§Ò Sè 1
A . §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1991-1992)
Bµi 1: ( 5 ®iÓm )
39
33 21
:
0,415
600 9
21 3 65
:
54 75 7 2 18,25 13 15 16 17
36
102
Bµi 2: ( 5 ®iÓm )
T×m hai sè tù nhiªn a,b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
a + 2b = 48 vµ (a,b) + 3 [a,b] = 114
Bµi 3: H×nh häc ( 6 ®iÓm )
1. Cho 3 ®iÓm A,B,C th¼ng hµng vµ AB + BC =AC. §iÓm nµo n»m gi÷a hai
®iÓm cßn l¹i? T¹i sao?
2. Cho gãc aOb vµ tia 0c n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob. Od lµ tia ®èi cña tia Oc
.Chøng minh r»ng:
a. Tia Od kh«ng n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob.
b. Tia Ob kh«ng n»m gi÷a hai tia Oa vµ Od.
4
6
9
7
7. 31 7. 41 10. 41 10. 57
A
Bµi 4: ( 4 ®iÓm )
TÝnh tû sè biÕt
B
A
B
7
5
3
11
19. 31 19. 43 23. 43 23. 57
b . §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1993-1994)
C©u 1: (6 ®iÓm) Thùc hiÖn tÝnh d·y
3 21
21 3
54
18
13 :
17
67 56
45 5 22 44 65 65 72
29 3 : 100 (29 3 : 0,47)
C©u 2: (5 ®iÓm) T×m 2 sè tù nhiªn tho¶ m·n:
- Tæng cña BSCNN vµ ¦SCLN cña 2 sè Êy lµ 174.
- Tæng cña sè nhá vµ trung b×nh céng cña 2 sè Êy lµ 57
C©u 3 : (4 ®iÓm) Cho 5 ®iÓm A, B, C, D, E trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng
hµng.
- Cã bao nhiªu ®o¹n th¼ng mµ mçi ®o¹n th¼ng nèi 2 trong 5 ®iÓm ®· cho.KÓ tªn c¸c
®¹on th¼ng Êy.
- Cã thÓ dùng ®-îc mét ®-êng th¼ng kh«ng ®i qua ®iÓm nµo trong 5 ®iÓm ®· cho mµ
c¾t ®óng 5 ®o¹n th¼ng trong c¸c ®o¹n th¼ng nãi trªn kh«ng? Gi¶i thÝch v× sao:
C©u 4 : (5 ®iÓm)
Lóc 8 giê, mét ng-êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 12km /h. L¸t sau ng-êi
thø 2 còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 20km /h. TÝnh ra hai ng-êi sÏ gÆp nhau t¹i B.
Ng-êi thø 2 ®i ®-îc nöa qu·ng ®-êng AB th× t¨ng vËn tèc lªn thµnh 24km /h. V× vËy
2 ng-êi gÆp nhau c¸ch B 4 km.Hái 2 ng-êi gÆp nhau lóc mÊy giê?
§Ò Sè 2
A . §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1993-1994)
Bµi1: ( 4 ®iÓm )
Cho
A
34
51
85
68
7.13 13. 22 22. 37 37. 49
A
TÝnh tû sè
B
B
39
65
52
26
7.16 16. 31 31. 43 43. 49
Bµi 2: ( 4 ®iÓm )
T×m c¸c ch÷ sè a,b sao cho sè 7a4b chia hÕt cho 4 vµ chia hÕt cho 7.
Bµi 3 : ( 4 ®iÓm )
Lóc 8 giê mét ng-êi ®i tõ A dÕn B víi vËn tèc 25 km/h. Khi cßn c¸ch B 20km
ng-êi Êy t¨ng vËn tèc lªn 30 km/h. Sau khi lµm viÖc ë B trong 30 phót, råi quay trë vÒ
A víi vËn tèc kh«ng ®æi 30 km/h vµ ®Õn Alóc 12 giê 2 phót. TÝnh chiÒu dµi qu·ng
®-êng AB.
Bµi 4: ( 4 ®iÓm )
Trªn tia Ax ta lÊy c¸c ®iÓm B, C, Dsao cho AB = 5cm; AC = 1cm; AD = 3 cm.
a. Chøng minh r»ng ®iÓm D n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ B
b. Trªn ®o¹n th¨ng AB lÊy ®iÓm M sao cho CM = 3 cm . Chøng minh r»ng
®iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ m
Bµi5: ( 4 ®iÓm )
T×m ph©n sè
a
4 a 2
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: vµ 7a + 4b = 1994
b
7 b
3
B . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1994-1995)
Bµi 1: ( 6 ®iÓm )
Thùc hiÖn d·y tÝnh:
7 24 21 39
5
23 22
12 42 165 143
9
3,12 8,76
Bµi 2: ( 5 ®iÓm )
T×m sè t- nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè hµng®¬n vÞ lµ 5, chia cho 11 d- 4, chia cho
13 d- 6 vµ chia hÕt cho 7.
Bµi 3: ( 5 ®iÓm )
Trªn tia Ox cho ba ®iÓm A, B, C ph©n biÖt. Chøng minh r»ng:
a. NÕu OA + OB < OC thi ®iÓm B N»m gi÷a hai ®iÓm O vµ C.
b. NÕu OA + AB + BC = OC th× ®iÓm Bn»m gi÷a hai ®iÓm A vµ C.
Bµi 4: ( 4 ®iÓm )
Ba m¸y b¬m cïng b¬m vµo mét bÓ lín , nÕu dïng c¶ m¸y mét vµ m¸y hai th×
sau 1 giê 20 phót bÓ sÏ ®Çy, dïng m¸y hai vµ m¸y ba th× sau 1 giê 30 phót bÓ sÏ ®Çy
cßn nÕu dïng m¸y mét vµ m¸y ba th× bÓ sÏ ®Çy sau 2 giê 24 phót.
