27  729 t 729 729 t 729 27 730 1 khi t  27  a  b  c  27 3 Lưu ý: Trong quá trình giải toán, ta rất ít khi gặp các bài toán có dạng đơn biến. Thay vào đó, ta thường xuyên gặp các biểu thức dạng đa biến phức tạp. Do đó, ta cần linh hoạt sử dụng các bất đằng thức phù hợp để đưa biểu thức cần chứng minh về một biến số rồi đánh giá. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P  a  b  c  2    a b c Sai lầm thường gặp: P  3 3 abc  2.3 3 1 1  2 3 3 abc .2.3 3 6 2 abc abc Suy ra minP  6 2. Nguyên nhân sai lầm: minP  6 2  3 abc  2 3 1 abc 1  2  3 abc   vô lí abc 3 3 1 là điều 3 kiện để xảy ra cực trị. Từ đây, ta có rất nhiều hướng để giải bài toán dựa vào việc phân tích điểm rơi. Phân tích: Do P là đa thức đối xứng theo ba biến a, b, c nên ta dự đoán a  b  c  Lời giải 1: Do vai trò của a, b, c trong P là tương tự nhau nên ta chỉ cần phân tích a sau đó làm tương tự với b , c Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Sơ đồ điểm rơi: 1  a  1 1  3   a   .  a 9  1 3  a   1   1   1  17  1 1 1   P   a    b    c        9a   9b   9c  9  a b c    2 a. 1 1 1 17 9 2  2 b.  2 c.  .  .3  17  19. 9a 9b 9c 9 a  b  c 3 ( Chú ý ta có bất đẳng thức 1 1 1 9    ) a b c a b c 1 Suy ra minP  19 khi a  b  c  . 3 Lời gải 2: Ta có: P  a  b  c  2. Đặt t  9 18  abc . abc abc 1  t  1. abc Khi đó P  18t  1 t 1 . t 1 1 Ta có: P  17t  t   17  2 t.  19. t t 1 Suy ra minP  19 khi t  1  a  b  c  . 3 Lời giải 3: Ta có: P  3 3 abc  2. 3 Đặt t  3 3 . abc 1 1 3   3 abc a  b  c a  b  c 3 1  Do đó, ta quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3  2t   với t  3. t  1 1 1 1   Sơ đồ điểm rơi: t  3   t 3  3     . 3 9  t  3  Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro         https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr  t 1 17   t 1 17t  Ta có: P  3      3  2 .  .3   19.  9 t 9  9 t 9    1 Suy ra minP  19 khi t  3  a  b  c  . 3 Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a  b  c   P  1  1  1   .  2b  2c  2a  Sai lầm thường gặp: P  2 a b c 2 2  4 2  minP  4 2. 2b 2c 2a a  2b  Nguyên nhân sai lầm: minP  4 2  b  2c  a  b  c  0. vô lí do a, b, c  0 c  2a  Phân tích: Do P là đa thức đối xứng theo ba biến a, b, c nên ta dự đoán a  b  c là điều kiện xảy ra đẳng thức. 3 a b c 1 3    nên ta dự đoán minP    . Khi đó 2b 2c 2a 2 2 Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có 1  Tương tự 1  a 1 1 a 1 1 a 33 a     33 . .  . 2b 2 2 2b 2 2 2b 2 b b 33b c 33 c  , 1  . 2c 2 c 2a 2 a 3  3  a b c 27 Suy ra P    . 3 . 3 . 3  . 2 b c a 8 Vậy minP  27 khi a  b  c. 8 Lời giải 2: Ta có P 2b  a 2c  b 2a  c bba ccb a a c 3 3 ab 2 3 3 bc 2 3 3 ca 2 27    . 8abc 8abc 8abc 8 Suy ra minP  27 khi a  b  c 8 Lời giải 3: Ta có Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr b c   b c a  1  a P  1           2b 2c 2a   4a 4b 4c  8  1 33 a b c b c a 1 27 . .  33 . .   . 2b 2c 2a 4a 4b 4c 8 8 Suy ra minP  27 khi a  b  c 8 Một số bài tập tương tự: Bài 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y S  1 x 1 y Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  3 ab  3 bc  3 ca Bài 3: Cho a , b là các số thực dương thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 1 1 1  2  2 3 a  b a b ab 3 II. Kỹ thuật đồng bậc hóa: Đồng bậc là kỹ thuật giải toán dựa vào việc tạo ra các biểu thức đồng bậc nhau ở hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh. Ở chương này, ta sẽ tập trung đi vào giải các bài toán gồm ba biến số. Bậc của đơn thức: Ta quy ước đơn thức a b  c  có bậc      . a3 a5 , Ví dụ: a , ab, a bc , là các đơn thức bậc hai. b c3 2 Ta nhận xét rằng: Có vô số cách biểu diễn một đơn thức bậc k qua n biến a1 , a2 ....an . 