Hái nÕu mçi m¸y b¬m ®-îc dïng mét m×nh th× bÓ sÏ ®Çy sau bao l©u?
§Ò Sè 3
A . §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 7 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1992-1993)
Bµi 1: ( 6 ®iÓm) T×m x biÕt:
5
4 3 19
3
27 26
13 4 59 118
19
3
27
x
4
33
1
1
13 . 16 14 . 17
1
1
1
13 . 15 14 . 16 15 . 17
Bµi 2: ( 5 ®iÓm )
T×m sè tù nhiªn a, b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
a + 2b = 49
vµ [a,b] + (a,b) = 56
Bµi 3: ( 3 ®iÓm )
T×m c¸c ch÷ sè a,b sao cho sè 2a3b chia hÕt cho 6 vµ chia hÕt cho 7.
Bµi 4: ( 5 ®iÓm )
Cho gãc AMC = 600. Tia Mx lµ tia ®èi cña tia MA, My lµ ph©n gi¸c cña gãc
CMx, Mt lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xMy.
a. TÝnh gãc AMy.
b. Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc víi Mt.
Bµi 5: ( 2 ®iÓm )
Chøng minh r»ng: 2 1993 < 7 714
B . §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 7 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1995-1996)
Bµi 1: Thùc hiÖn d·y tÝnh: (5 ®iÓm)
5
7
13.46. 28 27
18
13
5
5
5
5
59.212
14 84 204 374
Bµi 2: (5 ®iÓm)
T×m c¸c ch÷ sè 14a8b chia cho 7 vµ chia cho 8 ®Òu d- 2.
Bµi 3: (5 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã AB = BC vµ M, N lµ c¸c ®iÓm n»m gi÷a 2 ®iÓm A vµ C
sao cho
AM + NC < AC.
a) Chøng minh ®iÓm M n»m gi÷a 2 ®iÓm A vµ N.
b) Chøng minh AM = NC th× BM = BN
Bµi 4: T×m ph©n sè
a
tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (3 ®iÓm)
b
4 a 10
9 b 21
vµ 5a - 2b = 3
Bµi 5: (2 ®iÓm)
Cho 4 sè tù nhiªn tuú ý. Chøng minh r»ng ta cã thÓ chän ®-îc hai sè mµ tæng
hoÆc hiÖu cña chóng chia hÕt cho 5.
§Ò Sè 4
a . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( Tr-êng THCS Lª Ngäc H©n-N¨m häc 1994-1995)
Bµi 1 : T×m x :
1
2
3
7
3,75 : 2 1,25 0,8 1,2 :
4
5
2
2
64
1
1 0,75 x
2
Bµi 2 :
T×m sè cã bèn ch÷ sè xyzt biÕt xyzt . 10001 = 1a8bc9d 7
( Trong ®ã a; b ; c ; d lµ c¸c ch÷ sè
Bµi 3 : Chøng minh r»ng:
A= ( 1999 + 19992 + 19993 + ...+ 19991998 ) 2000
Bµi 4 :
Trªn qu·ng ®-êng AB, Hai « t« ®i ng-îc chiÒu nhau vµ cïng khëi hµnh
1
1
3
th× sau 6 giê sÏ gÆp nhau, biÕt vËn tèc cña xe ®i tõ A b»ng
1
1
3
vËn tèc xe ®i tõ B.
Hái xe ®i tõ A ph¶i khëi hµnh sau xe ®i tõ B bao l©u ®Ó hai xe cã thÓ gÆp nhau ë
chÝnh gi÷a ®-êng?
Bµi 5 : Trong sè häc sinh tham gia lao ®éng ngµy h«m qua cã 40% lµ häc sinh khèi
6; 36% lµ häo sinh khèi 7, cßn l¹i lµ khèi 8. Ngµy h«m nay sè häc sinh khèi 6 gi¶m
75%. Sè häc sinh khèi 7 t¨ng 37,5%; Sè häc sinh khèi 8 t¨ng 75%. Hái sè häc sinh
tham gia lao ®éng ngµy h«m nay thay ®æi thÕ nµo so víi sè häc sinh ngµy h«m qua.
b . §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 7 chuyªn to¸n
Bµi 1: ( 5 ®iÓm )
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1995-1996)
Cho:
1
1
1
1
3. 8 8.13 13.18
33. 38
1
1
1
1
1
B
3.10 10.17 17. 24 24. 31 31 . 38
A
T×m x biÕt:
5 26
3
12
28 27 2 5 . 4
7
9
88 x 4
Bµi 2: ( 4 ®iÓm )
B
A
T×m sè chia vµ th-¬ng cña phÐp chia sè 2541562 biÕt r»ng c¸c sè d- trong phÐp
chia lÇn l-ît lµ 5759 ; 5180 ;5938.
Bµi 3: ( 4 ®iÓm )
T×m hai sè cã tæng lµ 504 , sè -íc sè chung cña chóng lµ 12 vµ sè lín kh«ng
chia hÕt cho sè nhá.
Bµi 4: ( 5 ®iÓm )
Cho tam gi¸c ABC, trªn tia ®èi cña tia BA lÊy BD = BA, trªn tia Dx song song
víi BC trong nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®-êng th¼ng AD chøa ®iÓm C, LÊy DM = BC.
Chøng minh r»ng:
a. BM = AC
b. MC// AD
Bµi 5: ( 2 ®iÓm )
Chøng minh r»ng : 21995 < 5863
§Ò Sè 5
A . §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1995-1996)
Bµi 1: ( 4 ®iÓm )
T×m c¸c ch÷ sè a,b sao cho sè 12a4b1996 chia hÕt cho 63.
Bµi 2: ( 4 ®iÓm ) TÝnh tû sè A/B
A
31. 39 39.16 23. 92 29. 64
40
35
30
25
B
19. 31 19. 43 989 1311
91
65
39 143
Bµi 3: ( 4 ®iÓm )
Mét ng-êi ®i xe ®¹p tõ A vÒ B víi vËn tèc 12 km/h. L¸t sau mét ng-êi thø hai
còng ®i tõ A vÒ B víi vËn tèc 21 km/h. TÝnh ra hai ng-êi sÏ gÆp nhau t¹i B. Sau khi ®i
®-îc nöa qu·ng ®-êng ng-êi thø hai t¨ng vËn tèc lªn 24 km/h v× vËy hai ng-êi gÆp
nhau khi cßn c¸ch B 7 km. TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®-êng AB.
Bµi 4: ( 4 ®iÓm )
Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. Mlµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ C. N lµ ®iÓm
n»m gi÷a A vµ B sao cho CM = BN.
a. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng BM c¾t ®o¹n th¼ng CN.
b. Chøng minh r»ng gãc B b»ng gãc C vµ BM = CN.
Bµi 5: ( 4 ®iÓm )
T×m c¸c sè tù nhiªn a,b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
11 a 23
17 b 29
vµ 8b - 9a = 31
B . §Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1990-1991)
C©u 1: (6 ®iÓm) Thùc hiÖn d·y tÝnh
33 21
39
0,415
:
21 3 65
600 49
:
15
12
54 75 2
7 18,25 13 16
36
102
C©u 2: (5 ®iÓm)
T×m 2 sè tù nhiªna, b, tho¶ m·n: a + 2b = 48 vµ (a, b) + 3[ a, b] = 114
C©u 3 : (4 ®iÓm)
a, Cho 3 ®iÓm A, B, C, th¼ng hµng vµ AB + BC = AC. §iÓm nµo n»m gi÷a 2
®iÓm cßn l¹i? T¹i sao?
b, Cho gãc aOb vµ tia Oc n»m gi÷a 2 tia Oa vµ Ob. Od lµ tia ®èi cña tia Oc.
Chøng minh r»ng: - Tia Od kh«ng n»m gi÷a 2 tia Oa vµ Ob.
- Tia Ob kh«ng n»m gi÷a 2 tia Oa vµ Od.
4
6
9
7
31.7 7.41 10.41 10.57
7
5
3
11
B
19.31 19.43 23.43 23.57
A
C©u4: (6 ®iÓm) Cho
TÝnh tû sè
A
B
§Ò Sè 6
a . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( Tr-êng THCS Lª Ngäc H©n-N¨m häc 1997-1998)
C©u 1: a, Cho abc deg chia hÕt cho 37. Chøng minh r»ng abc deg chia hÕt cho 11.
b, T×m x biÕt 20 x 20 x 20 x 20 x chia hÕt cho 7
3
1 6 3 1 1 12
6 : 1
23
20 2 15 49
5
16
7
x 2
C©u 2 : T×m x:
2
1 2
1 10
96
3
4 5 11 5 11
3 9
C©u 3 : So s¸nh: M
1999 1999 1
vµ
1999 2000 1
N
1999 1989 1
1999 2009 1
C©u 4 : TÝnh tæng:
1
1
1
1
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
4
4
4
4
B
5.8 8.11 11.14
305 .308
A
C©u 5 : Mét cöa hµng b¸n trøng trong mét sè ngµy. Ngµy thø nhÊt b¸n 100 qu¶ vµ
1
1
sè cßn l¹i. Ngµy thø hai b¸n 20 qu¶ vµ
sè cßn l¹i. Ngµy thø nhÊt b¸n 300 qu¶
10
10
1
vµ
sè cßn l¹i. Cø bµn nh- vËy th× võa hÕt sè trøng vµ sè trøng bµn mçingµy ®Òu
10
b»ng nhau. TÝnh tæng sæ trøng ®· b¸n vµ sè ngµy cöa hµng ®· b¸n.
B . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1996-1997)
C©u 1: (3 ®iÓm) T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho 12a96 b chia hÕt cho 63.
C©u 2 : (6 ®iÓm) Thùc hiÖn d·y tÝnh
3 3 2
7 1414 34
: 3 2 1,75
15 4545 153 23 11 3
2
1
3
3
0,25 :
7
28 24
C©u 3 : (4 ®iÓm) T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè mµ khi ta ®em sè Êy nh©n víi 5 råi
céng thªm 6 ta ®-îc kÕt qu¶ lµ sè cã 4 ch÷ sè viÕt bëi c¸c ch÷ sè nh- sè ban ®Çu
nh-ng viÕt theo thø tù ng-îc l¹i
C©u 4 : (4 ®iÓm) Trªn tia Ox lÊy c¸c ®iÓm A, B, C, D sao cho OA=1cm, OB = 5 cm,
AC= 3 cm, BD=6cm.
a, Chøng minh r»ng ®iÓm C n»m gi÷a 2 ®iÓm A
vµ B.
b, TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng CD.
C©u 5 : (3 ®iÓm) Cho 7 sè tù nhiªn tuú ý. Chøng minh r»ng bao giê ta còng cã thÓ
chän ®-îc 4 sè mµ tæng cña chóng chia hÕt cho 4.
( h-íng dÉn: Tr-íc hÕt nhËn xÐt r»ng trong 3 sè tù nhiªn tuú ý bao giê còng cã Ýt
nhÊt 2 sè cïng ch½n hoÆc cïng lÎ)
§Ò Sè 7
A . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( QuËn Ba §×nh - n¨m häc 1997-1998)
C©u 1: T×m c¸c ch÷ sè a, b sao cho 12a 4b1996 chia hÕt cho 63.