1. Cộng thêm các biểu thức đồng bậc vào bất đẳng thức: a 3 b3 c 3    ab  bc  ca. Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng b c a Phân tích: Ta nhận xét rằng, hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh đều có bậc hai. Do đó, ta cần cộng thêm vào hai vế một biểu thức chứa các đơn thức bậc hai. a3 a3 Xét : Ta có ba đơn thức bậc hai có liên hệ với với là a 2 , b 2 , ab. b b Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/         https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro       https://www.facebook.com/tailieupro     https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Ta xét 3 trường hợp: a3 a3 2 a5 a3 a3 2 a3  a2  2 .a  2 .,  b2  2 .b  2 ., b b b b b b a3 a3  ab  2 .ab  2a 2 . b b So sánh 3 trường hợp thì việc ghép và ghép a3 b3 với ab là phù hợp nhất. Tương tự, ta ghép với bc b c c3 với ca . a Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có  a 3 b3 c 3   a3   b3   c3      ab  bc  ca    ab     bc     ca   b c a b  c  a  2 a3 b3 c3 .ab  2 .bc  2 .ca  2 a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ca . b c a a 3 b3 c 3    ab  bc  ca. Suy ra b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Lời giải 2: Ta có x3  y3  x  y x 2  y 2  xy  x  y 2 xy  xy  xy x  y , x, y  0. Ta có: 3 3  a 3 b3 c 3   a3 2 2 2 2 b 2 c 2     a b c   b  c  a  b c a b   c  a  3 3 3 3 3 3 a b b c c a    b c a ab a  b bc b  c ca c  a    b c a 2 2 2  a  b  c  ab  bc  ca . a 3 b3 c 3    ab  bc  ca Suy ra b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b3 c 3    a  b  c. bc ca ab Phân tích: Ta nhận xét rằng: bậc ở hai vế đều là bậc một. Do đó, ta sẽ cộng vào một biểu thức gồm các đơn thức bậc một. Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a3 : nếu ý tưởng ban đầu là sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm thì ta sẽ bc a3 a3 a3  a,  b,  c . Tuy nhiên sau khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho xét các nhóm: bc bc bc hai số, các kết quả thu được vẫn khá phức tạp. Do đó, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số. Xét a3 a3 a3  a  b,  b  c,  c  a thì chỉ có duy bc bc bc b3 c3 a3 ,  b  c cho ra kết quả là 3a . Tương tự với nhất ta cũng thu được các nhóm tương ca ab bc b3 c3  c  a, ab ứng là ca ab Ta cũng thực hiện tương tự, xét các nhóm Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có  a 3 b3 c 3   a3   b3   c3      2 a  b  c    b  c    c  a    a  b   bc ca ab   bc   ca   ab   33 a3 b3 c3 .b.c  3 3 .c.a  3 3 .a.b  3 a  b  c . bc ca ab Suy ra a 3 b3 c 3    a  b  c. bc ca ab Đẳng thức xảy ra khi a  b  c. Lời giải 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:  a 3 b3 c 3   a 3 b3   b3 c 3   c 3 a 3  2                 bc ca ab   bc ca   ca ab   ab bc  a 3 b3 b3 c 3 c3 a3  ab bc ca  . 2 . 2 .  2    bc ca ca ab ab bc a b   c  ab bc   bc ca   ca ab          a   a b   b c   c 2 2 ab bc bc ca ca ab . 2 . 2 .  2 abc . c a a b b c a 3 b3 c 3    abc Suy ra bc ca ab Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 5 b5 c 5    a 3  b3  c 3 . bc ca ab Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/  https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Phân tích: Ta nhận xét: hai vế của bất đẳng thức đều cùng bậc ba. So với hai bài trước thì bài này có bậc cao hơn và số cách biểu diễn để tạo thành các nhóm phù hợp cũng nhiều hơn. Do đó ở bài này, ta sẽ phân tích tổng quát hơn:       3 a5      a b c với  ,  ,   0 Xét bc  ,  ,    1 Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:  5  1  1 a5 a5     a b c  2 .a b c  2.a 2 b 2 c 2 . bc bc Ta chọn  ,  ,  sao cho  5 2  ,  1 2  ,  1 2  2 Từ (1), (2) chỉ có duy nhất một bộ số       1. b5 c 5 , . Tương tự với ca ab Lời giải chi tiết: Ta có:  a 5 b5 c 5   a5   b5   c5      3abc    abc     abc     abc    bc ca ab   bc   ca   ab  2 a5 b5 c5 .abc  2 .abc  2 .abc  2 a 3  b3  c3 bc ca ab  a3  b3  c3  3abc. a 5 b5 c 5    a 3  b3  c 3 Suy ra bc ca ab Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Lưu ý: Đối với dạng toán này, ta nên lấy một hạng tử bất kì để phân tích. Ví dụ: ở bài 1 ta lấy a3 a3 a5      thì ta sẽ xét a b , ở bài 2 ta lấy thì ta xét a b c và ở bài 3, lấy thì ta xét b bc bc a b  c  . Tức là nếu hạng tử ta xét chứa n biến thì đơn thức cộng thêm sẽ chứa n biến đó. Do vậy, nếu sau khi phân tích có k k  n biến thì sẽ có n  k biến có số mũ bằng 0 . Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 b4 c4    a 3  b3  c 3 b c a Phân tích: Cả hai vế của bất đẳng thức đều bậc ba. Do đó, biểu thức cộng thêm sẽ chứa các đơn thức bậc ba. Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/  https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr     3 a4     a b với  ,   0 Xét b  ,    1   4  1 a4 a4     Ta có: a b 2 .a b  2.a 2 b 2 . b b Ta chọn  ,  sao cho  4 2  ,  1 2  2 . Từ 1 , 2 có duy nhất bộ  ;   2;1 b4 c4 b4 c4 2 ,  b c,  c 2 a Tương tự với ta cũng được các nhóm c a c a Lời giải chi tiết: Ta có:  a 4 b4 c 4   a4   b4   c4      a 2 b  b 2 c  c 2 a    a 2b     b 2 c     c 2 a    b c a  b   c  a  2 a4 2 b4 2 c4 2 .a b  2 .b c  2 .c a  2 a 3  b3  c3 b c a Mặc khác ta có: a3  a3  b3  3 3 a3 .a3 .b3  3a 2b Tương tự: b3  b3  c 3  3b 2 c , c 3  c 3  a 3  3c 2 a Do đó: a 4 b4 c4    2 a 3  b 3  c 3  a 2b  b 2 c  c 2 a  a 3  b 3  c 3 b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c . Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh rằng a 3 b3 c 3    ab  bc  ca, a, b, c  0 b c a Bài 2: Chứng minh rằng a 5 b5 c 5  3  3  a 2  b 2  c 2 , a, b, c  0 3 b c a Bài 3: Cho n là một số tự nhiên n  0 . Chứng minh rằng a n 1 b n 1 c n 1    a n  b n  c n , a, b, c  0 b c a 2. Làm đồng bậc bất đẳng thức: Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 3    bc ca ab 2 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc ở vế trái là bậc 1, còn vế phải là bậc 0. Do đó, ta cần làm đồng bậc hai vế bằng cách thay 3  a  b  c vào vế phải. Ta sẽ quy bài toán về chứng minh a2 b2 c2 a bc    bc ca ab 2 Lúc này, cả hai vế của bất đẳng thức đều cùng bậc 1 nên ta sẽ cộng thêm các biểu thức gồm các đơn thức bậc 1. Xét nhóm a2   a   b  c với  ,   0 bc Ta có hai hướng giải với bất đẳng thức Cauchy: 1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số: Dễ thấy trong trường hợp này chỉ có cặp a2   b  c là phù hợp. Mặc khác, ta nhận xét: a  b  c  1 là điều kiện để xảy ra đẳng bc thức. Do đó, với a  b  c  1 ta có:  a2 1  a2 1 1     b  c   2    b  c 2 bc 2 4   b  c  2  2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: khi đó ta sử dụng cả ba số a2 a2   a   b  c ta tìm ,  a,  b  c . Cũng so sánh điều kiện a  b  c  1 và bc bc 1 1 được   ,   2 4 Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a2 a2 b2 c2 1 b  c   b2 c  a   c2 a b     abc          bc ca ab 2 4  ca 4   ab 4  bc 2 a2 b  c b2 c  a c2 a  b . 2 . 2 .  