40
35
30
25
31.38 39.46 2392 2962
91
65
39 143
A
B
TÝnh tû sè
19.31 19.43 989 1311
B
A
C©u 2 : Cho
C©u 3 : Mét ng-êi ®i xe ®¹p tõ A vÒ B víi vËn tèc 12km /h. L¸t sau mét ng-êi thø 2
còng ®i tõ A vÒ B víi vËn tèc 21km /h. TÝnh ra hai ng-êi sÏ gÆp nhau t¹i . Ng-êi thø 2
®i ®-îc nöa qu·ng ®-êng AB th× t¨ng vËn tèc lªn thµnh 24km /h. V× vËy 2 ng-êi gÆp
nhau c¸ch B 7 km.TÝnh chiÒu dµi qu·ng ®-êng AB.
C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC cã AB=AC. M lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ C, N lµ mét
®iÓm n»mg gi÷a A vµ B sao cho CM=BN.
a, Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng BM c¾t ®o¹n th¼ng CN,
b, Chøng minh r»ng gãc B = gãc C, BM=CN
C©u 5 : T×m c¸c sè tù nhiªn a, b tho¶ m·n c¸c ®iÌu kiÖn sau:
11 a 23
vµ 8a - 9b = 31
17 b 29
b . §Ò thi chän häc sinh giái TO¸N líp 6
( Tr-êng THCS Lª Ngäc H©n-N¨m häc 1997-1998)
Bµi 1 TÝnh
3 : 0,2 0,1
34,06 33,814
2
4
a, 26 :
:
2,5.0,8 1,2 6,84 : 28,75 25,15 3 21
b,
3
1 2 3
92
9 10 11
100
1
1
1
1
45 50 55
500
92
Bµi 2 T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 5 th× d- 1, chia cho 7 th× d- 5.
Bµi 3 Hai «t« ®i tõ hai ®iÓm A vµ B vÒ phÝa nhau. Xe 1 khëi hµnh lóc 7 giê, xe 2
khëi hµnh lóc 7giê 10phót. BiÕt r»ng ®Ó ®i c¶ qu·ng ®-êng AB xe 1 cÇn ®i 2 giê, xe 2
cÇn ®i 3 giê. Hai xe sÏ gÆp nhau lóc mÊy giê?
Bµi 4 VÏ tam gi¸c ABC trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D ( D kh«ng trïng B, C), trªn ®o¹n
th¼ng DC lÊy ®iÓm E (E kh«ng trïng D, C).
a, Nh÷ng ®iÓm nµo gäi lµ ®iÓm n»m gi÷a hai ®iÓm nµo?Nh÷ng tia nµo n»m gi÷a
hai tia nµo?
b, NÕu BD=3cm, DE=2cm, EC=4cm. TÝnh BC
c, Gi¶ sö gãc BAD=m0, gãc DAE = n0, gãc EAC= t0. TÝnh sè ®o gãc BAC
Bµi 5 Tæng kÕt n¨m häc cña 100 häc sinh giái vÒ 3 m«n V¨n, To¸n , Ngo¹i ng÷ cã
70 häc sinh giái To¸n, 50 giái V¨n. Trong ®ã 40 häc sinh giái To¸n+ Ngo¹i ng÷, 35
häc sinh giái To¸n+ V¨n, 20 Häc sinh giái V¨n+ Ngo¹i ng÷. Hái :
a, Cã bao nhiªu häc sinh giái c¶ 3 m«n.
b, Cã bao nhiªu häc sinh giái Ngo¹i ng÷.
c, Cã bao nhiªu häc sinh chØ giái 1 m«n
méT Sè §Ò THI HäC SINH GiáI
CñA QUËN HAI Bµ TR¦NG
N¨m häc 1996 - 1997
C©u 1: ( 5 ®iÓm) Chøng minh r»ng c¸c sè cã d¹ng abcabc chia hÕt Ýt nhÊt cho 3 sè
nguyªn tè.
C©u 2 : ( 5 ®iÓm) Cho d·y ph©n sè ®-îc viÕt theo qui luËt:
2
2
2
;
;
;
11 .16 16 .21 21 .26
a, T×m ph©n sè thø 45 cña d·y sè nµy.
b, TÝnh tæng cña 45 ph©n sè nµy.
C©u 3 : ( 5 ®iÓm) Hai tr-êng A vµ B cã 1500 häc sinh. Sè häc sinh giái tr-êng A
chiÕm 20%; Sè häc sinh giái tr-êng B chiÕm 15%. Tæng céng hai tr-êng cã 255 häc
sinh giái. TÝnh sè häc sinh mçi tr-êng?
C©u 4 : Mét ng-êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 12km /h. Mét l¸t sau mét ng-êi kh¸c
còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 20km /h.TÝnh ra 2 ng-êi sÏ gÆp nhau t¹i B. Ng-êi thø
2 ®i ®-îc nöa qu·ng ®-êng AB th× t¨ng vËn tèc lªn thµnh 24km /h. Hái hai ng-êi sÏ
gÆp nhau t¹i ®Þa ®iÓm c¸ch B bao nhiªu km? BiÕt r»ng qu·ng ®-êng AB dµi 80km.
N¨m häc 1997 - 1998
C©u 1 ( 6 ®iÓm) Tõ s¸u ch÷ sè: 0, 1, 2, 3, 4, 5. ViÕt tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè kh¸c
nhau chia hÕt cho 3 vµ cho 5.
C©u 2 : ( 6 ®iÓm) Mét phÐp chia cã th-¬ng b»ng 5 vµ sè d- lµ 12. NÕu lÊy sè bÞ chia
chia cho tæng sè chia vµ sè d- ta ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 18. T×m sè bÞ chia.
C©u 3 : ( 4 ®iÓm) TÝnh c¸c tæng sau b»ng c¸ch hîp lý nhÊt:
191 161 129 95
210 240 272 306
7
C©u 4 : ( 4 ®iÓm) Líp 6A cã sè häc sinh Giái vµ Kh¸ chiÕm
sè häc sinh c¶ líp. Sè
12
5
häc sinh Giái vµ Trung b×nh chiÕm sè häc sinh c¶ líp. Sè häc sinh Kh¸ vµ Trung
8
a,
1
1
1
1
210 240 272 306
b,
b×nh cã 34 b¹n, sè häc sinh giái h¬n sè häc sinh YÕu lµ 10 b¹n, líp kh«ng cã häc sinh
kÐm. Hái líp 6A cã bao nhiªu b¹n hãc sinh Giái? bao nhiªu häc sinh kh¸? bao nhiªu
häc sinh Trung b×nh?
N¨m häc 1998 - 1999
C©u 1 : Mét ng-êi ®em 6000000® göi tiÒn tiÕt kiÖm " Kh«ng kú h¹n" víi l·i xuÊt
0,8% mét th¸ng. Hái sau 3 th¸ng ng-êi ®ã thu ®-îc bao nhiªu tiÒn l·i ( sau 3 th¸ng
míi rót hÕt c¶ vèn lÉn l·i)
C©u 2 : Mét xÝ nghiÖp lµm mét sè dông cô, giao cho 3 ph©n x-ëng thùc hiÖn. Sè
dông cô ph©n x-ëng I lµm b»ng 28% tæng sè. Sè dông cô ph©n x-ëng II lµm gÊp r-ìi
sè dông cô ph©n x-ëng I. Ph©n x-ëng III lµm Ýt h¬n ph©n x-ëng II lµ 72 chiÕc. TÝnh
sè dông cô mçi ph©n x-ëng ®· lµm.
C©u 3 : H·y viÕt ph©n sè
11
d-íi d¹ng tæng cña 3 ph©n sè cã tö sè ®Òu b»ng I vµ cã
15
mÉu sè kh¸c nhau.
C©u 4 : a, T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng tÝch cña sè ®ã vµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã
lµ 1360.
b, Chøng tá r»ng cã thÓ t×m ®-îc nhiÒu sè tù nhiªn chØ gåm ch÷ sè 1 vµ ch÷
sè 0 chia hÕt cho 1999
N¨m häc 1999 - 2000
C©u 1 : H·y so s¸nh hai ph©n sè sau b»ng tÊt c¶ c¸c c¸ch cã thÓ ®-îc:
a,
1999 19992000
;
2000 20002000
b,
1 1
1
2
3 4
32
C©u 2 : KÕt thóc häc kú I líp 7A cã sè häc sinh xÕp lo¹i v¨n ho¸ b»ng
3
sè häc sinh
8
®-îc xÕp lo¹i kh¸. §Õn cuèi n¨m cã 7 häc sinh v-¬n lªn ®¹t lo¹i giái vµ 1 häc sinh
lo¹i giái bÞ chuyÓn lo¹i xuèng kh¸ nªn sè häc sinh giái chØ b»ng
9
sè häc sinh kh¸.
13
TÝnh sè häc sinh líp 7A biÕt c¶ hai häc kú líp 7A chØ cã häc sinh xÕp lo¹i v¨n ho¸
Kh¸ vµ Giái.
C©u 3 : Mét thïng ®Çy n-íc cã khèi l-îng 5,7 kg. NÕu trong thïng chØ cßn 25%
n-íc th× thïng n-íc cã khèi l-îng 2,4 kg. TÝnh khèi l-îng thïng kh«ng.
C©u 4 : Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè cã tÝnh chÊt sau: Chia hÕt cho 11 vµ
tæng c¸c ch÷ sè cña nã chia hÕt cho 11.
®Ò sè 1
A ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1991 - 1992)
7
21 3
21 3 2,24 8
3
:
:
54 75 30 9 13 5 16 1 54 75 28
9
12
12
6
0,96.
Bµi 1
Bµi 2:
a 2b 48 a 2 ;144 3; 3a, b 3 a, b 3 a 3 a6 ; a 2b 48 a 48
a6;12;18; 24; 30; 36; 42
a
6
12
18
b
21
18
15
(a,b)
3
6
3
[a,b]
42
36
90
(a,b) +
129
114
273
[a,b]
VËy a = 12; b = 18 hoÆc a = 36 ; b = 6
Bµi 4:
24
12
12
24
84
30
9
3
90
114
36
6
6
36
114
42
3
3
42
129
1
4
6
9
7
1
1
A
1
1
A 5
5
7.31 35.41 50.41 50.57 31 57
A B
1
7
5
3
11
1
1
5
2
B 2
B
2
19.31 19.43 23.43 23.57 31 57
b ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1993 - 1994)
Bµi 1: =
7
36
Bµi 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114 b 3 ; [a,b] 3 vµ 174 3 (a,b) 3
a3
Mµ 3a + b = 114 3a < 114 a < 38
a..
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
b..
105 96
87
78
69
60
51
42
33
24
15
6
(a,b)
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
[a,b]
105 96
261 156 345 180 357 168 297 120 165 36
Tæng
108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42
Bµi 4:
HiÖu vËn tèc trªn nöa qu·ng ®-êng ®Çu lµ : 20 - 12 = 8 (km/h)
HiÖu vËn tèc trªn nöa qu·ng ®-êng sau lµ : 24 - 12 = 12 (km/h)
HiÖu vËn tèc cña nöa qu·ng ®-êng ®Çu theo dù ®Þnh b»ng 2/3hiÖu vËn tèc trªn
n÷a qu·ng ®-êng sau. ChØ xÐt nöa qu·ng ®-êng sau thêi gian xe II ®uæi kÞp xe I trªn
thùc tÕ b»ng 2/3thêi gian xe hai ®uæi kÞp xe I theo dù ®Þnh
Thêi gian hai xe ®uæi kÞp nhau sím h¬n lµ : 4: 12 =
1
h = 20 '
3
Thêi gian hai xe ®uæi kÞp nhau theo dù ®Þnh: 20 . 3 = 60 ' = 1h
Tho× gian xe hai cÇn ®Ó ®uæi kÞp xe mét trªn c¶ qu·ng ®-êng : 1 . 2 = 2h
Qu·ng ®-êng xe I ®i tr-íc lµ: 16 : 2 =
4
h = 1h 20'
3
Thêi gian hai xe gÆp nhau theo dù ®Þnh: 8 h + 1h 20' +2h = 11h 20'
Do hai xe trªn thùc tÕ gÆp nhau sím h¬n dù ®Þnh 20'
Hai xe gÆp nhau lóc 11h 20' - 20' = 11h
®Ò sè 2
A ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1994 - 1995)
Bµi 1:
A
B
34
51
85
68 34 1 1
68 1 1 17 1 1
.....