abc bc 4 ca 4 ab 4 Suy ra a2 b2 c2 1 3    abc  bc ca ab 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Lời giải 2: Ta có Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/         https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro     https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupr   https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr  a2 a2 b2 c2 a b  c   b2 b c  a   c2 c a b     abc            bc ca ab 4  ca 2 4   a b 2 4  bc 2 a2 a b  c b2 b c  a c2 c a  b 3 3 3 3 . . 3 . . 3 . .  abc bc 2 4 ca 2 4 ab 2 4 2 3 a2 b2 c2 1 3    abc  Suy ra bc ca ab 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 x y ay  bx x2 y 2 Lời giải 3: Ta có:     0 a, b  0  a b ab ab a  b 2 2 Áp dụng bất đẳng thức  ta có: ab abc a2 b2 c2 c2 abc       bc ca ab bcca ab 2 abc 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng a3 b3 c3   1 b  2c c  2 a a  2b Phân tích: Bậc của vế trái là hai. Do đó, ta quy bậc của vế phải về bậc hai bằng cách thay a 2  b2  c2 1 . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 a3 b3 c3 a 2  b2  c2    . b  2c c  2a a  2b 3 Ta nhận xét rằng a  b  c  1 là điều kiện để xảy ra đẳng thức. Tương tự bài 1, ta xét a3   a 2   a b  2c với  ,   0 . b  2c Trường hợp 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có cặp a3 a3   a b  2c  2 . a b  2c  2  .a 2 b  2c b  2c Khi đó a3 1   a b  2c kết hợp với a  b  c  1 ta tìm được   9 b  2c Trường hợp 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số a3 ,  a 2 ,  a b  2c thì b  2c Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro       https://www.facebook.com/tailieupro     https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro         https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a3 1 1   a 2   a b  2c kết hợp với a  b  c  1 ta tìm được   ,   3 9 b  2c Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a3 b3 c3   a b  2c b c  2a c a  2b         9 9 9  b  2c c  2a a  2b    3 3 3 a b  2c   b b c  2a   c c a  2b   a        9 9 9  b  2c   c  2a   a  2b  a 3 a b  2c b 3 b c  2a c3 c a  2b 2 . 2 . 2 .  a 2  b2  c2 b  2c 9 c  2a 9 a  2b 9 3 2 a3 b3 c3 ab  bc  ca 2 2     a  b2  c2 Suy ra b  2c c  2a a  2b 3 3 Mặt khác a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca Nên a3 b3 c3 a 2  b2  c2    1 b  2c c  2a a  2b 3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Lời giải 2: Ta có:  a3 b3 c3  1 2 1 2 2      a  b  c  ab  bc  ca 3  b  2c c  2a a  2b  3  a3 a 2 a b  2c   b3 b 2 b c  2a   c 3 c 2 c a  2b              9 9 9  b  2c 3   c  2a 3   a  2b 3  a 3 a 2 a b  2c b 3 b 2 b c  2a c 3 c 2 c a  2b 3 3 3 . . 3 . . 3 . .  a 2  b2  c2 b  2c 3 9 c  2a 3 9 a  2b 3 9 2 1  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 3 3 3 Suy ra a3 b3 c3 a 2  b2  c2    1 b  2c c  2a a  2b 3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 x y ay  bx x2 y 2     0 a, b  0  ta có: Lời giải 3: Áp dụng bất đẳng thức a b ab ab a  b 2 2 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/            https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr      https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a3 b3 c3 a4 b4 c4      b  2c c  2a a  2b a b  2c b c  2a c a  2b 2 a 2  b2 2 a 2  b2  c2 c4    a b  2c  b c  2a c a  2b 3 ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2 . ab  bc  ca 3 ab  bc  ca  a 2  b2  c2 1 3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  1. Chứng minh rằng a 2 b2 c2    3 a 2  b2  c2 . b c a Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc vế trái là bậc một còn vế phải là bậc hai. Do đó, ta sẽ làm đòng bậc hai vế bằng cách nhân a  b  c vào vế trái. Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a 3 b 3 c 3   a 2 c b 2 a c 2b  a 2 b2 c2  a 2 b2 c 2         a  b  c  a 2  b2  c2           b c a  b c a c a  b c a  b Mặc khác: Suy ra b2 a c 2b a 2c a 2c  ac  2ba,  ba  2cb  cb  2 .bc  2ac , tương tự: c a b b a 2 c b 2 a c 2b    ab  bc  ca b c a Do đó  a 3 b 3 c 3   a 2 c b 2 a c 2b   a 3 b 3 c 3               ab  bc  ca b c a  b c a  b c a   a3   b3   c3  a3 b3 c3    ab     bc     ca   2 .ab  2 .bc  2 .ca  2 a 2  b 2  c 2 b c a b   c  a  Ta suy ra a 2 b2 c2    3 a 2  b2  c2 b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 3 Lời giải 2:  a 2 b2 c2   a 3 b 3 c 3   a 2 c b 2 a c 2b     a  b  c  a 2  b2  c2            1 b c a b c a  b c a    Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/    https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/      https://www.facebook.com/tailieupro/     https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro      https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro               https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupr   https://www.facebook.com/tailieupr      https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a3 a 2c b2 a a3 a 2c b2 a    33 . .  3a 2 b b c b b c Mặt khác ta cũng có: Tương tự b 3 b 2 a c 2b c 3 c 2b a 2 c    3b 2 ,    3c 2 c c a a a b  a 3 b3 c 3   a 2 c b 2 a c 2b  2 2 2   Suy ra      2   3 a b c c a  b c a  b 2 Ta lại có:  a 3 b3 c 3   a3   b3   c3      ab  bc  ca    ab     bc     ca   b c a b   c  a  2 a3 b3 c3 .ab  2 .bc  2 .ca  2 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca b c a Do đó a 3 b3 c 3    a 2  b2  c2 3 b c a Lấy 2  3 vế theo vế rồi chia hai vế cho 2 ta được:  a 3 b3 c 3  2 2 2      ab  bc  ca  2 a  b  c b c a  4 a 2 b2 c2    3 a 2  b2  c2 Từ 1 , 4 ta suy ra b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 3 2 2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 a  b  c a 2 b2 c 2 a 4 b4 c4 Lời giải 3:        b c a a 2b b 2 c c 2 a a 2b  b 2 c  c 2 a a 2b  b 2 c  c 2 a Do a  b  c  1 Ta có: a 2  b 2  c 2 a  b  c  a 3  b3  c 3  ab 2  bc 2  ca 2  a 2b  b 2c  c 2 a  a 3  ab 2  b3  bc 2  c3  ca 2  a 2b  b 2c  c 2 a  2 a 3 .ab 2  2 b3 .bc 2  2 c3 .ca 2  a 2b  b 2c  c 2 a  3 a 2b  b 2 c  c 2 a Suy ra 2 a 2  b2  c 2 abc a bb cc a 2 2 2  3 a 2  b2  c 2 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/       https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a 2 b2 c2    3 a 2  b2  c2 Do đó b c a Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 3 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c à các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng 1 1 1 3  3  3  3 a bc b ca c ab 2 Bài 2: Cho a, b, c à các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng ab bc ca   3 c a b Bài 3: Cho a, b, c à các số thực dương thỏa a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 1    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 6 III. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: ( Kỹ thuật đánh giá phủ định của phủ định) Trong quá trình chứng minh A  B , ta thường sử dụng các bất đẳng thức phụ để đánh giá từng vế. Tuy nhiên trong một số trường hợp, việc sử dụng quá mạnh tay bất đẳng thức phụ sẽ dẫn đến sự đổi chiều của của bất đẳng thức ban đầu. Ví dụ: Chứng minh A  B Ta đánh giá A  C , D  B . Tuy nhiên, C  D . Do đó, kết quả C  D đã làm cho bất đẳng thức ban đầu bị đổi chiều so với chiều cần chứng minh. Sơ lươt về kỹ thuật:  A   B 1 1   Với A  B ta có  1 1     A B  A B  Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 c3 abc  2 2 2  2 2 2 a b b c c a 2 Phân tích: Khi nhìn vào bài toán thì việc áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy là điều