7.13 13.22 22.37 37.49 6 7 13
12 37 49 3 7 49
39
65
52
26 39 1 1
26 1 1 13 1 1
.....
7.16 16.31 31.43 43.49 9 7 16
6 43 49 3 7 49
A 34 26 17
:
B 49 49 3
Bµ× 2:
7a 4b 4 4b 4 b 0 ; 4 ; 8
7a 4b7 a 4b 7 7040100a b 7 2a b 57
: b 0 2a 57 a 1; 8
b 4 2a 97 a 6
b 8 2a 137 a 4
VËy sè ®ã lµ: 7140 ; 7840 ; 7644 hoÆc 7448
Bµi 3:
Gäi ®iÓm c¸ch B 20km lµ C.
Thêi gian ®i qu·ng ®-êng CB vµ BC lµ: ( 20 . 2 ) : 30 = 1h 20'
Thêi gian ®i qu·ng ®-êng AC vµ CA lµ: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132'
Tû sè vËn tèc trªn q·ng ®-êng AC vµ CA lµ
®-êng AC vµ CA lµ
5
nªn tû sè vËn tèc trªn qu¶ng
6
6
5
Thêi gian ®i qu·ng ®-êng AC lµ : 132 : 11 . 6 = 72' =
ChiÒu dµi qu·ng ®-êng AC lµ
6
. 25 = 30 (km)
5
ChiÒu dµi qu·ng ®-êng AB lµ : 50 km
Bµi 5:
6
h
5
1994 4b
a 1994 4b
4 1994 4b 2
1994 4b 14
4
7
b
7b
7
7b
3
b
3
1994
1994
1
1994
b 4 4 b 8 b 8 b 294 4
231 b 249
1994 4 14 1994 26 b 230 1
b
3
b
3
13
7k 6
7 a 4b 1994 4b 7 k 6 k N b
; b N k 4l 2 (l N ) b 7l 5
4
236
244
231 7l 5 249
l
l 34 b 243 a 146
7
7
7a 4b 1994 a
b ®Ò thi chän häc sinh giái to¸n líp 6
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1994 - 1995)
Bµi 1:
10
9
Bµi 2:
11k 4
k 2 k 2n n N q 11n 2
2
13l 6
9r 3
35 q 13q' 6 9 q 13l 6 q
4l 69 4l 9r 3 l
r 3 4
9
4
13m 3
r 4m 1m N l 9m 3 q 13m 5 11n 2 13m 5 n
2m 311
11
x 5 ; x 7 x 35 x 35q 2q 11k 4 q
Gäi sè ®ã lµ x
Theo ®Ò bµi x lµ gi¸ trÞ nhá nh¸t 2m + 3 = 11 m = 4 q = 57 x = 35 . 57
=1985
Bµi 4:
3
2
bÓ , m¸y hai vµ ba b¬m bÓ, m¸y mét
4
3
5
3
2
5
11
vµ ba b¬m
bÓ. mét giê c¶ ba m¸y b¬m : 2 bÓ.
12
12
4 3 12
Mét giê m¸y mét vµ hai b¬m ®-îc
M¸y ba b¬m mét m×nh 6 giê sÏ ®Çy bÓ
M¸y mét b¬m mét m×nh 4 giê sÏ ®Çy bÓ
M¸y hai b¬m mét m×nh 2 giê sÏ ®Çy bÓ
®Ò sè 3
A ®Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 7 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1992 - 1993)
Bµi 1:
Tö sè vÕ tr¸i = 1
Tö sè vÕ ph¶i:
1
1
1 1 1 1 1
13.16 14.17 3 13 16 14 17
M© sè vÕ ph¶i
1 1 1 1 1
2 13 16 14 17
2 3 27 3
13
x . x
12
3 27 3 4 33 2
x .
4 33
1
Bµi 2:
Gäi (a,b) = d
a + 2b = 49 49 d ; [a,b] + d = 56 56 d (56,49) d d 0 ; 7
NÕu d = 1 ab = [a,b] [a,b] + 1 = 56 [a,b] = 55 ab = 55
a
1
55
5
11
b
55
1
11
5
Thay vµo a + 2b = 49 c¶ 4 gi¸ trÞ trªn ®Òu kh«ng tho¶ m·n
NÕu d = 7 ab = 7. [a,b] a = 7a' ; b = 7b' (a',b') =1 a'b' = 7
a' =1 ; b' = 7 a =7 ; b = 49 (lo¹i)
a' =7 ; b' = 1 a =49 ; b = 7 (lo¹i)
VËy kh«ng cã hai sè a vµ b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.
Bµi 3:
2a3b7 , 6 b 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
2a3b3 203010a b 3 a b 23 a b1; 4 ; 7 ;10;13;16
203010a b 7 2a b 7
b 0 2a 7 a0 ; 7 a b0 ; 7 a 7
b 2 2a 2 7 a 6 a b 8
b 4 2a 4 7 a 5 a b 9
b 6 2a 6 7 a 4 a b 10
b 8 2a 8 7 a 3 a b 11
VËy a = 7 ; b = 0 hoÆc a= 4 ; b = 6
210 1025
210 3. 73 210
3
7 343
28 256
35 28
5
3 243
Matkhac 3238 33 .3235 33 . 35
238
47
3238 . 73
33 28
47
238
22380 3238 . 7 714
25. 2376 2381 3238 2381
22380 3238 . 7 714 22380 2381 . 7 714 21999 7 714
Bµi 5:
B ®Ò thi tuyÓn sinh líp 7 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1995 - 1996)
Bµi 1:
295
212 . 295 2 .11.17 187
13.18
A
.
315
1
1
1
1 59.5. 212 .18 5.7
12
5 9 . 2 .5.
2 . 7 2 .3. 7 2 .3.17 2 .11.17
13. 46 .
Bµi 2:
14a8b :7 vµ :8 d- 2
XÐt b 2 ( 14 a 8b – 2 ) 7, 8 14a8c 7, 8 ( c<8 )
14a8c 4 8c 4 c = 0,4,8 c = 0 ; 4
14a8c 7 a8c 7 ( 100a +c+80 ) 7
[ 7( 14a +11 ) +2a +c +3 ] 7
(2a + c ) :7 d- 4 2a +c =4 ; 11 ; 18 ; 25
V× c
4 ( 2a + c)
2 2a+c =4; 18
8 ( 100a +c ) 8 (4a +c ) 8
XÐt c=0
NÕu 2a+ c =4 a=2 4a +c = 8 8 Tho¶ m·n
a8c
NÕu 2a+ c =18 a=9 4a +c = 36
XÐt c=4
8 lo¹i
NÕu 2a+ c =4 a=0 4a +c = 4 8 lo¹i
NÕu 2a+ c =18 a=7 4a +c = 32
m·n
8 Tho¶
XÐt b=0 14a80 :7, :8 d- 2 14a 78 7 , 8
Cã 78 4 14a 78 8 lo¹i
XÐt b=1 14a81 :7, :8 d- 2 14a 79 7 , 8
Cã 14a 79 8 lo¹i
VËy a=2, b=2 hoÆc a=7,b=6
Bµi 4
4 2 n 1 10
vµ 5a - 2b =3 a=( 3+ 2b )/5
9 5n 1 21
Cã a, b N 2b : 5 d- 2 2b = 5k +2 k 2 k=2n
§Æt b= 5n +1 , a= 2n + 1
4 2n 1
9 5n 1
4 2n 1 10
9 5n 1 21
20n + 4 <18n + 9
2n < 5
n 0;1;2
VËy n = 2
2n 1 10
5n 1 21
42n+12 < 50n+10
9n >11
n=2
a 5
b 11
Bµi 5.
NÕu trong 4 sè ta chän cã 2 sè cã cïng sè d- trong ph¸p chia cho 5
HiÖu cña chóng chia hÕt cho 5 ®pcm
XÐt 4 sè cã sè d- kh¸c nhau trong phÐp chia cho 5
+ Sè d- lµ 0,1,2,3 tæng 2 sè cã sè d- lµ 2 vµ 3 chia hÕt cho 5
+ Sè d- lµ 0,1,2,4 tæng 2 sè cã sè d- lµ 1 vµ 4 chia hÕt cho 5
+ Sè d- lµ 0,1,3,4 tæng 2 sè cã sè d- lµ 1 vµ 4 chia hÕt cho 5
+ Sè d- lµ 0,2,3,4 tæng 2 sè cã sè d- lµ 2 vµ 3 chia hÕt cho 5
+ Sè d- lµ 1,2,3,4 tæng 2 sè cã sè d- lµ 2 vµ 3 chia hÕt cho 5
VËy kh¼ng ®Þnh ®Ò bµi cho lµ ®óng.
®Ò sè 4
A ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6
(Tr-êng THCS Lª Ngäc H©n n¨m häc 1991 - 1992)
Bµi 1.
12 5 7 4 6 2
15
.4 . . .
5 4 2 5 5 3
4
64
9
x
4
9
1
16 64. x x
4
9
Bµi 2
xyzt . 10001 = xyzt . 10000 + xyzt = xyztxyzt
xyztxyzt = 1a8bc9d 7
c=1 , a=9 , d=8 , b=7
xyzt =1987
Bµi 3
A = 1999 (1 +1999) +19993 (1+1999) +….+19991997 (1+1999)
= 2000 (1999 +19993+…+ 19991997) 2000 A 2000
Bµi 4
V× vËn tèc xe ®i tõ A =4/3 vËn tèc xe ®i tõ B nªn nÕu 2 xe cïng khëi hµnh th× ®Õn khi
gÆp nhau, qu·ng ®-êng xe ®i tõ A ®i ®-îc b»ng 4/3 qu·ng ®-êng xe ®i tõ B ®i
®-îc
Xe ®i tõ A ®i ®-îc 4/7 qu·ng ®-êng AB, xe ®i tõ B ®i 3/7 qu·ng ®-êng AB hÕt 6 giê.
Thêi gian xe ®i tõ A ®i nöa qu·ng ®-êng AB lµ 6: 4/7 :2 =21/4 (h)
Thêi gian xe ®i tõ B ®i nöa qu·ng ®-êng AB lµ 6: 3/7 :2 =7 (h)
§Ó 2 xe gÆp nhau ë chÝnh gi÷a qu·ng ®-êng AB th× xe ®i tõ B ph¶i ®i tr-íc 7 – 21/4
= 7/4 (h) = 1h 45 phót
Bµi 5
So víi tæng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khèi 6 h«m nay chiÕm sè phÇn:
40% . 25% = 10%
So víi tæng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khèi 7 h«m nay chiÕm sè phÇn
36% . 137,5%= 49,5%
So víi tæng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khèi 8 h«m nay chiÕm sè phÇn
24% . 175% = 42%
So víi tæng sè häc sinh h«m qua, tæng sè häc sinh h«m nay chiÕm sè phÇn
10% +49,5% +42% = 101,5%
VËy so víi h«m qua, h«m nay sã häc sinh t¨g 1,5%
b. ®Ò thi tuyÓn sinh líp 7 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1995 - 1996)
Bµi1.