hoàn toàn không thể. Do đó, ta cần phân tích các mẫu số để xác định A, B trong mối quan hệ A  B để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro     https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr a3 1 1  : Ta nhận xét a 2  b 2  2ab . Khi đó  2 . Do vậy, ta sẽ đưa 2 2 2 a b 2ab a b a3 g ( a, b) về dạng f (a, b)  2 với f (a, b), g (a, b) là các đa thức đơn giản và liên quan 2 2 a  b2 a b trực tiếp đến vế phải của bất đẳng thức ban đầu. Xét a a 2  b2  ab2 a3 ab2 ab2 b Lời giải chi tiết : Ta có 2 2   a 2 2  a  a 2 2 a b a b a b 2ab 2 Tương tự ta cũng có: Suy ra b3 c c3 a b , 2 c 2 2 2 b c 2 c a 2 a3 b3 c3 b c a abc  2 2 2  a b c  2 2 2 a b b c c a 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 2: : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  3 . Chứng minh rằng a b c 3    2 2 2 1 b c 1 c a 1 a b 2 Lời giải chi tiết: Ta có: a 1  b 2 c  ab 2c a ab 2 c ab 2c 1  a  a  a  ab c 2 2 2 1 b c 1 b c 1 b c 2 2b c Tương tự ta cũng có: b 1 c 1  b  bc a ,  c  ca b 2 2 1 c a 2 1 a b 2 Suy ra a b c 1 1    a  b  c  ab c  bc a  ca b  3  abc 2 2 2 1 b c 1 c a 1 a b 2 2 ab  bc  ca Mặt khác 3  a  b  c  3 3 abc  abc  1 ab  bc  ca  a  b  c ( Theo bất đẳng thức x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ) Do đó  abc Suy ra ab  bc  ca  3 a b c 3 3    3  2 2 2 1 b c 1 c a 1 a b 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  3 . Chứng minh rằng Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr 1 1 1 3  2  2  a 1 b 1 c 1 2 2 Phân tích: Ta nhận xét rằng a  b  c  1 là điều kiện để xảy ra đẳng thức. Tuy nhiên, ta sẽ làm đổi chiều bất đẳng thức ban đầu nếu sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy Thật vậy, ta có 1 1 1 1 1 1  2  2    a  1 b  1 c  1 2a 2b 2c 2 Do đó, ta cần biến đổi vế trái để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Lời giải chi tiết: Ta có: Tương tự ta có: Suy ra 1 a2  1  a2 a2 a2 a   1 2  1  1 2 2 a 1 a 1 a 1 2a 2 1 b 1 c  1 , 2  1 b 1 2 c 1 2 2 1 1 1 abc 3  2  2  3  a 1 b 1 c 1 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  3 . Chứng minh rằng a 1 b 1 c 1   3 b2  1 c2  1 a 2  1 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c   3 3 ab  b bc  c ca  a 3 Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P bc ca ab   a  2 bc b  2 ca c  2 ab Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a, b, c  3 . Chứng minh rằng 1 1 1 a 2  b2  c2 3     2a 2b 2c 2 2 IV. Kỹ thuật cân bằng hệ số: Ở các kỹ thuật trước, ta thường giải các bài toán bất đẳng thức dựa vào điều kiện xảy ra đẳng thức. Tuy nhiên, các bài tập được đưa vào đều là các bất đẳng thức đối xứng nên việc tìm điều kiện xảy ra đẳng thức khá đơn giản. Trong quá trình giải toán, ta thường xuyên gặp các bất đẳng thức không đối xứng. Do đó, việc dựa vào trực quan để tìm ra điều kiện xảy ra đẳng thức là điều không thể. Vì thế, kỹ thuật cân bằng hệ số được đưa vào nhằm khắc phục các hạn chế trong quá trình giải các bất đẳng thức không đối xứng. Với kỹ thuật này, ta sẽ đưa vào Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr   https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr bài toán các tham số giả định để sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Khi đó, điều kiện xảy ra đẳng thức cũng chính là điều kiện để tìm các tham số. Bài 1: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa a 2  2b 2  3c 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a 3  3b3  4c 3 Phân tích: Nếu chỉ dựa vào trực giác thì rất khó để xác định điều kiện xảy ra đẳng thức. Vì hệ số trước a, b, c của giả thiết