A=
1
1
1
1
1 1 1
...
3 . 8 8 . 13 13 . 18
33 . 38 5 3 38
1
1
1
11 1
...
3 . 10 10 . 17
31 . 38 7 3 38
A 1 1 7
B 5
:
B 5 7 5
A 7
55 24
.9.2
5
63
24
2 x 4 7
55
5
11
1 x 15
7 x 4 7
x4
B=
Bµi 3. Gäi a lµ sè lín, b lµ sè nhá
a+b =504 =23 . 32 .7
(a,b)=d d cã 12 -íc sè
504 d d= 2m . 3n . 7p (m 3 , n 2 , p 1 )
cã : ( m+ 1) ( n+ 1 )( p + 1 ) =12 = 22 . 3
m +1 4
3
2
n +1 3
2
3
p +1 1
2
2
m
3
2
1
n
2
1
2
p
0
1
1
d
72
84
126
Cã a= a'd, b=b'd , víi (a', b')= 1
V× a>b a' >b', a b b' 1
NÕu d= 72 a' + b' =7 cã b¶ng
a'
5
4
b'
2
3
A
360
144
B
288
216
NÕu d= 84 a' + b' =6 kh«ng cã gi¸ trÞ cña a' vµ b'
NÕu d= 126 a' + b' =4 kh«ng cã gi¸ trÞ cña a' vµ b'
Bµi 5. Cminh 21995 < 5 863
Cã : 210 =1024, 55 =3025 210 . 3 <55
21720 . 3172 <5860
Cã 37 =2187 ; 210 =1024 37 >211
3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270
21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860
VËy 21990 <5860
25 < 53
21995 <5863
®Ò sè 5
A ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1995 - 1996)
Bµi 1: §Æt 12a4b1996 N
N 63 N 9 vµ N 7
N 9 (1+2+a+4+b+1+9+9+6 ) 9 (a+b+5) 9 (a+b) {4,13}
N = 120401996 + 1000000a + 10000b 7 (a+4b+1) 7
+ NÕu a+b = 4 (4+3b+1) 7 (3b + 5) 3b : 7 d- 2
b=3 a=1
+ NÕu a+b = 13 (13+3b+1) 7 3b 7 b 7 b {0; 7}
b=7;a=6
a
1
6
B
3
7
12a4b1996
121431996
126471996
Bµi 2:
40
35
30
25
31.39 39.46 46.52 52.57
40 1
1 35 1
1 30 1
1 25 1
1
=
8 31 39 7 39 46 6 46 52 5 52 57
1
1
5.26
= 5
31 57 31.57
91
65
39
143
B=
19.31 19.43 23.43 69.19
13 7
5 13 3 11
28 13.52
A 5.26 13.52 5
24
13
:
19 31 43 23 43 57
57
B 31.57 57
62
31.19 43.57
A=
Bµi 3:
HiÖu vËn tèc trªn nöa qu·ng ®-êng ®Çu lµ 21 - 12 = 9 (km/h)
sau lµ : 24 - 12 = 12(km/h)
Do trªn nöa qu·ng ®-êng sau hiÖu vËn tèc b»ng
4
hiÖu vËn tèc trªn nöa qu·ng
3
®-êng ®Çu(theo dù ®Þnh). Nªn thêi gian xe thø 2 ®i tõ gi÷a qu·ng ®-êng ®Õn chç gÆp
3
thêi gian xe 2 ®i nöa qu·ng ®-êng ®Çu
4
7
7
Thêi gian xe 2 ®i nöa qu·ng ®-êng lµ: .4 (h)
12
3
7
Qu·ng ®-êng AB dµi lµ: .2.21 98(km)
3
11 a 23
Bµi 5: T×m a,b N sao cho
vµ 8b - 9a = 31
7 b 29
31 9a 32 1 8a a
8b - 9a = 31 b =
N (a-1) 8 a = 8q + 1(q
8
8
b»ng
N)
b=
31 9(8q 1)
9q 5
8
11 8q 1 23
17 9q 5 29
11(9q+5) < 17(8q+1) 37q > 38
29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86
q=2
a 23
b 17
q=3
q>1
q < 4 q {2; 3}
a 32
b 25
b. ®Ò thi chän häc sinh giái líp 6 chuyªn to¸n
(QuËn Ba §×nh n¨m häc 1990 - 1991)
Bµi 1:
11 3
3 83
56
:
7
1
7
1
5 200 200 7
:
: 25
18 25 49 18 1 13 5 16 2 18 25 102
4
12
17
2861
7 1 56.2861 7
1.25.102
7
2861
15247
= :
8 25 25.102 8 25.2861.56 18 56.102 2.32.7.8.17
Bµi 2:
a+2b = 48 vµ (a,b) + 3 [a,b] = 114
114 3 ; 3[a,b] 3 (a,b) 3 vµ a + 2b = 48 a 2 a 6
a { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}
a
b
(a,b)
[a,b]
3[a,b]
(a,b)+3[a,
b]
6
21
3
42
126
129
12
8
16
36
108
114
18
15
3
90
270
360
24
12
12
24
72
84
30
9
3
90
270
360
36
6
6
36
108
114
42
3
3
42
126
168
Bµi 4:
4
6
9
7
1 4 6 1 9
7
50
80
130
31.7 7.41 10.41 10.57 7 31 41 10 41 57 31.41 41.57 31.57
7
5
3
11
17
5 1 3 11
24
28
52
B=
19.31 19.43 23.43 23.57 19 31 43 23 43 57 31.43 43.57 31.57
A 130
B 52
A=
- Xem thêm -
.PDF 
29 
381 
109 