và biểu thức P không tỉ lệ nhau. Do đó, ta cần đưa vào các tham số  ,  ,   0 để sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có: 2a 3  a 3  a 3   3   3  3 a 2   3 3 3 3 3 3 9 2 3 3 b b  3   b  2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 4c  2 c  c    2  6 c  2 3b3    9 3 3 P  3 a 2   b 2  6 c 2    3   2 3  Suy ra 2 2   a   , b   , c   Đẳng thức xảy ra khi  2 2 2 a  2b  3c  1 Do đó, ta cần chọn các số  ,  ,   0 sao cho 9  9  3  4  2  m  0  2  m  0 9 18 3     3   2  m  4  4 407  2  2 2  3 2  1  1  32  3  m 2  1   9 81 4    Suy ra   6 8 9 ,  ,  407 407 407 Lời giải chi tiết: 3 3 3  6  3 8   9  2a  3b  4c     2   2   407   407   407  3 3  3  3 3  9 3   6   3 3 3  8   3  a  a      b  b      2 c  c      407   2   407    407           3 3 3 3 3 9   6  93 3 3 8  3 3   3 a .a .    2 b .b .    6 3 c .c .    407   407   407  18 18  a 2  2b 2  3c 2  407 407 3 3 3 3 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/        https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro     https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Hay P  6 18  407 407 Suy ra P  12 407 Vậy minP  6 8 9 12 ,b  ,c  khi a  407 407 407 407 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab  bc  ca  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  3a 2  3b 2  c 2 Phân tích: Dựa vào giả thiết và biểu thức S , ta dễ nhận ra rằng a  b khi xảy ra cực trị. Do đó, ta sẽ đưa vào hai tham số  ,   0 để bài toán trở nên gọn hơn so với khi đưa vào ba tham số. Ta có:  2 c2  ac  a   2 2 2   2 c2    b   2 bc 2 2  2 2   a   b  2  ab    Suy ra    a 2  b2  c 2  2  2 ac  bc  2 ab  Do đó, để quy vế trái của  về S thì     3 Tới đây ta có thể lượt bỏ tham số  bằng cách thay   3   0    3 Khi đó S  2  2 ac  bc  2 3   ab Vậy ta cần chọn   0;3 sao cho :  2  3     2 Lời giải chi tiết: Ta có:  c2   c2  S  3a 2  3b 2  c 2   2a 2     2b 2    a 2  b 2  2ac  2bc  2ab  2 2  2  Vậy minS  2 khi 2a 2  2b 2  c2 c ab 2 2 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/   https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro   https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupro https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr https://www.facebook.com/tailieupr Thay a  b  1 2 c ,c  vào ab  bc  ca  1 ta giải ra được a  b  2 5 5 Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  a 3  b3  64c 3 Phân tích: Dựa vào giả thiết bài toán và biểu thức P ta nhận thấy rằng a  b khi cực trị xảy ra. Do đó, ta sẽ đưa vào bài toán hai tham số  ,   0 Ta có a 3   3   3  3 2 a b3   3   3  3 2b 64c3   3   3  3 2 c Suy ra P  3 2 a  3 2b  3 2c  2 2 3   3  S Đẳng thức xảy ra khi a  b   , c   Để sử dụng giả thiết a  b  c  3 thì  2  4 2    2 do  , >0 24    2   17   Ta chọn  ,   0 sao cho    2  4  3    12   17  Lời giải chi tiết: Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3  24   24   24   24   12   12    24   12   3 3 P  a        b        64c         4    2     17   17   17   17   17   17    17   17     3 3 3 3 3 3 3  24   24   24   24   12   12  3456  3 a .   .    3 3 b3 .   .    3 3 64c3 .   .    289  17   17   17   17   17   17  3 3 2 3456 1728  24   3.   a  b  c   289 289  17  Vậy minP  1728 24 4 khi a  b  , c  289 17 17 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2  b 2  c 2  9 ab  1 . Tìm giá trị lớn nhất của 16 biểu thức P  ab  bc  ca Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab  bc  ca  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  2b 2  3c 2 Phạm Quốc Sang Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3